大题专项03 数列（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 大项专题3 数列 一、课标解读 根据江西省三校生对口升学考试数学考纲要求，数列作为核心知识点之一，主要考查学生对数列基本概念、通项公式、前n项和公式的理解与应用能力。考纲明确要求： 1. 掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式； 2. 能根据已知条件求数列的通项公式和前n项和； 3. 具备运用数列知识解决简单实际问题的能力，注重对运算能力、逻辑推理能力的考查； 4. 重点关注等差数列与等比数列的基本性质及综合应用，题目难度以基础题和中档题为主，兼顾知识点的灵活运用。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 T27 （1）等比数列通项公式求解；（2）基于等比数列的代数式求值 8分 题型固定：近6年数列均以解答题形式考查，题号集中在T25-T28，属于必考大题； 分值稳定：每题分值均为8分，占数学试卷总分的16%左右，是高分突破的关键题型； 考查重点： 核心知识点：等差数列、等比数列的通项公式（aₙ）和前n项和（Sₙ）是高频考点，每年必考； 辅助知识点：等比数列特定项求解、裂项相消法求和（仅2023年考查）、公比正负讨论（2024年考查）； 能力要求：侧重基本公式的直接应用和简单变形，计算量适中，较少涉及复杂综合推理。 2024 解答题 T28 （1）等比数列特定项（a₅）求解；（2）等比数列前n项和（S₁₂）计算（含公比正负讨论） 8分 2023 解答题 T26 （1）等差数列前n项和（Sₙ）求解；（2）裂项相消法求数列前n项和（Tₙ） 8分 2022 解答题 T25 （1）等比数列特定项（a₄）求解；（2）等比数列前n项和（Sₙ）计算 8分 2021 解答题 T25 （1）等差数列通项公式求解；（2）等差数列前n项和求解 8分 三、考点预测（2026年） 结合近6年考情分析，预测2026年江西省三校生对口升学考试数列专题考查情况如下： 题型：仍以解答题形式出现，题号大概率在T25-T27区间； 分值：保持8分不变，分为2个小问； 考查内容： 第一问：重点考查等差数列或等比数列的通项公式求解，可能给出首项、公差/公比、特定项等条件，需灵活运用定义和公式推导； 第二问：大概率考查数列前n项和计算，其中等差数列前n项和、等比数列前n项和为核心，可能涉及简单的公式直接应用或少量变形，裂项相消法求和有一定复现概率； 潜在考点：等比数列公比的取值范围讨论、等差数列与等比数列的简单综合问题。 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） （一）等差数列核心知识 定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（公差d），即aₙ₊₁ - aₙ = d（n∈N⁺）； 通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d（a₁为首项，d为公差）； 前n项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 或 Sₙ = na₁ + n(n - 1)d/2； 关键性质：若m + n = p + q（m、n、p、q∈N⁺），则aₘ + aₙ = aₚ + a_q。 （二）等比数列核心知识 定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比q），即aₙ₊₁/aₙ = q（q≠0，n∈N⁺）； 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹（a₁为首项，q为公比，a₁≠0，q≠0）； 前n项和公式： 1. 当q = 1时，Sₙ = na₁； 2. 当q≠1时，Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q) = (a₁ - aₙq)/(1 - q)； 关键性质：若m + n = p + q（m、n、p、q∈N⁺），则aₘ·aₙ = aₚ·a_q； 注意：等比数列各项均为正数（如2025年真题明确“各项为正”），或需考虑公比正负（如2024年真题）。 （三）数列求和常用方法 1. 公式法：直接应用等差数列、等比数列前n项和公式； 2. 裂项相消法：将数列通项拆分为两项之差，如aₙ = 1/[n(n + 1)] = 1/n - 1/(n + 1)（2023年真题考查）。 五、10分钟小测验 1. 已知等差数列{aₙ}中，a₁ = 2，公差d = 3，则a₅ =（ ） A. 14 B. 11 C. 8 D. 5 2. 等比数列{aₙ}中，a₁ = 1，q = 2，则前4项和S₄ =（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3. 已知等差数列{aₙ}满足a₃ = 7，a₅ = 11，则其通项公式aₙ = ________。 4. 等比数列{aₙ}中，a₂ = 4，a₄ = 16，求前n项和Sₙ。 答案 1. A（解析：a₅ = 2 + (5 - 1)×3 = 14） 2. A（解析：S₄ = (1×(1 - 2⁴))/(1 - 2) = 15） 3. 2n + 1（解析：d = (11 - 7)/(5 - 3) = 2，a₁ = 7 - 2×2 = 3，aₙ = 3 + (n - 1)×2 = 2n + 1） 4. 当q = 2时，Sₙ = 2ⁿ - 1；当q = -2时，Sₙ = [1 - (-2)ⁿ]/3（解析：q² = a₄/a₂ = 4，q = ±2；a₁ = a₂/q = ±2，代入等比数列前n项和公式） 六、经典例题解析 考点一：等差数列通项公式与前n项和 例题1（2021·江西·真题T25）已知数列{an}满足 （1）求； （2）求{an}的前n项和. 【答案】(1)an=3n-4；(2). 【解析】(1)因为，所以数列{an}是公差d=3的等差数列，又因为a3=5，即a1+2d=5，得a1=-1， 所以an=-1+(n-1)·3=3n-4； (2). 例题2在等差数列中，已知，求： (1)求数列的通项公式，并写出第七项. (2)求数列的前项和公式，并求出前7项的和. 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 又，， 所以. 则. （2）由等差数列的前项和公式得， . . 考点二：等比数列通项公式与前n项和 例题3（2024·江西·真题T28）已知数列为等比数列，，. （1）求的值； （2）求. 【答案】(1)4；(2)当q=时，S12=63+63；当q=-时，S12=63-63. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为an=a1qn-1，即 8=2q4，所以q2=2，又a5=a3q2=2×2=4； (2)由(1)知q=2，所以q=±，又因为a3=a1q2，得a1=1， 当q=时，S12==63+63； 例题4已知为等比数列，且． (1)求； (2)记为的前n项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比即可求解. （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，且， 则， 解得， 所以. （2）因为， 所以. 例题5（2022·江西·真题T25）已知在等比数列{an}中，. （1）求的值； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）a4=8；（2）Sn=2n-1. 【解析】（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an=a1qn-1， 因为a2·a8=8a6，所以a1q·a1q7=8a1q5，所以a1q3=8，即a4=8； （2） 因为a1=1，所以a4=a1q3=1×q3=8，所以q=2， 所以数列{an}的前n项和Sn==2n-1. 考点三：数列求和的综合应用 例题6（2025·江西·真题T27）已知数列是各项为正的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设出公比，根据题给信息列出方程计算即可求解. （2）根据（1）中的得到，计算即可求解. 【小问1详解】 因为数列是各项为正的等比数列， 设公比为q， 所以且. 因为，， 所以， 解得或（舍）， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，. 因为， 所以. . 例题7（2023·江西·真题T26）已知在数列{an}中，a1=1，an+1=an+1，Sn为数列{an}的前n项和. （1）求Sn； （2）已知，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知得an+1-an=1，所以数列是首项a1=1，公差为d=1的等差数列， 所以； （2）由，所以， 所以==. 七、专题归纳小结 （一）解题策略 通项公式求解技巧： · 等差数列：紧扣“首项a₁ + 公差d”，已知任意两项可求d，已知特定项可列方程求a₁； · 等比数列：紧扣“首项a₁ + 公比q”，注意q≠0，已知两项可求q（注意q的正负），涉及“各项为正”时q为正数。 前n项和求解关键： · 先判断数列类型（等差/等比），再选择对应公式； · 等比数列求和务必先讨论q = 1和q≠1的情况，避免漏解； · 裂项相消法求和需准确拆分通项，注意前后项的抵消规律。 审题要点：圈出“等差数列”“等比数列”“各项为正”“前n项和”等关键词，明确已知条件与所求目标的关系。 （二）易错点总结 等比数列中忽略q = 1的特殊情况，直接套用q≠1的求和公式； 计算等比数列公比时，遗漏负根（如2024年真题需考虑q = ±√2）； 等差数列前n项和公式记忆错误，混淆Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2与Sₙ = na₁ + n(n - 1)d/2的应用场景； 裂项相消法求和时，拆分通项出错或抵消后剩余项判断错误。 （三）专题总结 数列专题是三校生对口升学考试的必考内容，考查形式固定、分值稳定，难度适中。核心考点集中在等差数列和等比数列的通项公式与前n项和，复习时应注重： 1. 熟练掌握基本公式，做到准确默写和灵活变形； 2. 强化真题训练，熟悉本省考试题型和命题风格； 3. 注重计算能力培养，避免因计算失误丢分； 4. 针对易错点加强专项练习，提高解题准确率。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $