专题01 分数的乘法与除法（期末复习讲义）六年级数学上学期新教材人教版五四制

该初中数学讲义通过表格系统梳理分数乘除法的核心考点、复习目标与考情规律，以框架图呈现“意义-计算-混合运算-实际应用”的知识脉络，明确各模块重难点及内在逻辑，帮助学生构建完整知识体系。 讲义亮点在于分层练习设计与靶向方法指导，通过“倒数求解”“工程问题”等题型训练运算能力与推理意识，用线段图辅助分析单位“1”培养模型意识。基础通关练夯实基础，重难突破练提升能力，助力教师实施分层教学，学生实现自主高效复习。

专题01 分数的乘法与除法（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数乘法的意义与计算 1．能准确表述分数乘法的两种意义，即：求几个相同分数的和、求一个数的几分之几是多少； 2．熟练掌握各类分数乘法的计算方法，能正确约分简化运算． 基础必考点，覆盖选择、填空、计算题，占分比高； 易错点为小数与分数相乘时换算失误、约分不彻底． 分数除法的意义与计算 1．理解分数除法是分数乘法的逆运算；掌握倒数的定义与求法； 2．能熟练将分数除法转化为乘法计算． 高频考点，常与乘法混合考查； 易错点为求整数或小数的倒数时格式错误、忘记乘除数的倒数． 分数乘除法混合运算与运算律应用 掌握分数混合运算的运算顺序，能灵活运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算． 中档题核心考点，多以计算题形式出现； 易错点为运算顺序混淆、简便运算时符号处理错误． 分数乘除法的实际应用 1．能准确分析实际问题中的数量关系，找准单位“1”，列算式或方程解决问题； 2．会画线段图辅助理解题意． 压轴应用题高频考点，占分比高； 易错点为单位“1”判断错误、多（少）几分之几的计算逻辑混淆． 知识点01分数乘法的意义与计算方法 1．分数乘法的意义 意义1：求几个相同分数相加的和，与整数乘法意义一致。例如：表示2个相加的和。 意义2：求一个数的几分之几是多少。例如：表示求2的是多少，表示求的是多少。 2．分数乘法的计算方法 分数与整数相乘：用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变，能约分的先约分。 ·示例：（先将6和9约分，6约分为2，9约分为3，再计算）。 分数与分数相乘：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分。 ·示例：（先将分子的3和分母的3约分，再计算）。 小数乘分数：有两种方法，一是将小数化成分数计算，二是将分数化成小数计算（分数能化成有限小数时更简便），也可直接约分。 ·示例：，可将2.4和4约分（2.4约分为0.6，4约分为1），得。 易错点： 1．计算时忘记约分或约分不彻底，导致结果不是最简分数（如错算为，未化简为）。 2．小数与分数相乘时，小数化分数或分数化小数出错（如将2.1化成分数时错写为，正确应为）。 3．混淆“求一个数的几分之几”与“求一个数的几倍”的意义，实际两者均用乘法，但需准确理解“几分之几”的比例关系。 知识点02分数除法的意义与计算方法（含倒数） 1．倒数的定义与求法 定义：乘积是1的两个数互为倒数，强调“互为”，即若，则是的倒数，也是的倒数。 求法：将这个数化成分数形式（整数可看作分母为1的分数，小数先化分数），再交换分子与分母的位置。 ·示例：求6的倒数，先将6化为，交换分子分母得；求0.2的倒数，先将0.2化为，交换分子分母得5。 特殊情况：1的倒数是1（）；0没有倒数（0乘任何数都得0，无法得1）。 2．分数除法的意义 分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。例如：若，则，。 3．分数除法的计算方法 分数除以整数（0除外）：等于乘这个整数的倒数。 ·示例：。 分数除以分数：等于乘这个分数的倒数。 ·示例：。 整数除法可转化为分数除法：整数看作分母为1的分数，再按分数除法计算。例如：。 易错点： 1．求整数或小数的倒数时格式错误，如将6的倒数错写为6（正确应为），将0.5的倒数错写为（应先化分数，再求倒数2）。 2．计算分数除法时，忘记将除法转化为乘法，或未乘除数的倒数（如错算为）。 3．误认为0有倒数，或1的倒数是其他数。 知识点03分数乘除法混合运算与运算律 1．分数混合运算的运算顺序 与整数混合运算顺序一致：先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的（先小括号，再中括号）；同级运算（只有乘除或只有加减）从左到右依次计算。 ·示例：，先算乘法，再算加法。 2．分数乘法的运算律（与整数乘法运算律一致） 乘法交换律：， ·示例：。 乘法结合律：， ·示例：。 乘法分配律：， ·示例：。 易错点： 1．混淆运算顺序，如先算加减后算乘除（如错算为）。 2．应用乘法分配律时漏乘或符号错误，如错算为（漏乘12）。 3．连乘时约分失误，如错将分子2和分母4约分后，忘记分子3和分母3约分。 知识点04分数乘除法的实际应用 1．核心思路：找准单位“1” 单位“1”是指被比较、被平均分的标准量，通常在“是” “占” “比” “相当于”后面，或“的几分之几”前面。例如：“海狮的寿命是海象的”，单位“1”是海象的寿命。 2．常见题型及解法 题型1：连续求一个数的几分之几。 解法：先求第一个单位“1”的几分之几，再以此为新的单位“1”，求其几分之几，用连乘计算。 ·示例：海象寿命40年，海狮寿命是海象的，海豹寿命是海狮的，海豹寿命为（年）。 题型2：求比一个数多（少）几分之几的数。 解法：先求多（少）的部分（单位“1”×几分之几），再用单位“1”加（减）该部分；或直接用单位“1”×(1±几分之几)。 ·示例：青少年心跳75次/分，婴儿比青少年多，婴儿心跳为（次/分）。 题型3：工程（行程）类问题（分数除法应用）。 解法：工程问题中，通常将工作总量看作单位“1”，工作时间=工作总量÷工作效率（效率为“每天完成总量的几分之几”）；行程问题中，速度=路程÷时间，路程=速度×时间。 ·示例：甲队每天修栈道的，乙队每天修，两队合修时间为．（天）。 易错点： 1．单位“1”判断错误，如“海豹寿命是海狮的”错将海豹寿命当作单位“1”（正确应为海狮寿命）。 2．计算“比一个数少几分之几”时，误用减法却未乘单位“1”，如“比75少”错算为（正确应为）。 3．工程问题中，忘记将工作总量看作单位“1”，或混淆工作效率与工作时间的关系（如错将“每天修”当作工作时间）。 题型一 倒数求解问题 解｜题｜技｜巧 1．牢记定义：乘积为1的两个数互为倒数，“互为”表双向关系，避免单独表述“某数是倒数”。 2．分类求解： 分数：直接交换分子与分母位置，带分数先化为假分数。 整数：看作分母为1的分数，再交换分子分母。 小数：先化为最简分数，再交换分子分母，不写非分数形式。 3．特殊情况：1的倒数是1，0没有倒数（结合“0不能作分母”记忆）。 4．验证：求倒数后，通过“原数×倒数”验证是否等于1。 【典例】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)0.35的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数，根据互为倒数的两个数乘以为1求解即可． 【详解】解：0.35的倒数是， 故答案为：． 【变式1】的倒数是( )，0.5和( )互为倒数． 【答案】 / 2 【分析】此题考查了倒数的概念，解题的关键是熟练掌握倒数的概念：两个相乘为1的数互为倒数． 根据倒数的概念求解即可． 【详解】解：的倒数是， ∵， ∴0.5和2互为倒数． 故答案为：，2． 【变式2】一个数的倒数是，这个数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数的四则混合运算，根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，，则a是b的倒数，b是a的倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可；据此可知一个数的倒数是，这个数是，把这个数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用即可求出这个数的，熟练掌握倒数的定义，以及求一个数的几分之几是多少用乘法计算，是解答本题的关键． 【详解】解：已知一个数的倒数是，这个数是， 所以这个数的是． 故答案为：． 题型二 分数乘除法基础综合计算题 解｜题｜技｜巧 1．分类掌握法则： 分数乘整数：分子乘整数，分母不变，先约分再计算。 分数乘分数：分子乘分子、分母乘分母，优先交叉约分。 分数除法：统一转化为“乘除数的倒数”，再按分数乘法计算，牢记“除号变乘号，除数变倒数”。 小数乘分数：分数能化有限小数则用小数相乘，小数能与分母约分则直接约分，灵活选择方法。 2．规避易错点： 0参与运算：0乘任何分数得0，0除以非0分数得0，0不能作除数。 结果化简：计算后检查是否为最简分数，用分子分母同除以最大公因数化简。 【典例】直接写出答案． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3)0 (4)7 (5)1 (6)1 (7) (8) 【分析】本题考查了分数、百分数乘除法、加法的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据分数乘法计算方法，直接进行口算即可； （2）根据任何数与1相乘都得原数，直接进行口算即可； （3）根据0除以任何非0数均为0，直接进行口算即可； （4）根据分数除法计算方法，直接进行口算即可； （5）根据一个数乘以它的倒数等于1，直接进行口算即可； （6）根据一个不为0的数除以它本身等于1，直接进行口算即可； （7）根据百分数加法的计算方法，直接进行口算即可； （8）根据百分数乘法的计算方法，直接进行口算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【变式1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)下图中网状阴影部分可用算式 （   ）表示 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分数的意义以及分数乘法的意义．根据图形可知，把整个长方形看作单位“1”，根据分数的意义，把整个长方形平均分成3份，把其中的2份涂色；之后再把这2份看作一个整体，把这个整体平均分成4份，取其中的3份涂色，根据分数乘法的意义列出算式． 【详解】网状阴影部分可以用算式表示的是：， 故选：B． 【变式2】在（    ）里填上“”“”或“”． ( )     ( )     ( ) 【答案】 【分析】此题考查了分数的乘法和除法运算，分数的比较大小，解题的关键是熟练掌握分数的乘法和除法运算法则． 根据分数的乘法和除法运算法则求解，然后比较大小即可． 【详解】∵，， ∵ ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∵ ∴； 故答案为：，，． 题型三 分数混合运算（含运算律）题 解｜题｜技｜巧 1．严守运算顺序： 无括号：先乘除后加减，同级运算（仅乘除或仅加减）从左到右。 有括号：先算小括号，再算中括号，最后算括号外。 2．巧用运算律： 交换律/结合律：遇互为倒数或可约分的数，交换位置或结合计算。 分配律：括号内是加减、括号外是乘法时，展开计算，注意符号与避免漏乘。 3．连乘约分：多分数连乘，先找所有分子分母的公因数，一次性约分。 【典例】计算．（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查分数的混合运算，掌握运算定律、简算方法和运算顺序是解题关键． （1）运用乘法分配律的逆运算解答； （2）先运算括号里的乘法，再运算除法，最后运算减法； （3）运用乘法分配律解答； （4）先把除法化为乘法，然后约分解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】此题考查了分数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘法再算除法，即可解答； （2）先算括号，再算除法，即可解答； （3）利用乘法分配律，进行简便运算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ＝1； （3）解： ． 【变式2】怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)1； (3)4 【分析】本题考查分数的四则运算． （1）除法变乘法，再根据运算法则进行计算即可； （2）先算括号，再算乘除即可； （3）小数变分数，约分即可． 掌握分数的四则运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 题型四 分数乘除法实际应用之 “比一个数多（少）几分之几” 问题 解｜题｜技｜巧 1．找准单位“1”：通常在“比、是、占、相当于”后，或“的几分之几”前，可标注辅助判断。 2．分情况列式： 单位“1”已知：用“单位‘1’×（1±几分之几）”，“+”对应“多”，“-”对应“少”。 单位“1”未知：用“已知数÷（1±几分之几）”，避免直接加减几分之几。 3．复杂问题：多步骤题目逐步确定单位“1”，分步计算。 4．辅助工具：画线段图，先画单位“1”线段，再按“多（少）几分之几”调整线段。 【典例】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)将一件商品涨价，再降价出售．这件商品现价与原价相比（    ） A．价格不变 B．原价高 C．原价低 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了分数级百分数的应用，完成本题要注意前后提价与降价分率的单位“1”是不同的，第二次降价是在第一次提价的基础上降的．把原价看作单位“1”，求出变化后的价格即可求解． 【详解】解： ， 因为， 所以商品的现价比原价低了． 故选：C． 【变式1】 比多；比 少． 【答案】 35 36 【分析】本题考查分数的四则混合运算，求单位“1”的几分之几，用乘法，求单位“1”，用除法． 把看作单位“1”，求30的是多少；把要求的数看作单位“1”，它的是，求单位“1”，据此即可解答． 【详解】解：； ， 答：比多；比少． 故答案为：35，36． 【变式2】(24-25六上·山东滨州博兴县·期末)光明小学五、六年级举行经典诵读活动． (1)已知五年级有80人参加，六年级参加的人数比五年级多，五六年级共有多少人参加经典诵读活动？ (2)如果按的比评选出一、二、三等奖，这次经典诵读活动一、二等奖各多少人？ (3)三等奖的获奖率是多少？ 【答案】(1)五六年级共有200人参加经典诵读活动 (2)这次经典诵读活动一，二等奖各40人，100人 (3)三等奖的获奖率是 【分析】本题考查的是按比例分配应用题． （1）将五年级参加人数看作单位“1”，六年级参加人数是五年级的，五年级参加人数六年级对应分率六年级参加人数，六年级参加人数五年级参加人数五六年级总人数，据此列式解答； （2）根据比的意义，总人数总份数，求出一份数，一份数分别乘一、二等奖对应份数，即可求出一、二等奖人数； （3）总人数一等奖人数二等奖人数三等奖人数，获奖率获奖人数总人数，据此列式解答． 【详解】（1）解：（人）， 答：五六年级共有200人参加经典诵读活动； （2）解：（人）， （人）， （人）， 答：这次经典诵读活动一，二等奖各40人，100人； （3）解：（人）， ， 答：三等奖的获奖率是． 题型五 分数除法实际应用之工程（行程）类问题 解｜题｜技｜巧 1．工程问题： 设工作总量：通常看作单位“1”（有具体量也可设具体数）。 求效率：效率=工作总量÷工作时间，效率表示“每天完成总量的几分之几”。 算时间：时间=工作总量÷效率（合作则用效率和），避免混淆效率与时间。 2．行程问题： 核心公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。 分数换算：速度或时间为分数时，直接代入公式，注意单位统一。 3．共性技巧： 无具体总量：优先设为单位“1”简化计算。 多主体合作：先求“效率和”或“速度和”，再按公式计算。 验证：工程问题验证“效率×时间=工作总量”，行程问题验证“速度×时间=路程”。 【典例】(24-25六上·黑龙江哈尔滨道外区四校·期末)一条道路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天能修完．如果两队合修， 天能修完？ 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，根据题意列出算式求解即可． 【详解】（天）． ∴如果两队合修，天能修完． 故答案为：． 【变式1】一辆汽车小时行驶30km，照这样的速度，小时能行驶（    ）km． A．54 B．90 C．120 D．150 【答案】A 【分析】根据路程=速度×时间，求解即可． 【详解】解： （km）． 故选：A． 【点睛】本题考查分数除法的应用，解题的关键是理解题意，列出算式求解． 【变式2】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪．这个水库有两个泄洪口，只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务．如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 【答案】小时可以完成任务 【分析】本题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，把超过警戒线以上水的体积看作单位“1”，只打开A口，8小时可以完成任务，A每小时泄洪，只打开B口，6小时可以完成任务，即B每小时泄洪，根据工作量÷工作效率和=合作用的时间，据此解答即可． 【详解】解：（小时） 答：小时可以完成任务． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)的倒数除以5的倒数，商是（    ）． A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的定义，分数的除法，先根据倒数的定义得出的倒数是，5的倒数是，然后根据分数的除法法则计算即可． 【详解】解：的倒数是，5的倒数是， ， 故选：D 2．(24-25六上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)有一桶水，倒出后，桶内还剩水，桶内原有水 L． 【答案】100 【分析】本题主要考查了分数除法的应用，根据题意可知对应水量的，然后列示计算即可． 【详解】解：， 故答案为：100． 3．(24-25六上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)小兰家距离学校，若小兰骑自行车从家到学校需要小时，则她每小时骑行( )． 【答案】15 【分析】本题考查分数除法的应用，用路程除以时间进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：15． 4．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了分数的混合运算．将小数转化成分数，再计算乘除法，然后得出结果即可． 【详解】解： ． 5．(24-25六上·黑龙江绥化海伦·期末)围墙的高度是，根据骆驼和山羊的对话，你能得出小羊的身高是多少米？ 【答案】小羊的身高是 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．先求出骆驼的高度，然后求出小羊的身高即可． 【详解】解：骆驼身高为：， 小羊的身高为：， 答：小羊的身高是． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25六上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)“某人读书3天，读了全书的，照这样，读完这本书共需多少天？”小胖看到这道题，写出了四种做法：①；②；③；④．其中正确的做法是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分数的混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键．根据题意，用读书的天数除以读了的书占全书的百分比，可得读完这本书共需多少天，即可判断①；用读书的天数除以读了的书占全书的百分比再减去已读的天数，可得读完这本书还需多少天，即可判断②；用单位1除以读书的天数除以读了的书占全书的百分比的商，可得读完这本书共需多少天，即可判断③；用已读的天数乘以单位1除以读了的书占全书的百分比的商，可得读完这本书共需多少天，即可判断④． 【详解】解：①，求出的是读完这本书共需多少天； ②，求出的是读完这本书还需多少天； ③，求出的是读完这本书共需多少天； ④，求出的是读完这本书共需多少天； ∴正确的做法是①③④， 故选：C． 2．(24-25六上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)一种商品按原价的出售，比原价降低10元，原价是 元． 【答案】100 【分析】本题考查分数混合运算的应用，将原价看作单位“1”，用10除以，即可求出原价，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：（元， 答：原价是100元． 故答案为：100． 3．(24-25六上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)一条丝带长，第一次用去了，第二次用去了，还剩 m． 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，先依据分数乘法的意义，求出第一次用去的长度，再根据剩余长度总长度第一次用去长度第二次用去长度即可解答，解答本题的数量关系比较清晰，关键是熟知分数的意义． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分数混合运算，熟练掌握分数混合运算法则是解题的关键； 根据分数混合运算法则，先算去括号，然后计算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ， ． 5．(23-24六上·山东滨州博兴县·期末)甲、乙、丙三个修路队共同修完一条公路，下面是三位队长的一段对话，请根据这段对话算一算，这条公路一共长多少米？ 甲队长：我们队修了这条公路长度的一半． 乙队长：我们队修了120米． 丙队长：我们队修了全长的． 【答案】600米 【分析】本题考查了工程问题，把总工程量看做1，根据题意，得甲队修了，丙队修了，得到乙队修了，根据乙队修了120米，列式米即可． 【详解】解：把总工程量看做1，根据题意，得甲队修了，丙队修了，得到乙队修了， ∵乙队修了120米， ∴(米), 答：这条公路一共长600米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分数的乘法与除法（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数乘法的意义与计算 1．能准确表述分数乘法的两种意义，即：求几个相同分数的和、求一个数的几分之几是多少； 2．熟练掌握各类分数乘法的计算方法，能正确约分简化运算． 基础必考点，覆盖选择、填空、计算题，占分比高； 易错点为小数与分数相乘时换算失误、约分不彻底． 分数除法的意义与计算 1．理解分数除法是分数乘法的逆运算；掌握倒数的定义与求法； 2．能熟练将分数除法转化为乘法计算． 高频考点，常与乘法混合考查； 易错点为求整数或小数的倒数时格式错误、忘记乘除数的倒数． 分数乘除法混合运算与运算律应用 掌握分数混合运算的运算顺序，能灵活运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算． 中档题核心考点，多以计算题形式出现； 易错点为运算顺序混淆、简便运算时符号处理错误． 分数乘除法的实际应用 1．能准确分析实际问题中的数量关系，找准单位“1”，列算式或方程解决问题； 2．会画线段图辅助理解题意． 压轴应用题高频考点，占分比高； 易错点为单位“1”判断错误、多（少）几分之几的计算逻辑混淆． 知识点01分数乘法的意义与计算方法 1．分数乘法的意义 意义1：求几个相同分数相加的和，与整数乘法意义一致。例如：表示2个相加的和。 意义2：求一个数的几分之几是多少。例如：表示求2的是多少，表示求的是多少。 2．分数乘法的计算方法 分数与整数相乘：用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变，能约分的先约分。 ·示例：（先将6和9约分，6约分为2，9约分为3，再计算）。 分数与分数相乘：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分。 ·示例：（先将分子的3和分母的3约分，再计算）。 小数乘分数：有两种方法，一是将小数化成分数计算，二是将分数化成小数计算（分数能化成有限小数时更简便），也可直接约分。 ·示例：，可将2.4和4约分（2.4约分为0.6，4约分为1），得。 易错点： 1．计算时忘记约分或约分不彻底，导致结果不是最简分数（如错算为，未化简为）。 2．小数与分数相乘时，小数化分数或分数化小数出错（如将2.1化成分数时错写为，正确应为）。 3．混淆“求一个数的几分之几”与“求一个数的几倍”的意义，实际两者均用乘法，但需准确理解“几分之几”的比例关系。 知识点02分数除法的意义与计算方法（含倒数） 1．倒数的定义与求法 定义：乘积是1的两个数互为倒数，强调“互为”，即若，则是的倒数，也是的倒数。 求法：将这个数化成分数形式（整数可看作分母为1的分数，小数先化分数），再交换分子与分母的位置。 ·示例：求6的倒数，先将6化为，交换分子分母得；求0.2的倒数，先将0.2化为，交换分子分母得5。 特殊情况：1的倒数是1（）；0没有倒数（0乘任何数都得0，无法得1）。 2．分数除法的意义 分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。例如：若，则，。 3．分数除法的计算方法 分数除以整数（0除外）：等于乘这个整数的倒数。 ·示例：。 分数除以分数：等于乘这个分数的倒数。 ·示例：。 整数除法可转化为分数除法：整数看作分母为1的分数，再按分数除法计算。例如：。 易错点： 1．求整数或小数的倒数时格式错误，如将6的倒数错写为6（正确应为），将0.5的倒数错写为（应先化分数，再求倒数2）。 2．计算分数除法时，忘记将除法转化为乘法，或未乘除数的倒数（如错算为）。 3．误认为0有倒数，或1的倒数是其他数。 知识点03分数乘除法混合运算与运算律 1．分数混合运算的运算顺序 与整数混合运算顺序一致：先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的（先小括号，再中括号）；同级运算（只有乘除或只有加减）从左到右依次计算。 ·示例：，先算乘法，再算加法。 2．分数乘法的运算律（与整数乘法运算律一致） 乘法交换律：， ·示例：。 乘法结合律：， ·示例：。 乘法分配律：， ·示例：。 易错点： 1．混淆运算顺序，如先算加减后算乘除（如错算为）。 2．应用乘法分配律时漏乘或符号错误，如错算为（漏乘12）。 3．连乘时约分失误，如错将分子2和分母4约分后，忘记分子3和分母3约分。 知识点04分数乘除法的实际应用 1．核心思路：找准单位“1” 单位“1”是指被比较、被平均分的标准量，通常在“是” “占” “比” “相当于”后面，或“的几分之几”前面。例如：“海狮的寿命是海象的”，单位“1”是海象的寿命。 2．常见题型及解法 题型1：连续求一个数的几分之几。 解法：先求第一个单位“1”的几分之几，再以此为新的单位“1”，求其几分之几，用连乘计算。 ·示例：海象寿命40年，海狮寿命是海象的，海豹寿命是海狮的，海豹寿命为（年）。 题型2：求比一个数多（少）几分之几的数。 解法：先求多（少）的部分（单位“1”×几分之几），再用单位“1”加（减）该部分；或直接用单位“1”×(1±几分之几)。 ·示例：青少年心跳75次/分，婴儿比青少年多，婴儿心跳为（次/分）。 题型3：工程（行程）类问题（分数除法应用）。 解法：工程问题中，通常将工作总量看作单位“1”，工作时间=工作总量÷工作效率（效率为“每天完成总量的几分之几”）；行程问题中，速度=路程÷时间，路程=速度×时间。 ·示例：甲队每天修栈道的，乙队每天修，两队合修时间为．（天）。 易错点： 1．单位“1”判断错误，如“海豹寿命是海狮的”错将海豹寿命当作单位“1”（正确应为海狮寿命）。 2．计算“比一个数少几分之几”时，误用减法却未乘单位“1”，如“比75少”错算为（正确应为）。 3．工程问题中，忘记将工作总量看作单位“1”，或混淆工作效率与工作时间的关系（如错将“每天修”当作工作时间）。 题型一 倒数求解问题 解｜题｜技｜巧 1．牢记定义：乘积为1的两个数互为倒数，“互为”表双向关系，避免单独表述“某数是倒数”。 2．分类求解： 分数：直接交换分子与分母位置，带分数先化为假分数。 整数：看作分母为1的分数，再交换分子分母。 小数：先化为最简分数，再交换分子分母，不写非分数形式。 3．特殊情况：1的倒数是1，0没有倒数（结合“0不能作分母”记忆）。 4．验证：求倒数后，通过“原数×倒数”验证是否等于1。 【典例】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)0.35的倒数是 ． 【变式1】的倒数是( )，0.5和( )互为倒数． 【变式2】一个数的倒数是，这个数的是 ． 题型二 分数乘除法基础综合计算题 解｜题｜技｜巧 1．分类掌握法则： 分数乘整数：分子乘整数，分母不变，先约分再计算。 分数乘分数：分子乘分子、分母乘分母，优先交叉约分。 分数除法：统一转化为“乘除数的倒数”，再按分数乘法计算，牢记“除号变乘号，除数变倒数”。 小数乘分数：分数能化有限小数则用小数相乘，小数能与分母约分则直接约分，灵活选择方法。 2．规避易错点： 0参与运算：0乘任何分数得0，0除以非0分数得0，0不能作除数。 结果化简：计算后检查是否为最简分数，用分子分母同除以最大公因数化简。 【典例】直接写出答案． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【变式1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)下图中网状阴影部分可用算式 （   ）表示 A． B． C． D． 【变式2】在（    ）里填上“”“”或“”． ( )     ( )     ( ) 题型三 分数混合运算（含运算律）题 解｜题｜技｜巧 1．严守运算顺序： 无括号：先乘除后加减，同级运算（仅乘除或仅加减）从左到右。 有括号：先算小括号，再算中括号，最后算括号外。 2．巧用运算律： 交换律/结合律：遇互为倒数或可约分的数，交换位置或结合计算。 分配律：括号内是加减、括号外是乘法时，展开计算，注意符号与避免漏乘。 3．连乘约分：多分数连乘，先找所有分子分母的公因数，一次性约分。 【典例】计算．（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算 (1) (2) (3) 【变式2】怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) 题型四 分数乘除法实际应用之 “比一个数多（少）几分之几” 问题 解｜题｜技｜巧 1．找准单位“1”：通常在“比、是、占、相当于”后，或“的几分之几”前，可标注辅助判断。 2．分情况列式： 单位“1”已知：用“单位‘1’×（1±几分之几）”，“+”对应“多”，“-”对应“少”。 单位“1”未知：用“已知数÷（1±几分之几）”，避免直接加减几分之几。 3．复杂问题：多步骤题目逐步确定单位“1”，分步计算。 4．辅助工具：画线段图，先画单位“1”线段，再按“多（少）几分之几”调整线段。 【典例】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)将一件商品涨价，再降价出售．这件商品现价与原价相比（    ） A．价格不变 B．原价高 C．原价低 D．无法判断 【变式1】 比多；比 少． 【变式2】(24-25六上·山东滨州博兴县·期末)光明小学五、六年级举行经典诵读活动． (1)已知五年级有80人参加，六年级参加的人数比五年级多，五六年级共有多少人参加经典诵读活动？ (2)如果按的比评选出一、二、三等奖，这次经典诵读活动一、二等奖各多少人？ (3)三等奖的获奖率是多少？ 题型五 分数除法实际应用之工程（行程）类问题 解｜题｜技｜巧 1．工程问题： 设工作总量：通常看作单位“1”（有具体量也可设具体数）。 求效率：效率=工作总量÷工作时间，效率表示“每天完成总量的几分之几”。 算时间：时间=工作总量÷效率（合作则用效率和），避免混淆效率与时间。 2．行程问题： 核心公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。 分数换算：速度或时间为分数时，直接代入公式，注意单位统一。 3．共性技巧： 无具体总量：优先设为单位“1”简化计算。 多主体合作：先求“效率和”或“速度和”，再按公式计算。 验证：工程问题验证“效率×时间=工作总量”，行程问题验证“速度×时间=路程”。 【典例】(24-25六上·黑龙江哈尔滨道外区四校·期末)一条道路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天能修完．如果两队合修， 天能修完？ 【变式1】一辆汽车小时行驶30km，照这样的速度，小时能行驶（    ）km． A．54 B．90 C．120 D．150 【变式2】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪．这个水库有两个泄洪口，只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务．如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)的倒数除以5的倒数，商是（    ）． A． B． C．5 D．7 2．(24-25六上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)有一桶水，倒出后，桶内还剩水，桶内原有水 L． 3．(24-25六上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)小兰家距离学校，若小兰骑自行车从家到学校需要小时，则她每小时骑行( )． 4．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)计算： 5．(24-25六上·黑龙江绥化海伦·期末)围墙的高度是，根据骆驼和山羊的对话，你能得出小羊的身高是多少米？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25六上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)“某人读书3天，读了全书的，照这样，读完这本书共需多少天？”小胖看到这道题，写出了四种做法：①；②；③；④．其中正确的做法是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．(24-25六上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)一种商品按原价的出售，比原价降低10元，原价是 元． 3．(24-25六上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)一条丝带长，第一次用去了，第二次用去了，还剩 m． 4．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 5．(23-24六上·山东滨州博兴县·期末)甲、乙、丙三个修路队共同修完一条公路，下面是三位队长的一段对话，请根据这段对话算一算，这条公路一共长多少米？ 甲队长：我们队修了这条公路长度的一半． 乙队长：我们队修了120米． 丙队长：我们队修了全长的． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $