学易金卷：高一数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教A版必修第一册第一章至第五章诱导公式）

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教A版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章至第五章诱导公式。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．定义在上的函数是偶函数，且在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．化简 ． 12．已知函数为幂函数，则 . 13．已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 14．已知，则函数的最小值是 ，此时 . 15．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列说法正确的是 ①．若，则函数为奇函数 ②．若，则 ③．函数的图象必有对称中心 ④．， 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）设全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 18．（13分）在平面直角坐标系中，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且． (1)求点的坐标； (2)求的值． 19．（15分）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 20．（15分）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 21．（15分）已知函数. (1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (2) 若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围； (3) 若在上有零点，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教A版) 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(12分) 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教A版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章至第五章诱导公式。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．定义在上的函数是偶函数，且在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．化简 ． 12．已知函数为幂函数，则 . 13．已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 14．已知，则函数的最小值是 ，此时 . 15．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列说法正确的是 ①．若，则函数为奇函数 ②．若，则 ③．函数的图象必有对称中心 ④．， 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）设全集，集合，集合. (1)当时，求， (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 18．（13分）在平面直角坐标系中，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且．………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求点的坐标； (2)求的值． 19．（15分）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 20．（15分）已知函数是定义在上的奇函数.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 21．（15分）已知函数. (1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (2) 若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围； (3) 若在上有零点，求实数的取值范围. 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教A版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章至第五章诱导公式。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 2．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 3．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】当，此时成立， 当时，此时不一定成立，例如，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 4．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 5．若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题“，都有”为真命题，所以， 即实数的取值范围是． 故选：C． 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 7．把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以的值为， 故选：C 8．已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 9．定义在上的函数是偶函数，且在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在为增函数，则在为减函数，且， 不等式化为或， 解得或，所以原不等式的解集为. 故选：A 10．已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【答案】D 【详解】对于A，因函数是定义在上的函数，其图象关于点对称， 且，可得， 由可得， 则有，则， 故，即4为函数的一个周期， 又由可得， 由可得， 这些条件均无法确定，可以是任意满足的值， 故没有依据，故A错误； 对于B，由A已得， 假设，则恒成立，而题设没有这个条件，故B错误； 对于C，由可得，故为偶函数， 假设为奇函数，则恒成立，而题设没有这个条件，故C错误； 对于D，由函数的图象关于点对称可知， 令得，即， 又由A项，，可得：，， 且4为函数的一个周期， 故，故D正确. 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．化简 ． 【答案】 【详解】， 故答案为： 12．已知函数为幂函数，则 . 【答案】4 【详解】由题意，解得，所以. 故答案为：4. 13．已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 【答案】 【详解】已知点在单位圆上，单位圆的半径，根据三角函数的定义，. 所以. 故答案为：. 14．已知，则函数的最小值是 ，此时 . 【答案】 7 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 15．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列说法正确的是 ①．若，则函数为奇函数 ②．若，则 ③．函数的图象必有对称中心 ④．， 【答案】①③④ 【详解】对于选项①，记． 因为，所以为奇函数，故选项①正确； 对于选项②，由选项A可知，从而， 所以，故选项②错误； 对于选项③，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项③正确； 对于选项④，由选项③可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项④正确． 故选：①③④． 3、 解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）设全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，或，， ，所以，. （2）若是的充分不必要条件，则真包含于； 不等式可化为， 当时，不等式即为，不等式的解集为， 因为， 但，所以，不合题意； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得. 综上所述，的取值范围为. 17．（15分）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以. （2）由，得（i）； （ii）. 18．（13分）在平面直角坐标系中，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且． (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，角为第二象限角，则，， 由三角函数的定义，得点的坐标为. （2）由（1）得， 所以. 19．（15分）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 20．（15分）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 任意，由函数在上单调递增，得， 则，，于是，即， 所以函数在上是增函数. （3）对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 21．（15分）已知函数. (1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (2) 若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围； (3) 若在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）（3）. 【详解】（1）因为是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，则，即， 因为的定义域和值域均为， 所以，解得； （2）因为是上的严格减函数，所以对称轴； 则在上单调递减，在上单调递增， 则时，，因为，，所以， 为使对任意的，总，只需，解得， 综上，， 即实数的取值范围为. （3）在上有零点，在上有解． 在上有解 因为，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考（人教A版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B B C A C A A D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．4 13． 14. 7 15.①③④(答对1个或2个得3分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分） 【详解】（1）当时，或，， ，所以，.（5分） （2）若是的充分不必要条件，则真包含于； 不等式可化为， 当时，不等式即为，不等式的解集为， 因为， 但，所以，不合题意； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得； 当时，不等式的解集为或， 要想满足真包含于，则有或，结合，解得. 综上所述，的取值范围为.（12分） 17．（15分） 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以.（5分） （2）由，得（i）；（5分） （ii）.（5分） 18．（13分） 【详解】（1）依题意，角为第二象限角，则，， 由三角函数的定义，得点的坐标为.（5分） （2）由（1）得， 所以.（13分） 19．（15分） 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为；（4分） （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数；（9分） （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或.（15分） 20．（15分） 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以.（4分） （2）由（1）知，， 任意，由函数在上单调递增，得， 则，，于是，即， 所以函数在上是增函数.（9分） （3）对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）因为是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，则，即， 因为的定义域和值域均为， 所以，解得；（4分） （2）因为是上的严格减函数，所以对称轴； 则在上单调递减，在上单调递增， 则时，，因为，，所以， 为使对任意的，总，只需，解得， 综上，， 即实数的取值范围为.（9分） （3）在上有零点，在上有解． 在上有解 因为，所以.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $