大题专项01 函数（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为函数。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 大项专题1 函数 一、课标解读 依据江西省三校生对口升学考试数学考纲，结合函数模块在大题中的考查特点，核心要求可归纳为以下四点，这也是二轮复习的重点方向： 1. 概念与表示：理解函数的本质定义，掌握解析式、图像两种核心表示方法，能根据大题情境求函数定义域、函数值，分段函数仅需了解基本概念（近年考查弱化）。 2. 性质与应用：掌握函数单调性、奇偶性的判定方法，能结合性质比较函数值大小、求参数范围，这是函数大题的高频结合点。 3. 初等函数聚焦：以一次函数、二次函数为核心考查载体，理解其图像特征与性质，熟练运用配方法解决二次函数最值问题，这是大题的基础模型。 4. 实际应用能力：能从利润计算、成本控制、产量规划等实际问题中抽象出函数关系式，结合不等式、方程知识解决综合问题，体现三校生“应用导向”的考查特点。 考纲明确函数作为代数模块核心（代数占比约50%），大题侧重考查“知识融合”与“应用能力”，难度以基础和中等题为主，是提分的关键板块。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025年 解答题 28题 指数型函数解析式、单调性与最值、结合不等式的实际应用 8分 1. 题型稳定：均为解答题，题号集中在26-28题，属于中档得分题； 2. 分值固定：均为8分，占比约6.7%，是基础得分点； 3. 核心载体：以指数型函数与对象型函数为主，一次函数多作为应用模型，分段函数偶有考查但近年有弱化趋势； 4. 考查趋势：从纯性质考查转向“性质+实际应用”融合，强调建模能力； 5. 常考方法：配方法、待定系数法是必备工具。 2024年 解答题 27题 对数函数与一次函数应用的综合应用 8分 2023年 解答题 26题 指数函数图像与性质、奇偶性判定、与方程根的结合问题 8分 2022年 解答题 28题 对数函数与一次函数应用的综合应用 8分 2021年 解答题 27题 指数函数图像与性质、奇偶性判定 8分 2020年 解答题 26题 二次函数解析式求解、配方法求最值、与不等式结合求参数范围 8分 三、考点预测（2026年） 结合近6年考情规律及三校生命题“稳中有变、聚焦应用”的特点，对2026年函数大题预测如下： 1. 题型与题号：延续解答题形式，大概率位于27题位置，属于承上启下的中档题，难度以基础和中等为主，不会大幅提升。 2. 分值：保持8分，与近6年分值一致，分2-3小问设计，梯度明显（第一问基础求解析式，第二问综合考性质，第三问应用求最值）。 3. 核心考点：基础层：二次函数解析式求解（待定系数法）、定义域与函数值计算；进阶层：指数函数与对数函数单调性判定、配方法求最值，可能结合奇偶性简单应用； 4. 命题特点：强调“情境描述”，需从文字中提取关键信息建立函数关系，弱化复杂计算，侧重思维逻辑与规范书写。 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） 聚焦函数大题考查内容，摒弃非考点知识，构建“核心概念-关键性质-常用模型-必备方法”的复习框架： （一）核心概念：筑牢基础 1. 函数三要素：定义域（分式分母不为0、偶次根式被开方数非负）、对应法则（解析式、分段对应）、值域（重点关注二次函数值域）。 2. 分段函数：近年考频低，仅需了解“一个函数、分段对应”的本质，无需深入钻研复杂应用。 （二）关键性质：解题核心工具 性质 判定方法 应用方向 单调性 1. 定义法：取值→作差→变形→判断符号；2. 图像法：上升为增，下降为减；3. 结论法：一次函数看k值，二次函数看对称轴与开口方向 比较函数值大小、求最值、解不等式 奇偶性 1. 前提：定义域关于原点对称；2. 定义法：f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数；3. 图像法：关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数 简化计算（求f(-a)）、补全函数图像 （三）必备方法：得分关键技巧 待定系数法：求函数解析式的核心方法，根据函数类型设出解析式，代入已知条件列方程求解参数。 配方法：二次函数最值求解的核心工具，步骤：提系数→配常数→化顶点式。 分类讨论法：主要用于含参数问题，分段函数相关应用可适当弱化，需明确分类标准（如参数符号）。 建模法：实际问题转化为数学问题的关键，步骤：审题→提取变量→建立函数关系→求解→检验。 五、10分钟小测验 测验说明：聚焦大题基础考点，4道题覆盖核心知识，限时10分钟完成，答案附后。 1.求函数f(x)=√(x-2) + 1/(x-5)的定义域（用区间表示）。 2.已知二次函数f(x)的顶点为(2,3)，且过点(1,1)，求其解析式。 3.判断函数f(x)=x³ - 2x的奇偶性，并说明理由。 4.某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件x元（x≥20），每月销售量为(100 - x)件，求每月利润y（元）与售价x（元）的函数关系式，并求售价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 小测验答案： 1.解：要使函数有意义，需满足x-2≥0且x-5≠0，即x≥2且x≠5，定义域为[2,5)∪(5,+∞)。 2.解：设二次函数顶点式为f(x)=a(x-2)²+3，代入(1,1)得a(1-2)²+3=1→a+3=1→a=-2，故解析式为f(x)=-2(x-2)²+3，展开为f(x)=-2x²+8x-5。 3.解：函数定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³ - 2(-x)=-x³ + 2x=-(x³ - 2x)=-f(x)，故f(x)为奇函数。 4.解：利润=（售价-进价）×销售量，故y=(x-20)(100 - x)=-x²+120x-2000。配方得y=-(x-60)²+1600，因a=-1<0，开口向下，当x=60时，y最大=1600。即售价为60元时，最大利润1600元。 六、经典例题解析 题型一：二次函数解析式与性质综合 例题1（2020年江西省三校生真题改编）：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图像过点A(0,3)，B(1,0)，C(-3,0)， 求：（1）函数f(x)的解析式； （2） 函数f(x)的对称轴及单调区间； （3） （3）函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值。 审题关键：已知三点坐标（含两个零点），优先用交点式求解析式；单调区间需结合对称轴与开口方向判断；区间最值需关注对称轴是否在区间内。 解题步骤： 1. （1）求解析式：因B(1,0)、C(-3,0)是函数零点，设交点式f(x)=a(x-1)(x+3)。代入A(0,3)得a(0-1)(0+3)=3→-3a=3→a=-1。故f(x)=-(x-1)(x+3)=-x²-2x+3。 2. （2）求对称轴与单调区间：将解析式化为顶点式f(x)=-(x²+2x)+3=-(x+1)²+4，对称轴为x=-1。因a=-1<0，开口向下，故单调递增区间为(-∞,-1]，单调递减区间为[-1,+∞)。 3. （3）求区间[-2,2]上的最值：对称轴x=-1∈[-2,2]，故最大值为顶点纵坐标4（当x=-1时）。计算区间端点值：f(-2)=-(-2)²-2×(-2)+3=3；f(2)=-(2)²-2×2+3=-5。故最小值为-5（当x=2时）。 规律总结：已知零点优先用交点式，简化计算；区间最值“两看”：一看对称轴是否在区间内，二看区间端点函数值。 题型二：函数奇偶性与单调性综合 例题2（2021年江西省三校生真题改编）：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x² - 4x + 3。 求：（1）f(0)的值； （2） 当x<0时，f(x)的解析式； （3） （3）求f(x)在区间[-2,-1]上的最大值。 审题关键：奇函数性质“f(0)=0（定义域含0时）”“f(-x)=-f(x)”，利用对称性求x<0时的解析式；区间最值需结合单调性。 解题步骤： 1. （1）求f(0)：因f(x)是R上的奇函数，且在x=0处有定义，故f(0)=0。 2. （2）求x<0时的解析式：设x<0，则-x>0，代入x>0时的解析式得f(-x)=(-x)² - 4(-x) + 3=x² + 4x + 3。因f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x² - 4x - 3（x<0）。 3. （3）求[-2,-1]上的最大值：x<0时，f(x)=-x² - 4x - 3，配方得f(x)=-(x+2)² + 1，对称轴为x=-2，开口向下。故函数在[-2,+∞)上单调递减，因此在[-2,-1]上单调递减，最大值为f(-2)=1。 规律总结：奇函数“知正求负”或“知负求正”的核心是利用f(-x)=-f(x)，先求对称区间的f(-x)，再转化为f(x)。 题型三：含参数函数综合（重点考核） 例题3（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. （1）求的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【小问1详解】 因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. 【小问2详解】 令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 例题4（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）a=2；（2）(-2,1). 【解析】（1）由f(2)=8，得a2+2a=8，解得a=2或a=-4（舍去），∴a=2； （2）由（1）知f(x)=2x+2x，易知f(x)为定义在R上的增函数，所以当f(x2)<f(2-x)时， x2<2-x，解得-2<x<1，所以f(x2)<f(2-x)的解集为(-2,1). 例题5（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)=log2x+1；（2）(1,3). 【解析】（1）依题意有，解得，所以f(x)=log2x+1； （2）由f(m-1)<f(2)，得log2(m-1)+1<log22+1，即log2(m-1)<log22，所以0<m-1<2，得1<m<3， 所以m的取值范围是(1,3). 题型四：指数型函数与对数型函数综合（重点考核） 例题6（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 【答案】(1)19；(2)(log32，+∞). 【解析】(1)f(8)=2×8+log28=16+3=19； (2)因为f(x)=2x+log2x为(0，+∞)上的增函数，由f(3x+2)<f(9x)得3x+2<9x，令3x=t(t>0)， 有t+2<t2，解得t>2或<-1(舍去)，即3x>2，x>log32，故不等式f(3x+2)<f(9x)的解集为(log32，+∞). 例题7（2021·江西·真题T27）已知函数. （Ⅰ）判断的奇偶性，并证明. （Ⅱ）解不等式. 【答案】（1）见解析；（2）(log3,log32). 【解析】（1）函数f(x)=3x+3-x是偶函数. 证明：因为函数f(x)=3x+3-x定义域为R，定义域关于原点对称， 且f(-x)=3-x+3x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数； （2）设3x=t，则3-x=，由f(x)<，得t+<，整理得2t2-5t+2<0，(2t-1)(t-2)<0，解得<t<2， 即<3x<2，所以log3<x<log32，故不等式的解集为(log3,log32). 七、专题归纳小结 结合函数大题考情与教学经验，从“解题策略”“易错点警示”“核心思维”三个维度进行归纳，助力高效解题。 指数/对数函数大题通用解题策略 1. 审题“三定”：定函数类型（指数型：y=aˣ+b、y=kaˣ⁺ᵇ；对数型：y=logₐx+b、y=klogₐ(x+b)）、定限制条件（指数函数a>0且a≠1，对数函数定义域x>0及a>0且a≠1）、定问题核心（求解析式/参数范围/最值/不等式证明），避免因忽略函数定义导致解题偏差。 2. 建模“三抓”：抓指数/对数函数的核心性质（指数函数单调性由a决定，对数函数单调性与a同增同减）、抓已知条件特征（含定点坐标优先用待定系数法，含单调性描述优先关联底数a的范围）、抓等量关系（如“f(1)=2”“f(x)在[1,2]上单调递增”等转化为方程或不等式）。 3. 求解“三验”：验底数取值（确保指数/对数函数底数符合“a>0且a≠1”的定义）、验定义域（对数函数必须先保证真数大于0，尤其含复合结构如logₐ(f(x))时，需f(x)>0）、验结果合理性（结合单调性或实际情境，如应用题中函数值为正）。 4. 书写“三规范”：规范写函数定义域（对数函数必写定义域，指数函数若含实际意义也需标注）、规范写底数限制条件（求解参数a时，明确写出“a>0且a≠1”的前提）、规范写转化过程（如将指数不等式aˣ₁>aˣ₂转化为“当a>1时x₁>x₂；当0<a<1时x₁<x₂”的完整步骤），避免步骤分丢失。 （二）高频易错点警示（避坑指南） 1. 底数范围“忘限定”：求解含参数a的指数/对数函数问题时，遗漏“a>0且a≠1”的核心条件，如由“logₐ2=1”直接得a=2，虽结果正确，但未标注“a>0且a≠1”的前提会丢失步骤分；更易在含参数不等式中出错，如解aˣ>1时，未分a>1和0<a<1讨论。 2. 对数定义域“被忽略”：处理对数函数综合题时，先求定义域是第一准则，如求解log₂(x²-1)>1时，未先满足x²-1>0，直接解x²-1>2，导致解集扩大；尤其复合对数函数如logₐ(logᵦx)，需同时满足logᵦx>0和x>0，双层定义域易遗漏。 3. 单调性“搞反”：混淆指数与对数函数的单调性规律，如认为“a>1时，logₐx单调递减”“0<a<1时，aˣ单调递增”，此类错误会直接导致参数范围求解完全反向，需牢记“指数、对数函数单调性均与底数a一致：a>1单调增，0<a<1单调减”。 4. 指数与对数运算“公式错用”：混淆核心运算公式，如将aˣ⁺ʸ误写为aˣ+aʸ、logₐ(x+y)误写为logₐx+logₐy，或忽略换底公式的正确形式，如logₐb=ln b/ln a（a>0,a≠1,b>0），运算错误是基础失分重灾区。 5. 实际应用“建模偏差”：指数函数常应用于“增长率/衰减率”问题（如人口增长、折旧），模型应为y=N(1+p)ˣ（p为增长率）；对数函数常应用于“测量强度”问题（如pH值、分贝），建模时易混淆自变量与函数值的对应关系，需结合题意明确“谁随谁变化”。 （三）核心思维：破解综合题的关键 1. 分类讨论思维：核心应用于“含参数底数a”的问题，需以“a=1”为分界，分a>1和0<a<1两类讨论单调性、解不等式或求最值，如“已知f(x)=aˣ在[0,1]上的最大值为2，求a”，需分a>1时最大值为a¹=2，0<a<1时最大值为a⁰=1（不合题意），最终得a=2，做到“不重不漏”。 2. 转化与化归思维：将复杂问题转化为基础问题，如将指数不等式转化为整式不等式（利用单调性去掉指数符号）、将对数方程转化为指数形式（logₐx=b⇨x=aᵇ）、将复合函数（如y=log₂(x²-2x)）转化为“外层对数函数+内层二次函数”的分层问题，先求内层函数值域，再求外层函数值域。 3. 图像辅助思维：指数函数图像过定点(0,1)，对数函数图像过定点(1,0)，利用定点和单调性可快速绘制草图，直观分析函数值大小、交点个数等问题，如“判断方程2ˣ=log₂x是否有解”，通过绘制y=2ˣ（过(0,1)单调增）和y=log₂x（过(1,0)单调增）的图像，发现无交点，快速得出“无解”结论。 4. 运算优先思维：指数与对数运算先化简再求解，如计算log₃9+2ˡᵒᵍ₂³，先化简log₃3²=2，2ˡᵒᵍ₂³=3，再求和得5；解指数方程4ˣ-2ˣ⁺¹-3=0时，令t=2ˣ（t>0），转化为t²-2t-3=0，降低方程复杂度，这是简化计算的核心技巧。 总结：指数型、对数型函数大题是当前考试的核心难点与得分重点，突破关键在于“筑牢定义基础（底数、定义域）、熟用性质与公式、强化分类讨论与转化思维”，避开上述易错点，规范书写每一步骤，即可在这类综合题中实现从“失分”到“稳得分”的转变。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $