专题03平面向量（B卷·能力提升）--2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个大题专题，内容为平面向量。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 大题专题3 平面向量（B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共21小题，每小题12分） 1已知平面向量． 若，且，求的坐标； 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】解：平面向量， ，， 由，， 当时，的坐标为；当时，的坐标为． 与的夹角为锐角，， 且与不平行， ，且， 解得 且． 即  2已知，，，按照下列条件求的值或范围． ； ； 与的夹角为钝角． 【答案】解：因为，，，， 由得到， 即， 所以； 由题意知： ， 由 ，得到， 所以； 当 时， 且不共线， 则，且所以．  3已知平面向量，满足，，且． 求与的夹角 求 若，求的值． 【答案】解：，，，与的夹角为， ， ， 故． ， 故． ， ， ， ．  4已知平面向量，，，且，    求在方向上的投影向量；    求与的夹角； 【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以在方向上的投影向量为． ，， ，，， 设，的夹角为， 则：， ， 即向量与向量的夹角为．  【解析】本题考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，投影向量平面向量、向量的夹角和数量积的运算，属于基础题． 分别根据和即可得出，，从而解出，，从而得出，，得出，则，可得在方向上的投影向量； 可求出，，并设，的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 5已知，设向量，． 若，求的值； 若，求的值． 【答案】解：因为，，且， 所以，即． 又，所以． 因为，，且， 所以，即． 令，则，且． 因为，所以， 所以， 所以． 6已知向量，． 若与共线，求； 若在上的投影的数量为，求的值． 【答案】解：根据题意，向量，． 若与共线，则，解可得， 则；故； 故； 若在上的投影为，即， 则，且， 解得， 故．  7已知向量  Ⅰ设，求． Ⅱ若与垂直，求的值． Ⅲ求向量在方向上投影的数量． 【答案】解：Ⅰ，，， ． ， ． Ⅱ，，，， 由于与垂直， ， ． Ⅲ设向量与的夹角为， 向量在方向上的投影为． ．  8已知向量，，且与的夹角为． 求；若与垂直，求实数的值． 【答案】解：，，且与的夹角为． ，，， ， 解得，或舍， ， ； ， 与垂直， ， 解得．  9已知，，分别确定实数的取值范围，使得：  与的夹角为直角； 与的夹角为钝角； 与的夹角为锐角． 【答案】解：设与的夹角为，，，． 因为与的夹角的直角，所以，所以，所以． 因为与的夹角为钝角，所以且，即且与不反向． 由得，故，由与共线得，故与不可能反向． 所以的取值范围为． 因为与的夹角为锐角，所以且，即且、不同向． 由，得，由与同向得． 所以的取值范围为．  10已知向量且， Ⅰ求向量与的夹角； Ⅱ求的值． 【答案】解：Ⅰ由得 因， 且 ， ， 故向量与的夹角为． Ⅱ 故的值为．  11已知单位向量与夹角为，且，求的值． 已知，求与夹角的余弦值． 【答案】解：单位向量与夹角为， ． ． ， ，即， ， ． 故与夹角的余弦值为．  12已知向量，． 设与的夹角为，求的值； 若与垂直，求实数的值． 【答案】解：向量，， 则， 且， ； 设与的夹角为， 则； 若与垂直， 则， 即， 所以， 解得．  13已知，，，． 求与的夹角； 是否存在实数，使与垂直？ 【答案】解：，， 则， 又，，，可得， ， ，与的夹角为． 与垂直， ， 则， 即，．  【解析】本题主要考查两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由题意利用两个向量数量积的定义，求得与的夹角． 利用两个向量垂直的性质，求得的值． 14已知，与的夹角为． 求的值； 求在方向上的投影数量． 【答案】解：，，与的夹角为， ； ， 在方向上的投影为 综上结论是：在方向上的投影数量为．  【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的概念，是中档题． 由题已知，及其夹角，可利用，转化为向量的乘法解决； 向量在方向上的投影数量由可求出． 15已知，，与的夹角为． 当向量与互相垂直时，求的值； 求的模． 【答案】解：因为向量与互相垂直， 所以 ， 解得； 由题意得的模为．  16已知，，． 求与的夹角； 在中，若，，求边的长． 【答案】解： ， ， ． 又， ． ， ， ．  17设平面内三点，，． 求向量的模； 若向量与的夹角为，求； 求向量在方向上的投影的数量． 【答案】解：因为，，， 所以， ， 所以， 所以． 由知，， 所以 ． 由知向量与的夹角的余弦为 ，且． 所以向量在上的投影的数量为 ．  18已知向量的夹角为，且． 求与的值； 求与的夹角． 【答案】因为向量的夹角为， 所以， ， ． ， 又，所以．   【解析】本题考查平面向量的数量积，根据定义计算两个向量的数量积，考查求向量的模长和根据数量积与模长关系求向量夹角． 由向量的数量积，先求出，从而由向量的模长公式计算即可； 利用的结论，由向量的夹角公式即可求出与的夹角的余弦值． 19给定平面向量，，，且，． 求和； 求在方向上的投影的数量． 【答案】解：，即． ，， 得， ，． ，， 故在方向上的投影为．   【解析】本题考查向量平行与垂直的线性运算以及投影公式，考查公式的转化，属于基础题． 根据向量平行与垂直的坐标关系列出方程组，解出，即可； 利用投影公式计算． 20已知不共线的向量，，，． Ⅰ求与的夹角的余弦值； Ⅱ求． 【答案】解：Ⅰ设与的夹角为， ， ， 又可得， ． Ⅱ ．  【解析】本题考查向量的数量积是运算，考查转化思想以及计算能力，是基础题． Ⅰ设与的夹角为，利用已知条件转化求解夹角的余弦函数值即可． Ⅱ利用向量模的运算法则化简求解即可． 21已知． 求：； 与的夹角的余弦值． 【答案】解：由题意：， ；             ， ， 设与的夹角为， 则．   【解析】本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角，考查了计算能力，属于基础题． 由，进而可求出； 根据平面向量夹角公式可求得结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个大题专题，内容为平面向量。 2026版陕西省（职教单招）《数学考纲专题练》 大题专题3 平面向量（B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 解答题（共21小题，每小题12分） 1已知平面向量． 若，且，求的坐标； 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 2已知，，，按照下列条件求的值或范围． ； ； 与的夹角为钝角． 3已知平面向量，满足，，且． 求与的夹角 求 若，求的值． 4已知平面向量，，，且，    求在方向上的投影向量；    求与的夹角； 5已知，设向量，． 若，求的值； 若，求的值． 6已知向量，． 若与共线，求； 若在上的投影的数量为，求的值． 7已知向量  Ⅰ设，求． Ⅱ若与垂直，求的值． Ⅲ求向量在方向上投影的数量． 8已知向量，，且与的夹角为． 求；若与垂直，求实数的值． 9已知，，分别确定实数的取值范围，使得：  与的夹角为直角； 与的夹角为钝角； 与的夹角为锐角． 10已知向量且， Ⅰ求向量与的夹角； Ⅱ求的值． 11已知单位向量与夹角为，且，求的值． 已知，求与夹角的余弦值． 12已知向量，． 设与的夹角为，求的值； 若与垂直，求实数的值． 13已知，，，． 求与的夹角； 是否存在实数，使与垂直？ 14已知，与的夹角为． 求的值； 求在方向上的投影数量． 15已知，，与的夹角为． 当向量与互相垂直时，求的值； 求的模． 16已知，，． 求与的夹角； 在中，若，，求边的长． 17设平面内三点，，． 求向量的模； 若向量与的夹角为，求； 求向量在方向上的投影的数量． 18已知向量的夹角为，且． 求与的值； 求与的夹角． 19给定平面向量，，，且，． 求和； 求在方向上的投影的数量． 20已知不共线的向量，，，． Ⅰ求与的夹角的余弦值； Ⅱ求． 21已知． 求：； 与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $