大题专项02 三角函数（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为三角函数。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 大项专题2 三角函数 一、课标解读 依据江西省三校生对口升学考试数学考纲，结合三角函数模块在大题中的考查特点，核心要求可归纳为以下三点，是二轮复习的重中之重： 1. 解析式求解：掌握正弦函数（y=A sin(ωx+φ)，A>0，ω>0）解析式的求解方法，能根据函数图像或已知条件确定参数A、ω、φ的值，这是三角函数大题的必考点。 2. 性质应用：理解正弦函数的周期性、单调性、最值性，能结合解析式求函数的最小正周期、单调区间、最大值与最小值及对应自变量的取值集合，是大题的核心考查方向。 3. 图像关联能力：能从三角函数图像中提取关键信息（如最值点、零点、周期特征），建立图像与解析式、性质的关联，体现“数形结合”的考查要求。 考纲明确三角函数作为代数与几何的衔接模块，大题侧重考查“基础计算”与“性质应用”，难度以基础和中等题为主，是稳定得分的关键板块。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025年 解答题 T25 正弦函数解析式求解、最小值及对应x的取值集合 8分 1. 题型稳定：均为解答题，题号集中在25-26题，属于基础得分题； 2. 分值固定：均为8分，占比约6.7%，是必拿分板块； 3. 核心载体：以正弦函数（y=A sin(ωx+φ)）为主，偶涉及三角恒等变换（如2019年）； 4. 高频考点：解析式求解（参数A、ω、φ确定）、最小正周期、最值及对应自变量取值集合； 5. 命题特点：多结合图像考查，强调“数形结合”与“规范运算”。 2023年 解答题 T25 正弦函数最小正周期求解、特定点函数值计算 8分 2021年 解答题 T26 正弦型函数最小正周期、最大值及对应x的取值集合 8分 2019年 解答题 T26 正弦型函数化简、最小正周期、最大值及对应x的取值集合 8分 2016年 解答题 T26 正弦函数解析式求解、给定区间内的单调递减区间 8分 三、考点预测（2026年） 题型与题号：延续解答题形式，大概率位于25题位置，属于开篇基础大题，难度低于函数综合题，旨在稳定考生心态。 分值：保持8分不变，分2小问设计，梯度清晰（第一问基础计算，如求周期或解析式；第二问综合应用，如求最值或单调区间）。 核心考点：基础层：正弦函数y=A sin(ωx+φ)的解析式求解（结合图像确定A、ω、φ）、最小正周期计算（公式T=2π/ω）；进阶层：函数的最大值/最小值及对应自变量的取值集合、给定区间内的单调区间求解。 命题特点：仍会结合函数图像考查，可能加入简单的三角恒等变换（如二倍角公式）作为解析式化简步骤，弱化复杂计算，侧重思维逻辑与规范书写。 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） （一）核心概念：筑牢基础 正弦函数基本形式：y=A sin(ωx+φ)（A>0，ω>0），其中： A：振幅，决定函数的最值（最大值为A，最小值为-A），由图像中的最高点或最低点纵坐标确定； ω：角频率，决定函数的周期（T=2π/ω），由图像中相邻两个对称中心或相邻两条对称轴的距离确定； φ：初相，决定函数图像的左右平移，由图像中的特殊点（如零点、最值点）代入解析式求解。 定义域与值域：定义域为R，值域为[-A,A]，是求函数最值的核心依据。 （二）关键性质：解题核心工具 性质 具体内容（以y=A sin(ωx+φ)，A>0，ω>0为例） 应用方向 周期性 周期T=2π/ω，图像每隔T重复一次 求最小正周期、简化函数值计算 单调性 递增区间：-π/2 + 2kπ ≤ ωx+φ ≤ π/2 + 2kπ（k∈Z），解得x范围；递减区间：π/2 + 2kπ ≤ ωx+φ ≤ 3π/2 + 2kπ（k∈Z），解得x范围 求给定区间内的单调区间 最值性 当ωx+φ=π/2 + 2kπ（k∈Z）时，y最大值=A；当ωx+φ=-π/2 + 2kπ（k∈Z）时，y最小值=-A 求最值及对应自变量取值集合 （三）常用公式：得分必备工具 1. 周期公式：T=2π/ω（ω>0），核心用于由周期求ω或由ω求周期； 2. 三角恒等变换基础公式：sin2x=2 sinx cosx（二倍角公式），如2019年真题中6 sinx cosx=3 sin2x，是解析式化简的常用工具； 3. 特殊角三角函数值：sin0=0，sin(π/2)=1，sinπ=0，sin(3π/2)=-1，是代入特殊点求解φ的关键。 （四）必备方法：得分关键技巧 参数确定法：求y=A sin(ωx+φ)解析式的“三步法”： 第一步：由图像最高点纵坐标确定A（A=最大值）； 第二步：由图像周期特征确定ω（先求T，再用ω=2π/T计算）； 第三步：将图像中特殊点（如零点、最值点）代入解析式，结合φ的取值范围（通常|φ|<π/2）确定φ。 整体代换法：求函数性质时，令t=ωx+φ，将复杂正弦型函数转化为基本正弦函数y=A sint，结合基本正弦函数的性质求解，再回代求x的范围，如求单调区间、最值对应的x值。 图像分析法：从图像中提取关键信息（如相邻零点间距、最值点坐标），建立与参数的关联，是解决图像类三角函数题的核心方法。 五、10分钟小测验 1. 已知正弦型函数y=2 sin(ωx+φ)（ω>0）的最小正周期为π，求ω的值。 2. 已知函数y=A sin(ωx+π/3)（A>0，ω>0）的最大值为3，求A的值，并写出函数的最小值。 3. 已知函数f(x)=sin(2x+φ)（|φ|<π/2）的图像过点(π/6,1)，求φ的值。 4. 求函数f(x)=2 sin(2x-π/6)在x∈[0,π]上的最大值，并写出取得最大值时x的取值集合。 小测验答案： 1. 解：由周期公式T=2π/ω，已知T=π，则ω=2π/T=2π/π=2。 2. 解：因A>0，函数最大值为A=3，故最小值为-A=-3。 3. 解：将点(π/6,1)代入解析式得sin(2×π/6 + φ)=1，即sin(π/3 + φ)=1。则π/3 + φ=π/2 + 2kπ（k∈Z），解得φ=π/6 + 2kπ。又|φ|<π/2，故φ=π/6。 4. 解：令t=2x-π/6，当x∈[0,π]时，t∈[-π/6,11π/6]。当t=π/2时，sint=1，函数取得最大值2。此时2x-π/6=π/2，解得x=π/3。故最大值为2，取得最大值时x的取值集合为{x|x=π/3 + kπ,k∈Z}，结合x∈[0,π]，最终取值集合为{π/3}。 六、经典例题解析 题型一：正弦函数解析式求解（真题高频核心） 例题1（2025·江西·真题T25）已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示. （1）求此正弦函数的解析式； （2）求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【小问1详解】 由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 例题2：函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图像分析函数的最值，周期等求出的值代入解析式中即可. （2）求出函数在的最大值，最小值即可求出值域范围. 【详解】（1）由图像可知，函数的最大值为，所以， 由图像可知，，所以周期. 即，，则， 由图像过点，可知， 即 则，解得， 当时，. 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，， 当，则， 且时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 所以当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 所以， 则当时，求函数的值域为. 题型二：正弦函数周期与函数值计算（真题基础题型） 例题3（2023·江西·真题T25）已知函数（>0，）的部分图象如图所示. （1）求函数的最小正周期； （2）求的值. 【答案】（1）π；（2）. 【解析】（1）由图象知T=2×()=π； （2）∵T=π，∴ω===2，∴f(x)=sin(2x+φ)， 将(,0)代入，得sin(+φ)=0，∴+φ=2kπ（k∈Z），即φ=+2kπ（k∈Z）， 又∵|φ|<，∴φ=，∴f(x)=sin(2x)，∴f()=sin(2×-)=sin()=. 例题4：已知函数（，）的部分图象如图所示.    (1)求函数的最小正周期T； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图像，x从到即为函数的半个周期，从而求出函数的最小正周期. （2）由函数的最小正周期可求出，同时函数图像过点，代入函数表达式可求出φ，从而求出的值. 【详解】（1）观察图象知，函数最小正周期. （2）∵，∴，∴， 又因为函数图像过点，代入函数解析式得， ∴ ，即， 又∵，∴，即， 所以 . 题型三：正弦型函数最值与取值集合（真题核心题型） 例题5（2021·江西·真题T26）已知函数 （1）求的最小正周期T； （2）求的最大值以及取得最大值时x的值. 【答案】（1）；（2）f(x)的最大值为2，自变量x的取值集合为{x|x = + kπ，k∈Z}. 【解析】（1）由题可知，T===； （2）当sin(2x+)=1，即2x+ = + 2kπ（k∈Z），得x = + kπ（k∈Z）， 即f(x)的最大值为2时，自变量x的取值集合为{x|x = + kπ，k∈Z}. 例题6已知正弦型函数的图像上相邻的一个最高点与一个最低点的坐标分别为. (1)求函数的解析式； (2)当为何值时，有最大值，并求出它的最大值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合已知条件求出的值，进而得到函数的解析式. （2）根据正弦函数的性质求出的最大值及对应的的值. 【详解】（1）因为正弦型函数相邻的一个最高点与一个最低点的坐标分别为， 即，， 得到，所以， 所以 （2）由（1）知，， 当，即时， 有最大值，. 题型四：三角恒等变换与函数性质综合（真题提升题型） 例题7（2019·江西·真题T26）已知函数. （1）求的最小正周期T； （2）求的最大值，并求出自变量相应的取值集合. 【答案】（1）；（2）f(x)的最大值为3，自变量x相应的取值集合为{x|x= + kπ，k∈Z}. 【解析】（1）因为f(x)=6sinxcosx=3sin2x，所以T===； （2）f(x)的最大值为3， 当2x= + 2kπ（k∈Z），即x= + kπ（k∈Z）时，f(x)取得最大值， 所以自变量x相应的取值集合为{x|x= + kπ，k∈Z}. 七、专题归纳小结 结合三角函数大题考情及教学经验，从“解题流程”“易错点警示”“核心思维”三个维度进行归纳，助力考生实现“会做必对”的目标。 （一）三角函数大题通用解题流程（四步得分法） 第一步：定类型，明条件：明确题目考查的是正弦型函数y=A sin(ωx+φ)，圈出已知条件（图像信息、特殊点、周期、最值等），区分“已知解析式求性质”和“已知条件求解析式”两种题型，避免解题方向偏差。 第二步：抓核心，求解析式：若题目未给出解析式，优先求解析式，遵循“先求A，再求ω，最后求φ”的顺序，每一步都紧扣已知条件，如由最值求A，由周期求ω，由特殊点求φ，确保解析式精准。 第三步：用性质，解问题：结合题目问题，利用整体代换法求周期、单调区间、最值等，令t=ωx+φ，将问题转化为基本正弦函数y=A sint的性质问题，降低解题难度，再回代求x的范围或函数值。 第四步：验结果，规范写：检查计算过程（如ω的计算、不等式求解），验证结果是否符合条件（如|φ|<π/2、x的取值范围），规范书写结论（如取值集合需含k∈Z，区间表示正确），避免步骤分丢失。 （二）高频易错点警示（避坑指南） 参数求解“漏条件”：求φ时忽略题目隐含的|φ|<π/2条件，导致求出多个φ值未筛选，如由sinφ=1/2直接取φ=5π/6，不符合取值范围，造成解析式错误。 周期计算“张冠李戴”：混淆周期公式，如将y=A sin(ωx+φ)的周期记为T=π/ω，正确公式应为T=2π/ω，此类基础公式错误会导致后续计算全错。 整体代换“忘回代”：求x的范围时，仅求出t的范围就结束，未回代成x的范围，如求最值对应的x时，只算出t=π/2 + 2kπ，未解出x，导致问题未答全。 单调区间“忽略定义域”：求给定区间内的单调区间时，未结合x的范围筛选，直接写出所有k对应的区间，导致答案包含无效区间，如x∈[0,π]时，仍写出k=1对应的区间。 特殊角函数值“记混”：如将sin(π/6)记为√3/2，sin(π/3)记为1/2，基础运算错误是失分的重要原因，需牢记30°、60°、90°等特殊角的三角函数值。 （三）核心思维：从“基础”到“提升”的关键 数形结合思维：三角函数的核心是“图像与性质的关联”，无论是由图像求解析式，还是由解析式分析图像特征，都需建立“数”与“形”的联系，如看到“最大值”想到图像的最高点，看到“零点”想到图像与x轴的交点。 转化与化归思维：将复杂的正弦型函数转化为基本正弦函数，将未知参数的求解转化为已知条件的方程求解，将区间问题转化为不等式问题，通过“化繁为简”降低解题难度，这是解决三角函数综合题的核心思维。 规范思维：三角函数大题评分标准严格，步骤分占比高，需规范书写每一步，如求解析式时明确写出A、ω、φ的求解过程，求取值集合时注明k∈Z，避免“跳步”导致失分，做到“会做的题不丢分，基础题拿满分”。 总结：三角函数大题是江西省三校生对口升学考试的“基础得分板块”，核心考点集中在正弦型函数的解析式、周期、最值及单调区间。复习时需筑牢“参数确定、整体代换、图像分析”三大核心方法，避开常见易错点，规范书写步骤，即可在该板块实现稳定得分，为数学总成绩奠定坚实基础。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $