专题6.3 立体图形的展开与折叠（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题6.3 立体图形的展开与折叠 教学目标 1. 掌握常见几何体的展开图； 2. 掌握正方体的11种展开图，并能够快速准确的判断正方体展开图的相对面。 教学重难点 1. 重点 （1）常见几何体的展开与折叠； （2）正方体的11种展开图。 2. 难点 （1）判断常见几何体的展开与折叠； （2）判断正方体的11中展开图； （3）找正方体的展开图的相对面。 知识点01 立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图的概念： 有一些立体图形是由平面图形构成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形，这个平面图形叫做立体图形的展开图。 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 【即学即练1】 1．请说出下列图形是哪些多面体的展开图？ 【即学即练2】 2．下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．正方体展开图上的字母位置正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 正方体展开图的相对面 1. 正方体展开图找相对面的两种方法： ①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。 ②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。 在判断相对面时，优先用间隔面法。 【即学即练1】 4．一个正方体展开图如图所示，六个面分别为“承”“国”“志”“创”“未”“来”，其中与“志”相对的是（　　） A．承 B．未 C．来 D．国 题型01 判断常见几何体的展开图 【典例1】下列图形是三棱柱的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，是圆锥的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（　　） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 题型02 判断正方体的展开图 【典例1】下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】将一个正方体展开后可以得到六个拼在一起的正方形，图1是其中的四个，则剩余两个可能在图2中的（　　） A．位置①和②处 B．位置②和③处 C．位置③和④处 D．位置①和④处 【变式3】下列图形中，是正方体的表面展开图的是（　　） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【变式4】如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（　　） A． B． C． D． 【变式5】如图是真真设计的抽奖盒子，她在部分面上进行了装饰．图（　　）是抽奖盒的展开图． A． B． C． D． 题型03 根据展开图判断几何体 【典例1】某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【变式1】数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【变式3】如图的图形是（　　）正方体的展开图． A． B． C． D． 【变式4】小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 题型04 正方体的展开图的相对面 【典例1】如图是一个正方体的展开图，则与“幸”字相对的是（　　） A．江 B．锦 C．福 D．品 【变式1】如图所示的是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“梦”字相对的是（　　） A．照 B．亮 C．未 D．来 【变式2】临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“发”相对的是（　　） A．总 B．发 C．努 D．力 【变式3】如图是一个表面分别标有“文”“明”“百”“强”“孝”“义”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“文”相对的是（　　） A．百 B．强 C．孝 D．义 1．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成如图形体，则下列序号中不应剪去的是（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 4．如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，则再涂黑的小正方形的位置一共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 8．下面立体图形的平面展开图与名称不相符的是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱体 9．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（　　） A．追 B．逐 C．梦 D．想 10．按照如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为相反数，那么a﹣2b﹣c的值是（　　） A．﹣5 B． C．﹣3 D． 11．某几何体表面的展开图形如“贪吃鱼”，则这个几何体的名称是　 　 ． 12．一个立体图形的展开图如图所示，这个立体图形是　 　 ． 13．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图中阴影部 分），但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你有　 　 种画法． 14．如图，图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是　 　 ． 15．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是　 　 ． 16．一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）图2给出的四种纸样中，正确的有 B、D ．（写出所有正确答案） （2）根据图1中的数据（单位：cm），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积． 17．若将长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． （1）如图1是长方体的一种表面展开图，现将﹣6，﹣4，﹣3，﹣2，1，5分别填入该展开图，若将它重新围成一个长方体，求相对两个面的数字之和的乘积； （2）图2也是长方体的一种表面展开图，将﹣5，﹣3，﹣2，﹣1，4，2分别填入该展开图，若要使围成长方体后相对两个面的数字之和的乘积最小，应该怎样填？请在图中给出一种填法，并列出算式求出这个最小值． 18．李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． （1）共有　 　 种弥补方法； （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 19．已知一个直四棱柱的底面是长为4cm，宽为3cm的长方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： （1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ （2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个侧面展开图的面积是多少？ （3）这个直四棱柱的所有棱长之和是多少？ 20．【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　 　 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【开拓探究】 （3）若一个有底无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开　 　 条棱． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 立体图形的展开与折叠 教学目标 1. 掌握常见几何体的展开图； 2. 掌握正方体的11种展开图，并能够快速准确的判断正方体展开图的相对面。 教学重难点 1. 重点 （1）常见几何体的展开与折叠； （2）正方体的11种展开图。 2. 难点 （1）判断常见几何体的展开与折叠； （2）判断正方体的11中展开图； （3）找正方体的展开图的相对面。 知识点01 立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图的概念： 有一些立体图形是由平面图形构成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形，这个平面图形叫做立体图形的展开图。 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 【即学即练1】 1．请说出下列图形是哪些多面体的展开图？ 【答案】（1）正方体；（2）圆柱；（3）三棱柱；（4）五棱柱． 【解答】解：根据立体图形及其表面展开图的特点可知，（1）正方体；（2）圆柱；（3）三棱柱；（4）五棱柱． 【即学即练2】 2．下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； B．不可以作为一个正方体的展开图，符合题意； C．可以作为一个正方体的展开图，不合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：C． 【即学即练3】 3．正方体展开图上的字母位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．根据原题图字母A、B、C的位置，利用动手折一折的方法排除选项A、B、D，只有选项C符合题意． 故选：C． 知识点02 正方体展开图的相对面 1. 正方体展开图找相对面的两种方法： ①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。 ②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。 在判断相对面时，优先用间隔面法。 【即学即练1】 4．一个正方体展开图如图所示，六个面分别为“承”“国”“志”“创”“未”“来”，其中与“志”相对的是（　　） A．承 B．未 C．来 D．国 【答案】C 【解答】解：一个正方体展开图如图所示，六个面分别为“承”“国”“志”“创”“未”“来”， 这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“承”与面“创”相对，面“国”与面“未”相对，“志”与面“来”相对． 故选：C． 题型01 判断常见几何体的展开图 【典例1】下列图形是三棱柱的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、两底在同一侧，不是三棱柱的平面展开图，故此选项不符合题意； B、是三棱柱的平面展开图，故此选项符合题意； C、不是三棱柱的平面展开图，故此选项不符合题意； D、不是三棱柱的平面展开图，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列图形中，是圆锥的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据圆锥的特点：圆锥的展开图是， 故选：D． 【变式2】要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题知，图形是圆柱体的展开图， 故选：C． 【变式3】如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（　　） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 【答案】D 【解答】解：观察可知：①为三棱柱的展开图；②为正方体的展开图；③为圆锥的展开图；④为圆柱的展开图； 故选：D． 题型02 判断正方体的展开图 【典例1】下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：正方体的表面展开图有：141型，222型，33型，132型， 故选：B． 【变式1】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A，C，D是正方体的展开图，B不是正方体的展开图． 故选：B． 【变式2】将一个正方体展开后可以得到六个拼在一起的正方形，图1是其中的四个，则剩余两个可能在图2中的（　　） A．位置①和②处 B．位置②和③处 C．位置③和④处 D．位置①和④处 【答案】D 【解答】解：根据正方体的表面展开图可知：剩余两个可能在图2中的位置①和④处，或位置②和④处， 故选：D． 【变式3】下列图形中，是正方体的表面展开图的是（　　） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解答】解：因为①属于“一四一”型； 因为②中有“田”字； 因为③有一个面是重合的； 因为④属于“三三”型． 故选：D． 【变式4】如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， A．选项A中的“〇”与“*”是对面，不是邻面与原图不符，因此选项A不符合题意； B．选项B中的展开图折叠成正方体后，“△”的“尖”不指向“*”面，而指向空白面，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠成正方体后符合原图，因此选项C符合题意； D．选项D中的展开图“△”与“*”是对面，不是邻面，与原正方体不符，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式5】如图是真真设计的抽奖盒子，她在部分面上进行了装饰．图（　　）是抽奖盒的展开图． A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可知，带实心圆的面，带花的面和带阴影部分的面三者相邻， B．带花的面和带阴影的面相对，不符合题意； C．带花的面和带实心圆的面相对，不符合题意； 当实心圆的面朝上时，带花的面在带阴影的面的左侧，A展开图符合这一特点，D展开图不符合这一特点， 故选：A． 题型03 根据展开图判断几何体 【典例1】某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】D 【解答】解：三棱柱由三个矩形的侧面和两个三角形的底面组成， 所以这是三棱柱的展开图． 故选：D． 【变式1】数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由圆锥的展开图可知，这个几何体是圆锥． 故选：D． 【变式2】如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【解答】解：根据几何体的平面展开图， 从左到右，分别为正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D． 【变式3】如图的图形是（　　）正方体的展开图． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： 是 的正方体展开图． 故选：B． 【变式4】小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，将这个展开图折叠成正方体时，棱AB与CD重合，即两个阴影直角三角形的直角边重合，且含有圆圈的面四条边不与直角三角形的边重合，因此选项B符合题意； 故选：B． 题型04 正方体的展开图的相对面 【典例1】如图是一个正方体的展开图，则与“幸”字相对的是（　　） A．江 B．锦 C．福 D．品 【答案】A 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “幸”与“江”是对面， 故选：A． 【变式1】如图所示的是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“梦”字相对的是（　　） A．照 B．亮 C．未 D．来 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，“梦”面对应“来”面． 故选：D． 【变式2】临近月考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“发”相对的是（　　） A．总 B．发 C．努 D．力 【答案】D 【解答】解：由题意可知，折叠后与“发”相对的是力； 故选：D． 【变式3】如图是一个表面分别标有“文”“明”“百”“强”“孝”“义”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“文”相对的是（　　） A．百 B．强 C．孝 D．义 【答案】C 【解答】解：由正方体的平面展开图的特点可知，“文”与“孝”处在相对的面上， 故选：C． 1．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A选项展开图应为三角形， B选项展开图为正方形， D选项展开图为一个四边形和多个三角形， 由图可知：该几何体是三棱柱； 故选C． 2．下列图形中不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：选项A、B、D可组成正方体，不符合题意； 选项C不能组成正方体，符合题意． 故选：C． 3．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成如图形体，则下列序号中不应剪去的是（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：正方体有6个面组成，每一个顶点出有3个面， 根据有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图可知应剪去1或2或6， 故不应剪去的是3． 故选：B． 4．如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”以及“小红制作的正方体相对面图案均相同”可知，选项A符合题意；选项B、选项C、选项D均有相对的面的图案不同的情况， 故选：A． 5．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，则再涂黑的小正方形的位置一共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【解答】解：如图，正方体展开图的结构，常见类型如“3﹣3”“2﹣3﹣1”等，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，经过对网格中空白位置的分析，添加后能构成正方体展开图的位置共有4处， ∴再涂黑的小正方形的位置一共有4种． 故选：B． 6．下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图；A围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有， 故A不能围成三棱柱， 故选：A． 7．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】A 【解答】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱； 故选：A． 8．下面立体图形的平面展开图与名称不相符的是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱体 【答案】B 【解答】解：选项A的图形折叠后成为长方体，因此选项A不符合题意； 选项B中的图形，折叠后形成的几何体是三棱柱，不是三棱锥，因此选项B符合题意， 选项C的图形折叠后成为正方体，因此选项C不符合题意； 选项D的图形折叠后成为圆柱体，因此选项D不符合题意； 故选：B． 9．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（　　） A．追 B．逐 C．梦 D．想 【答案】D 【解答】解：折叠成正方体后，“追”字作为底面，“勇”是后面、“想”是前面， 则与“勇”相对的字是“想”． 故选：D． 10．按照如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为相反数，那么a﹣2b﹣c的值是（　　） A．﹣5 B． C．﹣3 D． 【答案】D 【解答】解：由题意得：a与是相对面，b与﹣2是相对面，c与1是相对面， ∵相对面上的数互为相反数， ∴，b＝2，c＝﹣1， ∴． 故选：D． 11．某几何体表面的展开图形如“贪吃鱼”，则这个几何体的名称是　圆锥体　 ． 【答案】圆锥体． 【解答】解：某几何体表面的展开图形如“贪吃鱼”，则这个几何体的名称是圆锥体． 故答案为：圆锥体． 12．一个立体图形的展开图如图所示，这个立体图形是　六棱柱　 ． 【答案】六棱柱． 【解答】解：根据图意可知，该立体图形是一个六棱柱． 故答案为：六棱柱． 13．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图中阴影部 分），但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你有　4　 种画法． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，共有4种画法． 故答案为：4． 14．如图，图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是　53　 ． 【答案】53． 【解答】解：要使几何体能看得到的面上点数之和最大， 最右边的那个正方体所能看到的4个点数为3，4，5，6，和为18； 最上边的那个正方体所能看到的6个点数为2，3，4，5，6，和为20； 左下角的那个正方体所能看到的3个点数为4，5，6，和为15； 所以这个几何体能看得到的面上点数之和最大为：18+20+15＝53， 故答案为：53． 15．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图1可知，1的对面数字是5， ∵与4相邻的面的数字有1、3、5、6， ∴4的对面数字是2， ∴3的对面数字是6， ∴x的值为3， 故答案为：3． 16．一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）图2给出的四种纸样中，正确的有 B、D ．（写出所有正确答案） （2）根据图1中的数据（单位：cm），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积． 【答案】（1）B、D；（2）20a+20b． 【解答】解：（1）根据题意可知，题干给出的四种纸样中，正确的有B、D． 故答案为：B、D； （2）包装盒的侧面积为：S侧＝2（10a+10b）＝20a+20b． 17．若将长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． （1）如图1是长方体的一种表面展开图，现将﹣6，﹣4，﹣3，﹣2，1，5分别填入该展开图，若将它重新围成一个长方体，求相对两个面的数字之和的乘积； （2）图2也是长方体的一种表面展开图，将﹣5，﹣3，﹣2，﹣1，4，2分别填入该展开图，若要使围成长方体后相对两个面的数字之和的乘积最小，应该怎样填？请在图中给出一种填法，并列出算式求出这个最小值． 【答案】（1）9； （2） ﹣16． 【解答】解：（1）由展开图特征可知：﹣6与﹣3相对，﹣2与1相对，﹣4与5相对， ∴相对两个面的数字之和的乘积为：（﹣6﹣3）×（﹣2+1）×（﹣4+5）＝（﹣9）×（﹣1）×1＝9； （2）要使两个面的数字之和的乘积最小，填图如下： 由展开图特征可知：﹣3与﹣5相对，4与﹣2相对，2与﹣1相对， ∴相对两个面的数字之和的乘积为：（﹣5﹣3）×（4﹣2）×（2﹣1）＝（﹣8）×2×1＝﹣16， ∴这个最小值为﹣16． 18．李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． （1）共有　4　 种弥补方法； （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】（1）4； （2）如下图所示： （3）如图所示： 【解答】解：（1）由正方体的平面展开图的特点可知，在下面4个位置弥补即可． 即共有4种弥补方法； （2）根据正方体的平面展开图的特点，画出一种成功的设计图如下所示： （3）如图所示： 19．已知一个直四棱柱的底面是长为4cm，宽为3cm的长方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： （1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ （2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个侧面展开图的面积是多少？ （3）这个直四棱柱的所有棱长之和是多少？ 【答案】（1）6个面，8个顶点，12条棱； （2）112cm2； （3）60cm． 【解答】解：（1）共有6个面，8个顶点，12条棱； （2）2×（4×8+3×8）＝112（cm2）， 答：这个侧面展开图的面积是112cm2； （3）4×4+4×3+4×8＝60（cm）， 答：这个直四棱柱的所有棱长之和是60cm． 20．【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有　①⑤⑥　 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【开拓探究】 （3）若一个有底无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开　4　 条棱． 【答案】（1）①⑤⑥； （2）588，294； （3）4． 【解答】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上地面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为：（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3＝588（cm3）， 有盖盒子的长：20﹣3×2＝14cm，宽为：20÷2﹣3＝7cm，高为：3cm， 有盖盒子的体积为：14×7×3＝294（cm3）， 故答案为：588，294； （3）由题意可得：只需要剪一条侧棱和下底的三条棱即可展开， 即1+3＝4（条）， 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $