第八单元 垂直与平行线（期末知识清单）数学苏教版四年级上册

该小学数学第八单元“垂直与平行线”期末复习知识清单，系统梳理了直线、射线、角的认识与度量，角的分类与画角，垂直与平行的特征及作图等核心内容，通过考点分级梳理与题型分类训练，搭建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 清单以“考点+题型”双线结构呈现知识体系，如角的度量明确“三个重合一个注意”操作要领，线与角的数图形题渗透规律总结，培养学生的几何直观与空间观念。特别设计“操作口诀”和“规律表格”，如n点最多画直线数的推导，助力学生用数学眼光观察图形关系，教师可据此精准定位重难点，提升复习针对性与效率。

第八单元 垂直与平行线 期末复习知识清单 一： 考点一：认识直线、射线与角 1、认识射线和直线及两点间的距离。 射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 2、认识角。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。 考点二：角的度量 1、认识量角器。 （1）三角尺上的角有大有小，用大小不同的角量指定的角，不可能得到一致的结果。 （2）为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。 （3）量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。 2、用量角器量角。 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。 考点三：角的分类和画角 1、角的分类。 2、几种角的大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角。 直角、平角与周角的关系：1个周角=2个平角=4个直角。 3、画角。 用量角器画指定度数的角，要注意做到“两重合”：量角器的中心与顶点重合；0°刻度线与所 画的一条边重合。还要看准度数，所画的边对应的0°刻度线在内圈，看的就是内圈刻度，所画的边对应的0°刻度线在外圈，看的就是外圈刻度。 考点四：认识垂直与平行 1、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 2、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 3、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 4、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 5、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 题型1：线的认识及数图形 【例1】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 【答案】15 【分析】直线没有端点无限长，经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点，第一个点可以和另外五个点画5条直线，第二个点可以和除去第一个点的另外四个点画4条直线，第三个点可以和除去前面两个点的另外三个点画3条直线，第四个点可以和除去前面三个点的另外两个点画2条直线，第五个点可以和第六个点画1条直线，则一共可以画（5＋4＋3＋2＋1）条直线。 【解答】5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画15条直线。 【练1】（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 【答案】10；10 【分析】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出规律：平面内任意三个点都不在同一直线上的几个点，从一个点出发都可以与其他（总点数－1）个点画出一条直线，共可以画出总点数×（总点数－1）条直线，但每条线会被重复计算一次，所以一共可以画出总点数×（总点数－1）÷2条直线；即经过5个点中的每两个点最多可以画5×（5－1）÷2＝10（条）直线；10×9÷2＝45（条），因为每个点和另外9个点各连一条线，但每条线会被重复计算一次，所以除以2，因此最多能画出45条直线的是10个点；据此解答即可。 【解答】2个点可以画直线：1条 3个点可以画直线：3×（3－1）÷2＝3×2÷2＝6÷2＝3（条） 4个点可以画直线：4×（4－1）÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（条） 5个点可以画直线：5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（条） 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（条） 即10个点可以画45条直线。 如图： 点/个 2 3 4 5 … 10 直线/条 1 3 6 10 … 45 题型2：角的认识及数图形 【例2】（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加（ ）个角。 【答案】3 【分析】 根据题意，图中原有3个角，以点A为端点再画一条射线，图中就会有6个角，增加了3个角；例如：，左图中射线AC与原来的三条射线分别形成∠1、∠2、∠3，这3个角为新增的角。据此解答即可。 【解答】根据分析可知， 或 以点A为端点再画一条射线，共6个角，如图上图所示，图中会增加3个角。 【练2】（21-22四年级上·江苏盐城·期末）仔细观察，找出规律，完成表格。 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 （ ） （ ） …… 按照这样的画法，6条射线可以形成（ ）个角。 【答案】3 6 15 【分析】观察图形可知，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以2条射线组成1个角；3条射线就可以组成2＋1＝3（个）角；4条射线可以组成3＋2＋1＝6（个）角；依此可得6条射线组成角的个数是5＋4＋3＋2＋1＝15（个）角。 【解答】 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 （   3   ） （   6   ） …… 按照这样的画法，6条射线可以形成：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）角。 【点评】考查了数角的认识和计数，要有总结规律的能力和应用的能力。 题型3：角的度量 【例3】（24-25四年级上·江苏连云港·期末）小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是（ ）°。 【答案】110 【分析】通过观察，量角器上外圈刻度和内圈刻度的和是180°，所以，用180°减70°，则得到正确的度数。据此解答。 【解答】180°－70°＝110° 所以，正确的度数应该是110°。 【练3】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是（ ）°。 【答案】60 【分析】用量角器量角，如果两条边都没有和“0”刻度对准，那么先读出两条边所对的刻度，要么同时读外圈刻度，要么同时读内圈刻度，然后两刻度相减即可。 【解答】150°－90°＝60° 芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是60°。 题型4：角度的计算 【例4】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）2时整，时针与分针的夹角是（ ）度。从4：10到4：25，分钟旋转了（ ）度。 【答案】60 90 【分析】根据钟表的的知识，钟面一周为360度，共分12大格，每格为360÷12＝30度。2时整，时针对着2，分针对着12，时针与分针的夹角是2大格，30×2＝60（度）；从4：10到4：25，分针从2旋转到了5，共走了（5－2）大格，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 30×2＝60（度） （5－2）×30 ＝3×30 ＝90（度） 2时整，时针与分针的夹角是60度。从4：10到4：25，分钟旋转了90度。 【练4】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）如图，∠1＝45°，那么∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】135 45 【分析】∠5是直角是90°，平角是180°，∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠2＝180°－∠5，∠2＝180°－∠5－∠1，∠2＋∠3＝180°，∠3＝180°－∠2，∠4＋∠3＝180°，∠4＝180°－∠3，据此解题。 【解答】180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 180°－45°＝135° 180°－135°＝45° 如图，∠1＝45°，那么∠3＝135°，∠4＝45°。 题型5：周角和平角的认识 【例5】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）10时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角。 【答案】锐 平 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；10时整，时针指向10，分针指向12，相差2个大格，夹角为30°×2＝60°，大于0°小于90°的角是锐角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针相差6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°的角是平角。 【解答】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 30°×6＝180° 10时整，钟面上时针和分针组成的角是锐角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是平角。 【练5】（24-25四年级上·江苏常州·期末）钟面上9时整，时针和分钟形成（ ）°的角。从9：00走到10：00，时针所转的角是（ ）角，分针所转的角是（ ）角。 【答案】90 锐 周 【分析】钟面上，9：00时，时针与分针之间的夹角有3个大格，因为每个大格是：360°÷12＝30°，所以用30°乘3； 从9：00到10：00，时针转了1个大格，1个大格是30°，分针转了12个大格，也就是一圈，分针转过的角是360°，根据角的分类标准填空即可。 【解答】30°×3＝90° 12×30°＝360° 在钟面上，9：00时针和分针组成的角是90°，从9：00到10：00，时针转过的角是锐角，分针转过的角是周角。 题型6：垂直与平行的特征 【例6】（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，与线段DE互相平行的是线段（ ），与线段DC互相垂直的有线段（ ）和线段（ ）。 【答案】AB AD BC 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【解答】根据解析可知，与线段DE互相平行的是线段AB，与线段DC互相垂直的有线段AD和线段BC。 【练6】（23-24四年级上·贵州毕节·期末）补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 【答案】见详解 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线相互垂直。在同一平面内不相交的两条直线互相平行。 （1）由图可知，平行四边形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （2）由图可知，梯形的上下两条边互相平行，即只有1组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （3）由图可知，正方形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。相邻的两条边互相垂直，所以有4组垂直线段。 【解答】 图形 平行线段的组数 2 1 2 垂直线段的组数 0 0 4 题型7：画线 【例7】（23-24四年级上·江苏南京·期末）在下面的直线上画出两个点，使这两个点之间的距离是50毫米。 【答案】见详解 【分析】在平面上，以这两点为端点的线段的长度就是这两点间的距离，据此画图即可。 【解答】如图： 【练7】（24-25四年级上·湖北武汉·期中）按要求作图。 （1）画出直线； （2）画出射线； （3）画出线段。 【答案】见详解 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而画图即可。 【解答】画图如下： 题型8：画角 【例8】（24-25四年级上·河南周口·期末）画出下面的角。 30°        65°        135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【解答】 【练8】（22-23四年级上·江苏泰州·期末）画出下面指定度数的角。（用三角板画，并留下作图痕迹） 120°     75°        105° 【答案】见详解 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺上的角的度数分别是30°、60°、90°，另一个三角尺上角的度数分别是45°、45°、90°，把它们进行拼组画角即可，90°＋30°＝120°，30°＋45°＝75°，60°＋45°＝105°，可以按照以上方法进行拼组画角。 【解答】画图如下： 【点评】本题考查的是用三角尺画角，解题关键是要熟记三角尺每个角的度数。 题型9：画垂线或平行线 【例9】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）分别画出已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】首先在直线外任意取一点，标记为点A；用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过点A沿直角边向已知直线画直线，得到的就是过点A作已知直线的垂线，注意要标出垂直符号。把三角尺的一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使原来和已知直线重合的三角尺的直角边与点A重合，过点A沿三角尺的直角边画直线，即是过点A作已知直线的平行线；据此可画出已知直线的垂线和平行线。 【解答】 （画法不唯一） 【练9】（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【分析】（1）用三角板的一条直角边和彩虹路重合，移动三角板使另一条直角边和江北小区重合，用直尺靠紧和江北小区重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过江北小区画直线即可。 （2）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过急民小区作育英路的垂线，因此垂线段的位置，就是接管道的位置，据此解答即可。 （3）由题意可知，阳光大道应该在中心广场的右下角，使量角器的中心和中心广场重合，0°刻度线和彩虹路重合，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后将这个点与中心广场相连接，所形成的角为105°，据此解答即可。 【解答】（1）（2）（3）如图： 一、选择题 1．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短，据此选择即可。 【解答】A．线段①和已知直线不垂直，不符合题意； B．线段②和已知直线垂直，符合题意； C．线段③和已知直线不垂直，不符合题意。 最短的线段是②。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·河南新乡·期末）钟面上，分针转动360度，同时时针转动（    ）度。 A．30 B．180 C．60 D．360 【答案】A 【分析】分针转动360度，也就是转动钟面一圈，钟面一圈为360度，被平均分成了12个大格，分针转动一圈是60分钟，也就是1小时，此时时针正好转动1个大格，因为钟面一圈360度被平均分成12个大格，那么每一个大格的度数是360°÷12＝30°；据此解答即可。 【解答】360°÷12＝30° 所以钟面上，分针转动360度，同时时针转动30度。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）在纸上画5个点，再经过每两个点画一条直线，最多能画（    ）条。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】 即在纸上画5个点（任意3个点都不在一条直线上），再经过每两个点画一条直线，如图所示， ，据此解题。 【解答】 在纸上画5个点，再经过每两个点画一条直线，最多能画10条。 故答案为：C 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 【答案】C 【分析】角的两条边对应度数读出来，再相减即为答案；这里量角器有外圈度数，也有内圈度数，选择一种读数方法即可；我们可以读外圈度数，外圈显示这个角是从60°到150°，用150°减去60°即为这个角的度数。 【解答】150°－60°＝90° 这个角的度数是90°。 故答案为：C 5．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图：将一张圆形纸片连续对折三次后，∠1的度数是（    ）。 A．60° B．45° C．30° D．20° 【答案】B 【分析】如图：将一张圆形纸片连续对折三次，对折一次平均分成2份，再对折一次平均分成4份，对折三次平均分成8份，圆一周是360°，除以8即可解答。 【解答】360°÷8＝45° ∠1的度数是45°。 故答案为：B 6．（24-25四年级上·江苏常州·期末）两条直线相交，如果其中一个角是80°，那么和它相邻的角是（    ）。 A．80° B．10° C．100° D．20° 【答案】C 【分析】两条直线相交时，形成的相邻角组成平角（和为180°）。已知其中一个角是80°，所以用180°减去80°即可求出和它相邻的角的度数。 【解答】两条直线相交，如果其中一个角是80°， 那么和它相邻的角是：180°－80°＝100° 故答案为：C 7．（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A．文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；据此将选项中的路延长看是否相交，如果相交就不平行，如果不相交就互相平行（如图）。据此解答。 【解答】A．文化路和红星路相交，所以不平行； B．星汇路和三河路相交，所以不平行； C．文昌路和三河路相交，所以不平行； D．文化路和文昌路不相交，所以互相平行。 所以，图中互相平行的两条路是文化路和文昌路。 故答案为：D 8．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）下面图形（    ）既有互相平行的线，又有互相垂直的线。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此选择。 【解答】 A．，图形中既没有互相平行的线段，也没有互相垂直的线段； B．，图形中没有互相平行的线段，也没有互相垂直的线段； C．，图形中既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段； D．，图形中有互相平行的线段，没有互相垂直的线段； 则图形中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。故答案为：C 二、填空题 9．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）如下图，把一个正方形对折，再对折，打开后剪成一个五边形，五边形中有（ ）个钝角，每个钝角是（ ）°。 【答案】2 135 【分析】正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；钝角是大于90°小于180°的角；把一个正方形对折，再对折，打开后沿虚线平均分成了4个小正方形，而剪出的五边形中观察到有2个钝角，每个钝角都是由一个90°的角，加上一个（90°÷2）的角组成；据此解答。 【解答】根据分析： 90°＋90°÷2 ＝90°＋45° ＝135° 所以五边形中有2个钝角，每个钝角是135°。 10．（24-25四年级上·江苏南通·期末）在玩“夺宝奇兵”的游戏时，去抢A处的宝贝，有B、C、D、E这4个出发点，要想最快抢到宝贝，你会选择站在点（ ）处。 【答案】C 【分析】直线外一点到直线的距离最短是这点到直线的垂直线段，据此选择。 【解答】A点到直线的垂直线段是AC，因为AC与BE相加成直角，所以会选择站在点C处。 11．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，量角器测量的∠1＝（ ）°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝（ ）°。 【答案】80 75 【分析】根据图示，从量角器外圈（内圈）分别读出两个数，然后再进行相减，图中量角器测量的∠1＝120°－40°＝80°；一副三角尺度数是：90°、45°、30°、60°，图中用一副三角尺拼成的∠2＝30°＋45°＝75°；据此解答即可。 【解答】120°－40°＝80° 30°＋45°＝75° 下面图①中，量角器测量的∠1＝80°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝75°。 12．（24-25四年级上·江苏南京·期末）下午6时，时针与分针所成的角是（ ），下午3时30分，时针与分针所成的角是（ ）。（填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 【答案】平角 锐角 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。6时的时针指着6，分针指着12，形成的角是180°；3时30分的时针在钟面上3和4之间，分针指着6，形成的角小于90°；锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，平角等于180°；据此解答。 【解答】下午6时，时针与分针所成的角是平角，下午3时30分，时针与分针所成的角是锐角。 13．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线a和直钱b互相垂直。∠1＝∠2，∠3＝30°，∠1＝（ ）°，∠2＋∠4＝（ ）°。 【答案】45 105 【分析】观察图形可知：直线a和直线b互相垂直，则∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠2，∠1＝∠2＝90°÷2＝45°，∠3＋∠4＝90°，∠3＝30°，则∠4＝90°－30°＝60°。再计算∠2＋∠4。据此即可解答。 【解答】∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠2，∠1＝∠2＝90°÷2＝45°； ∠3＋∠4＝90°，∠3＝30°，则∠4＝90°－30°＝60°； ∠2＋∠4＝45°＋60°＝105°。 14．（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝（ ）°。 【答案】20 【分析】根据图示，∠1是由虚线处的角折叠上去的，因此∠1等于虚线处的角，∠2、∠1和虚线处的角组成1个平角，平角等于180°，用180°－140°，求出∠1和虚线处角的和，再用∠1和虚线处角的和除以2，即可求出∠1的度数。 【解答】180°－140°＝40° 40°÷2＝20° 将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝20°。 15．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）小明将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如下图），这个五边形中的∠1是（ ）°；他又将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相（ ）（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是（ ）°。 【答案】135 垂直 45 【分析】正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；直角为90°，观察发现剪成的五边形中的∠1，包含1个直角和1个直角的一半，那么用90°除以2可以计算出1个直角的一半的度数，再加上90°可以计算出∠1的度数； 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直； 可以将圆中心的角看作一个周角，周角为360°，对折一次也就是将360°平均分成了2份，对折两次也就是将360°平均分成了（2×2）份，对折三次也就是将360°平均分成了（2×2×2）份，那么用360°除以（2×2×2）可以计算出对折两次，再继续对折一次后折成的角的度数；据此解答。 【解答】根据分析： 90°÷2＋90° ＝45°＋90° ＝135° 所以这个五边形中的∠1是135°； 如图： 将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相垂直； 360°÷（2×2×2） ＝360°÷8 ＝45° 所以再继续对折一次，这时折成的角是45°。 16．（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 【答案】10；10 【分析】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出规律：平面内任意三个点都不在同一直线上的几个点，从一个点出发都可以与其他（总点数－1）个点画出一条直线，共可以画出总点数×（总点数－1）条直线，但每条线会被重复计算一次，所以一共可以画出总点数×（总点数－1）÷2条直线；即经过5个点中的每两个点最多可以画5×（5－1）÷2＝10（条）直线；10×9÷2＝45（条），因为每个点和另外9个点各连一条线，但每条线会被重复计算一次，所以除以2，因此最多能画出45条直线的是10个点；据此解答即可。 【解答】2个点可以画直线：1条 3个点可以画直线：3×（3－1）÷2＝3×2÷2＝6÷2＝3（条） 4个点可以画直线：4×（4－1）÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（条） 5个点可以画直线：5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（条） 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（条） 即10个点可以画45条直线。 如图： 点/个 2 3 4 5 … 10 直线/条 1 3 6 10 … 45 三、操作题 17．（23-24四年级上·海南儋州·期末）经过点“A”画出已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 【解答】 18．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 【答案】（1）120° （2）（3）见详解 （4）2；1 【分析】（1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一直角边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （4）直角三角尺上最大的那个角就是直角，用三角尺的直角进行对比，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。据此数出各个角的数量。 【解答】（1）量一量，如图的角是120°。 （2）（3）作图如下： （4）围成的四边形里有2个直角和1个钝角。 19．（24-25四年级上·江苏常州·期末）钟面上时针和分针形成小于或等于180°的夹角。下面哪个时刻的时针和分针形成的夹角最大？先在钟面上画一画，再在相应的□里打“√”选出最大的夹角。 【答案】10：15；图见详解 【分析】根据平角的含义：等于180°的角叫平角；并结合实际，时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，9：05，时针指向9和10之间，分针指向1；10：15，时针指向10和11之间，分针指向5；11：10，时针指向11和12之间，分针指向5；据此在钟面上画一画，选出最大的夹角。 【解答】9：05，间隔3个大格子多不到4个大格子，30°×3＝90°，30°×4＝120°，组成的角大于90°小于120°； 10：15，间隔4个大格子多不到5个大格子，30°×4＝120°，30°×5＝150°，组成的角大于120°小于150°； 11：10，间隔2个大格子多不到3个大格子，30°×2＝60°，30°×3＝90°，组成的角大于60°小于90°； 即10：15时针和分针形成的夹角最大。 作图如下： 四、解答题 20．（22-23四年级上·江苏南通·期末）经过B点向AC边画垂线；经过点C画AB的平行线；量出点A到BC边的距离是（    ）毫米；量出∠B＝（    ）°。 【答案】图见详解；22；70 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 测量长度方法：用直尺的“0”刻度线和物体的一个端点对齐，物体另一个端点在直尺上的刻度，就是该物体的长度。 先作点A到BC的垂线段，这条垂线段的长度就是点A到BC边的距离，然后用直尺测量出垂线段的长度。 【解答】 经测量，点A到BC边的距离是22毫米；∠B＝70°。 21．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？ 【答案】25° 【分析】把长方形纸折起来的部分展开，可以发现2个∠1加1个∠2等于180°，据此计算即可。 【解答】∠1＋∠1＋∠2＝180°，而∠2＝130°，则∠1＋∠1＝180°－130°＝50°，则∠1＝50°÷2＝25°。 答：∠1是25°。 22．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）按要求画一画。 （1）有一块三角形的地（如图）。经过A点画出BC边的平行线。 （2）从点A走到BC边，怎样走最近？请你在图中画出来。你画出的两条线位置关系是互相（    ）。 【答案】（1）图见详解；（2）图见详解；垂直 【分析】（1）过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。通过观察图可知画出的两条线位置关系是互相垂直。 【解答】（1）有一块三角形的地（如图）。经过A点画出BC边的平行线。 （2）从点A走到BC边，怎样走最近？请你在图中画出来。你画出的两条线位置关系是互相（垂直）。 23．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 【答案】（1）（2）见详解；（3）4 【分析】（1）用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角O的顶点重合，然后使角的一边OB和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边OA，看角的另外一边OA落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少； （2）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线OB重合，让三角尺的另一条直角边通过点M，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线OB的垂线MN。 平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线OA重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点M位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是直线OA的平行线MQ； （3） 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点M重合，另一个端点在直线OB的N点在直尺上的刻度，就是该线段的长度。 【解答】（1）（2）如图： （3）点M到射线OB的距离是4厘米。 24．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 【答案】（1）45°；50° （2）这两个角相等 （3）见详解 【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。 （2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。 （3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。 【解答】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。 台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。 （3）如图： 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 垂直与平行线 期末复习知识清单 一： 考点一：认识直线、射线与角 1、认识射线和直线及两点间的距离。 射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 2、认识角。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。 考点二：角的度量 1、认识量角器。 （1）三角尺上的角有大有小，用大小不同的角量指定的角，不可能得到一致的结果。 （2）为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。 （3）量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。 2、用量角器量角。 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。 考点三：角的分类和画角 1、角的分类。 2、几种角的大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角。 直角、平角与周角的关系：1个周角=2个平角=4个直角。 3、画角。 用量角器画指定度数的角，要注意做到“两重合”：量角器的中心与顶点重合；0°刻度线与所 画的一条边重合。还要看准度数，所画的边对应的0°刻度线在内圈，看的就是内圈刻度，所画的边对应的0°刻度线在外圈，看的就是外圈刻度。 考点四：认识垂直与平行 1、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 2、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 3、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 4、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 5、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 题型1：线的认识及数图形 【例1】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 【练1】（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 题型2：角的认识及数图形 【例2】（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加（ ）个角。 【练2】（21-22四年级上·江苏盐城·期末）仔细观察，找出规律，完成表格。 …… 射线条数 2 3 4 …… 角的个数 1 （ ） （ ） …… 按照这样的画法，6条射线可以形成（ ）个角。 题型3：角的度量 【例3】（24-25四年级上·江苏连云港·期末）小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是（ ）°。 【练3】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）芳芳在用量角器量角时，角的一条边对着量角器上外圈“150”的刻度，另一条边对着外圈“90”的刻度，这个角是（ ）°。 题型4：角度的计算 【例4】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）2时整，时针与分针的夹角是（ ）度。从4：10到4：25，分钟旋转了（ ）度。 【练4】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）如图，∠1＝45°，那么∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 题型5：周角和平角的认识 【例5】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）10时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角。 【练5】（24-25四年级上·江苏常州·期末）钟面上9时整，时针和分钟形成（ ）°的角。从9：00走到10：00，时针所转的角是（ ）角，分针所转的角是（ ）角。 题型6：垂直与平行的特征 【例6】（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，与线段DE互相平行的是线段（ ），与线段DC互相垂直的有线段（ ）和线段（ ）。 【练6】（23-24四年级上·贵州毕节·期末）补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 题型7：画线 【例7】（23-24四年级上·江苏南京·期末）在下面的直线上画出两个点，使这两个点之间的距离是50毫米。 【练7】（24-25四年级上·湖北武汉·期中）按要求作图。 （1）画出直线； （2）画出射线； （3）画出线段。 题型8：画角 【例8】（24-25四年级上·河南周口·期末）画出下面的角。 30°        65°        135° 【练8】（22-23四年级上·江苏泰州·期末）画出下面指定度数的角。（用三角板画，并留下作图痕迹） 120°     75°        105° 题型9：画垂线或平行线 【例9】（24-25四年级上·贵州毕节·期末）分别画出已知直线的垂线和平行线。 【练9】（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 一、选择题 1．（23-24四年级上·海南儋州·期末）下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 2．（24-25四年级上·河南新乡·期末）钟面上，分针转动360度，同时时针转动（    ）度。 A．30 B．180 C．60 D．360 3．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）在纸上画5个点，再经过每两个点画一条直线，最多能画（    ）条。 A．8 B．9 C．10 D．11 4．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 5．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图：将一张圆形纸片连续对折三次后，∠1的度数是（    ）。 A．60° B．45° C．30° D．20° 6．（24-25四年级上·江苏常州·期末）两条直线相交，如果其中一个角是80°，那么和它相邻的角是（    ）。 A．80° B．10° C．100° D．20° 7．（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A．文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 8．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）下面图形（    ）既有互相平行的线，又有互相垂直的线。 A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25四年级上·江苏盐城·期末）如下图，把一个正方形对折，再对折，打开后剪成一个五边形，五边形中有（ ）个钝角，每个钝角是（ ）°。 10．（24-25四年级上·江苏南通·期末）在玩“夺宝奇兵”的游戏时，去抢A处的宝贝，有B、C、D、E这4个出发点，要想最快抢到宝贝，你会选择站在点（ ）处。 11．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，量角器测量的∠1＝（ ）°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝（ ）°。 12．（24-25四年级上·江苏南京·期末）下午6时，时针与分针所成的角是（ ），下午3时30分，时针与分针所成的角是（ ）。（填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 13．（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线a和直钱b互相垂直。∠1＝∠2，∠3＝30°，∠1＝（ ）°，∠2＋∠4＝（ ）°。 14．（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝（ ）°。 15．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）小明将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如下图），这个五边形中的∠1是（ ）°；他又将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相（ ）（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是（ ）°。 16．（23-24四年级上·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 三、操作题 17．（23-24四年级上·海南儋州·期末）经过点“A”画出已知直线的垂线。 18．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 19．（24-25四年级上·江苏常州·期末）钟面上时针和分针形成小于或等于180°的夹角。下面哪个时刻的时针和分针形成的夹角最大？先在钟面上画一画，再在相应的□里打“√”选出最大的夹角。 四、解答题 20．（22-23四年级上·江苏南通·期末）经过B点向AC边画垂线；经过点C画AB的平行线；量出点A到BC边的距离是（    ）毫米；量出∠B＝（    ）°。 21．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？ 22．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）按要求画一画。 （1）有一块三角形的地（如图）。经过A点画出BC边的平行线。 （2）从点A走到BC边，怎样走最近？请你在图中画出来。你画出的两条线位置关系是互相（    ）。 23．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 24．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $