6.3 反比例函数的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

6.3 反比例函数的应用 一．选择题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（　　） A．R≥2 B．0＜R≤2 C．R≥1 D．0＜R≤1 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．某校科技小组进行野外考查，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强风p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过400Pa时，木板的面积应为（　　） A．不大于1.5m2 B．不小于1.5m2 C．不大于m2 D．不小于 4．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 5．小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．已知蓄电池的电压为定值．使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为R B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A 7．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（　　） A． B．3 C．4 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（　　） A． B．3 C． D．4 9．根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（　　） ①y随x的增大而增大 ②y随x的增大而减小 ③0＜y＜1 ④0≤y≤1 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10．某学校要种植一块面积为200m2的长方形草坪，要求两边长均不小于10m，则草坪的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　） A．B．C．D． 11．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD＝2，则正方形DEFG的面积为（　　） A． B． C．4 D． 二．填空题 12．某种电池的电压保持不变，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，若该种电池的安全使用电流是2A，为了保证用电安全，电路中电阻的阻值最小为　 　 Ω． 13．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h．若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间为mh，则m的值可能是　 　 ．（写出一个m的可能的值即可） 14．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为P（P），P关于R的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝16Ω时，P的值为 　 　 W． 15．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，如表为几组实验数据，则蓄电池的电压U＝　 　 V． R/Ω … 4 6 8 … I/A … 9 6 4.5 … 16．欢欢同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若f＝75MHz，则电磁波的波长λ＝　 　 m． 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 17．在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度y和时间x的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨20℃的速度匀速升高，达到240℃后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度y是时间x的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为100℃，同学们通过查阅资料得知，当温度y满足180℃≤y≤240℃时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为 　 　 分钟． 三．解答题 18．如图，点P是反比例函数y（x＞0）图象上的一个动点，作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为（m，n）． （1）求n与m之间的函数解析式； （2）当n＞3时，求m的取值范围． 19．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间x（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数y与时间x的关系式为y＝5x+30.10分钟以后注意力指数y是时间x的反比例函数． （1）求10分钟以后y与x的函数关系式； （2）如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 20．如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OB＝5，OA＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒时，解答下列问题： （1）若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； （2）在两个动点运动过程中，当x为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB相似？ （3）当x为何值时，△MON的面积为1.2平方单位？ 22．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点） （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得△POD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 23．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y交于A、B两点，已知点A的坐标（﹣3，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求双曲线和直线AB的解析式； （2）若点P在第二象限，且在y图象上，满足S△OCP＝3S△ODB，求点P的坐标； （3）若点E在x轴上，是否存在以点E、C、D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24．在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形OABC是矩形，反比例函数在第一象限的函数图象与边AB交于点P，与边BC交于点Q（P，Q不重合），连接PQ． （1）若点P的坐标为（2，4）． ①如图1，连接OQ，则△QOC的面积为　 　 ； ②如图2，当点B关于PQ的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段OD的长． （2）如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的函数图象上，且线段PQ＝5． ①求k的值． ②分别作点P和点Q关于直线y＝﹣x+m（m＜9）的对称点P′，Q′，连接P′Q′．若线段P′Q′与此时反比例函数的函数图象有交点，请直接写出m的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B C A C A C A C A 二．填空题 12．8． 13．0.3（答案不唯一）． 14．25． 15．36． 16．4． 17．52． 三．解答题 18．解：（1）∵作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为（m，n）， ∴P（2m，n）， ∵点P是反比例函数图象上的一个动点， ∴2mn＝6， ∴； （2）当n＝3时， m＝1， ∴当n＞3时，m的取值范围是0＜m＜1． 19．解：（1）依题意，将x＝10代入y＝5x+30，得y＝50+30＝80， 设10分钟以后， 将x＝10，y＝80代入，得m＝xy＝10×80＝800， ∴． （2）由（1）得． 当y＝50时，5x+30＝50，解得x＝4； 当y＝50时，，解得x＝16． ∴为了保证教学效果，本节课应该在4≤t≤16时间段讲解这道题． 20．解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 21．解：（1）∵△ABC是直角三角形，且BA⊥x轴于A，OA＝4，OB＝5， 由勾股定理得：， ∴B（4，3）， 点B在反比例函数的图象上，将点B的坐标代入得： 3， 解得：k＝12， ∴该函数的解析式为； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况讨论： ∵动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒， ∴OM＝4﹣x，ON＝2x， ①若∠OMN＝90°，如图1， 则MN∥AB，△OMN∽△OAB， ∴，即， 解得：； ②若∠ONM＝90°，如图2， 则∠ONM＝∠OAB， ∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA， ∴△ONM∽△OAB， ∴，即， 解得：， 综上所述，当或时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB相似； （3）如图3，过N作NK⊥AO于K，则NK∥AB， ∴△ONK∽△OBA， ∴， ∴， ∴， ∵OM＝4﹣x，△MON的面积为1.2平方单位， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴当时，△MON的面积为1.2平方单位． 22．解：（1）一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，将C（1，4）代入得： 4， 解得：k＝4， ∴反比例函数的解析式为， ∴将D（4，m）代入得：m1； （2）由（1）得：D（4，1）， 将点C，点D的坐标分别代入y＝ax+b得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， 当y＝0时，得：﹣x+5＝0， 解得：x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∴； （3）在x轴上存在一点P，使得△POD是等腰三角形；理由如下： 设P点坐标为（n，0）， ∵D（4，1）， ∴OD2＝42+12＝17，OP2＝n2，DP2＝（4﹣n）2+12， 当OD＝OP时，OD2＝OP2， ∴n2＝17， 解得：或， ∴，； 当OD＝DP时，OD2＝DP2， ∴（4﹣n）2+12＝17， 解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝8， ∴P3（8，0）； 当OP＝DP时，OP2＝DP2， （4﹣n）2+12＝n2， 解得：， ∴． 综上所述，在x轴上存在一点P，使得△POD是等腰三角形；点P的坐标为，，P3（8，0），． 23．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得：k2＝﹣3， 即反比例函数表达式为：y， 将点B的坐标代入上式得：﹣3，解得x＝1， 即点B的坐标为（1，﹣3）， 设直线AB的表达式为y＝k1x+b， 则， 解得， 即直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣2； （2）对于y＝﹣x﹣2，令y＝﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，即点C（﹣2，0），即OC＝2， ∵S△OBDOD×xB2×1＝1，S△PCOOC×yP2yP＝yP，△OCP的面积是△ODB的面积的3倍， ∴S△PCO＝yP＝3， 当y＝3时，y，解得x＝﹣1， 即点P（﹣1，3）； （3）由点B、D的坐标得：BD，同理可得：CD＝2，OB， 由OD＝OC＝2知，∠OCD＝∠ODC＝45°，则∠ODB＝135°， 1）当E在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似； 2）当E在线段OC的延长线上时，设E的坐标是（x，0），则CE＝﹣2﹣x， 此时，∠ECD＝∠ODB＝135°， 当△CED∽△DBO时， 则，即， 解得x＝﹣4， 即点E（﹣4，0）； 当△CED∽△DOB时， 则，即， 解得x＝﹣6， 即点E（﹣6，0）， 3）当点E在CO的延长线上时，设E的坐标是（x，0），则CE＝2+x， 此时，∠CDE＝∠ODB＝135°， 当△CDE∽△BDO时， 则，即， 解得x＝22， 即点E（22，0）； 当△CED∽△ODB时， 则，即， 解得x＝22， 即点E（22，0）， 综上，点E的坐标为（﹣4，0）或（﹣6，0）或（22，0）或（22，0）． 24．解：（1）①反比例函数在第一象限的函数图象与边AB交于点P，点P的坐标为（2，4），将点P的坐标代入得： ， 解得：k＝8， ∴反比例函数得解析式为， 设， ∴OC＝a，， ∴△QOC的面积为． 故答案为：4； ②如图2，四边形OABC是矩形，过点P作PE⊥OC于点E，连结DP，DQ， ∴∠PBQ＝∠DCQ＝90°，BC＝OA＝4，OC＝AB，AB⊥AO，OC⊥AO， ∴四边形OAPE和BCEP都是矩形， ∴AP＝OE，BP＝CE，AO＝BC＝PE＝4， 设OC＝AB＝t，OD＝s，则BP＝EC＝t﹣2，，DE＝s﹣2， ∴，， ∵点B关于PQ的对称点D正好落在x轴的正半轴， ∴DP＝BP＝t﹣2，，∠PDQ＝∠PBQ＝90°， ∴∠PDE+∠CDQ＝90°， ∵PE⊥OC， ∴∠EPD+∠PDE＝90°， ∴∠EPD＝∠CDQ， ∵∠PED＝∠DCQ＝90°， ∴△PED∽△DCQ， ∴， ∴， 解得：s＝4， 即线段OD的长为4； （2）①设，，（p＜q）， ∵PQ＝5， ∴， 解得：q＝p+3， ∴， ∴， ∵点P和点Q都在反比例函数在第一象限的函数图象上， ∴， 解得：p＝3，k＝24； ②m的取值范围为．理由如下： 如图3， 由①知，P（3，8），Q（6，4），反比例函数解析式为， 对于直线y＝﹣x+m（m＜9）， 当x＝3时，得：y＝﹣3+m＜﹣3+9＝6， 当x＝6时，得：y＝﹣6+m＜﹣6+9＝3， ∴P（3，8），Q（6，4）两点均在直线y＝﹣x+m（m＜9）的上方， ∴点P′，Q′均在直线y＝﹣x+m（m＜9）的下方， 若线段P′Q′与此时反比例函数的函数图象有交点， 则点P′，Q′应都在第三象限， 过点P作PM⊥x轴，交直线y＝﹣x+m（m＜9）于点M，连结P′M，过点Q作QN⊥y轴，交直线y＝﹣x+m（m＜9）于点N，连结Q′N， ∵直线y＝﹣x+m（m＜9）与直线y＝﹣x平行，且直线y＝﹣x与x轴成45°角， ∴直线y＝﹣x+m（m＜9）与x轴成45°角， ∴PM与直线y＝﹣x+m（m＜9）成45°角， ∵点P和点Q关于直线y＝﹣x+m（m＜9）的对称点P′，Q′， ∴PP′被直线y＝﹣x+m（m＜9）垂直平分， ∴MP＝MP′， ∴∠P′MN＝∠PMN＝45°， ∴∠P′MP＝90°， 当x＝3时y＝﹣3+m， ∴M（3，﹣3+m），且PM＝P′M＝8﹣（﹣3+m）＝11﹣m， ∴P′（3﹣（11﹣m），﹣3+m），即P′（m﹣8，﹣3+m）， 同理可得NQ＝NQ′，∠Q′NQ＝90°， 当x＝6时y＝﹣6+m， ∴N（6，﹣6+m），且NQ＝NQ′＝4﹣（﹣6+m）＝10﹣m， ∴Q′（6﹣（10﹣m），﹣6+m），即Q′（m﹣4，﹣6+m）， 设直线P′Q′的解析式为y＝kx+b，将点P′，点Q′的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线P′Q′的解析式为， 联立得：， 整理得：3x2﹣（7m﹣36）x+96＝0， 当直线P′Q′与双曲线只有一个交点时，Δ＝0，如图4， ∴[﹣（7m﹣36）]2﹣4×3×96＝0， 解得：， ∵m＜9， ∴； 由对称性可知，当m＝0时，即直线y＝﹣x+m（m＜9）经过原点时，如图5，点P′（m﹣8，﹣3+m），Q′（m﹣4，﹣6+m）恰在反比例函数的图象上， ∴（m﹣8）（﹣3+m）＝0， 解得：m＝0或11（不合题意，舍去）， 同时（m﹣4）（﹣6+m）＝0， 解得：m＝0或10（不合题意，舍去）， 综上所述，m＝0； 根据图形可得：m的取值范围为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 17:57:52；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $