第四章 立体几何（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的基本性质、直线间的位置关系、直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的表示与基本性质 1 考点二 空间直线的位置关系判定 2 考点三 异面直线所成角的计算 2 考点四 直线与平面的位置关系识别 2 考点五 直线与平面平行的判定与性质 3 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 3 考点七 直线与平面所成角的计算 3 考点八 平面与平面平行的判定与性质 4 考点九 二面角的求解 4 考点十 平面与平面垂直的判定与性质 4 考点一 平面的表示与基本性质 1．“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间内点、线、面之间的关系和表示，即可求解. 【详解】“点在直线上，在平面内”可表示为. 故选：B. 2．下面能确定一个平面的是（   ） A．一条直线和一个点 B．三条两两相交的直线 C．两条相交直线 D．四条长度相等且首尾相连的线段 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质及推论，即可判断求解. 【详解】一条直线和直线外一点能确定一个平面，故选项A不符合题意； 空间内的三条两两相交的直线不能确定一个平面，如正方体中共顶点的三条棱所在直线，故选项B不符合题意； 两条相交直线可确定一平面，故选项C符合题意； 四条长度相等且首尾相连的线段也不能确定一平面，如空间四边形的四条边，故选项D不符合题意； 故选：C. 考点二 空间直线的位置关系判定 3．四棱锥如图所示，则直线(      )    A．与直线平行 B．与直线相交 C．与直线平行 D．与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据直线与直线的位置关系进行分析即可. 【详解】如图所示，直线与，都是异面直线. 故选：D. 4．在空间中，给出下列命题，其中真命题是（　　） A．分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线 B．同时与两条异面直线垂直的两直线一定平行 C．四边相等的四边形是菱形 D．有三个角为直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据异面直线、空间四边形性质，应用直观想象及平面的基本性质判断各项的真假. 【详解】分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线，故正确； 同时与两条异面直线垂直的两直线平行或异面，故错误； 四边相等的平行四边形是菱形，故错误； 空间四边形中有三个角为直角，但四条边不共面，不是矩形，故错误. 故选：. 考点三 异面直线所成角的计算 5．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成的角的定义进行分析求解. 【详解】如图，连接， 在长方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以是异面直线与所成角（或其补角）， 在直角三角形、直角三角形和直角三角形中，，， 所以，. 在中，， 由余弦定理得. 故选：C. 6．在正方体中，异面直线和所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图像，找出异面直线所成角即可得解. 【详解】    如图所示，根据题意作出图像，连接， 因为在正方体中，， 所以异面直线和所成角即为和所成角， 因为，所以为等边三角形， 则， 故选：. 考点四 直线与平面的位置关系识别 7．已知直线，平面，若满足，则与的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．相交 【答案】C 【分析】根据题意作出图形即可得解. 【详解】根据题意作出图形，    如图1、图2所示，易得或， 故选：C. 8．若一直线上有相异三个点到平面的距离相等，那么直线与平面的位置关系是（　　） A． B． C．与相交且不垂直 D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用直线与平面的位置关系即可求解. 【详解】当时，直线上任意点到的距离都相等； 当时，直线上任意点到的距离都为0； 当与相交时，直线上只有一点到的距离为0； 距离不为0时，也只能有两点到的距离相等； 所以，若一直线上有相异三个点到平面的距离相等， 那么直线与平面的位置关系或. 故选：D. 考点五 直线与平面平行的判定与性质 9．在正方体中，下列四条直线中与平面平行的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的定义及判定定理求解即可. 【详解】由为正方体，所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面平面，所以平面.    故选：D. 10．如图，四棱锥中，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB.    【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可； 【详解】取的中点，连接，．    因为是的中点，所以，， 由得， 又，所以且， 则四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，故平面． 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 11．如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，.证明平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】∵为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵ ，平面， ∴平面. 12．如图所示，在三棱锥中，平面，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面得，又，由线面垂直的判断定理可得结论； （2）利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 因为， 所以， 所以. 考点七 直线与平面所成角的计算 13．如图所示，在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是 .    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找出与上底面所成角即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为平面，所以与上底面所成角为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故答案为：. 14．在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质、线面角的定义及直角三角形中三角函数的应用，分析求解即可. 【详解】    设正四棱锥的底面边长为，顶点为，底面为正方形， 取为顶点在底面上的投影，即为的中心， 因为侧棱与底边的边长相等， 所以，且平面， 如图所示即为棱与底面所成的角， 因为为正方形对角线，所以，， 又因为平面，平面， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：B. 考点八 平面与平面平行的判定与性质 15．如图，已知平面平面，点P为，外一点，直线，分别与，相交于A，B和C，D，则与的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理判断. 【详解】由题意知：在同一平面内，且面面，面面， 又∵平面平面，∴. 故选：A. 16．如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 【分析】根据题意结合面面平行的判定定理即可得解. 【详解】证明：因为是的中点，是的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面． 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，所以平面平面． 考点九 二面角的求解 17．已知锐角二面角，其中内一点A到平面的距离为1，到的距离为2，则二面角的平面角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到二面角的平面角，再根据边的关系求解角度即可. 【详解】过点A作，过点A作，连接，如图，    ∵，且， ∴， ∵， ∴是二面角的平面角， 题意可得，，， 又∵，且， ∴， 在中，， 因为二面角为锐角， ∴， ∴二面角的平面角为. 故选：A. 18．如图所示，已知正四棱柱的底面边长为4，高为，且点分别是校的中点．求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二面角的定义可得为二面角的平面角，在中利用正切函数的定义即可求出二面角的值. （2）根据题意可知为三棱锥的高，底面为，利用棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，连接交于点，连接，， 因为点分别是的中点，所以 ， 在正方形中，， 则，即 ， 因为在正四棱柱中，平面， 平面，则， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 因为， 在等腰直角中 ， 所以，在中，， 所以， 又，所以， 所以二面角的大小为．    （2）在三棱锥中，平面， 所以为三棱锥的高，底面为， 又， 则， 所以． 考点十 平面与平面垂直的判定与性质 19．在四棱锥中，锐角三角形所在平面垂直于平面，，．求证：平面 平面．    【答案】证明见解析. 【分析】根据面面垂直的性质得出平面，结合线面垂直的判断定理及性质，利用面面垂直的判定定理即可得解. 【详解】    证明：作交于点， 因为平面平面，而平面平面， 所以，平面，平面 所以，，又，，平面， 所以，平面，平面， 则平面平面. 20．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．    (1)求证：平面平面； (2)当，时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（）由平面ABCD得，由底面ABCD为菱形得，由直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面. （）由，结合棱锥体积公式求解即可． 【详解】（1）平面，， 底面为菱形，， 又，平面， 平面， 而平面，平面平面. （2），，底面ABCD为菱形， ，，又平面， ． 三棱锥的体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的基本性质、直线间的位置关系、直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的表示与基本性质 1 考点二 空间直线的位置关系判定 2 考点三 异面直线所成角的计算 2 考点四 直线与平面的位置关系识别 2 考点五 直线与平面平行的判定与性质 3 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 3 考点七 直线与平面所成角的计算 3 考点八 平面与平面平行的判定与性质 4 考点九 二面角的求解 4 考点十 平面与平面垂直的判定与性质 4 考点一 平面的表示与基本性质 1．“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A． B． C． D． 2．下面能确定一个平面的是（   ） A．一条直线和一个点 B．三条两两相交的直线 C．两条相交直线 D．四条长度相等且首尾相连的线段 考点二 空间直线的位置关系判定 3．四棱锥如图所示，则直线(      )    A．与直线平行 B．与直线相交 C．与直线平行 D．与直线是异面直线 4．在空间中，给出下列命题，其中真命题是（　　） A．分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线 B．同时与两条异面直线垂直的两直线一定平行 C．四边相等的四边形是菱形 D．有三个角为直角的四边形是矩形 考点三 异面直线所成角的计算 5．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，异面直线和所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 考点四 直线与平面的位置关系识别 7．已知直线，平面，若满足，则与的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．相交 8．若一直线上有相异三个点到平面的距离相等，那么直线与平面的位置关系是（　　） A． B． C．与相交且不垂直 D．或 考点五 直线与平面平行的判定与性质 9．在正方体中，下列四条直线中与平面平行的是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，四棱锥中，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB.    考点六 直线与平面垂直的判定与性质 11．如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，.证明平面； 12．如图所示，在三棱锥中，平面，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 考点七 直线与平面所成角的计算 13．如图所示，在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是 .    14．在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 考点八 平面与平面平行的判定与性质 15．如图，已知平面平面，点P为，外一点，直线，分别与，相交于A，B和C，D，则与的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 16．如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面． 考点九 二面角的求解 17．已知锐角二面角，其中内一点A到平面的距离为1，到的距离为2，则二面角的平面角大小为（   ） A． B． C． D． 18．如图所示，已知正四棱柱的底面边长为4，高为，且点分别是校的中点．求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 考点十 平面与平面垂直的判定与性质 19．在四棱锥中，锐角三角形所在平面垂直于平面，，．求证：平面 平面．    20．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．    (1)求证：平面平面； (2)当，时，求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $