9.2 等差数列讲义-2026届四川省中职单招数学一轮复习

《数列》专题 第9章 数列 9.2 等差数列讲义 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项之差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母表示. 用符号语言表示为：，为常数. ①当时，该数列为递增数列； ②当时，该数列为常数列； ③当时，该数列为递减数列. 等差数列的通项公式 等差数列通项公式常用递推法、累加法求之，不论使用哪一种方法，都是以等差数列的定义为依据，其证明过程如下： （1）递推法 由此猜想 （2） 累加法（叠加法） 以上各式相加 所以等差数列的通项公式为：. 【例1】 等差数列中，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】 等差数列中，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】 已知数列为等差数列，且，，则公差（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】 已知递增的等差数列满足，，则 . 等差数列的前项和 等差数列的前项和，使用倒序相加法证明，其详细过程如下： 以上式子相加 等差数列的前项和公式： 在等差数列的五个参数，，，，中，知三求二. 【例2】 设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】 设为等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】 设是等差数列的前项和，若则（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】 已知数列是公差不为的等差数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 等差数列的性质 ①等差中项：若成等差数列，则，其中是，的等差中项. ②下标和性质：在等差数列中，若，且，则，其中是等差数列中的项； 特别地：若，则. ③在等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列；若成等差数列，为其前项的和，则，，，，成等差数列. ④在有穷数列中，分别于首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的倍. ⑤在等差数列中，每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按照原来顺序构成的数列不一定是等差数列. ⑥若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，其中均为常数. 【例3】 已知为等差数列，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】 在等差数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】 在等差数列中，，那么（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】 已知等差数列，且，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】 已知等差数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】 已知等差数列的前项的和，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】 已知等差数列的前项的和，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-7】 已知正项等差数列的前项的和，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-8】 已知数列满足，且，则（　　） A． B． C． D． 【例4】 等差数列的前项的和，已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】 等差数列的前项和为，前项和为，则前项和为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】 已知等差数列的前项的和，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】 已知等差数列的前项的和，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】 等差数列、的前项的和分别为和，若，则（　　） A． B． C． D． 等差数列的判定与证明方法 方法 主要特征 适合题型 定义法 对于数列，为同一个常数是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 对于数列，成立是等差数列 通项公式法 对任意的正整数都成立是等差数列 选择题、填空题中的判定问题 前项和公式法 对任意的正整数都成立是等差数列 【例5】 已知数列的通项公式为.证明：数列是等差数列. 【变式5-1】 已知数列满足，，判定数列是否为等差数列，并说明理由. 【变式5-2】 数列满足，.证明：数列是等差数列. 等差数列的应用 等差数列的应用主要是等差数列的前项和的最值问题. 由，在已知和的条件下，是关于的二次函数. 注意： ①的正负决定开口方向，； ②项数必须取正整数. 【例6】 已知等差数列的前项和为，，，当取得最小值时（　　） A． B． C． D．或 【变式6-1】 在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当（　　）时，取得最大值. A． B． C． D． 【变式6-2】 等差数列的前项和为，，，则当取得最大值时（　　） A．或 B．或 C． D． 第9章 数列 9.2 等差数列习题 一、选择题 1．在等差数列中，若，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则数列的通项公式（　　） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 4．在等差数列中，如果，那么（　　） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 6．已知数列为等差数列，，，则（　　） A． B． C． D． 7．等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 8．设等差数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 9．正项等差数列的前项和为，已知，则（　　） A． B． C． D． 10．为等差数列的前项和，若，则（　　） A． B． C． D． 11．为等差数列的前项和，已知，则（　　） A． B． C． D． 12．为等差数列的前项和，且，则（　　） A． B． C． D． 13．在等差数列中，已知，则该数列的前项和（　　） A． B． C． D． 14．等差数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 15．等差数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 16．已知等差数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 17．在等差数列中，，则该数列前项和是（　　） A． B． C． D． 18．已知等差数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 19．等差数列中，，，则（　　） A． B． C． D． 20．在数列中，，，则（　　） A． B． C． D． 21．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（　　） A． B． C． D． 22．（多选）已知等差数列的前项和为，，，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 23．等差数列中，，，为数列的前项和，则（　　） A． B． C． D． 24．若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴交点的个数是（　　） A． B． C． D．或 25．已知均为正数，且，，成等差数列，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 26．等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 27．已知等差数列，首项，，，则使其前项和成立的最大自然数（　　） A． B． C． D． 28．在等差数列中，公差，其前项和为，则下列结论错误的是（　　） A． B．，，则 C．若，则 D．若，则 29．在等差数列中，其前项和为，若，且，则（　　） A． B． C． D． 30．等比数列的公比为，其前项和为，其前项积为，并满足条件，，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列中无最大值 二、填空题 31．数列，，，，，的通项公式是 . 32．等差数列中，，，则 . 33．等差数列中，，则 . 34．等差数列的前项和为，若，则 . 35．等差数列的前项和为，若，，则公差 . 36．等差数列中的、是的两根，则 . 37．等差数列的前项和为，若，，则 . 38．等差数列的前项和为，若，，则 . 39．等差数列的前项和为，若，则 . 40．若一个等差数列的前三项之和为，最后三项之和为，所有的项之和为，则这个数列的项数为 . 三、解答题 41．已知等差数列的前项和为，，，求数列的通项公式. 42．已知等差数列的前三项为，，，记其前项和为. （1）若，求和的值； （2）设，求数列的前项和. 43．在数列中，已知，其中，为其前项和. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求和. 参考答案 第9章 数列 9.2 等差数列讲义 【例1】A. 【变式1-1】A. 【变式1-2】B. 【变式1-3】. 【例2】D. 【变式2-1】D. 【变式2-2】A. 【变式2-3】D. 【例3】C. 【变式3-1】B. 【变式3-2】C. 【变式3-3】D. 【变式3-4】A. 【变式3-5】B. 【变式3-6】B. 【变式3-7】D. 【变式3-8】B. 【例4】C. 【变式4-1】C. 【变式4-2】B. 【变式4-3】D. 【变式4-4】C. 【例5】 证明：，，又，是等差数列. 【变式5-1】 证明：，， ，，是等差数列. 【变式5-2】 证明：，，，是等差数列. 【例6】D. 【变式6-1】C. 【变式6-2】C. 第9章 数列 9.2 等差数列习题 一、选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C A B B B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A C A B B B B C A 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 BD AC A D D C B C D D 二、填空题. 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 三、解答题. 41题：、，. 42题：（1），；（2），. 43题： （1），，是以1为公差的等差数列. （2），. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $