专题03 函数的概念及性质（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题03 函数的概念及性质 5大高频考点概览 考点01 函数的概念及表示综合运用 考点02 函数的单调性综合运用 考点03 函数的奇偶性综合运用 考点04 抽象函数综合运用 考点05 幂函数综合运用 地 城 考点01 函数的概念及表示综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知定义在上的函数满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】利用给定的关系，赋值计算即得. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得；取，得；取，得， 所以. 故选：C 2．(23-24高一上·重庆部分区·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．(23-24高一上·重庆七校·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足： 分母不为零：……① 负数不能开偶次方根：……② 由①②得：的定义域为. 故选：B. 4．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 5．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由被开方数大于等于零求出定义域. 【详解】由已知可得， 所以定义域为. 故选：B 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数，有， 若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数）， 则（为正整数，为最简真分数），此时， 综上，时，所以选项A正确， 对于选项B，当和无理数时，，显然有， 当是正整数，是最简真分数时， ，，故， 当时，，有 当时，，，有 当为无理数，时，，有 综上，所以选项B正确； 对于选项C，取，则，而，所以选项C错误， 对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当（为正整数，互质），由，得到， 整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项D错误， 故选：AB. 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)函数的定义域为 . 【答案】且 【分析】由函数的解析式，可列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知有意义需满足且， 故函数的定义域为且， 故答案为：且 8．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)求的定义域 .（写成集合的形式） 【答案】 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】因为，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 9．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若，则方程在内的所有实根之和为 . 【答案】 【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 综上所述，方程在内的所有实根之和为， 故答案为：. 地 城 考点02 函数的单调性 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，结合不等式求得其最小值为；当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立； 即当时，函数的最小值为， 当时，， 要使得函数的最小值为， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 2．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D 二、填空题 3．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)若，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】消元，利用二次函数求出最小值. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当或时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知，函数对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据恒成立，可得或恒成立，然后分和两种情况求出的范围. 【详解】∵， ， ∵恒成立， ∴或恒成立. 当时，或恒成立， ∴只需或. ∵函数， ∴当时，；当时，， 或，或， 又， 或； 当时，， ∴时，恒成立. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为或恒成立，再分和两种情况. 6．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 7．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 8．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)形如的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】1 【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可. 【详解】,为奇函数， 且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时， 在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时, 在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1. 【点睛】方法点睛：根据已知给出的性质，先证明奇偶性再结合单调性，确定最值的差求参即可. 三、解答题 9．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. (1)请说明的单调性（无需证明过程）； (2)证明此函数在内是“上凸函数”； (3)已知，且，求的最大值. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间，上单调递减 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. 【详解】（1）当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）， ，    .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”. （3）由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 10．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出解析式，然后利用二次函数单调性求解值域即可. （2）根据二次函数的单调性得，变形整理得，根据b的范围求解即可. （3）根据二次函数的单调性得，从而可以看作方程的两个根，由韦达定理，，进而，令 利用对勾函数单调性求解范围即可. 【详解】（1）由，可得，则， 因的对称轴为， 在单调递减，而， 故在的值域为. （2）因在区间单调递减，则， 因在上值域为，则， 即， 两式相减得：，因，故， 因，可得， 将代入，可得， 的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，所以， 因为在上值域为，所以， 所以，即， 故可把看作方程的两个根， 因为，所以，且， 解得，由韦达定理，， 所以， 令因，则，且， 故， 令，由对勾函数的性质可得，在单调递减，故， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问将问题转化为看作方程的两个根，然后利用韦达定理消元代换，再结合换元法，结合对勾函数单调性求解范围即可. 11．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 12．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由条件代入运算得解； （2）根据函数单调性定义可判断证明； （3）利用函数的单调性可求解. 【详解】（1）∵，且， ， . （2）函数在上单调递增． 证明：任取，且， 则 ∵， , 即, ∴函数在上单调递增． （3）由（2）得在上单调递增， ∴在上单调递增， 又， ∴在上的值域为． 13．(23-24高一上·重庆·期末)已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）首先求出，则得到，根据（1）中的结论即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 地 城 考点03 函数的奇偶性综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】为奇函数，当时，， 所以， 故选：C. 2．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D 3．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数定义在上关于对称，且在上单调递增，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数对称性定义域特点先求出，再得函数单调性，从而求解不等式. 【详解】函数在上关于对称， 则，得， 所以函数定义域为， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 由，可得，解得. 故实数m的取值范围为. 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 【答案】ACD 【分析】对于给定的函数，结合对勾函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确； 对于B，，因此的值域不为，B错误； 对于C，，有，， 函数是奇函数，C正确； 对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增， 又是奇函数，则在上单调递减，在上单调递增， 因此的单调递减区间为和，D正确. 故选：ACD 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C． D． 【答案】AD 【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可. 【详解】当，此时，当，，此时， 则，故A正确； 对B，由题意可知，故B错误； 对C，由题意可知均为有理数，所以，故C错误. 对D，若，则，则， 若，则，则，综上可得：，故D正确； 故选：AD. 6．(23-24高一上·重庆部分区·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数式直接判断奇偶性排除BD，再判断单调性即可得解. 【详解】函数是非奇非偶函数，是上的奇函数，BD不是； 显然函数、都是R上的偶函数，在区间上都单调递增，AC是. 故选：AC 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 8．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 【答案】2 【分析】先求出，再根据奇函数的概念求解即可. 【详解】因为当时，，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：2 四、解答题 9．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)用单调性定义证明在上单调递减； (3)若的定义域为，解不等式. 【答案】(1)函数为奇函数，判断见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断； （2）根据函数的单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）结合（1）（2）中结论，将问题转化为，解之即可得解. 【详解】（1）函数为奇函数，判断如下： 因为，其定义域为， 又由， 所以为奇函数. （2）任取， 则 ， 因为，所以， 可得，即， 故在上单调递减. （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在上单调递减， 所以，即，解得， 所以原不等式的解集为. 地 城 考点04 抽象函数综合运用 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得， 所以，则. 故选：B. 2．(23-24高一上·重庆·期末)定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值. 【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即， 从而，得 ， 所以以4为周期的周期函数， ， ， 所以． 故选：A 3．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数平移得到是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到的周期为8，且在上是增函数，从而利用的性质即可得解. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故，即是奇函数， 因为是偶函数，所以，则， 所以，因此的周期为8， 所以，， 因为在上是增函数且是奇函数，所以在上是增函数， 所以，则. 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对于B，，又因为， 所以，所以，所以函数为奇函数， 故B 正确； 对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称, 故C错误; 对于D， 由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 5．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数的定义域为，若对任意实数x，y均有，且当时，恒有，则（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．为周期函数，且最小正周期为 D．当时，恒有 【答案】ABD 【分析】令，代入，即可得到，再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，周期性判断A，B，C选项，作差法判断D； 【详解】令，则有： ，所以. 令则有，所以， 即函数为奇函数，所以A选项正确. 用代替x，令，其中， 则 又由题意知当时，恒有，所以且. 所以，即函数在上单调递增.故B选项正确，C选项错误. 令， 所以D选项正确. 故选：ABD， 6．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【分析】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，两边加1得到 ，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解 7．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知得，将转化为，给取值推导奇偶性和周期性解决问题. 【详解】对于A，，故A正确； ，， ，令， 则①， ②， ①+②可得， ，， ，因此，故C正确； 令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故关于对称， 且，，令，， 则，令，，， 则，， ，一个周期的和为0， 则，故D正确. 故选：ACD 8．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点05 幂函数综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 2．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质证明充分性和必要性即可. 【详解】当时，幂函数， 该函数在上单调递增, 当幂函数在上单调递增时， 需满足，即， 故“”是“幂函数在上单调递增”的充要条件. 故选：C 3．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)若函数为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围. 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则； 且，即. 综上，的取值范围是. 故选：B 4．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意； 若，则，定义域为，且， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，舍去. 故选：D 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)是幂函数在上单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得， 反之，，幂函数在上单调递减， 所以是幂函数在上单调递减的充要条件. 故选：C 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，是单调函数 B．当时，是单调函数 C．当时，的值域为 D．当时，的值域为 【答案】AC 【分析】利用分段函数的单调性和值域求参数即可. 【详解】若是单调函数，而的对称轴为， 则，解得，显然A正确，B错误， 当时，此时函数在和上分别单调递减，而, 此时满足，由二次函数与反比例函数的性质得的值域为，故C正确， 当时，，故的值域不为，则D错误. 故选：AC 7．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或2 B．一定为奇函数 C．一定为增函数 D．必过点 【答案】ACD 【分析】根据幂函数系数为1，求出幂函数解析式，判断A；根据幂函数性质判断BCD. 【详解】根据幂函数的定义，可得或2，故A正确； 当时，为非奇非偶函数，故B错误； 或2时，或，都是增函数，故C正确； 幂函数均经过点，故D正确 故选：ACD 8．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AB 【分析】根据幂函数的图象过求得其解析式，然后逐项判断. 【详解】设幂函数，因为幂函数的图象过点 ，所以， 解得，所以， 所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A，B正确， 因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误， 故选：AB． 9．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. 三、填空题 10．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数是幂函数及单调性得出参数，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或，又因为在单调递增，所以，所以， 所以，因为，所以为偶函数， 因为，所以， 所以，所以， 计算得，所以， 所以解集为. 故答案为：. 11．(23-24高一上·重庆·期末)已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】举例，则，根据反比例函数的性质知其为奇函数， 且在上单调递减，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 12．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以， 即在区间上的值域为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及性质 5大高频考点概览 考点01 函数的概念及表示综合运用 考点02 函数的单调性综合运用 考点03 函数的奇偶性综合运用 考点04 抽象函数综合运用 考点05 幂函数综合运用 地 城 考点01 函数的概念及表示综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知定义在上的函数满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．(23-24高一上·重庆部分区·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·重庆七校·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)函数的定义域为 . 8．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)求的定义域 .（写成集合的形式） 9．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)若，则方程在内的所有实根之和为 . 地 城 考点02 函数单调性的综合运用 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 3．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)若，且，则的最小值为 . 4．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)函数的单调递增区间为 . 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知，函数对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为 ． 6．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 7．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 8．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)形如的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 三、解答题 9．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. (1)请说明的单调性（无需证明过程）； (2)证明此函数在内是“上凸函数”； (3)已知，且，求的最大值. 10．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 11．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 12．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 13．(23-24高一上·重庆·期末)已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 地 城 考点03 函数的奇偶性综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数定义在上关于对称，且在上单调递增，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量与变量相关，使得根据某个规则，每个值都对应唯一一个值，那么就是关于自变量的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C． D． 6．(23-24高一上·重庆部分区·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 8．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 四、解答题 9．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)用单调性定义证明在上单调递减； (3)若的定义域为，解不等式. 地 城 考点04 抽象函数综合运用 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·重庆·期末)定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 5．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数的定义域为，若对任意实数x，y均有，且当时，恒有，则（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．为周期函数，且最小正周期为 D．当时，恒有 6．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 7．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 8．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 地 城 考点05 幂函数综合运用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 2．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)若函数为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)是幂函数在上单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，是单调函数 B．当时，是单调函数 C．当时，的值域为 D．当时，的值域为 7．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或2 B．一定为奇函数 C．一定为增函数 D．必过点 8．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 9．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 11．(23-24高一上·重庆·期末)已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ． 四、解答题 12．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $