第四章 投影与视图（复习课件）数学鲁教五四制九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了投影与视图的核心知识，通过知识图谱整合投影的分类（中心投影、平行投影）、正投影的性质、三视图的画法与几何体还原等内容，构建起从概念到应用的逻辑脉络。 其特色在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进复习模式，如通过中心投影与平行投影的对比辨析、三视图“长对正高平齐宽相等”的口诀记忆，结合例题与变式训练培养学生的几何直观和空间观念。这种分层设计帮助学生巩固知识，教师也能高效备课提升复习针对性。

单元复习课件 第四章 投影与视图 鲁教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.区分中心投影与平行投影的概念，掌握从不同方向观察物体的基本方法，能够识别和绘制简单几何体的三视图 ，能根据三视图描述或还原相应的几何体，发展空间想象能力。 3.根据三视图还原几何体，复杂组合体三视图的绘制。 2.三视图的画法与识别，正投影的性质。 单元学习目标 投影与视图 平行投影 投影的概念 概念 中心投影 视图 投影的分类 三视图 用光线照射物体，在某个平面上 得到的影子叫做物体的投影 特征 正投影 单元知识图谱 考点一、 投影 1.光源 点光源:像手电筒、路灯、台灯都可以看成_________。 平行光源:太阳光可以看成是一个_____________。 点光源 平行光源 考点串讲 投影面 2.概念 定义:一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做____________，投影所在的平面叫做__________。 (1)平行投影:由___________(太阳的光线是平行光线)形成的投影。 (2)中心投影:由____________(点光源发出的光线)形成的投影。 投影线 考点一、 投影 平行光线 同一点 考点串讲 全等 (3)两者区别与联系: 区别:平行投影 平行的投射线 物体与原物体_____ 中心投影 从一点出发的投射线 ____________ 相同:都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。 放大 3.投影知识点: 测量同一时刻物体的高度和影长时: ①两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是_____投影。 ②)若两物体的高度之比不等于影长之比时， 则这两个物体的影子是______投影 平行 中心 考点串讲 考点一、投影 4.投影的性质: ①将两个等高物体_______于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。 ②)将两个等高物体_______于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。 垂直 平行 考点串讲 考点二、正投影 1.正投影的定义 投影线垂直于投影面产生的投影叫做____________. 正投影是平行投影的一种特殊情况,它不可能中心投影. 2.线段、平面图形、立体图形的正投影 (1)线段的正投影 当线段平行于投影面时,它的正投影和它的大小关系为______ 当线段倾斜于投影面时,它的正投影和它的大小关系为 原长______影长， 当线段垂直于投影面时,它的正投影是一个_______. 相等 正投影 大于 点 考点串讲 考点二、正投影 (2)平面图形的正投影 平面图形平行于投影面：_____________________________________________ 平面图形倾斜于投影面:_______________________________________________ 平面困形垂直于投影面:_______________________________________________ (3)立体图形的正投影 立体图形的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关, 立体图形的正投影与平行于投影面的立体图形的_______截面相同。 与它本身全等的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 最大 考点串讲 考点三、 三视图 1.概念: 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。 2.分类: 视图有:___________、左视图、俯视图 主视图 考点串讲 考点三、 三视图的特征及画法 1.三视图的特征 (1)位置关系:三视图中各视图的位置有规定, 主视图在左上边,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边, 主视图反映物体的_____和长, 俯视图反映物体的长和______, 左视图反映物体的_____和宽。 高 宽 高 考点串讲 考点三、 三视图的特征及画法 长 (2)对应关系: 主视图、俯视图表示同一物体的_______, 主视图、左视图表示同一物体的______, 左视图、俯视图表示同一物体的_______. 2.三视图的画法 (1)确定主视方向,先画出________; (2)运用“长对正、高平齐、宽相等”的原则画出其他视图。 高 宽 主视图 考点串讲 例1：  题型一、中心投影 如图,树AB在路灯O的照射下形成投影AC, 已知路灯高DO=4 m,树影AC=2 m,树AB与路灯O的水平距离AD=3 m,则树的高度AB是　　　    m.   解析　易知AB∥OD,∴△CAB∽△CDO, ∴  =  , ∴  =  , ∴AB=  m,故答案为   . 题型剖析 题型一、中心投影 考点秒记 ①中心投影的光源是点光源,它的光线交于一点. ②在点光源下的投影(中心投影),心同物体的影长之比一般不等于物高之比 题型剖析 变式： 题型一、中心投影 如图,在平面直角坐标系中,点P(4,3)是一个光源,CD为木杆AB在x轴上的投影,A(0,1),B(6,1),过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交AB于点N,求CD的长. 题型剖析 变式： 题型一、中心投影 解析　本题在平面直角坐标系中借助相似三角形考查了投影. ∵A(0,1),B(6,1),∴AB∥x轴,AB=6, ∵PM⊥x轴于M,PM交AB于点N,∴MN=1, 由题意可知PM=3,∴PN=PM-MN=3-1=2, 易知△PAB∽△PCD,∴  =  , 即  =   , ∴CD=9,即CD的长为9. 题型剖析 题型二、平行投影 例2： 树甲在阳光下的影子如图所示. (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子(用线段表示并说明). (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里,那么树甲至 少要多高?请画图表示并说明.  题型剖析 题型二、平行投影 例2： 解析    (1)如图,根据太阳光线是平行光线,作GB∥PE∥OF, 则DF表示树丙的影子,CE表示树乙的影子. (2)延长EP、AG相交于H,如图所示,根据平行投影的特点可 知当树甲的高度为AH长时,树乙的影子落在树甲的影子里. 题型剖析 题型二、平行投影 考点秒记 ①在平行投影中,物体上的点与影子上的对应点的连线互相平行,反之,物体上的点与影子上的对应点的连线是互相平行的,就说明是平行投影. ②在太阳光下,同一地点、同一时刻,不同物体的影子平行或在同一条直线上, 题型剖析 题型二、平行投影 变式： 小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆 的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑 物OB的影长OC为20米,OA的影长OD为24米,小军的影长FG 为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O 三点在同一直线上,且OA⊥OD,EF⊥FG. 题型剖析 题型二、平行投影 变式： (1)①图中阳光下的影子属于　　　    (填“中心投影”或“平行投影”). ②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为　　    . (2)已知小军的身高EF为1.8米,求旗杆AB的高. 题型剖析 题型二、平行投影 变式： 解析    (1)①平行投影. ②AD∥BC∥EG(或平行). (2)∵OA⊥OD,EF⊥FG,∴∠AOD=∠EFG=90°, ∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,∴△AOD∽△EFG, ∴ =  , ∴  =  . ∴OA=18米. ∵AD∥BC,∴  =  ,∵CD=OD-OC=4(米), ∴ =  ,∴AB=3米,∴旗杆AB的高为3米. 题型剖析 题型三、正投影 例3： 在平面直角坐标系xOy中,位于第二象限的点A(-1,3)在x轴 上的正投影为点A',则cos∠AOA'=　　　    .    解析　∵点A(-1,3)在x轴上的正投影为点A', ∴A'O=1,AA'=3,∴AO=  =  , ∴cos∠AOA'=  =  = . 题型剖析 题型三、正投影 (1)线段的正投影口诀秒记 平行长不变，倾斜长缩短垂直成一点。 (2)平面图形的正投影口诀秒记 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 (3)立体图形的正投影 立体图形的正投影与平行于投影面的体图形的最大截面相同。 题型剖析 变式： 题型三、正投影 如图,将一块等腰直角三角板放在桌面上,A,B的正投影 分别为M,N,若AM=3,BN=4,则斜边AB的正投影的长是　　　    .   7 解析　∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°, ∵∠CBN+∠BCN=90°, ∴∠ACM=∠CBN. 又∵AC=BC,∠AMC=∠BNC=90°, ∴△AMC≌△CNB(AAS), ∴BN=MC=4,AM=CN=3,∴MN=7, ∴斜边AB的正投影的长是7. 题型剖析 题型四、三视图及常见几何体的三视图 例4： 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝,是中国书法的必备用具,一方寓意“规矩方圆”的砚台如图1所示,可以抽象出如图2所示的立体图形(长方体中挖去一个圆柱),则它的左视图是 (　    ) A　  B　  C　 D D 解析　注意能看到的线用实线,看不到的线用虚线.长方体的 左视图为长方形,挖去的圆柱的左视图为长方形,故选D. 题型剖析 题型四、三视图及常见几何体的三视图 画三视图时,三个视图都要放在正确的位置 看得见的轮廓线画成实线, 看不见(被遮挡)的轮廓线画成虚线， 几何体的三视图是平面图形,不要画成立体图形。 题型剖析 题型四、三视图及常见几何体的三视图 变式： 下列几何体中,主视图和左视图相同的有 (　    ) A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个 C 解析：     的主视图为圆,左视图为圆,主视图与左视图相同.  的主视图为三角形,左视图为矩形,主视图与左视图不相同.  的主视图为三角形,左视图为三角形,主视图与左视图相同.  的主视图为矩形,左视图为矩形,主视图与左视图相同. 综上,主视图和左视图相同的有3个,故选C. 题型剖析 例5： 题型五、简单组合体的三视图 如图1,某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合 而成的立体图形,已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高 相等,都是2 m. (1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分, 请将它们补充完整. 题型剖析 例5： 题型五、简单组合体的三视图 (2)为了防腐,需要在这个立体图形表面刷一层油漆.已知刷1 平方米油漆需花费50元,那么一共需要花费多少元?(π取3.14) (说明:正方体一底面立于地上,不刷油漆;圆柱一底面立于正 方体上,重合部分不刷油漆) 题型剖析 例5： 题型五、简单组合体的三视图 解析    (1)如图.   (2)5×2×2+2×2×π =20+4π≈20+3.14×4 =32.56(平方米). 32.56×50=1 628(元). 答:一共需要花费1 628元. 题型剖析 题型五、简单组合体的三视图 解三视图的本质 主视图： 反映了物体的长和高，以及上下、左右的位置关系。 左视图： 反映了物体的宽和高，以及上下、前后的位置关系。 俯视图： 反映了物体的长和宽，以及左右、前后的位置关系。 核心口诀： “长对正，高平齐，宽相等” 题型剖析 题型五、简单组合体的三视图 变式： 如图所示的几何体,它的俯视图是 (　    )    A　     B　　　 C　　　    D A 解析：俯视图为选项A中的图形,故选A. 题型剖析 题型六、由视图还原几何体 例6： 一个长方体的三视图如图所示,已知长方体的高为x,其俯 视图和左视图的面积分别为S1=(x+2)(x-2),S2=x(x-2). (1)用x表示此长方体的长为　　　    ,宽为　　　    . (2)当x=4时,长方体的体积为　　　    . 题型剖析 题型六、由视图还原几何体 例6： 解析 ： (1)x+2;x-2. (2)∵长方体的长为x+2,宽为x-2,高为x, ∴长方体的体积=x(x+2)(x-2), 当x=4时,x(x+2)(x-2)=4×(4+2)×(4-2)=48, ∴当x=4时,长方体的体积为48. 题型剖析 题型六、由视图还原几何体 技巧一：俯视图定基准（“地基”法） 技巧二：主、左视图定高度（“限高”法） 主视图的每一列，限制了俯视图对应列的最高高度。 左视图的每一行，限制了俯视图对应行的最高高度。 题型剖析 题型六、由视图还原几何体 变式： 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( ) 　    A 　  B　    C　     D C 题型剖析 题型六、由视图还原几何体 变式： 解析　根据俯视图为中间有一个圆的矩形, 主视图上层为矩形,下层也为矩形, 左视图都是矩形,可得这个几何体上层为一个圆柱,下层为长方体,且圆柱的底面直径与长方体的宽相等. 故选C. 题型剖析 1． 下图是一个正方体,截去一个半圆柱后得到的几何体,则其左视图是 (　    )    A　　　     B　　　     C　　　     D B 解析　左视图是选项B中的图形,故选B. 针对训练 2． 如图,一人在两等高的路灯之间走动,GB为人AB在路灯EF照射下的影子,BH为人AB在路灯CD照射下的影子.在人从点C走向点E的过程中两段影子之和GH的变化趋势是 (　    ) C A.先变长后变短　　　     B.先变短后变长 C.不变　　　     D.先变短后变长再变短 针对训练 2． 解析　如图所示,连接DF,延长BA交DF于M,则AM⊥DF, BM=CD=EF. ∵GH∥DF,∴△ADF∽△AHG. ∵AB⊥GH,AM⊥DF, ∴ =  , ∴GH=  . ∵在人从点C走向点E的过程中,DF,AB,AM的长不变, ∴GH的长不变.故选C. 针对训练 3． 一个几何体的三视图如图,则这个几何体的表面积是 (　    ) A.39π　　　    B.45π　　　    C.48π　　　    D.54π B 解析　根据三视图可知,该几何体上面是底面直径为6,母线 长为4的圆锥,下面是底面直径为6,高为4的圆柱,故该几何体的表面积=π× ×6×4+6π×4+π× =12π+24π+9π=45π.故选B. 针对训练 4． 如图,现测得OA=20 cm,AA'=30 cm,则这个三角尺的周长与它在墙上形成的投影的周长的比是　　    .  2∶5 解析　∵OA=20 cm,AA'=30 cm, ∴OA'=50 cm,∴OA∶OA'=20∶50=2∶5, ∵三角尺与其投影是相似三角形, ∴三角尺的周长与它在墙上形成的投影的周长的比是2∶5. 针对训练 5． 某几何体的三视图如图所示,根据图中所标的数据可计算 该几何体的体积为　　　    . 136π 解析　由三视图知该几何体由大、小两个圆柱构成,且处于横放的状态.大圆柱的底面直径为8,高为8;小圆柱的底面直径为4,高为2.故该几何体的体积为π×22×2+π×42×8=8π+128π=136π. 针对训练 6． 　 如图,某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子的顶端刚好落在Q处. (1)请在图中画出此时的太阳光线及木杆AB的影子BF. (2)若AB=5米,CD=3米,DQ=2米,求此时木杆AB的影长.   针对训练 6． 解析    (1)如图所示.  (2)根据题意可得  =  , 即   =  , ∴BF=  米. 答:木杆AB的影长是  米. 针对训练 7． 某几何体的三视图如图所示.在△PMN中,∠MPN=90°, PN=4,sin∠PMN= . (1)求BC和FG的长. (2)若矩形ABCD∽矩形FGHE,求AB的长. (3)在(2)的情况下,求这个几何体的表面积.   针对训练 7． 解析    (1)∵∠MPN=90°,∴△PMN是直角三角形.设Rt△PMN斜边上的高为h, 易知BC=MN,FG=h, ∵sin∠PMN=  =  , PN=4, ∴MN=5,∴BC=5,PM= =3, ∵ PM·PN= h·MN,∴h= ,∴FG= . (2)∵矩形ABCD∽矩形FGHE,∴  =  , ∵AB=EF, ∴  = 针对训练 7． ∴AB=2 . (3)由该几何体的三视图可知,这个几何体为直三棱柱,它的 表面积= ×3×4×2+5×2 +3×2 +4×2 =12+24 . 针对训练 ✅ 知识构建：投影与视图 投影 正投影 三视图 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 空间转换思想： 三维与二维的映射与还原（降维与升维）。 综合分析思想：分解观察，综合判断。 跨领域桥梁思想：融合立体几何、逻辑推理和代数约束。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $