18.5分式方程 期末复习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“分式方程”为核心，通过“定义-解法-解的情况-实际应用”的逻辑框架系统梳理知识，以知识点清单呈现脉络，明确判断三要素、解法三步骤等重难点，体现概念与应用的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如含参分式方程无解的两种情况分析等例题，培养运算能力和模型意识，变式与课后题满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

八年级数学期末总复习讲义 第11课 分式方程 知识点梳理 知识点01——分式方程的定义 知识点02——可化为一元一次方程的分式方程的解法 知识点03——分式方程解的情况 知识点04——分式方程的实际应用 知识点01 分式方程的定义 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断的三要素：①含有分母②分母中含有未知数③是方程 如:,所以它不是分式方程; 如:不是,因为前者是整式方程,后者是分式方程;前者未知数的值可以为1,后者不能为1. 例题讲解 例1（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中虽然有字母,但不能代表未知数,所以不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 变式:1.（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 知识点02 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 例题讲解 题型1:分母相同或相反 (1) 【分析】本题两个分母互为相反,在去分母之前要先变号． 【详解】（1）解： 变号: 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 题型2:先将分母因式分解寻找最简公分母,再实施去分母. (2) 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 题型3:最简公分母含有三个因式 (3) ； 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，即可得到分式方程的解． 【详解】因式分解: 两边同乘得：7(x-1)+3(x+1)=6x 去括号得：7x-7+3x+3=6x， 移项，合并同类项得：4x=4， 解得：x=1， 检验：当x=1时， ∴x=1是原方程的解. 课后练习 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解分式方程： (1)， (2)． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程： (1)5； (2)0． 知识点03 分式方程解的情况 1. 根据方程的解求字母的值:根据方程解的定义,将之代入原方程计算. 如:若关于的方程的解是1求的值.就把x=1代入方程得:=1+,∴m=-1. 2. 含有参数的分式方程:方程中除了明确的未知数外还有其他数值不确定的字母. 解含参方程时先把其他字母当作常数运算,但最后要讨论含参字母的取值范围对方程解的影响. 如:解关于x的分式方程.去分母得:x+x-3=3m,解之得x=,因为原方程的x不能等于3,所以当m. 3. 分式方程无解的情况 ①将分式方程转化为整式方程，该整式方程本身就无解,所以原方程当然无解; ②整式方程虽然有解,但是整式方程的解却使最简公分母为0,这时原方程无意义，所以这个解不是原分式方程的解. 例题讲解 例3（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 【分析】分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式无解（系数为零但常数项不为零），二是解出的根使原方程无意义（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：①． 情况一：当且， ∴方程矛盾无解． 情况二：若解为． 代入方程①：， 解得：． 当时，解出，x-1=0.原方程无意义． 综上，或时原方程无解． 故选：C． 变式1：（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 变式2：（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 课后练习 1．（25-26八年级下·广东·专题练习）下列方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C．，为常数） D． 2． （24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）是分式方程的解，则的值是 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 4．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）关于的方程无解，则的值为 . 5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中真题）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）当 时，方程的解与方程的解相同． 8．（24-25八年级上·四川达州·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）解方程： +1． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解方程： 11．（24-25八年级上·陕西延安·期末）阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知：，，，… （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_____； （2）计算： （3）用规律解方程：． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 知识点04 分式方程的实际应用 1.如何找“相等关系” (1)利用题目中的关键语句寻找相等关系；如“……共多少”，“比……少多少” (3)从生活、生产实际经验中寻找相等关系. 如行程问题：速度=路程×时间；工程问题：工作效率=等等. 2.分式方程的实际应用的解题步骤可归纳如下:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 例题讲解 题型1：工程问题 例4 （24-25八年级上·湖南邵阳·期末）某工程由甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程由甲、乙工程队合作10天完成，则下列所列的方程中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设甲工程队单独做天完成，根据“乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合作10天后完成”列出方程，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：设甲工程队单独做天完成，根据题意得： 或或， 结合选项可知，B、C、D选项所列的方程正确，不符合题意；A选项所列的方程错误，符合题意； 故选：A． 题型2：行程问题 例5（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 题型3：购物问题 例6（24-25八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 课后练习 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 4．（22-23九年级上·山东东营·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 6．（2025·广西玉林·三模）某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东广州·一模）“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2013·四川乐山·中考真题）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东·课后作业）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·四川成都·期末）四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 12．（2024·北京延庆·模拟预测）方程的解为 ． 13．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）分式方程的解为 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是最小的正整数，则a的值是 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ． 16．（2025·四川绵阳·一模）为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作 天． 17．（2023八年级上·广东佛山·竞赛）甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，两队所用天数为；甲、乙两队同时工作完成的天数为，已知比多5，是的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要 天． 18．（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 三、解答题 19．（20-21八年级下·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）； （3）． 20．（20-21八年级下·全国·课后作业）小明解方程的过程如下： 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 所以是原方程的根． 你认为小明的解法对吗？为什么？ 21．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 22．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 23．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 25．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：25000元 花费：22500元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过24000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第11课 分式方程 知识点梳理 知识点01——分式方程的定义 知识点02——可化为一元一次方程的分式方程的解法 知识点03——分式方程解的情况 知识点04——分式方程的实际应用 知识点01 分式方程的定义 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断的三要素：①含有分母②分母中含有未知数③是方程 如:,所以它不是分式方程; 如:不是,因为前者是整式方程,后者是分式方程;前者未知数的值可以为1,后者不能为1. 例题讲解 例1（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中虽然有字母,但不能代表未知数,所以不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 变式:1.（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、 B、 C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A、 B、C均不符合题意； D中的式子是方程但分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 知识点02 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 例题讲解 例2（25-26八年级上·吉林长春·月考）解方程： 题型1:分母相同或相反 (1) 【分析】本题两个分母互为相反,在去分母之前要先变号． 【详解】（1）解： 变号: 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 题型2:先将分母因式分解寻找最简公分母,再实施去分母. (2) 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 题型3:最简公分母含有三个因式 (3) ； 【分析】两边同乘去分母转化为整式方程，即可得到分式方程的解． 【详解】因式分解: 两边同乘得：7(x-1)+3(x+1)=6x 去括号得：7x-7+3x+3=6x， 移项，合并同类项得：4x=4， 解得：x=1， 检验：当x=1时， ∴x=1是原方程的解. 课后练习 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解分式方程： (1)， (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． （2）解：∵． 方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程： (1)5； (2)0． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘化为整式方程，求解后检验即可； （2）方程两边同乘化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：． 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：0， 原方程变形为：0， 两边同乘，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 知识点03 分式方程解的情况 1. 根据方程的解求字母的值:根据方程解的定义,将之代入原方程计算. 如:若关于的方程的解是1求的值.就把x=1代入方程得:=1+,∴m=-1. 2. 含有参数的分式方程:方程中除了明确的未知数外还有其他数值不确定的字母. 解含参方程时先把其他字母当作常数运算,但最后要讨论含参字母的取值范围对方程解的影响. 如:解关于x的分式方程.去分母得:x+x-3=3m,解之得x=,因为原方程的x不能等于3,所以当m. 3. 分式方程无解的情况 ①将分式方程转化为整式方程，该整式方程本身就无解,所以原方程当然无解; ②整式方程虽然有解,但是整式方程的解却使最简公分母为0,这时原方程无意义，所以这个解不是原分式方程的解. 例题讲解 例3（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式无解（系数为零但常数项不为零），二是解出的根使原方程无意义（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：①． 情况一：当且， ∴方程矛盾无解． 情况二：若解为． 代入方程①：， 解得：． 当时，解出，x-1=0.原方程无意义． 综上，或时原方程无解． 故选：C． 变式1：（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，注意解分式方程时要保证分母不能是0是解题的关键．通过求解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是正数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 综上，且． 故选：C． 变式2：（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 课后练习 1．（25-26八年级下·广东·专题练习）下列方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C．，为常数） D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义判断即可． 【详解】、、各方程中的分母不含有未知数，是整式方程，不符合题意； 、方程中的分母含有未知数，符合分式方程的定义，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了分式方程的概念，解题关键是明确分式方程的概念，准确进行判断． 2．（24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 移项得：， 两边取倒数：， 解得：， 解得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）是分式方程的解，则的值是 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】将x=2代入方程得到有关a的方程求得a的值即可． 【详解】∵x=2是分式方程的解， ∴， 解得：a=0， 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的解的知识，解题的关键是能正确的根据方程的解的定义代入并得到有关a的方程，难度不大． 4．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）关于的方程无解，则的值为 . 【答案】-3． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：2x-1=x+1+m， 整理得：x=m+2， 当m+2= -1，即m= -3时，方程无解． 故答案为-3． 【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程无解分为最简公分母为0的情况与分式方程转化为的整式方程无解的情况． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． （1）先化简分式方程为，将代入求解即可； （2）当时可产生增根，即时，代入求解即可； （3）结合解为正数且没有增根，得且，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， （1）∵方程的解为：， ∴，解得：， 故答案为：； （2）∵方程会产生增根， ∴， ∴， ∴， 解得： 故答案为：； （3）∵方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中真题）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 【答案】n＜2且 【详解】解：解方程得：x=n﹣2， ∵关于x的此方程的解是负数， ∴n﹣2＜0， 解得：n＜2． 又∵原方程有意义的条件为：， ∴，即． 故答案为：n＜2且． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）当 时，方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】先求得的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解与方程的解相同， 把代入， 得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 当时，方程的解与方程的解相同， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要验根． 8．（24-25八年级上·四川达州·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 【答案】 【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）解方程： +1． 【答案】x=1.2 【分析】根据分式方程的解法去分母、移项、合并同类项、化系数为1，检验即可解答． 【详解】解：去分母得：3=2x+3x﹣3， 移项合并得：5x=6，                                           解得：x=1.2 经检验x=1.2是分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解出后要检验是否是增根． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解方程：． 【答案】 【分析】先两边同时乘以去分母化为整式方程求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法． 11．（24-25八年级上·陕西延安·期末）阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知：，，，… （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_____； （2）计算： （3）用规律解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）a＝2019． 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出第n个式子，本题得以解决； （2）根据题目中的例子可以将所求式子进行变形，然后即可求值； （3）根据题目中的例子，先将方程化简，然后即可求得a的值． 【详解】（1）∵，，，… ∴第n（n为正整数）个式子是： 故答案为：； （2） ＝1﹣+…+ ＝1﹣ ＝； （3）∵ ∴+…+＝ ∴＝ ∴＝ ∴2a＝a+2019 ∴a＝2019 经检验：a＝2019是原方程的解． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值和所求方程的解． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二，利用完全平方公式展开错误；任务二：． 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解． 知识点04 分式方程的实际应用 1.如何找“相等关系” (1)利用题目中的关键语句寻找相等关系；如“……共多少”，“比……少多少” (3)从生活、生产实际经验中寻找相等关系. 如行程问题：速度=路程×时间；工程问题：工作效率=等等. 2.分式方程的实际应用的解题步骤可归纳如下:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 例题讲解 题型1：工程问题 例4 （24-25八年级上·湖南邵阳·期末）某工程由甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程由甲、乙工程队合作10天完成，则下列所列的方程中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设甲工程队单独做天完成，根据“乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合作10天后完成”列出方程，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：设甲工程队单独做天完成，根据题意得： 或或， 结合选项可知，B、C、D选项所列的方程正确，不符合题意；A选项所列的方程错误，符合题意； 故选：A． 题型2：行程问题 例5（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 题型3：购物问题 例6（24-25八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 课后练习 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 故选：A． 4．（22-23九年级上·山东东营·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 【答案】C 【分析】将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出m． 【详解】解：去分母，得， 化简得， ∵方程无解， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程无解，此时，解得， 即或时，方程无解， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 6．（2025·广西玉林·三模）某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 7．（2023·广东广州·一模）“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程，找出等量关系列出方程是解题的关键． 设原来参加游览的人数有x人，根据“每个成员比原来少摊了3元钱车费”即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的人数有x人，根据题意，得 ． 故选：D 8．（2013·四川乐山·中考真题）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可． 解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得： =， 故选A． 9．（25-26八年级上·山东·课后作业）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据顺流速度和逆流速度与静水速度的关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间相等列方程． 【详解】解：∵顺流速度，逆流速度， 顺流时间，逆流时间， ∵时间相等， ∴． 故选：A． 10．（24-25八年级下·四川成都·期末）四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 12．（2024·北京延庆·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】/1 【分析】本题考查了解分式方程，先化成一元一次方程，即可得出答案． 【详解】 ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 13．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）分式方程的解为 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤进行解题． 先去分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可求出方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是最小的正整数，则a的值是 ． 【答案】 【分析】先解出方程，再由原方程的解是最小的正整数，可得到关于的方程，解出即可． 【详解】解：， 去分母得： ， 解得： ， ∵关于x的方程的解是最小的正整数， ∴， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，解一元一次方程，解可化为一元一次方程的分式方程，正确计算是解题的关键．将代入求得，然后解方程求出，再将代入求出即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 把代入方程，得， 解得，， 把代入方程，得 ． 故答案为：． 16．（2025·四川绵阳·一模）为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作 天． 【答案】20 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题中的等量关系和不等关系列方程是解题关键．设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 根据题意列出分式方程求出乙队每天改造30米，甲队每天改造45米，再设则甲队工作a天，根据改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元列出关于a的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则乙队每天改造30米，甲队每天改造米， 则甲队工作a天， ∴， 解得：， ∴甲队至少工作20天， 故答案为：20 17．（2023八年级上·广东佛山·竞赛）甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，两队所用天数为；甲、乙两队同时工作完成的天数为，已知比多5，是的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要 天． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 设甲单独完成此项工程需要天，乙单独完成此项工程需要天，可得，，的表达式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲单独完成此项工程需要天，乙单独完成此项工程需要天，则 依题意得：， 即． ∵是的2倍多 ∴， 化简得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲单独完成此项工程需要30天． 故答案为：30． 18．（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 三、解答题 19．（20-21八年级下·全国·课后作业）解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）无解；（3） 【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）； 去分母得： x+4=4， 解得：x=0， 检验：把x=0代入得：（x+4）（x-4）≠0， ∴x=0是分式方程的解． ∴原分式方程解为：x=0 （2）； 去分母得：3x-（x+2）=0， 整理得：3x-x-2=0， 解得：x=1， 检验：把x=1代入得：x（x-1）=0， ∴x=1不是分式方程的解． ∴原分式方程无解 （3） 解：去分母得：2-x-1=x-3， 整理得：-x-x=-3+1-2， 解得：x=2， 检验：把x=2代入得：x-3≠0， ∴x=2是分式方程的解． ∴原分式方程无解为x=2 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20．（20-21八年级下·全国·课后作业）小明解方程的过程如下： 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 所以是原方程的根． 你认为小明的解法对吗？为什么？ 【答案】不对，见解析 【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【详解】解：不对； 方程两边都乘2x-1，得：x-2+（2x-1）=-1.5． 解这个方程，得x=． 经检验x=是该方程的增根， 所以该分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 21．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 【答案】或或． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 22．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【答案】(1)一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； (2)该校至少需要租用辆大型客车； 学校有种租车方案：方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案花费最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用. （1）设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元，根据用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，师生共人，列出一元一次不等式，解不等式即可； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据租车费用的预算为元，运用（1）的结论，列出一元一次不等式，再结合的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； （2）设至少租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 答：该校至少需要租用辆大型客车； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 由得：，且为正整数， 或， 当时，，费用为：； 当时，，费用为：； 学校有种租车方案： 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； ， 方案花费最低． 23．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 25．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：25000元 花费：22500元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过24000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩12个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多10个，列出分式方程，即可求解； （2）设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社个，根据此次加购小区预备支出不超过24000元，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， ∴现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， ∵双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， ∴现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元， ∵此次加购小区预备支出不超过24000元， ∴， 解得：， ∴a的最小值为12， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩12个． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $