2.2 二次函数的图象与性质（1）课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²（a≠0）的图象与性质，通过复习一般式导入，以y=x²为范例，引导学生经历列表、描点、连线画图象的过程，再通过“议一议”探究形状、交点等性质，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以动手操作培养几何直观，通过“议一议”问题链发展推理意识，对比y=x²与y=-x²的表格总结强化模型意识。如列表描点画图象、5个探究问题、对比表格等实例，帮助学生直观理解性质，也为教师提供结构化教学流程与变式练习，提升教学效率。

2.2 二次函数的图象与性质（1） 二次函数的一般式是什么？ y= ax2+ bx ＋c ( a, b，c是常数，a≠0) 复习导入 在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？ 你想直观地了解它的性质吗? 画出二次函数y=x2的图象. 新知讲解 (1)观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： x ... y ... 3 2 1 0 -1 -2 -3 9 4 1 0 1 4 9 新知讲解 新知讲解 (2)在直角坐标系中描点.　 (3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象. x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 y=x2 议一议 对于二次函数y=x2的图象， （1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2）图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么？ （3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢? 新知讲解 新知讲解 （4）当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? （5）图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴 是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. 议一议 对于二次函数y=x2的图象， （1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 议一议 （2）图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么？ 有，（0，0） x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 议一议 （3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢? 当 x<0 时，y随着x的增大而减小． 当 x>0 时，y随着x的增大而增大． x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 议一议 （4）当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? 当x=0时,函数y的值最小，最小值是0． x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 议一议 （5）图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. 是，对称轴是 y 轴． 对称点有很多， 如：（1，1）和（-1，1）； （2，4）和（-2，4）等 x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 如图2-2，二次函数y=x2的图象是一条抛物线 ( parabola )，它的开口向上，且关于y轴对称． 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点， 它是图象的最低点. 图2-2 二次函数 y=x2 的图象是一条抛物线，它的特点是： 1.开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，它是图象的最低点． x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y=x2 新知讲解 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流. 做一做 新知讲解 y=x2 y=-x2 y x o 新知讲解 变式1 二次函数y=x2的图象的开口方向是（　　） A． 向上 B． 向下 C． 向左 D． 向右 A 解：∵二次函数y=x2的二次项系数a=1＞0， ∴抛物线开口向上． 新知讲解 变式2 函数y=ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　） A． ±2 B． -2 C． 2 D． 3 C 解：把点（a，8）代入y=ax2，得a3=8，∴a=2． 新知讲解 1、抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是： ①都是开口向上； ②都以点（0，0）为顶点； ③都以y轴为对称轴； ④都关于x轴对称． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 课堂练习 课堂练习 解：抛物线y= x2，y=x2的开口向上，y=-x2的开口向下，①错误； 抛物线y= x2，y=x2，y=-x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确； ④错误． 2、抛物线y=-x2不具有的性质是（　　） A． 开口向上 B． 对称轴是y轴 C． 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D． 最高点是原点 A 解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0）， 对称轴是y轴，有最高点是原点． 课堂练习 3、在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象，它们共同特点是（　　） A． 都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B． 都是关于原点对称，顶点都是原点 C． 都是关于y轴对称，抛物线开口向下 D． 都是关于y轴对称，顶点都是原点 D 课堂练习 课堂练习 解：在二次函数y=ax2中，其图象关于y轴对称，顶点为原点， ∵y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2都是y=ax2类型的二次函数， ∴y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象关于y轴对称，且顶点都是原点． 4、已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）． （1）求二次函数的关系式； （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上． 解：（1）把（-2，-8）代入二次函数解析式得-8=4a，即a=-2，则二次函数解析式为y=-2x2． （2）不在，理由为：把x=-1代入解析式得 y=-2，-2≠-4，则点（-1，-4）不在此抛物线上． 课堂练习 5、二次函数y=ax2经过点（- ，1）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）从图象可看出对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？对称轴右侧又是怎样变化？ （4）图象有最高点还是最低点？函数值有最大值还是最小值？是多少？ 拓展提高 解：（1）因为二次函数y=ax2经过点 （- ，1），代入可得1=3a，解得a= ， 所以二次函数解析式为y= x2； （2）如图： 拓展提高 解： （3）由图象可知二次函数开口向上， 在对称轴的左侧y随x的增大而减小， 在对称轴右侧y随x的增大而增大； （4）图象有最低点，函数有最小值，最小值为0． 拓展提高 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=x2 y= -x2 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 课堂总结 课题：2.2 二次函数的图象与性质   教师板演区   学生展示区 一、 二次函数的图象与性质 二、例题 板书设计 $