4.4数学归纳法（2课时）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4数学归纳法（2课时）同步练习、解答 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 二、多选题 5．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 7．已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 三、填空题 8．用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 9．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 . 10．用数学归纳法证明＋能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，＋应变形为 . 四、解答题 11．已知在无穷数列中，，．求出，，，并猜想通项公式，利用数学归纳法加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.4数学归纳法（2课时）同步练习、解答 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C B CD BCD AD 1．C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为.故选C. 2．C 【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解. 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是．故选：C 3．C 【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当时，，所以左边为.故选：C. 4．B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项.故选：B 5．CD 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD 6．BCD 【分析】A:直接法写出第8项即可;B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可;C:只需证明即可,用数学归纳法证明;D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, , 故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证, 2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律, 故, 令, 则有成立, 故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证,,能被4整除得证,故选项D正确.故选:BCD 7．AD 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确．故选：AD 8． 【分析】由数学归纳法的定义，依次写出，时等号左边的情形，对比即可得解. 【详解】假设时成立，即， 当时，等号左边为， 对比可知，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式. 故答案为：. 9．1＋2＋22＋＋＋＝－1＋ 【分析】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果. 【详解】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为， 所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋＋＝－1＋， 故答案为：1＋2＋22＋＋＋＝－1＋ 10．25(＋)＋56× 【分析】证明＋能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案． 【详解】当n＝k＋1时，＋＝81×＋25×＝25(＋)＋56× 故答案为：25(＋)＋56× 11．，，，，证明见解析 【分析】由，，分别令即可得出的值，从而猜想通项公式；利用数学归纳法进行证明时首先证明时命题成立，然后假设时命题成立，借此证明时命题成立 【详解】，且， ， ；由此猜想 用数学归纳法进行证明如下： ①当时，，满足要求，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即, 那么当时，， 这就表明当时，猜想成立， 根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $