第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的基本性质、直线间的位置关系、直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系等。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题为真命题的是（   ） A．任意两条直线可以确定唯一一个平面 B．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直 D．直线和一个点可以确定唯一的一个平面 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质逐项分析即可. 【详解】当两条直线重合时，不能确定唯一一个平面，故A错误， 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，故B错误， 过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直，故C正确， 当直线和直线外一个点可以确定唯一的一个平面， 如果此点在直线上，则不能确定唯一的平面，故D错误. 故选：C. 2．如图，下列点、线、面关系表示正确的是（　　）    A．平面 B． C．平面平面 D． 【答案】D 【分析】根据线，面，点的符号表示逐个分析即可. 【详解】直线和平面关系用，故A错误， 点和直线关系用，故B错误， 两平面相交于一条直线，故C错误， 两条直线相交于一点，故D正确. 故选；D. 3．已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对每一个答案进行逐一判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．即可得到答案． 【分析】对于，，，，与可以平行，相交，故不正确． 对于，，，，与相交但不一定垂直，故不正确． 对于，，，则，又，所以，故不正确． 对于，，，则，又，所以，故正确， 故选：． 4．如图，是正方体，在四面体的四个面中，直角三角形的个数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何特征，以及线面垂直证明线线垂直，即可解答. 【详解】由正方体的几何特征可得，平面， 平面，所以，， 同理平面，平面， 所以，， 所以直角三角形的有，，有4个. 故选：D. 5．已知直线，平面，则以下三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则. 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线与平面之间的位置关系求解即可. 【详解】对于命题①，若，则或，所以①不正确； 对于命题②，若，则或，因此②也不正确； 对于命题③，若，则或与相交或与异面，因此③也不正确． 故选：A. 6．如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（ ） A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 【答案】B 【分析】由线面平行的性质判断，再由梯形的中位线求出的值即可. 【详解】因为，平面，平面， 平面平面， 所以. 又M是的中点，所以是梯形的中位线， 故. 故选：B. 7．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线与所成的角与直线与所成的角相等，进而求得所成角的余弦值. 【详解】在长方体中，，， 并且， 所以直线与所成的角与直线与所成的角相等， 在中，直线与所成的角为， ， 故选：D.    8．如图，三棱锥中，平面，，，，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，，从而平面，所以，．又，所以，即可判断A，C；利用棱锥的面积公式求可判断D；题中条件无法判断是否成立，可判断B. 【详解】因为，，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以，． 又，所以（线段垂直平分线的性质）． 因为平面，所以． 因为平面， 所以 ， 所以，即． 题中条件无法判断是否成立，综上知，A、C、D正确． 故选：B． 9．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由证得平面，依题意知平面，所以即为到底面的距离．在中求出，由求得结果. 【详解】连接，如图， ∵，∴为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面， 依题意知平面，所以即为到底面的距离． 依题意知平面，平面，∴． 在中，，，∴， ∴． 故选：D． 10．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为点到平面的距离. 【详解】∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为5． 故选：A． 11．在二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面的距离是10，则它到棱的距离是（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解. 【详解】如下图所示： 二面角为，点，点在平面内的射影点为， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，则， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，故. 因此，这个点到二面角的棱的距离为. 故选:A. 12．已知互相垂直的平面，，交于直线，若直线，满足，，则以下结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中线、面间的位置关系求解. 【详解】由题可知，，，. 又，，则或与异面，A项不一定成立； 或与相交或与异面，B，D不一定成立； 由直线与平面垂直的定义可知，，，则，C项一定成立. 故选：C. 13．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出与平面所成的角即可得解. 【详解】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 14．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　 A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【分析】利用长方体模型，结合直线与直线的位置关系判断. 【详解】在长方体中，    ①若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线， 则满足和是异面直线，和是异面直线，此时和相交； ②若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和平行； ③若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和异面； 综上，和的位置关系是相交、平行或异面. 故选：D. 15．如图，已知等边三角形的边长为，是边上的高，将三角形沿折起，使之与三角形所在平面成的二面角，这时点到的距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】结合余弦定理和勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，在折叠后的图形中，取的中点，连接， 由题意得，因为是边上的高， 所以所以， 由余弦定理得， 得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则 .    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 17．二面角的平面角：若有① ；② ， ；③ ， ，则二面角的平面角是 . 【答案】 【分析】根据二面角的定义求解. 【详解】①二面角的平面角的定义：点在棱上，故填； ②根据线与面的关系，，，故填，； ③根据二面角的定义，，，则二面角的平面角是，故填，，. 故答案为：，，，，，. 18．如图，长方体中，，，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，找出二面角的平面角，由其正切值即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，． 由，得，且． 又，所以，则是二面角的平面角． 在中，，，则，所以． 故答案为：. 19．已知等腰的腰长为2，现将沿底边上的中线折成一个直二面角，则此时的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意作出图像，结合直二面角的定义求出，判断出为等边三角形即可得解. 【详解】 如图所示，将沿底边上的中线折成一个直二面角， 腰长为2，所以， 因为为等腰底边上的中线，所以，， 因为平面，平面，平面平面，，， 所以为二面角的平面角， 所以，所以， 则，所以为等边三角形， 即， 故答案为：. 20．二面角的度数是，平面内一点到的距离为，则点到平面的距离是 . 【答案】3 【分析】作交于点，作交于点，连接，找到二面角的平面角，即可求解. 【详解】 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，即， 则是二面角的平面角，， 在中，， 又，即， 所以点到平面的距离是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，三棱锥中，，，O为AC中点，求：    (1)证明平面； (2)二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明，，再利用直线与平面垂直的判定定理即可得证； （2）先证明，确定为二面角的平面角，进而求得其正切值. 【详解】（1）连接.    因为O为AC中点，，可得, 在中，， 由勾股定理得， 在中，，， 满足， 所以是等腰直角三角形， 所以，且. 因为，而， 所以，故. 因为平面， 所以平面. （2）过O作于D，连接.    因为平面，平面， 所以. 又平面， 所以平面， 又，所以， 故为二面角的平面角. 在等腰直角三角形中，， 由等面积法，， 即，解得， 所以， 故二面角的平面角的正切值为. 22．如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，M，N分别为棱，的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理即可得解； （2）先确定二面角的平面角为，再利用余弦定理求出其角的余弦值即可； （3）先利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，再求出直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示，    ∵M，分别是，的中点， ∴且， ∵在正方形中，，N为BC中点， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵面，面， ∴平面. （2）取，的中点，，连接，，，如图所示，    ∵，，E，F分别为，的中点， ∴，， ∵在正方形中，E，F分别为，的中点， ∴， ∴为二面角的平面角， ∵，，正方形的边长为4， 在中，， ，， ∴， ∴二面角的平面角余弦值为. （3）连接，如图所示，    在中，，， ， ∵，∴， 又∵，，平面， ∴平面， ∴是在平面上的射影， ∴是与平面所成的角， 在中，，， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 23．如图所示，在三棱锥中，平面的中点为，的中点为的中点为. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据线面平行的定义即可得解. （）根据题意找出二面角的平面角，设，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）如图所示，连接， 因为在中，为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，平面， 所以，， 取的中点，因为，所以， 而，所以， 又因为为的中点，所以， 而平面，平面，平面平面， 因此，为二面角的平面角， 设，则在中，， 因此，为所求二面角的正切值， 24．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，，，，，，E为PB的中点. 求证： (1)平面EAC； (2)二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由直线与平面垂直的性质定理、勾股定理和直线与平面的判定定理即可得证. （2）先确定二面角的平面角，再根据等腰直角三角形求解即可. 【详解】（1）∵底面ABCD，底面ABCD， ∴, 在中，， 可得， 设中点为,连接, 则四边形为边长为1的正方形， ∴，且. ∵，∴. ∵，平面， ∴平面，又平面， ∴. ∵，E为PB的中点， ∴. ∵,平面EAC， ∴平面EAC. （2）由（1）知平面， ∴是二面角的平面角. ∵是等腰直角三角形，且E为PB的中点， ∴， ∴二面角的大小是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的基本性质、直线间的位置关系、直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系等。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题为真命题的是（   ） A．任意两条直线可以确定唯一一个平面 B．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直 D．直线和一个点可以确定唯一的一个平面 2．如图，下列点、线、面关系表示正确的是（　　）    A．平面 B． C．平面平面 D． 3．已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，是正方体，在四面体的四个面中，直角三角形的个数是（    ）    A． B． C． D． 5．已知直线，平面，则以下三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则. 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（ ） A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 7．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三棱锥中，平面，，，，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 11．在二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面的距离是10，则它到棱的距离是（   ） A． B． C． D．20 12．已知互相垂直的平面，，交于直线，若直线，满足，，则以下结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 14．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　 A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 15．如图，已知等边三角形的边长为，是边上的高，将三角形沿折起，使之与三角形所在平面成的二面角，这时点到的距离是（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则 .    17．二面角的平面角：若有① ；② ， ；③ ， ，则二面角的平面角是 . 18．如图，长方体中，，，则二面角的大小为 ． 19．已知等腰的腰长为2，现将沿底边上的中线折成一个直二面角，则此时的大小为 . 20．二面角的度数是，平面内一点到的距离为，则点到平面的距离是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，三棱锥中，，，O为AC中点，求：    (1)证明平面； (2)二面角的平面角的正切值． 22．如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，M，N分别为棱，的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 23．如图所示，在三棱锥中，平面的中点为，的中点为的中点为. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 24．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，，，，，，E为PB的中点. 求证： (1)平面EAC； (2)二面角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $