学易金卷：高一数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教B版必修第一册全部+必修第二册第四章和第五章）

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教B版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册全部+必修第二册第四章和第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录的数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，则这5个数据的第60百分位数为（   ） A．3.58 B．3.59 C．3.76 D．3.77 3．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．两名男生一名女生 D．全是男生 4．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C．若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（    ） A．2min B．3min C．4min D．6min 9．已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 12．已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 13． . 14．若正数满足，则的最小值为 ，此时 ． 15．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有 ①． ②．当时， ③． ④．不等式的解集为 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 17．（13分）已知函数的图象过原点，且．………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 18．（14分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明. (2)判断函数在上的单调性，若，求m范围 19．（15分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. (1)从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； (2)从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； (3)假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 20．（15分）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，分别求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围 (3)若，，讨论此不等式的解集． 21．（15分）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教B版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册全部+必修第二册第四章和第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有：，，， 所以， 故选：D. 2．某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录的数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，则这5个数据的第60百分位数为（   ） A．3.58 B．3.59 C．3.76 D．3.77 【答案】D 【解析】因为，所以这5个数据的第60百分位数为. 故选：D. 3．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．两名男生一名女生 D．全是男生 【答案】D 【解析】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："两名男生一名女生"与事件“至多一名男生”不能同时发生，还有可能是“三名男生"，是互斥事件但不是对立事件，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 4．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， 所以 故选：D 6．，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，不是偶函数，故A错误； ，不是偶函数，故B错误； ，为偶函数，故C正确； ，不是偶函数，故D错误. 故选：C. 7．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C．若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（    ） A．2min B．3min C．4min D．6min 【答案】C 【解析】对于75℃物体冷却的情况，代入公式， 得，即，化简得. 取自然对数得，解得. 对于68℃物体冷却的情况，代入公式得， 即，化简得. 取自然对数得，解得. 故选：C 9．已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由②，即，所以为偶函数； 由①，则； 由③对，，当时，都有， 可得在上单调递减，所以在上单调递增， 所以当时，当或时， 所以不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：C 10．定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】中取，，得，即， 取，，得，即，所以， 得， 是周期为2的周期函数，，作出函数的图象及直线， 可得两图象有7个交点， 故选：B.    第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 【答案】 【解析】由题意可得, 解得, 所以定义域为. 故答案为： 12．已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为和互斥，所以， 所以，解得， 故答案为：. 13． . 【答案】/ 【解析】因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 14．若正数满足，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 72 【解析】根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 15．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有 ①． ②．当时， ③． ④．不等式的解集为 【答案】①②④ 【解析】故①正确； 时，所以当时，，故②正确； 当时， 此时.故③错误； 令则化为， 解得所以，所以，所以 不等式的解集为，故④正确. 故选:①②④ 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】(1) (2) (3)15.3125 【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得． （2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． （3）因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 17．（13分）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 18．（13分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明. (2)判断函数在上的单调性，若，求m范围 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2) 【解析】（1）函数为奇函数，证明如下： 由已知可得，且定义域为R关于原点对称 且 所以函数是奇函数. （2）函数是增函数，因为在上单调递增，且恒大于0，则在上单调递增， 所以由得， ，，. 19．（15分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. (1)从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； (2)从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； (3)假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”， 根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：史探秘，日海报，徽设计， 则． （2）从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 设“从高一年级随机选取2名学生，高二年级随机选取2名学生，这4名学生中恰有2名学生参与徽设计”， 则． （3）由， 则数据，，，，的平均数为 ， 则数据，，，，的方差为 ， 则的值集中在8.2附近时方差最小，又，， 此时的值为（任意分配），此情况相对更集中，其他情况较分散， 则或或. 20．（15分）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，分别求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围 (3)若，，讨论此不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）由题意可知和4是方程的两个根，且， 所以，， 解得； （2）若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是； （3）若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21．（15分）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 【答案】(1)①是，理由见解析(2)或(3) 【解析】（1）对于①，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于②，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以①是在上的美好函数. （2）当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当，；当时，，当时，， 当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或. （3）由（2）知，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此，解得， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教B版） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(14分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ ____________________ 14．___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教B版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D A D C B C C B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14. 72; 15.①②④(答对1个或2个得3分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得．（3分） （2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为．（9分） （3）因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125．（14分） 17．（13分） 【解析】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2．（7分） （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为（13分） 18．（13分） 【解析】（1）函数为奇函数，证明如下： 由已知可得，且定义域为R关于原点对称 且 所以函数是奇函数.（6分） （2）函数是增函数，因为在上单调递增，且恒大于0，则在上单调递增， 所以由得， ，，.（13分） 19．（15分） 【解析】（1）设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”， 根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：史探秘，日海报，徽设计， 则．（4分） （2）从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 设“从高一年级随机选取2名学生，高二年级随机选取2名学生，这4名学生中恰有2名学生参与徽设计”， 则．（9分） （3）由， 则数据，，，，的平均数为 ， 则数据，，，，的方差为 ， 则的值集中在8.2附近时方差最小，又，， 此时的值为（任意分配），此情况相对更集中，其他情况较分散， 则或或.（15分） 20．（15分） 【解析】（1）由题意可知和4是方程的两个根，且， 所以，， 解得；（4分） （2）若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是；（9分） （3）若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（15分） 21．（15分） 【解析】（1）对于①，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于②，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以①是在上的美好函数.（4分） （2）当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当，；当时，，当时，， 当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或.（10分） （3）由（2）知，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此，解得， 所以.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教B版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册全部+必修第二册第四章和第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录的数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，则这5个数据的第60百分位数为（   ） A．3.58 B．3.59 C．3.76 D．3.77 3．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．两名男生一名女生 D．全是男生 4．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C．若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（    ） A．2min B．3min C．4min D．6min 9．已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 12．已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 13． . 14．若正数满足，则的最小值为 ，此时 ． 15．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有 ①． ②．当时， ③． ④．不等式的解集为 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 17．（13分）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 18．（13分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明. (2)判断函数在上的单调性，若，求m范围 19．（15分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. (1)从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； (2)从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； (3)假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 20．（15分）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，分别求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围 (3)若，，讨论此不等式的解集． 21．（15分）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $