专项训练5 平行四边形和梯形（期末复习讲义）导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共48题-2025-2026学年人教版数学四年级上册

该小学数学讲义通过思维导图和知识框架图系统构建“平行四边形和梯形”单元知识体系，梳理平行与垂直、平行四边形、梯形等核心概念，明确四边形之间的从属关系，结合易错点拨突出“同一平面内平行”“梯形只有一组对边平行”等重难点，呈现清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，14个高频考点讲练含典例与变式，如“过点画平行线”“设计最短路线”培养几何直观和空间观念，真题演练与拔尖训练覆盖不同层次。易错点拨帮助学生形成推理意识，支持自主复习，助力教师精准教学。

专项讲练5 平行四边形和梯形 （导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共48题） 【原卷版】 知识速览 2 新知回顾 2 知识点梳理01：平行与垂直 2 知识点梳理02：平行四边形 3 知识点梳理03：梯形 4 知识点梳理04：四边形之间的关系 5 真题讲练 6 高频考点讲练1：平行的特征及性质 6 高频考点讲练2：画平行线 7 高频考点讲练3：垂直的特征 7 高频考点讲练4：画垂线 8 高频考点讲练5：点到直线的距离 9 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 9 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 10 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 11 高频考点讲练9：画平行四边形 11 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 12 高频考点讲练11：梯形的高及画法 13 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 13 高频考点讲练13：画梯形 14 高频考点讲练14：数图形 15 小升初真题实战演练 15 拔尖冲刺 16 知识点梳理01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【易错点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点梳理02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【易错点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点梳理03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【易错点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点梳理04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 高频考点讲练1：平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·福建福州·期末）写出图中各组线的位置关系。（填“∥”或“⊥”） AB( )CD，AC( )BD，AB( )BC。 【变式训练】（24-25四年级上·重庆万州·期末）在认识平行四边形时，同学猜想：平行四边形两组对边分别平行。明明、天天、乐乐根据猜想展开了验证。 明明：依据在同一平面内( )的两条直线互相平行，将两组对边延长，对边也不会相交的方法进行验证。 天天：依据端点分别在两条平行线上，且与平行线( )的所有线段的长度都( )来验证。 乐乐：依据平移三角尺的方法验证了两组对边分别平行。 最后，三人得出相同的结论：平行四边形两组对边分别平行。 高频考点讲练2：画平行线 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，李叔叔居住的小区要改建暖气管道，从热电厂C铺设了一条管道CA。 （1）测量∠BCA＝（    ）°。 （2）过点B（王阿姨家）画管道CA的平行线。 （3）如果王阿姨居住的小区也要改建暖气管道，请你设计并画出从王阿姨家到管道CA的最短路线。 【变式训练】（24-25四年级上·福建厦门·期末）画一组平行线，下面画法正确的是（    ）。 A．①②③ B．①④ C．②④ D．①② 高频考点讲练3：垂直的特征 【典例精讲】（24-25三年级下·山东济宁·期末）下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）下面是游泳池的示意图，小强现在到A处，想尽快游上岸，请你帮他设计一条游上岸的最近路线，并在下图画出来。 高频考点讲练4：画垂线 【典例精讲】（24-25四年级下·北京昌平·期末）在最美新农村建设中，工程队计划从阳光小区修一条通往公路的乡村小路，怎样修最近？请你在下图中画出来。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）在下图中量一量、画一画。 ①量出∠1和∠2的度数，填在下面的括号里。 ②射线OC上有一点P，请你画出点P到射线OA，OB的垂直线段，并量出点P到射线OA，OB的距离，填在括号里。 ∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°。 P到OA的距离是（    ）厘米，P到OB的距离是（    ）厘米。 ③做了这道题目后，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 高频考点讲练5：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·山东济南·期末）济南的南部山区可是大家休闲度假的好去处。小明家就在这儿经营着一家温馨的农家乐。从外面的大公路延伸出四条小路，它们都能把游客带到小明家的农家乐，这四条小路的长度依次为215米、309米、323米、420米。由于地势的特殊，其中有一条小路与公路是垂直的，这也是很多游客最常选择的便捷之路呢，那么这条垂直小路的长度是 米。 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）下图中，从A、B、C、D四个地方都能到达图书大厦，其中，最近的路线是从（    ）到图书大厦。 A．A B．B C．C 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏南京·期末）把一个长6厘米，宽4厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．平行四边形的周长是10厘米。 B．平行四边形的面积是12平方厘米。 C．平行四边形的面积是24平方厘米。 D．平行四边形的周长是20厘米。 【变式训练】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下图中直线m∥n，每个倾斜式停车位都是相同的平行四边形。 （1）量一量，∠1的度数是（    ）。 （2）请你在图上再画一个同样大小的停车位。 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江宁波·期末）下图中，每个小正方形的边长表示1cm。 （1）以EF为底画一个高为3cm的平行四边形，并以EF为底画出它的高。 （2）找出点D，使四边形ABCD是一个等腰梯形，画出这个梯形。 （3）在画好的梯形中增加一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔南·期末）张亮在方格图中画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角，如图。 （1）这个角的度数是（    ）。 （2）请把这个平行四边形画完整。 （3）画出这个平行四边形AB边上的一条高。（提示：请标出“高”与直角符号） 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级上·湖南怀化·期末）如图，在两条平行线之间画线段AD平行于线段BC。下列说法错误的是（    ）。 A．四边形ABCD容易变形 B．线段AD比线段DE长 C．线段DE既是平行四边形ABCD的高，也是梯形BCDE的高 D．在平行四边形ABCD中，AB边上的高和BC边上的高一定相等 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）图①中升降机应用了平行四边形（     ）的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，请你帮他设计这两条路线，使这两条路线均最短，并说明理由： 。 高频考点讲练9：画平行四边形 【典例精讲】（23-24四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的等腰梯形。 （2）底是6厘米，高是3厘米的平行四边形。 【变式训练】（24-25四年级上·广西柳州·期末）量一量，画一画，摆一摆。 （1）图中∠1＝（    ）°。 （2）先在图中找一个点D，连接ABCD使它成为一个平行四边形；再画出它的一条高，并标识出来。 （3）这个平行四边形ABCD的∠C是一个钝角，小维用一副三角尺拼出与它相等的角。他用了三角尺（    ）°角和（    ）°角。 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆潼南·期末）一张长方形纸，长是16厘米，宽是8厘米，把它对折两次后展开（如图）。以展开图上的10个点为顶点，可以画出不同的平行四边形、梯形或三角形。画出最大梯形的上底与下底的和是( )厘米，高是( )厘米；画出的最小平行四边形的一条底是( )厘米，对应的高是( )厘米。 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末） （1）请以射线AB为一边，点A为顶点，用量角器画一个60°的角。 （2）请过点E作线段CD的垂线，并标记垂足为点O。 （3）请以线段CD为底，线段EO为高，画一个梯形。 高频考点讲练11：梯形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形，它的高是( )厘米；如果∠1＝125°，∠3＝( )°。 【变式训练】（24-25四年级上·山东临沂·期末）将一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放。如图，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝120°，那么∠2＝( )°。 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）长安花卉博览会又要开始了，这次郁金香展区被设计成平行四边形。 （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中选一个点记作D，并画出这个平行四边形。 （2）请你量一量∠ABC＝（    ）°。 （3）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （4）设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）如图，黄老师用一根长48厘米的铁丝恰好围成一个等腰梯形学具，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？ 高频考点讲练13：画梯形 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）（1）在图中找一个点D并连线。使得到的四边形ABCD是一个梯形，请你画出这个梯形。 （2）画出这个梯形的一条高。 【变式训练】（24-25四年级上·湖南湘西·期末）按要求作图。 （1）画一个下底是7厘米，高是3厘米的等腰梯形，并画出它的一条高。 （2）在等腰梯形中画一条线段，将它分成一个三角形和平行四边形。 高频考点讲练14：数图形 【典例精讲】（23-24四年级上·福建莆田·期末）数一数，下图中一共有（    ）个梯形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（22-23四年级下·广东佛山·期末）如图中，有（    ）平行四边形，（    ）个梯形。 A．1；6 B．3；6 C．4；3 D．6；4 【演练1】（2024·重庆石柱·小升初真题）如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 【演练2】（2022·河北唐山·小升初真题）同一平面内两条直线的位置关系是不平行就相交。( )（判断对错） 【演练3】（2021·宁夏吴忠·小升初真题）下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【演练4】（2021·贵州黔东南·小升初真题）如图的角用量角器测量出是（    ）°，是（    ）角，以角的两边为相邻边画一个平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【演练5】（2024·全国·小升初真题）画图与计算。 （1）在下图中，画出表示A点到直线距离的线段。 （2）过A点作已知直线的平行线。 （3）量一量，A点到已知直线的距离是（  ）厘米。 1．（24-25四年级上·河北保定·期末）要想画出一组平行线，下面操作方法错误的是（    ）。 A． B． C． 2．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果点A沿着AD所在直线慢慢向右移动，与点D重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→三角形 B．梯形→平行四边形→梯形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．无法确定 3．（24-25四年级上·贵州六盘水·期末）明明在超市采购了一款长16厘米，宽12厘米的长方形卡纸，如图，沿着虚线将长方形卡纸剪开；得到两张完全相同的三角形卡纸。明明用这两张三角形卡纸拼成了一个平行四边形，那么拼成的平行四边形周长最大是（    ）厘米。 A．56 B．64 C．72 4．（21-22四年级下·浙江金华·期末）在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，木工师傅常常把两把相同曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度，如果相等，木工师傅就判断木板上下两边平行，其中蕴含的道理是( )。 6．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，将两张长12厘米、宽4厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 7．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，一个平行四边形的周长是120厘米，其中一条边的长为25厘米，与它相邻边的边长是( )厘米。 8．（24-25四年级上·河南漯河·期末）一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕一定互相平行。( )（判断对错） 9．（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）直线和互相平行，同时直线和互相垂直，我们也可以说直线b和c互相垂直。( )（判断对错） 10．（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）聪聪把一个四边形剪成如下两个完全一样的直角梯形。 （1）明明觉得原来的四边形可能是长方形，并把图形补完整了。你觉得原来的四边形还可能是什么图形，请像明明那样把图形补完整。 （2）原来这个四边形的周长最多是多少厘米？ （3）原来这个四边形的面积是多少平方厘米？ 11．（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）已知直线L与直线外A、B两个点。根据要求作图或填空。 （1）过直线外点A画直线L的垂线，交直线L于M点。 （2）过直线外点B画直线L的垂线，交直线L于N点。 （3）线段AM与线段BN的位置关系是（    ）。 （4）连接AB，四边形AMNB是一个（    ）（填图形的名称）。 （5）在图中标注出四边形AMNB的高。 （6）测量得到∠ABN的角度是（    ）度。 12．（24-25四年级上·浙江台州·期末）下图是一块长方形菜地。 （1）将这块菜地分成两个完全相同的梯形，可以怎么分，请在图中画出来。 （2）根据图算出每个梯形的面积是多少？ （3）现扩建，把长和宽都延长100米，请问菜地的面积增加了多少公顷？ 13．（22-23四年级上·浙江台州·期末）如下图。 （1）在方格图中画一个与②号图形完全一样的图形。 （2）想一想、拼一拼：两个完全一样的②号图形可以拼成一个（    ）或（    ）或（    ）。 （3）如果把①号图形向右作平移运动，那么它与②号图形所形成的重叠部分不可能是（    ）。 A．正方形    B．长方形    C．平行四边形    D．梯形    E.三角形 14．（20-21四年级下·北京朝阳·期末）数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 15．（18-19四年级上·浙江杭州·期末）有一张长方形的纸，长12cm、宽4cm，对折两次后展开（如下图，虚线是展开后的折痕）。 （1）请你选择图中4个点，画一个梯形，要求梯形的两条底分别为6cm、9cm、高为4cm； （2）问题（1）中这样的梯形一共可以画出（    ）个，其中直角梯形有（    ）个。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项讲练5 平行四边形和梯形 （导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共48题） 【解析版】 知识速览 2 新知回顾 2 知识点梳理01：平行与垂直 2 知识点梳理02：平行四边形 3 知识点梳理03：梯形 4 知识点梳理04：四边形之间的关系 5 真题讲练 6 高频考点讲练1：平行的特征及性质 6 高频考点讲练2：画平行线 7 高频考点讲练3：垂直的特征 8 高频考点讲练4：画垂线 10 高频考点讲练5：点到直线的距离 11 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 12 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 13 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 15 高频考点讲练9：画平行四边形 17 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 19 高频考点讲练11：梯形的高及画法 20 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 22 高频考点讲练13：画梯形 23 高频考点讲练14：数图形 25 小升初真题实战演练 26 拔尖冲刺 29 知识点梳理01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【易错点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点梳理02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【易错点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点梳理03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【易错点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点梳理04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 高频考点讲练1：平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·福建福州·期末）写出图中各组线的位置关系。（填“∥”或“⊥”） AB( )CD，AC( )BD，AB( )BC。 【答案】 ∥ ⊥ ⊥ 【思路引导】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此定义解答。 【规范解答】图中是一个正方形ABCD，正方形的对边平行且相邻边互相垂直，所以AB ∥ CD，AB ⊥ BC；正方形的两条对角线也互相垂直，所以AC ⊥ BD。 【变式训练】（24-25四年级上·重庆万州·期末）在认识平行四边形时，同学猜想：平行四边形两组对边分别平行。明明、天天、乐乐根据猜想展开了验证。 明明：依据在同一平面内( )的两条直线互相平行，将两组对边延长，对边也不会相交的方法进行验证。 天天：依据端点分别在两条平行线上，且与平行线( )的所有线段的长度都( )来验证。 乐乐：依据平移三角尺的方法验证了两组对边分别平行。 最后，三人得出相同的结论：平行四边形两组对边分别平行。 【答案】 不相交 互相垂直 相等 【思路引导】平行线指的是在同一平面内，不相交的两条直线。它们之间的距离始终保持不变，平行线之间的距离为一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度。这个距离在两条平行线的任何位置都是相等的，因此被称为平行线之间的距离‌，且这个距离在两条平行线的任何位置都是相等的‌，所以，端点在平行线上且与两条平行线互相垂直的所有线段的长度都相等，据此解答即可。 【规范解答】明明：依据在同一平面内不相交的两条直线互相平行，将两组对边延长，对边也不会相交的方法进行验证。 天天：依据端点分别在两条平行线上，且与平行线互相垂直的所有线段的长度都相等来验证。 高频考点讲练2：画平行线 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，李叔叔居住的小区要改建暖气管道，从热电厂C铺设了一条管道CA。 （1）测量∠BCA＝（    ）°。 （2）过点B（王阿姨家）画管道CA的平行线。 （3）如果王阿姨居住的小区也要改建暖气管道，请你设计并画出从王阿姨家到管道CA的最短路线。 【答案】（1）60 （2）（3）见详解 【思路引导】（1）测量∠BCA需要使用量角器进行测量。使用量角器测量∠BCA，将量角器的中心与点C重合，0刻度线与CA重合，读出BC对应的刻度，即可得到∠BCA的度数（具体度数需根据实际测量得出）。 （2）把三角板的一条直角边与CA重合。把直尺靠在三角板的另一条直角边上。按住直尺不动，平移三角板，使三角板与CA重合的直角边经过点B。沿着三角板经过点B的直角边画直线，这条直线就是CA的平行线。 （3）求从王阿姨家到管道CA的最短路线，根据“垂线段最短”的原理，过点B作CA的垂线段。把三角板的一条直角边与CA重合，移动三角板，使另一条直角边经过点B。沿着经过点B的直角边画线段BD，线段BD就是从王阿姨家到管道CA的最短路线。 【规范解答】结合分析可知： （1）经过测量得，∠BCA＝60°。 （2）（3）如图所示： 【变式训练】（24-25四年级上·福建厦门·期末）画一组平行线，下面画法正确的是（    ）。 A．①②③ B．①④ C．②④ D．①② 【答案】D 【思路引导】用直尺和三角板画平行线的方法：固定三角板，沿三角板的一条直角边先画一条直线，把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠近一直尺，沿直尺滑动三角板，画出与已知直线平行的直线，据此解答。 【规范解答】图①利用两把三角板（或三角板与直尺）相互滑动，可以保证画出的新直线与原直线平行，这是常见的标准画法； 图②在有固定直边（如另一把三角板或丁字尺）作基准时，也能通过滑动三角板的方法画出平行线； 图③只是示意长方体上几组互相平行的棱线，并不属于常用的“画平行线”方法； 图④只有一把三角板，没有固定基准，无法保证所画直线与已知直线平行； 故答案为：D 高频考点讲练3：垂直的特征 【典例精讲】（24-25三年级下·山东济宁·期末）下图中，有( )组平行线，( )组垂线。 【答案】 3 4 【思路引导】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 【规范解答】AD与BC平行，AB与CD平行，AF与CE平行，因此平行线有3组； AF分别与BC和AD垂直，CE也分别与BC和AD垂直，因此垂线有4组。 综上可知，图中有3组平行线，有4组垂线。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）下面是游泳池的示意图，小强现在到A处，想尽快游上岸，请你帮他设计一条游上岸的最近路线，并在下图画出来。 【答案】从A点沿垂直方向直接游向离A最近的岸边（图中可见是上边），即画出一条从A到上岸边的垂直线段。见详解 【思路引导】根据题意，明确从直线外一点到这条直线的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直的线段最短。从A点沿垂直方向直接游向离A最近的岸边（图中可见是上边），即画出一条从A到上岸边的垂直线段。画垂线时，用三角尺的一条直角边靠着这条直线，另外一条直角边靠着这个点，然后过这个点画垂线，并标上垂直符号。 【规范解答】根据分析可知，从A点沿垂直方向直接游向离A最近的岸边（图中可见是上边），即画出一条从A到上岸边的垂直线段。 画图如下： 高频考点讲练4：画垂线 【典例精讲】（24-25四年级下·北京昌平·期末）在最美新农村建设中，工程队计划从阳光小区修一条通往公路的乡村小路，怎样修最近？请你在下图中画出来。 【答案】图见详解 【思路引导】点到直线的距离中，垂线段最短。求解计划是过阳光小区这个点向公路所在直线作垂线段，这条垂线段就是最短的乡村小路。过阳光小区向公路所在直线作垂线段，该垂线段即为修的最近的乡村小路。 【规范解答】根据分析，画出图形： 【变式训练】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）在下图中量一量、画一画。 ①量出∠1和∠2的度数，填在下面的括号里。 ②射线OC上有一点P，请你画出点P到射线OA，OB的垂直线段，并量出点P到射线OA，OB的距离，填在括号里。 ∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°。 P到OA的距离是（    ）厘米，P到OB的距离是（    ）厘米。 ③做了这道题目后，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 【答案】①②30；30；3；3 ③射线OC上的任意一点到射线OA和OB的距离是否都相等？ 【思路引导】①用量角器量角的步骤如下：先将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；角的另一条边所对应的刻度就是角的度数。 ②过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。由题意得，先过点C向射线OB和射线OA作垂直线段，然后再量出它们的长度即可。 ③由（2）可知，P到OA和OB的距离相等，据此提出数学问题：是不是射线OC上的任意一点到射线OA和OB的距离相等。 【规范解答】①② ③数学问题：射线OC上的任意一点到射线OA和OB的距离是否都相等？ 高频考点讲练5：点到直线的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·山东济南·期末）济南的南部山区可是大家休闲度假的好去处。小明家就在这儿经营着一家温馨的农家乐。从外面的大公路延伸出四条小路，它们都能把游客带到小明家的农家乐，这四条小路的长度依次为215米、309米、323米、420米。由于地势的特殊，其中有一条小路与公路是垂直的，这也是很多游客最常选择的便捷之路呢，那么这条垂直小路的长度是 米。 【答案】215 【思路引导】根据点到直线之间，垂线段最短，结合题意比较四条小路的长度，分析解答即可。 【规范解答】215米＜309米＜323米＜420米 这条垂直小路的长度是215米。 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）下图中，从A、B、C、D四个地方都能到达图书大厦，其中，最近的路线是从（    ）到图书大厦。 A．A B．B C．C 【答案】B 【思路引导】从直线外一点到直线上可以画无数条线段，因为直线是无限长的，从直线外一点向直线上的各个方向都可以画线段，有无数种可能，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，据此解答即可。 【规范解答】图中，从A、B、C、D四个地方都能到达图书大厦，其中，最近的路线是从B到图书大厦。 故答案为：B 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏南京·期末）把一个长6厘米，宽4厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．平行四边形的周长是10厘米。 B．平行四边形的面积是12平方厘米。 C．平行四边形的面积是24平方厘米。 D．平行四边形的周长是20厘米。 【答案】D 【思路引导】把一个长方形的框架拉成一个平行四边形后，四条边的长度不会发生改变，因此它们的周长不变，高度变小，所以面积变小，据此解答即可。 【规范解答】（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 所以平行四边形的周长是20厘米，面积小于24平方厘米，具体是多少不能确定。 A．平行四边形的周长是20厘米，不是10厘米，所以A选项说法错误； B．平行四边形面积小于24平方厘米，具体是多少不能确定，所以B选项说法错误； C．平行四边形面积小于24平方厘米，所以C选项说法错误； D．平行四边形的周长是20厘米，所以D选项说法正确。 故答案为：D 【变式训练】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下图中直线m∥n，每个倾斜式停车位都是相同的平行四边形。 （1）量一量，∠1的度数是（    ）。 （2）请你在图上再画一个同样大小的停车位。 【答案】（1）60° （2）画图见详解 【思路引导】（1）根据用量角器度量角的方法：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与∠1的一边重合，∠1的另一边所指着的量角器上（与0度刻度线同一圈）的刻度就是∠1的度数； （2）根据平行四边形每组对边分别平行且相等的特点，在直线n上截取AE＝AB，在直线m上截取DF＝DC，连接E、F两点，所作的四边形ADFE就是一个同样大小的停车位。 【规范解答】（1）量一量，∠1的度数是60°。 （2）作图如下：          （画法不唯一） 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江宁波·期末）下图中，每个小正方形的边长表示1cm。 （1）以EF为底画一个高为3cm的平行四边形，并以EF为底画出它的高。 （2）找出点D，使四边形ABCD是一个等腰梯形，画出这个梯形。 （3）在画好的梯形中增加一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，高画出3格；平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高； （2）只有一组对边平行，并且两条腰相等的梯形是等腰梯形； （3）画一条平行于AD的线段，把原来的梯形分成了左边一个平行四边形，右边一个梯形。 【规范解答】 （1） （答案不唯一） （2） （3） （答案不唯一） 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔南·期末）张亮在方格图中画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角，如图。 （1）这个角的度数是（    ）。 （2）请把这个平行四边形画完整。 （3）画出这个平行四边形AB边上的一条高。（提示：请标出“高”与直角符号） 【答案】（1）125° （2）（3）见详解 【思路引导】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此量出这个角的度数。 （2）平行四边形对边平行且相等，据此画完整这个平行四边形即可。 （3）平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，平行四边形的每一条边都可以看做是底，所以平行四边形有4条底，有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号，据此画出AB边上的一条高。 【规范解答】（1）这个角的度数是125°。 （2）（3）如图： （高画法不唯一） 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级上·湖南怀化·期末）如图，在两条平行线之间画线段AD平行于线段BC。下列说法错误的是（    ）。 A．四边形ABCD容易变形 B．线段AD比线段DE长 C．线段DE既是平行四边形ABCD的高，也是梯形BCDE的高 D．在平行四边形ABCD中，AB边上的高和BC边上的高一定相等 【答案】D 【思路引导】（1）四边形ABCD的两组对边分别平行，所以四边形ABCD是平行四边形，平行四边形具有不稳定性，易变形； （2）直线外一点到直线上所有的连线中，垂线段最短，所以线段AD比DE长； （3）根据平行四边形高的定义可知，线段DE是平行四边形底边AB上的高；梯形BCDE的两个底是线段DC和线段EB，线段DE与线段DC、线段EB都垂直，根据梯形高的定义可知，线段DE是梯形BCDE的高； （4）观察上图可知，线段DE比线段DC长，所以AB边上的高和BC边上的高不相等。 【规范解答】A．根据分析可知，四边形ABCD是平行四边形，容易变形，原说法正确。 B．根据分析可知，线段DE是点D到直线AB的垂线段，所以线段AD比线段DE长，原说法正确。 C．根据分析可知，线段DE既是平行四边形ABCD的高，也是梯形BCDE的高，原说法正确。 D．根据分析可知，在平行四边形ABCD中，AB边上的高和BC边上的高不相等，原说法错误。 故答案为：D 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）图①中升降机应用了平行四边形（     ）的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，请你帮他设计这两条路线，使这两条路线均最短，并说明理由： 。 【答案】不稳定性； 图见详解； 点到直线的垂线段最短 【思路引导】升降机要方便升降，因此升降机在升降过程中，应用了平行四边形的不稳定性的特点； 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使路线最短，则从A点先向茶饮区作垂线，再从茶饮区向MN边作垂线，即为所求。 【规范解答】如图： 图①中升降机应用了平行四边形不稳定性的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，则从A点先向茶饮区作垂线，再从茶饮区向MN边作垂线，从而使这两条路线均最短，理由：因为点到直线的垂线段最短。 高频考点讲练9：画平行四边形 【典例精讲】（23-24四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的等腰梯形。 （2）底是6厘米，高是3厘米的平行四边形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）梯形的上底与下底是互相平行的，在等腰梯形中，两腰长度相等，两底相互平行 。画一条水平线段，长度为5个小方格边长，即5厘米，作为等腰梯形的下底。在下底的两个端点，分别向上垂直数4个小方格，确定两个点。连接这两个点，使这条线段长度为3个小方格边长，即3厘米，作为等腰梯形的上底。分别连接上底的两个端点和下底两端点，使左右两条腰长度相等，这样就画出了上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的等腰梯形。 （2）画一条水平线段，长度为6个小方格边长，即6厘米，作为平行四边形的底。在底的一个端点，向上垂直数3个小方格，确定一个点。从这个点出发，画一条与底平行且长度为6个小方格边长（6厘米）的线段。连接两条6厘米线段的另外两个端点，这样就画出了底是6厘米，高是3厘米的平行四边形。 【规范解答】作图如下： 【变式训练】（24-25四年级上·广西柳州·期末）量一量，画一画，摆一摆。 （1）图中∠1＝（    ）°。 （2）先在图中找一个点D，连接ABCD使它成为一个平行四边形；再画出它的一条高，并标识出来。 （3）这个平行四边形ABCD的∠C是一个钝角，小维用一副三角尺拼出与它相等的角。他用了三角尺（    ）°角和（    ）°角。 【答案】（1）45 （2）见详解 （3）90；45 【思路引导】（1）用量角器量角时，把量角器的中心和角的顶点B重合，0°刻度线与角的一边BC重合，看0°刻度线在内圈还是外圈。角的另一条边AB所对的量角器上的刻度就是这个角的度数。 （2）平行四边形的两组对边平行且相等。过点A画BC边的平行线。再平行线上取一点D使得AD＝BC。连接DC，所画的图形就是平行四边形。 画平行线时，三角尺的一条直角边与已知直线BC重合，直尺的一条边紧靠三角尺另一条直角边，移动三角尺到点A，过点A，沿三角尺的直角边画平行线。 从平行四边形一条边上的一点，到它对边的垂直线段就是平行四边形的高。画高时，用三角尺的直角边和BC对齐，平移三角尺使得另一条直角边与点A重合。过点A 沿着另一条直角边画线，这条线就是平行四边形的高。再标上垂直标记。 （3）∠1是45°。平行四边形中相邻两个角的度数和是180°，用180°－45°＝135°。一副三角尺的角的度数分别是90°、45°、45°，90°、60°、30°。据此可知是哪两个角拼成的。 【规范解答】（1）用量角器量得∠1＝45°。 （2）平行四边形以及高的画法如下所示：（高的画法不唯一） （3）180°－45°＝135° 90°＋45°＝135° 所以，他用了三角尺90°角和45°角。 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆潼南·期末）一张长方形纸，长是16厘米，宽是8厘米，把它对折两次后展开（如图）。以展开图上的10个点为顶点，可以画出不同的平行四边形、梯形或三角形。画出最大梯形的上底与下底的和是( )厘米，高是( )厘米；画出的最小平行四边形的一条底是( )厘米，对应的高是( )厘米。 【答案】 28 8 4 8 【思路引导】要使梯形最大，上底和下底的和要尽可能大，高也要尽可能大。长方形的长16厘米，对折两次后，长平均分成4份；最大的梯形中，上底最大可以占其中的3份，下底最大可以占其中的4份，高就是原长方形的宽；最小的平行四边形中的底就是其中的1份，高就是原长方形的宽。 【规范解答】16÷4＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 12＋16＝28（厘米） 所以最大梯形的上底与下底的和是28厘米，高是8厘米。 4×1＝4（厘米） 所以最小平行四边形的一条底是4厘米，对应的高是8厘米。 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末） （1）请以射线AB为一边，点A为顶点，用量角器画一个60°的角。 （2）请过点E作线段CD的垂线，并标记垂足为点O。 （3）请以线段CD为底，线段EO为高，画一个梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）角的画法： ①量角器的中心和射线的端点A重合，0°刻度线和射线AB重合。 ② 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点。 ③ 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 （2）垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线CD重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点E，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。相交的点为垂足O。 （3）梯形特征：只有一组对边平行的四边形。那么过E点画CD的平行线但不要一样长，再连接左边和右边即可。 【规范解答】如图： 高频考点讲练11：梯形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形，它的高是( )厘米；如果∠1＝125°，∠3＝( )°。 【答案】 梯 5 55 【思路引导】根据图片，重叠部分有一组对边在长方形纸的两条长上，则这两条对边平行，有一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，则重叠部分是梯形；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，此时梯形的高是长方形纸的宽，即5厘米；∠1和∠3组成平角，平角等于180°，用180°减去∠1的度数，即可求出∠3是多少度。 【规范解答】∠3＝180°－∠1＝180°－125°＝55° 如图，将一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是梯形，它的高是5厘米；如果∠1＝125°，∠3＝55°。 【变式训练】（24-25四年级上·山东临沂·期末）将一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放。如图，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝120°，那么∠2＝( )°。 【答案】 梯 6 60 【思路引导】一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，重叠部分的图形上下两条边分别在长方形纸的两条长上，长方形对边平行，则该图形有一组对边平行，另一组对边在三角形纸的两条边上，不可能平行，则重叠部分是一个梯形；梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，上底和下底之间的垂线即为原来长方形纸的宽；已知∠1是120°，∠1和∠2组成平角，平角等于180°，用180°减去120°即可求出∠2的度数。 【规范解答】180°－120°＝60° 将一张长20厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放。如图，重叠部分是一个梯形，它的高是6厘米。已知∠1＝120°，那么∠2＝60°。 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）长安花卉博览会又要开始了，这次郁金香展区被设计成平行四边形。 （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中选一个点记作D，并画出这个平行四边形。 （2）请你量一量∠ABC＝（    ）°。 （3）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （4）设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【答案】（1）见详解 （2）75 （3）见详解 （4）见详解 【思路引导】（1）以AC、AB为相邻边，取一点D，使CD平行于AB，BD平行于AC，然后顺次连接各点即可得到一个平行四边形；据此在方格纸中画图。 （2）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答。 （3）从直线外一点到已知直线画的垂直线段和斜线，垂线段最短； 过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此把展区靠近点E这条边看作一条直线，由点E向直线画垂直线段即可。 （4）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形；据此从平行四边形的一个顶点向对边画线段把它分成一个三角形和一个等腰梯形。据此画图。 【规范解答】（2）通过量一量可知，∠ABC＝75°。 （1）（3）（4）如下图： 【变式训练】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）如图，黄老师用一根长48厘米的铁丝恰好围成一个等腰梯形学具，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【思路引导】等腰梯形两条腰的长度相等，长48厘米的铁丝恰好围成一个等腰梯形学具，则该等腰梯形的周长是48厘米，用周长减去上底和下底的长度，再除以2即可求出这个等腰梯形的腰长是多少厘米。 【规范解答】（48－4－16）÷2 ＝28÷2 ＝14（厘米） 答：这个等腰梯形的腰长是14厘米。 高频考点讲练13：画梯形 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）（1）在图中找一个点D并连线。使得到的四边形ABCD是一个梯形，请你画出这个梯形。 （2）画出这个梯形的一条高。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形叫作梯形。由题意得，可以找一点D使得AD边与BC边平行，CD边与AB边不平行即可。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。据此作图。 【规范解答】（1）（2） 【变式训练】（24-25四年级上·湖南湘西·期末）按要求作图。 （1）画一个下底是7厘米，高是3厘米的等腰梯形，并画出它的一条高。 （2）在等腰梯形中画一条线段，将它分成一个三角形和平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据等腰梯形的特征：只有一组对边平行，而且另外两边相等的四边形是等腰梯形，据此借助格子纸，画一条7厘米的下底，左端点和右端点各多出上底2厘米，使左右对称，在梯形的上底上找一点，过这个点向下底作3厘米的垂线就是梯形的高，再连接剩下的两边即可画出等腰梯形。 （2）根据平行四边形特征：两组对边分别平行，那么从上底的一个右端点向下底画一条与左边平行的线段，将等腰梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。或者从上底的左端点同样画出一条与右边平行的线段。 【规范解答】（1）（2）如图： 高频考点讲练14：数图形 【典例精讲】（23-24四年级上·福建莆田·期末）数一数，下图中一共有（    ）个梯形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】观察图形可知，单个的梯形有3个，2个梯形拼成的梯形有1个；3个梯形拼成的梯形有1个，据此加起来即可解答。 【规范解答】3＋1＋1＝5（个） 即数一数，下图中一共有5个梯形。 故答案为：C 【变式训练】（22-23四年级下·广东佛山·期末）如图中，有（    ）平行四边形，（    ）个梯形。 A．1；6 B．3；6 C．4；3 D．6；4 【答案】B 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫梯形，据此判断选择。 【规范解答】根据分析可知： 图中，有3个平行四边形，如图：； 有6个梯形，如图： 。 故答案为：B 【演练1】（2024·重庆石柱·小升初真题）如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 【答案】见详解 【思路引导】测量跳远成绩的依据是垂线段最短，即测量后脚印与起跳线间的垂直距离即为跳远成绩。 【规范解答】 【演练2】（2022·河北唐山·小升初真题）同一平面内两条直线的位置关系是不平行就相交。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在同一平面内，直线间的关系有相交和平行。相交线：两条直线交于一点或是两条直线的延长线交于一点，我们称这两条直线相交，平行线：在同一平面内，不相交的两直线叫做平行线，它们的关系叫互相平行。 【规范解答】同一平面内两条直线的位置关系是不平行就相交。这句话正确。 故答案为：√ 【演练3】（2021·宁夏吴忠·小升初真题）下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【答案】（1）65° （2）（3）见详解 【思路引导】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）平行四边形：对边平行且相等，根据平行四边形的特征，分别画出过A点和过C点，BC和AB的平行线，围起来的就是平行四边形。 （3）从C点向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 【规范解答】（1）∠ABC的度数是65°。 （2）（3） 【考点剖析】平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。 【演练4】（2021·贵州黔东南·小升初真题）如图的角用量角器测量出是（    ）°，是（    ）角，以角的两边为相邻边画一个平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【答案】45；锐；见详解 【思路引导】（1）用量角器量角的度数方法：使量角器的中心和角的一条边的端点重合，0°刻度线和边重合；看角的另一条边对齐量角器角哪一个刻度，就是角的度数。小于90°的角是锐角，大于90°而小于180°的角是钝角，等于90°的角是直角。据此解答。 （2）平行四边形有两组对边平行且相等；分别作这个角的两边的平行线，与这个角的两边围成平行四边形；经过平行四边形一边上的一点向对边画垂线，该点与垂足之间的线段就是这个平行四边形的高。 【规范解答】用量角器测量出是45°，45°＜90°，这个角是锐角。 作图如下： （高的画法不唯一） 【考点剖析】本题考查用量角器量角度，以及利用直尺、三角板作平行线和垂线的能力。 【演练5】（2024·全国·小升初真题）画图与计算。 （1）在下图中，画出表示A点到直线距离的线段。 （2）过A点作已知直线的平行线。 （3）量一量，A点到已知直线的距离是（  ）厘米。 【答案】（1），（2）见详解；（3）1.5 【思路引导】（1）过点A作已知直线的垂线； （2）过点A作垂线段的垂线； （3）用直尺测量，0刻度与点A对齐，尺子与垂线重合，度数即可。 【规范解答】（1） （2） （3）测量距离为1.5厘米。 【考点剖析】此题主要考查学生对垂线和平行线绘图的应用。 1．（24-25四年级上·河北保定·期末）要想画出一组平行线，下面操作方法错误的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】平行线是两条直线永不相交，逐项分析操作方法判断。 【规范解答】A．利用2个三角尺，一个三角尺的一边与已知直线重合后保持不动，另一个三角尺紧靠前一把三角尺的另一边，然后滑动与已知直线重合的三角尺到另一个位置，画出的新线与原线平行，画法正确。 B．利用直尺和三角尺，一个三角尺的一条直角边与已知直线重合后保持不动，另一个直尺紧靠前一把三角尺的另一条直角边，然后滑动三角尺到另一个位置，画出的新线与原线平行，画法正确。 C．把两块直尺随意摆放画线的做法无法保证两条线保持平行，因此是错误的操作方法。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果点A沿着AD所在直线慢慢向右移动，与点D重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→三角形 B．梯形→平行四边形→梯形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】结合所学知识：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰； 两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫三角形。据此判断即可。 【规范解答】如果点A沿着AD所在直线慢慢向右移动，线段AB的长度也在发生变化，与CD的位置也在发生变化，过点B作一条线段与CD平行，交AD于点E，同时连接BD，如图所示： 当A点在AE之间运动的时候，此时四边形ABCD是梯形；当A点与E点重合的时候，此时AB与CD互相平行且相等，此时四边形ABCD是平行四边形；当A点在ED之间运动的时候，此时四边形ABCD是梯形；当A点与D点重合的时候，此时四边形ABCD变成三个顶点三条边，是三角形。 这个图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形→三角形。 故答案为：B 3．（24-25四年级上·贵州六盘水·期末）明明在超市采购了一款长16厘米，宽12厘米的长方形卡纸，如图，沿着虚线将长方形卡纸剪开；得到两张完全相同的三角形卡纸。明明用这两张三角形卡纸拼成了一个平行四边形，那么拼成的平行四边形周长最大是（    ）厘米。 A．56 B．64 C．72 【答案】C 【思路引导】将矩形对角线剪开后，得到的两个直角三角形边长分别为12厘米、16厘米和20厘米。若要把两张相同三角形拼成平行四边形，并使其周长最大，则应让“最短边（12厘米）”相对拼合（作为重合边）。这样，平行四边形的两组相邻边便是16厘米和20厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，因此周长为2×（16＋20）＝72厘米。 【规范解答】2×（16＋20） ＝2×36 ＝72（厘米） 拼成的平行四边形周长最大是72厘米。 故答案为：C 4．（21-22四年级下·浙江金华·期末）在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过C点作AB边的平行线，此时有4个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。 【规范解答】 4＋2＝6（种） 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的是搭配问题的计算，熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。 5．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，木工师傅常常把两把相同曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度，如果相等，木工师傅就判断木板上下两边平行，其中蕴含的道理是( )。 【答案】在同一平面内，如果两条直线之间的距离处处相等，那么它们就互相平行 【思路引导】木工师傅将两把相同的曲尺分别紧贴木板上下两边，通过比较曲尺上对应刻度是否相等，实质上是在比较这两条边之间的“垂直距离”是否处处相同。若刻度相等，说明上下两边的距离不变，从而可判断这两条边是平行的。 【规范解答】如图，木工师傅常常把两把相同曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度，如果相等，木工师傅就判断木板上下两边平行，其中蕴含的道理是在同一平面内，如果两条直线之间的距离处处相等，那么它们就互相平行。 6．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，将两张长12厘米、宽4厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 平行四边 4 【思路引导】 平行四边形的两组对边平行且相等；观察图形可知，重叠部分的四边形的四条边分别属于两个长方形的两条长的一部分，根据长方形的特征，可解答。过重叠部分图形的一个顶点作底边的垂线，如左图，可知重叠部分图形的高于长方形的宽相等；据此解答。 【规范解答】根据长方形的两组对边平且相等，可知重叠部分图形的有两组对边平行且相等，所以重叠部分是一个平行四边形；平行四边形的高等于长方形的宽，所以它的高是4厘米。 7．（24-25四年级上·河北保定·期末）如图，一个平行四边形的周长是120厘米，其中一条边的长为25厘米，与它相邻边的边长是( )厘米。 【答案】35 【思路引导】图形一周的长度叫作它的周长。平行四边形的对边相等，所以平行四边形的周长＝两条邻边之和×2，一条边＝周长÷2－另一条邻边。由题意得，一个平行四边形的周长是120厘米，其中一条边的长为25厘米，直接将数据代入即可算出与它相邻边的边长是多少厘米。 【规范解答】120÷2－25 ＝60－25 ＝35（厘米） 一个平行四边形的周长是120厘米，其中一条边的长为25厘米，与它相邻边的边长是35厘米。 8．（24-25四年级上·河南漯河·期末）一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕一定互相平行。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】将长方形纸对折两次时，折痕的方向取决于对折的方式。如果两次对折都沿同一方向（如均沿长边或均沿短边），则两条折痕互相平行。但如果两次对折方向不同（如第一次沿长边，第二次沿短边），则折痕会互相垂直。 【规范解答】由分析可知：一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕可能平行，也可能垂直，原题说法错误。 故答案为：× 9．（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）直线和互相平行，同时直线和互相垂直，我们也可以说直线b和c互相垂直。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。互相平行的两条直线垂直于同一条直线。据此解答。 【规范解答】直线和互相平行，同时直线和互相垂直，则直线b也垂直于直线c，我们也可以说直线b和c互相垂直。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）聪聪把一个四边形剪成如下两个完全一样的直角梯形。 （1）明明觉得原来的四边形可能是长方形，并把图形补完整了。你觉得原来的四边形还可能是什么图形，请像明明那样把图形补完整。 （2）原来这个四边形的周长最多是多少厘米？ （3）原来这个四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解； （2）36厘米； （3）55平方厘米 【思路引导】（1）由题意得，可以把两个直角梯形的高拼在一起，这样可以得到一个大的梯形。如果将其中的一个直角梯形旋转后再把它们的高拼在一起，这样可以得到一个平行四边形。 （2）求原来这个四边形的周长最多是多少厘米，可以分别求出几种不同的四边形的周长，然后找出周长最大的即可。长方形的周长＝（长＋宽）×2，拼成的大长方形的长是（8＋3）厘米，宽是5厘米，直接将数据代入即可算出长方形的周长；平行四边形的周长＝两条邻边之和×2。拼成的平行四边形的两条邻边长度分别是（8＋3）厘米和7厘米，直接将数据代入即可算出平行四边形的周长；梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长度。拼成的大梯形的上底是（3＋3）厘米，下底是（8＋8）厘米，腰是7厘米，直接将数据代入即可算出梯形的周长。 （3）无论原来的图形是什么形状，原来图形的面积都等于两个直角梯形的面积之和。两个直角梯形拼成了一个长（8＋3）厘米，宽是5厘米的长方形。长方形的面积＝长×宽，那么直接将数据代入即可算出原来这个四边形的面积是多少平方厘米。 【规范解答】 （1） （2）8＋3＝11（厘米） 大长方形的周长：（11＋5）×2＝16×2＝32（厘米） 3＋8＝11（厘米） 平行四边形的周长＝（11＋7）×2＝18×2＝36（厘米） 3＋3＝6（厘米） 8＋8＝16（厘米） 梯形的周长：6＋16＋7＋7＝22＋7＋7＝29＋7＝36（厘米） 36厘米＝36厘米＞32厘米 答：原来这个四边形的周长最多是36厘米。 （3）8＋3＝11（厘米） 11×5＝55（平方厘米） 答：原来这个四边形的面积是55平方厘米。 11．（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）已知直线L与直线外A、B两个点。根据要求作图或填空。 （1）过直线外点A画直线L的垂线，交直线L于M点。 （2）过直线外点B画直线L的垂线，交直线L于N点。 （3）线段AM与线段BN的位置关系是（    ）。 （4）连接AB，四边形AMNB是一个（    ）（填图形的名称）。 （5）在图中标注出四边形AMNB的高。 （6）测量得到∠ABN的角度是（    ）度。 【答案】（1）（2）（5）均见详解 （3）互相平行 （4）梯形 （6）80 【思路引导】（1）（2）把三角板的一直角边靠紧直线L，沿这条直线L滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，并使其与直线L相交于M（N）点，依此画图并标上垂直符号即可。 （3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，依此填空。 （4）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此填空。 （5）在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图。 （6）先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 【规范解答】（1）（2）（5）画图如下： （3）根据分析，线段AM与线段BN的位置关系是（互相平行）。 （4）四边形AMNB中，只有一组对边互相平行，因此连接AB，四边形AMNB是一个（梯形）。 （6）经过测量，测量得到∠ABN的角度是（80）度。 12．（24-25四年级上·浙江台州·期末）下图是一块长方形菜地。 （1）将这块菜地分成两个完全相同的梯形，可以怎么分，请在图中画出来。 （2）根据图算出每个梯形的面积是多少？ （3）现扩建，把长和宽都延长100米，请问菜地的面积增加了多少公顷？ 【答案】（1）见相解；（2）10000平方米；（3）4公顷 【思路引导】（1）梯形的特征：只有一组对边平行，而且将这块菜地分成两个完全相同的梯形，先连接长方形两条对角线，交点即为中心，过中心画一条连接上下边或左右边的线段（线段不要与边平行）即可，答案不唯一。 （2）这块菜地分成了两个完全相同的梯形，所以梯形面积是长方形面积的一半，根据长方形面积＝长×宽，再除以2即为每个梯形的面积。 （3）先算出延长后的长和宽各是多少，再根据长方形面积公式算出扩建后的面积减去原来菜地面积即为增加面积，再根据1公顷＝10000平方米换算成公顷作单位。 【规范解答】（1）如图： （2）200×100÷2 ＝20000÷2 ＝10000（平方米） 答：每个梯形的面积是10000平方米。 （3）200×100＝20000（平方米） （200＋100）×（100＋100） ＝300×200 ＝60000（平方米） 60000－20000＝40000（平方米） 40000平方米＝4公顷 答：菜地的面积增加了4公顷。 13．（22-23四年级上·浙江台州·期末）如下图。 （1）在方格图中画一个与②号图形完全一样的图形。 （2）想一想、拼一拼：两个完全一样的②号图形可以拼成一个（    ）或（    ）或（    ）。 （3）如果把①号图形向右作平移运动，那么它与②号图形所形成的重叠部分不可能是（    ）。 A．正方形    B．长方形    C．平行四边形    D．梯形    E.三角形 【答案】（1）见详解；（2）梯形；平行四边形；正方形；（3）E 【思路引导】（1）直角梯形是指有一个直角的梯形，属于四边形。梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角；据此画出直角梯形。 （2）两组对边分别平行、四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。两个完全一样的直角梯形拼接，可以拼接成一个梯形或平行四边形或正方形。 （3）①号图形和②号图形都是梯形，都有一组平行线，在移动相交过程中会有两组平行线相互交叉形成四边形，所形成的四边形可能有正方形、长方形、平行四边形、梯形。 【规范解答】（1）在方格图中画一个与②号图形完全一样的图形。 （2）想一想、拼一拼：两个完全一样的②号图形可以拼成一个（梯形）或（平行四边形）或（正方形）。 （3）如果把①号图形向右作平移运动，那么它与②号图形所形成的重叠部分不可能是（E）。 A.正方形    B.长方形    C.平行四边形    D.梯形    E.三角形 【考点剖析】熟悉四边形（正方形、长方形、平行四边形、梯形）的特征是解答此题的关键。 14．（20-21四年级下·北京朝阳·期末）数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【思路引导】（1）欢欢同学把四边形的4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数，用4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和，适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，这种方法易操作，适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【规范解答】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【考点剖析】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索，获取最简洁、正确的解题方法。 15．（18-19四年级上·浙江杭州·期末）有一张长方形的纸，长12cm、宽4cm，对折两次后展开（如下图，虚线是展开后的折痕）。 （1）请你选择图中4个点，画一个梯形，要求梯形的两条底分别为6cm、9cm、高为4cm； （2）问题（1）中这样的梯形一共可以画出（    ）个，其中直角梯形有（    ）个。 【答案】（1）见详解 （2）12；8 【思路引导】（1）长方形长是12厘米，平均分成四段，每段长3厘米，以AC为上底，JG为下底，连接CG，四边形AJGC为符合条件的梯形。 （2）长方形上边AC＝BD＝CE＝6（厘米），AD＝BE＝9（厘米），所以上边6厘米长的线段有3条，9厘米长的线段有2条；下边同样6厘米线段有3条，9厘米线段有2条； 上边1条6厘米线段与下边2条9厘米线段可以组2个底为6cm、9cm、高为4cm梯形，3条6厘米长线段就可组成3×2＝6个梯形；同理下边6厘米线段与上边9厘米线段也可组成6个梯形，所以一共有6×2＝12个梯形； 上边AC与下边9厘米长线段可组成1个直角梯形AJGC，BD与下边9厘米长线段可组成2个直角梯形BDFI和BDGJ，CE也可与下边9厘米长线段组成1个直角梯形CEFI，所以上边6厘米长线段与下边9厘米长线段可以组1＋2＋1＝4个直角梯形；同理下边6厘米长线段与上边9厘米长线段也可组4个直角梯形；直角梯形一共有4×2＝8个。 【规范解答】（1） （2）根据分析可知，问题（1）中这样的梯形一共可以画出12个，其中直角梯形有8个。 【考点剖析】本题主要考查学生对梯形知识的掌握和灵活运用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $