第八单元 数学广角-优化（知识梳理+期末真题满分特训卷）-2025-2026学年人教版数学四年级上册单元复习尖子生培优汇编卷

第八单元 数学广角-优化 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版数学四年级上册内容的学习和复习，强化解题技巧，提升应试能力，拓展题型广度。非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，温故知新：强化巩固细节知识，给出具体知识内容，解题方法，明确考察方向，帮助你理解运用知识点； 2. 真题汇编，满分特训：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校期末真题，精耕细作，充分学习专题考察内容；难度由浅入深，层层递进，设置百分卷满分冲刺！ 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【易错点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【易错点拨】 解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【易错点拨】 解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（24-25四年级上·江西吉安·期末）妈妈炒一道西红柿炒蛋需要：洗西红柿、切西红柿3分钟；敲蛋、打蛋1分钟；洗锅2分钟；烧热锅3分钟；烧热油2分钟；炒4分钟。妈妈炒好这道菜最短需要（    ）分钟。 A．16 B．11 C．10 D．14 【答案】B 【思路引导】烧热锅和烧热油的3＋2＝5（分钟），可以洗西红柿，敲蛋用3＋1＝4（分钟），其中的洗锅和炒菜要单独做，所以最少用3＋2＋2＋4＝11（分钟）。 【规范解答】由分析可知最少用3＋2＋2＋4＝11（分钟） 故答案为：B 2．（本题2分）（24-25四年级上·广东东莞·期末）陈兵和李峰玩数字卡片游戏：每人各有3张卡片（如图），每人每次出一张卡片，卡片上的数字大的获胜，三局两胜。如果游戏中陈兵先出卡片，李峰想获胜，他的卡上的数最小是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】陈兵先出卡片，如果陈兵出的是10，李峰最小出11即可获胜；如果陈兵出的是7，李峰出9即可获胜；如果陈兵出的是4，李峰最小出5即可获胜。 【规范解答】 陈兵和李峰玩数字卡片游戏：每人各有3张卡片（如图），每人每次出一张卡片，卡片上的数字大的获胜，三局两胜。如果游戏中陈兵先出卡片，李峰想获胜，他的卡上的数最小是5。 故答案为：D 3．（本题2分）（24-25四年级上·浙江杭州·期末）乐乐和明明玩扑克牌比大小游戏，采取三局两胜制。明明抽到三张牌是9、6、4，乐乐已经抽了两张牌是8和3，游戏由明明先出牌，乐乐想要获胜，他第三张牌至少要抽到（    ）。 A．5 B．7 C．10 【答案】A 【思路引导】要使乐乐获胜，乐乐至少需要有2张牌大于明明的2张牌，根据题目可知乐乐的8大于明明的6，而乐乐的3小于明明的任意一张牌，则乐乐抽到的第三张牌至少要比4大；据此解答。 【规范解答】根据分析： 4＋1＝5 则乐乐的3张牌为8、3和5，乐乐的3对上明明的9，3＜9，乐乐的8对上明明的6，8＞6，乐乐的5对上明明的4，5＞4，这样乐乐赢得两局能获胜，所以他第三张牌至少要抽到5。 故答案为：A 4．（本题2分）（24-25四年级上·山东菏泽·期末）“比大小”游戏的规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜：②每人每次出一张卡片；③第一次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片。如果小明先出10，为了确保获胜，小军出（    ）。 A．7 B．5 C．9 【答案】B 【思路引导】小明第一次出的是10，小军出哪个都比10小，都是输，既然都是输，要拿出最小的5与之对阵，这样剩下的两张都比小明的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2：1胜，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知， 第一局： 10＞5 小明赢。 第二局和第三局：无论小明出6或8，小军剩下的两张卡片都比6和8大，此时小军赢下两局，最终小军获胜。 故答案为：B 5．（本题2分）（19-20四年级上·北京石景山·期末）两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是20，谁就获胜。如果让你先报数，为了确保获胜，那么你第一次应报（　　）。 A．1 B．2 C．1或2都可以 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】假设是甲、乙两人，如果两个人各报一次的和都是3，现在报数和是20，20÷3＝6……2，即需要报完整的6组，最后再报一个2，即最后报2的人获胜，如果要让甲先报数，第一次就一定要报2。 【规范解答】假设是甲、乙两人， 20÷（2＋1） ＝20÷3 ＝6……2 所以如果甲先报数，第一次就一定要报2，接下来如果乙报1，甲报2；如果乙报2，甲报1……；最后获胜的就是甲。 故答案为：B 【考点剖析】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析；一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略。 二．判断对错（共5小题，满分10分，每小题2分） 6．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）王师傅烤鱼，烧烤架最多可放3条鱼，两面都要烤，每烤一面需3分钟。现在宾馆里需要7条鱼，最少需要15分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据题意，先烤3条鱼，两面都要烤，每烤一面需要3分钟，所以烤好3条鱼需要3×2＝6（分钟）；将剩下的4条鱼编号为1、2、3、4，第一次烤1、2、3号鱼的正面，需要3分钟；第二次烤1、2号鱼的反面和4号鱼的正面，需要3分钟；第三次烤3、4号鱼的反面，需要3分钟；所以烤好剩下的4条鱼需要3×3＝9（分钟）；那么烤好7条鱼最少需要6＋9＝15（分钟）；据此解答即可。 【规范解答】据分析可得： 3×2＋3×3 ＝6＋9 ＝15（分钟） 现在宾馆里需要7条鱼，最少需要15分钟，所以原题说法正确。 故答案为：√ 7．（本题2分）（24-25四年级上·河南信阳·期末）烤一块牛排需要6分钟（正反面各需3分钟），一块铁板上每次最多烤2块，那么烤3块牛排至少需要9分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】要使需要的总时间最少，那么每一次铁板上就应该尽量有2块牛排。可以将3块牛排分别编号为①、②、③，据此列出每次烤的情况，然后即可计算出烤3块牛排至少需要的时间。 【规范解答】第一次：①正面、②正面，用时3分钟； 第二次：①反面、③正面，用时3分钟； 第三次：②反面、③反面，用时3分钟； 一共：3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（分钟） 故答案为：√ 8．（本题2分）（24-25四年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）妈妈要用空气炸锅烤3个地瓜，每个地瓜要烤两面，每面烤8分钟，空气炸锅一次只能放2个地瓜，她烤完这3个地瓜最少要用24分钟。( ) 【答案】√ 【思路引导】将3个地瓜分别编号为a、b、c；前8分钟烤a、b的正面，中间8分钟烤a的反面和c的正面，这时a烤好了，后8分钟烤b、c的反面，相当于一共烤了3次，每次8分钟，即一共烤了3×8＝24（分钟）；据此解答。 【规范解答】3×8＝24（分钟） 所以，妈妈要用空气炸锅烤3个地瓜，每个地瓜要烤两面，每面烤8分钟，空气炸锅一次只能放2个地瓜，她烤完这3个地瓜最少要用24分钟。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（本题2分）（22-23四年级上·安徽淮北·期末）早上，爸爸、妈妈和思聪每人一个煎鸡蛋。一口锅每次最多只能煎两个鸡蛋，每面煎两分钟，两面都要煎，最少要6分钟全家人才能都吃上煎鸡蛋。( ) 【答案】√ 【思路引导】爸爸、妈妈和思聪每人一个煎鸡蛋，则一共需要3个煎鸡蛋；当煎2个及以上的蛋，并且锅里只能同时煎两个时，最少需要的时间＝煎一面需要的时间×个数；依此计算并填空。 【规范解答】2×3＝6（分钟）； 爸爸、妈妈和思聪每人一个煎鸡蛋。一口锅每次最多只能煎两个鸡蛋，每面煎两分钟，两面都要煎，最少要6分钟全家人才能都吃上煎鸡蛋。 故答案为：√ 【考点剖析】熟练掌握优化问题的计算，是解答此题的关键。 10．（本题2分）（22-23四年级上·江西抚州·期末）3个小朋友合唱一首歌要用3分钟，那么6个人合唱这首歌也只用3分钟唱完。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据实际经验可知，6个小朋友合唱一首歌要用的时间与3个小朋友合唱一首歌要用的时间相等，依此判断。 【规范解答】根据分析可知，3个小朋友合唱一首歌要用3分钟，那么6个人合唱这首歌也只用3分钟唱完。 故答案为：√ 【考点剖析】熟练掌握优化问题的计算，是解答此题的关键。 三．仔细想，认真填（共8小题，满分16分，每题2分） 11．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）一个小平底锅一次最多可以煎2只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟，煎6只鸡翅至少需要( )分钟。 【答案】30 【思路引导】根据题意，每次煎2只鸡翅，每只鸡翅需要煎两面，每面5分钟。煎2只鸡翅的时间：同时煎2只的正面（5分钟），然后同时煎2只的反面（5分钟），共需10分钟。 6只鸡翅需分3组煎6÷2＝3（组），每组耗时10分钟。 总时间：3组×10分钟＝30分钟。 【规范解答】根据分析可知： 6÷2＝3（组） 5×2＝10（分） 10×3＝30（分） 一个小平底锅一次最多可以煎2只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟，煎6只鸡翅至少需要30分钟。 12．（本题2分）（24-25四年级上·湖北荆州·期末）聪聪要冲一杯牛奶，洗水壶2分钟，洗杯子2分钟，用水壶烧开水5分钟，冲牛奶1分钟，冷却2分钟。聪聪最快( )分钟能喝上牛奶。 【答案】10 【思路引导】根据沏茶问题，用水壶烧开水的5分钟，可以同时洗杯子2分钟，这样可以节省2分钟，即洗水壶2分钟＋烧开水5分钟＋冲牛奶1分钟＋冷却2分钟，据此即可求出聪聪最快多少分钟能喝上牛奶。 【规范解答】2＋5＋1＋2＝10（分钟） 聪聪要冲一杯牛奶，洗水壶2分钟，洗杯子2分钟，用水壶烧开水5分钟，冲牛奶1分钟，冷却2分钟。聪聪最快10分钟能喝上牛奶。 13．（本题2分）（24-25四年级上·福建龙岩·期末）牛排店烤一块牛排需要12分钟（正、反面各6分钟），一块铁板上最多能烤2块，那么烤5块牛排至少需要( )分钟。 【答案】30 【思路引导】根据题意，每次最多能烤2块，可以列出每一次烤的情况，用烤的次数乘每次烤需要的时间，即可求出至少需要的时间。 【规范解答】第一次：第一块牛排正面，第二块牛排正面； 第二次：第一块牛排反面，第二块牛排反面； 第三次：第三块牛排正面，第四块牛排正面； 第四次：第三块牛排反面，第五块牛排正面； 第五次：第四次牛排反面，第五块牛排反面。 6×5＝30（分钟） 牛排店烤一块牛排需要12分钟（正、反面各6分钟），一块铁板上最多能烤2块，那么烤5块牛排至少需要30分钟。 14．（本题2分）（24-25四年级上·福建漳州·期末）学校进行体质测试，3个同学要去1号教室验视力和2号教室测肺活量，每项检查都要2分钟，他们最短要( )分钟才能全部做完这些检查。 【答案】6 【思路引导】为了保证做完这些检查用的时间最短，三位同学（A、B、C）要分开检查，如：A验视力，同时B测肺活量，要用2分钟；再B验视力，同时C测肺活量，要用2分钟；最后A测肺活量，同时C测视力，再用2分钟；据此三人做完检查共用了3个2分钟。 【规范解答】3×2＝6（分钟），他们最短要6分钟才能全部做完这些检查。 15．（本题2分）（19-20四年级上·山东菏泽·期末）烤一块牛排需要6分钟（两面都要烤，每面各需3分钟），一块铁板最多只能烤2块，那么烤7块这样的牛排至少需要( )分钟。 【答案】21 【思路引导】先烤前4块牛排，每次烤两块，共需2×2×3＝12分钟。剩下的三块牛排分别为a、b、c；第一次烤a、b的正面；第二次烤a的反面和c的正面；第三次烤b、c的反面。所以烤剩下的三块牛排需要3×3＝9分钟。这样烤7块牛排至少需要12＋9＝21分钟。 【规范解答】2×2×3＋3×3 ＝12＋9 ＝21（分钟） 则烤7块这样的牛排至少需要21分钟。 【考点剖析】在优化问题中，要统筹安排烤牛排的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 16．（本题2分）（20-21四年级上·浙江杭州·期末）一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎( )分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要( )分钟。 【答案】 6 18 【思路引导】先把2个鸡蛋同时下锅，2分钟时，将其中一只盛上来，另外一只翻面，同时，再放第三只鸡蛋；第4分钟，第一次放的那只鸡蛋可以出锅了，最后放的那只鸡蛋翻面，同时将盛起来的鸡蛋翻面放下去；第6分钟，就全部可以上锅； 9个鸡蛋分为4组，第一、二、三组2个，第四组3个。第一、二、三组，先放2个鸡蛋，煎一－面2分钟，全部翻面，再2分钟。即煎熟2个鸡蛋要用4分钟，三组共计用12分钟。第四组，先放2个鸡蛋，2分钟后，1个翻面，另一个拿出去，再放入最后一个鸡蛋。2分钟后，1个鸡蛋熟了，后加的翻面，再放入之前拿出的只煎了一面的鸡蛋，2分钟后全熟。共计时间： 12＋2＋2＋2 ＝14＋2＋2 ＝16＋2 ＝18（分钟） 【规范解答】根据分析可得： 一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎（6）分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要（18）分钟。 【考点剖析】本题考查优化问题，解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工。 17．（本题2分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）妈妈每天早上起床后要做以下事情：起床穿衣（3分钟）：刷牙（3分钟）；洗脸（2分钟）；听音乐（8分钟）；烤面包（2分钟）；吃早餐（6分钟）。妈妈可以用( )分钟完成这些事情。怎样安排呢：请在方框内把步骤写出来。 合理的时间安排： 。 【答案】 16 起床穿衣，然后刷牙、洗脸、烤面包、吃早餐的同时可以听音乐 【思路引导】要使需要的时间最短，应先起床穿衣，然后在完成听音乐这项任务的同时，可完成刷牙、洗脸、烤面包和吃早餐这四项任务。则一共需要3＋3＋2＋2＋6分钟。 【规范解答】3＋3＋2＋2＋6＝16（分钟） 则妈妈可以用16分钟完成这些事情。 合理的时间安排：起床穿衣，然后刷牙、洗脸、烤面包、吃早餐的同时可以听音乐。 【考点剖析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 18．（本题2分）（21-22四年级上·河南南阳·期末）游乐场上有一个场地射箭，一个场地骑车，射箭、骑车一次都需要用时4分钟。有3位小朋友来游玩，如果3个人两种游戏都玩，最少需要用时( )分钟。 【答案】12 【思路引导】此类问题中，尽量使两种游戏始终都有小朋友在玩，由此进行合理安排即可解决问题。 【规范解答】三个小朋友分别用序号1、2、3表示： 4＋4＋4＝12（分） 如果3个人两种游戏都玩，最少需要用时12分钟。 【考点剖析】抓住始终2种游戏都有人在玩是本题的关键。 四．解决实际问题（共12小题，满分64分） 19．（本题5分）（23-24四年级上·内蒙古赤峰·期末）张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 【答案】27分钟；图见详解 【思路引导】依据题意可知，先穿衣服，然后蒸早点，同时洗漱，整理房间，帮妈妈打理衣服，然后吃早饭。注意要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 【规范解答】由分析可知： 最短时间为：2＋15＋10＝27（分钟） 答：所用的最短时间是27分钟。 20．（本题5分）（23-24四年级上·吉林松原·期末）冬冬和丽丽玩“比大小”的游戏，冬冬的三张卡片分别为2、6、8，丽丽的三张卡片分别为4、7、9，玩法：每人每次出一张卡片（每张牌只能出一次），牌大为胜，比三局，两胜为赢。冬冬怎样可以获胜？ 【答案】见详解 【思路引导】丽丽手中最大的牌是9，若冬冬在这一局随意出6或者8，都会输掉这一局，并且还消耗了自己较大的牌。所以，为了最大程度地利用自己的牌，冬冬应出最小的牌2应对丽丽的9。这样冬冬输一局，丽丽出中间的牌7，东东就出最大的牌8，赢一局，丽丽出最小的牌4，冬冬出6这张牌，这样赢一局，由此得出冬冬3局2胜即可获胜；据此解答。 【规范解答】根据分析，冬冬要想获胜，应按照以下出牌顺序：丽丽出9，冬冬出2；丽丽出7，冬冬出8；丽丽出4，冬冬出6。 21．（本题5分）（24-25四年级上·吉林四平·期末）看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 【答案】（1）见详解； （2）25分钟 【思路引导】（1）要想所用的时间最少，应先刷牙洗脸，再读书，在读书的同时，可以烧水，最后再吃饭。 （2）结合第一小问的安排，因为烧水的时间小于读书的时间，所以将刷牙洗脸的时间加上读书的时间，再加上吃饭的时间，即为需要的最少时间。 【规范解答】（1）如图： （2）4＋15＋6＝25（分钟） 答：做完这几件事情最少需要25分钟。 22．（本题5分）（23-24四年级上·广东潮州·期末）星期天，成成和爸爸、妈妈一起去逛潮州牌坊街，他们一家午餐准备吃牛肉粿条，餐费准备了60元，由成成安排。如果参考下面的价格，请问有几种买法？各多少钱？ 【答案】7种；各需的钱数见详解 【思路引导】成成和爸爸、妈妈每个人都有2种选择，然后分别算出每种购买方法的总价，再看是否符合不超过60元即可。 ①都买15元的，用人数3乘15元，求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ②都买21元的，用人数3乘21元，求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ③成成买15元的，爸爸、妈妈都买21元的，用2乘21元，求出爸爸、妈妈花的钱数，再加上成成花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ④成成买21元的，爸爸、妈妈都买15元的，用2乘15元，求出爸爸、妈妈花的钱数，再加上成成花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ⑤爸爸买15元的，成成、妈妈都买21元的，用2乘21元，求出成成、妈妈花的钱数，再加上爸爸花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ⑥爸爸买21元的，成成、妈妈都买15元的，用2乘15元，求出成成、妈妈花的钱数，再加上爸爸花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ⑦妈妈买15元的，爸爸、成成都买21元的，用2乘21元，求出爸爸、成成花的钱数，再加上妈妈花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 ⑧妈妈买21元的，爸爸、成成都买15元的，用2乘15元，求出爸爸、成成花的钱数，再加上妈妈花的钱数，即可求出共需要的钱数，再与60元进行比较即可。 【规范解答】①15×3＝45 （元） 45＜60 ②21×3＝63（元） 63＞60 不符合题意，舍去。 ③15＋21×2 ＝15＋42 ＝57（元） 57＜60 ④21＋15×2 ＝21＋30 ＝51（元） 51＜60 ⑤15＋21×2 ＝15＋42 ＝57（元） 57＜60 ⑥21＋15×2 ＝21＋30 ＝51 （元） 51＜60 ⑦15＋21×2 ＝15＋42 ＝57 （元） 57＜60 ⑧21＋15×2 ＝21＋30 ＝51（元） 51＜60 答：有7种买法；都买15元的，共需要45元；成成买15元的，爸爸、妈妈都买21元的，共需要57元；成成买21元的，爸爸、妈妈都买15元的，共需要51元；爸爸买15元的，成成、妈妈都买21元的，共需要57元；爸爸买21元的，成成、妈妈都买15元的，共需要51元；妈妈买15元的，爸爸、成成都买21元的，共需要57元；妈妈买21元的，爸爸、成成都买15元的，共需要51元。 23．（本题5分）（24-25四年级上·全国·期末）妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【答案】5分钟 【思路引导】先烤第一、第二片面包片的第一面，2分钟；然后第一片面包片取出，将第二片翻面，放上第三片面包片，经过1分钟，第二片面包片已熟取出；再放上第一片面包片，烤另外一面，1分钟后，第一片面包片又熟了，可把它取出；最后把第三片面包片翻面，再过1分钟，第三片面包片完成；所以一共需要（2＋1＋1＋1）分钟。 【规范解答】2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝5（分钟） 答：最少要用5分钟。 24．（本题5分）（21-22四年级上·江西赣州·期末）下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【答案】林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛 【思路引导】四（1）班要想胜出四（2）班，则需要用四（1）班最低成绩的人与四（2）班最高成绩的人进行比赛，用四（1）班排名中间成绩的人与四（2）班最低成绩的人进行比赛，用四（1）班最高成绩的人与四（2）班中间成绩的人进行比赛，依此解答。 【规范解答】92＜158；124＞116；148＞133； 因此四（1）班胜出四（2）班的策略是：林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛。 25．（本题5分）（21-22四年级上·山东济南·期末） 上面是同一种泡面三种包装的价格。某工程队要买55盒这种泡面。 （1）算一算怎样买最省钱？一共要花多少钱？ （2）请选择清晰简洁的方式表达你的思考过程。 （3）试着分析这种方案最省钱的原因。 【答案】（1）买2箱60元的和5包3盒装的泡面最便宜。170元； （2）55＝20×2＋3×5，买2箱60元的和5包3盒装的泡面最便宜。 （3）同样的泡面肯定要先买最便宜的，最后买贵的。 【思路引导】（1）先求出3种包装每盒的单价，那种最便宜就尽量买哪一种泡面然后再买贵的。 （2）根据（1）中的算式分析，书写思考过程即可。 （3）相同物品，先买便宜的后买贵的。 【规范解答】20盒每盒单价：60÷20＝3（元） 3盒每盒单价：10÷3＝3（元）……1（元） 1盒每盒单价4元 20盒装的每盒单价3元最便宜尽量多买。55÷20＝2（箱）……15（盒） 15÷3＝5（包） 买2箱60元的和5包3盒装的泡面最便宜。 60×2＋5×10 ＝120＋50 ＝170（元） 答：买2箱60元的和5包3盒装的泡面最省钱。一共要花170元。 （2）55＝20×2＋3×5，买2箱60元的和5包3盒装的泡面最便宜。 （3）同样的泡面肯定要先买最便宜的，最后买贵的。 【考点剖析】本题考查优化问题，相同物品先买便宜的是解题的关键。 26．（本题5分）（21-22四年级上·福建厦门·期末）青少年时期的体格增长是最快的，体育锻炼可以使身体中各器官获得充足的氧和营养物质，以促进其生长发育。希望小学要购买40个足球，现在甲、乙、丙3个商家可以选择，3个商家足球的单价都是52元，但每个商家的优惠方式不同，为了节省费用，希望小学应该去哪家购买？ 甲：买10个送2个 乙：每个足球优惠8元 丙：购物每满100元立减20元 【答案】丙家 【思路引导】根据题意，先按照各个商家的优惠活动，分别计算出购买40个足球需要的总钱数，再进行比较，即可知道哪家最便宜，就去哪家购买即可。 【规范解答】甲：买30个送6个，还需要买4个， 34×52＝1768（元） 乙：（52－8）×40＝1760（元） 丙： 52×40＝2080（元） 2080÷100＝20（ 组）……80（元） 20×20＝400（元） 2080－400＝1680（元） 1768＞1760＞1680 答：希望小学应该去丙家购买。 【考点剖析】正确理解单价、数量和总价之间的关系，是解答此题的关键。 27．（本题6分）（21-22四年级上·河南南阳·期末）周末四一班同学去公园玩，需要买42瓶饮料。这种饮料一瓶售价4元，买3瓶送1瓶，一箱15瓶售价42元。那么，怎么样买最省钱？需要多少钱？ 【答案】买两箱和3组买3瓶送1瓶，需要120元 【思路引导】算出两种买饮料方式的单价，哪种方式买的单价低就尽可能地选择哪种方式买，如果不够整箱买的那部分饮料则选择买3赠1的方式购买，最后算出一共的价钱即可，由此解答。 【规范解答】如果选择买3赠1，则每瓶的单价相当于： 4×3÷（3＋1） ＝12÷4 ＝3（元） 如果选择整箱买，则每瓶单价为（42÷15）元，而42÷15＜3，由此可知尽可能整箱买会比较划算。 42÷15＝2（箱）……12（瓶），所以买2箱后，剩下12瓶可选择买3赠1的方式购买。 42×2＝84（元） 12÷（3＋1）＝3（组） 3×3×4 ＝9×4 ＝36（元） 84＋36＝120（元） 答：买两箱和3组买3瓶送1瓶最省钱，需要120元。 【考点剖析】此题的关键在于算出每种方式的单价然后作比较，尽可能选择单价低的那种方式买即可。 28．（本题6分）（20-21四年级上·河南郑州·期末）烙饼时，第一面要烙4分钟，第二面要烙2分钟，即烙一张饼需要6分钟。小丽家的平底锅每次只能烙2张饼，她家每天早上需要烙3张饼，最少需要多长时间才能吃上饼？ 【答案】10分钟 【思路引导】烙3张，先烙第一张与第二张的正面需4分钟，然后烙第一张的反面与第三张的正面需要4分钟，最后烙第二张的反面与第三张的反面需2分钟，烙完3张共需4＋4＋2＝10分钟。 【规范解答】4＋4＋2＝10（分钟） 答：最少需要10分钟才能吃上饼。 【考点剖析】在烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 29．（本题6分）（20-21四年级上·北京海淀·期末）某旅游团一行40人到一个宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间，单人间三种，三人间每天178元/间，二人间每天128元/间，单人间每天98元/间，要把送40人安排好住宿，每天最少的住宿费用是多少元？ 【答案】2392元 【思路引导】40÷3＝13（个）……1（人），需要13个三人间和1个单人间，由于一个三人间加一个单人间的房价比两个二人间价格高，所以安排12个三人间和2个二人间费用最低。 【规范解答】根据分析可知，40＝12×3＋2×2，安排12个三人间和2个二人间费用最低； 12×178＋128×2 ＝2136＋256 ＝2392（元） 答：每天最少的住宿费用是2392元。 【考点剖析】尽量安排三人间，如果三人间住不满，只有2人就安排一个二人间，如果只有1人，就少安排1个三人间，改成安排2个二人间。 30．（本题6分）（2021六年级·全国·竞赛）有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 【答案】甲必胜 【思路引导】既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何取。 【规范解答】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。 答：甲会获胜。 【考点剖析】本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分析问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角-优化 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版数学四年级上册内容的学习和复习，强化解题技巧，提升应试能力，拓展题型广度。非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，温故知新：强化巩固细节知识，给出具体知识内容，解题方法，明确考察方向，帮助你理解运用知识点； 2. 真题汇编，满分特训：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校期末真题，精耕细作，充分学习专题考察内容；难度由浅入深，层层递进，设置百分卷满分冲刺！ 知识点梳理01：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【易错点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点梳理02：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【易错点拨】 解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点梳理03：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【易错点拨】 解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（24-25四年级上·江西吉安·期末）妈妈炒一道西红柿炒蛋需要：洗西红柿、切西红柿3分钟；敲蛋、打蛋1分钟；洗锅2分钟；烧热锅3分钟；烧热油2分钟；炒4分钟。妈妈炒好这道菜最短需要（    ）分钟。 A．16 B．11 C．10 D．14 2．（本题2分）（24-25四年级上·广东东莞·期末）陈兵和李峰玩数字卡片游戏：每人各有3张卡片（如图），每人每次出一张卡片，卡片上的数字大的获胜，三局两胜。如果游戏中陈兵先出卡片，李峰想获胜，他的卡上的数最小是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题2分）（24-25四年级上·浙江杭州·期末）乐乐和明明玩扑克牌比大小游戏，采取三局两胜制。明明抽到三张牌是9、6、4，乐乐已经抽了两张牌是8和3，游戏由明明先出牌，乐乐想要获胜，他第三张牌至少要抽到（    ）。 A．5 B．7 C．10 4．（本题2分）（24-25四年级上·山东菏泽·期末）“比大小”游戏的规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜：②每人每次出一张卡片；③第一次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片。如果小明先出10，为了确保获胜，小军出（    ）。 A．7 B．5 C．9 5．（本题2分）（19-20四年级上·北京石景山·期末）两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是20，谁就获胜。如果让你先报数，为了确保获胜，那么你第一次应报（　　）。 A．1 B．2 C．1或2都可以 D．无法确定 二．判断对错（共5小题，满分10分，每小题2分） 6．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）王师傅烤鱼，烧烤架最多可放3条鱼，两面都要烤，每烤一面需3分钟。现在宾馆里需要7条鱼，最少需要15分钟。( ) 7．（本题2分）（24-25四年级上·河南信阳·期末）烤一块牛排需要6分钟（正反面各需3分钟），一块铁板上每次最多烤2块，那么烤3块牛排至少需要9分钟。( ) 8．（本题2分）（24-25四年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）妈妈要用空气炸锅烤3个地瓜，每个地瓜要烤两面，每面烤8分钟，空气炸锅一次只能放2个地瓜，她烤完这3个地瓜最少要用24分钟。( ) 9．（本题2分）（22-23四年级上·安徽淮北·期末）早上，爸爸、妈妈和思聪每人一个煎鸡蛋。一口锅每次最多只能煎两个鸡蛋，每面煎两分钟，两面都要煎，最少要6分钟全家人才能都吃上煎鸡蛋。( ) 10．（本题2分）（22-23四年级上·江西抚州·期末）3个小朋友合唱一首歌要用3分钟，那么6个人合唱这首歌也只用3分钟唱完。( ) 三．仔细想，认真填（共8小题，满分16分，每题2分） 11．（本题2分）（24-25四年级上·河南南阳·期末）一个小平底锅一次最多可以煎2只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟，煎6只鸡翅至少需要( )分钟。 12．（本题2分）（24-25四年级上·湖北荆州·期末）聪聪要冲一杯牛奶，洗水壶2分钟，洗杯子2分钟，用水壶烧开水5分钟，冲牛奶1分钟，冷却2分钟。聪聪最快( )分钟能喝上牛奶。 13．（本题2分）（24-25四年级上·福建龙岩·期末）牛排店烤一块牛排需要12分钟（正、反面各6分钟），一块铁板上最多能烤2块，那么烤5块牛排至少需要( )分钟。 14．（本题2分）（24-25四年级上·福建漳州·期末）学校进行体质测试，3个同学要去1号教室验视力和2号教室测肺活量，每项检查都要2分钟，他们最短要( )分钟才能全部做完这些检查。 15．（本题2分）（19-20四年级上·山东菏泽·期末）烤一块牛排需要6分钟（两面都要烤，每面各需3分钟），一块铁板最多只能烤2块，那么烤7块这样的牛排至少需要( )分钟。 16．（本题2分）（20-21四年级上·浙江杭州·期末）一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎( )分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要( )分钟。 17．（本题2分）（19-20四年级上·河南南阳·期末）妈妈每天早上起床后要做以下事情：起床穿衣（3分钟）：刷牙（3分钟）；洗脸（2分钟）；听音乐（8分钟）；烤面包（2分钟）；吃早餐（6分钟）。妈妈可以用( )分钟完成这些事情。怎样安排呢：请在方框内把步骤写出来。 合理的时间安排： 。 18．（本题2分）（21-22四年级上·河南南阳·期末）游乐场上有一个场地射箭，一个场地骑车，射箭、骑车一次都需要用时4分钟。有3位小朋友来游玩，如果3个人两种游戏都玩，最少需要用时( )分钟。 四．解决实际问题（共12小题，满分64分） 19．（本题5分）（23-24四年级上·内蒙古赤峰·期末）张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 20．（本题5分）（23-24四年级上·吉林松原·期末）冬冬和丽丽玩“比大小”的游戏，冬冬的三张卡片分别为2、6、8，丽丽的三张卡片分别为4、7、9，玩法：每人每次出一张卡片（每张牌只能出一次），牌大为胜，比三局，两胜为赢。冬冬怎样可以获胜？ 21．（本题5分）（24-25四年级上·吉林四平·期末）看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 22．（本题5分）（23-24四年级上·广东潮州·期末）星期天，成成和爸爸、妈妈一起去逛潮州牌坊街，他们一家午餐准备吃牛肉粿条，餐费准备了60元，由成成安排。如果参考下面的价格，请问有几种买法？各多少钱？ 23．（本题5分）（24-25四年级上·全国·期末）妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 24．（本题5分）（21-22四年级上·江西赣州·期末）下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 25．（本题5分）（21-22四年级上·山东济南·期末） 上面是同一种泡面三种包装的价格。某工程队要买55盒这种泡面。 （1）算一算怎样买最省钱？一共要花多少钱？ （2）请选择清晰简洁的方式表达你的思考过程。 （3）试着分析这种方案最省钱的原因。 26．（本题5分）（21-22四年级上·福建厦门·期末）青少年时期的体格增长是最快的，体育锻炼可以使身体中各器官获得充足的氧和营养物质，以促进其生长发育。希望小学要购买40个足球，现在甲、乙、丙3个商家可以选择，3个商家足球的单价都是52元，但每个商家的优惠方式不同，为了节省费用，希望小学应该去哪家购买？ 甲：买10个送2个 乙：每个足球优惠8元 丙：购物每满100元立减20元 27．（本题6分）（21-22四年级上·河南南阳·期末）周末四一班同学去公园玩，需要买42瓶饮料。这种饮料一瓶售价4元，买3瓶送1瓶，一箱15瓶售价42元。那么，怎么样买最省钱？需要多少钱？ 28．（本题6分）（20-21四年级上·河南郑州·期末）烙饼时，第一面要烙4分钟，第二面要烙2分钟，即烙一张饼需要6分钟。小丽家的平底锅每次只能烙2张饼，她家每天早上需要烙3张饼，最少需要多长时间才能吃上饼？ 29．（本题6分）（20-21四年级上·北京海淀·期末）某旅游团一行40人到一个宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间，单人间三种，三人间每天178元/间，二人间每天128元/间，单人间每天98元/间，要把送40人安排好住宿，每天最少的住宿费用是多少元？ 30．（本题6分）（2021六年级·全国·竞赛）有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $