圆锥曲线（一）-专题训练卷 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第83卷

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第83卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第83卷 圆锥曲线（一） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且经过，则抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 6．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 8．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，实轴长为6，线段过焦点，则（   ）    A．4 B．6 C．8 D．12 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 12．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 14．已知双曲线与抛物线有公共的焦点，且双曲线的离心率为3，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．已知椭圆的焦点为和，并且经过点，则椭圆的标准方程为 . 17．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为 ． 18．双曲线的一条渐近线方程为，则 . 19．设点是椭圆上的点，若点是椭圆的焦点，则的周长为 . 20．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为 . 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，某抛物线形拱桥，经测量，水面宽6米，拱顶距水面4.5米，以拱顶为原点建立平面直角坐标系.    (1)求出该抛物线的标准方程； (2)求水面上升1.5米后，水面的宽度. 22．（本小题12分） 已知双曲线方程为，其两顶点距离为，离心率为，且与过原点的直线交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若四边形的面积为，求的长度. 23．（本小题12分） 已知椭圆的一个顶点为，半焦距为，离心率，且直线交椭圆于两点.求： (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长. 24．（本小题14分） 如图，椭圆 的离心率为 ，抛物线：与椭圆的一个交点为    (1)求椭圆C的标准方程； (2)点B 在抛物线上，若以线段AB为直径的圆过原点O，求直线 AB 的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第83卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第83卷 圆锥曲线（一） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程，确定准线方程. 【详解】由得，故准线方程为 故选：C. 2．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用离心率公式代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程化成标准方程形式为， 所以，所以离心率， 故选：D. 3．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程可知长半轴长a和短半轴长b，从而可求出焦距. 【详解】由椭圆方程可知， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D. 4．已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且经过，则抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的特征，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解. 【详解】因为抛物线关于轴对称，顶点在原点， 则抛物线的焦点在轴上， 又经过第四象限点，则开口向右， 所以设抛物线方程为， 将代入方程，得，解得， 所以所求抛物线方程为. 故选：A. 5．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图得到焦点与短轴顶点的坐标，进而求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 6．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据右焦点求出，进而得到，再求解渐近线方程即可. 【详解】因为为双曲线的右焦点， 所以焦点在轴上，且，进而. 因为，所以. 则的渐近线方程为. 故选：B. 7．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】A 【分析】由抛物线方程求出准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 点P到准线的距离，则点P到准线的距离也为8， 则点P到y轴的距离为． 故选：A. 8．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，实轴长为6，线段过焦点，则（   ）    A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题图，由双曲线的定义求解. 【详解】根据题图，由双曲线的定义可知，，， 故，即. 故选：D. 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行判断即可. 【详解】由题可知：方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以. 故选：B 10．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义进行判断，以及之间的基本关系计算即可. 【详解】由平面上动点到两定点的距离之和为8,且， 所以该点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 设椭圆方程为，且，则， 所以，所以椭圆方程为. 故选：A 11．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 12．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为， 所以，则，，解得. 因为，所以，解得. 故选：C. 13．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得椭圆方程中的参数，再利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 则，则， 所以的周长为 . 故选：A. 14．已知双曲线与抛物线有公共的焦点，且双曲线的离心率为3，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线和抛物线的标准方程及性质，分析求解即可. 【详解】因为抛物线的方程为，所以， 其焦点坐标为， 因为双曲线和抛物线有公共的焦点， 所以双曲线的一个焦点坐标为，即， 又因为双曲线的离心率为3，即， 所以，所以， 因此双曲线的方程为， 故选：A. 15．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】根据抛物线上一点求抛物线方程，再由抛物线的光学性质几何得解. 【详解】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物线的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程，集光板端点， 代入抛物线方程可得,解得：， 所以抛物线方程为， 故焦点坐标是， 所以容器灶圈应距离集光板顶点． 故选：B.    二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．已知椭圆的焦点为和，并且经过点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的标准方程为，再由焦点和点确定的值，再由的关系求出的值即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的焦点为和， 则并且经过点，则， 在椭圆中，故，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 17．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程求右焦点，再根据焦点求抛物线方程. 【详解】双曲线中，即右焦点为， 又抛物线的焦点为双曲线的右焦点， 则，则，，且抛物线开口向右， 故抛物线方程为． 故答案为：. 18．双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则，且焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为， 可得， 解得， 故答案为：. 19．设点是椭圆上的点，若点是椭圆的焦点，则的周长为 . 【答案】14 【分析】根据椭圆的定义及标准方程，可求出的值，结合题意，即可求解． 【详解】因为椭圆， 所以， 因为点是椭圆上的点，点是椭圆的焦点， 所以， 所以的周长为. 故答案为：14. 20．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程求出焦距，设，由椭圆的定义及勾股定理列方程求出，即可求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】椭圆焦点，点为双曲线与椭圆的交点， 设，则， ，又， 所以， 因为，所以， 则， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，且点为双曲线与椭圆的交点， 所以，即， 所以双曲线的离心率为.    故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，某抛物线形拱桥，经测量，水面宽6米，拱顶距水面4.5米，以拱顶为原点建立平面直角坐标系.    (1)求出该抛物线的标准方程； (2)求水面上升1.5米后，水面的宽度. 【答案】(1). (2)米. 【分析】（）根据题意设出抛物线方程，由题意可知抛物线过点，将点代入抛物线方程中即可得解. （）令，代入抛物线方程中即可得解. 【详解】（1）由图像可知，抛物线的焦点在轴负半轴上， 设抛物线标准方程为， 由已知得，抛物线过点，代入抛物线方程得， 解得， 所以抛物线标准方程为. （2）水面上升1.5米后，拱顶距水面3米， 所以当时，，解得， 所以水面宽度为米. 22．（本小题12分） 已知双曲线方程为，其两顶点距离为，离心率为，且与过原点的直线交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若四边形的面积为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的顶点距离和离心率即可得到双曲线的标准方程； （2）先利用四边形的面积求出点，的坐标，再利用两点间的距离公式求出. 【详解】（1）因为双曲线两顶点距离为， 所以，即， 因为离心率为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的焦距为， 设， 因为，两点关于原点对称，所以. 因为四边形的面积为， 所以 ， 解得. 因为点A在双曲线上，将代入双曲线方程， 得，即， 不妨取， 所以. 23．（本小题12分） 已知椭圆的一个顶点为，半焦距为，离心率，且直线交椭圆于两点.求： (1)椭圆的标准方程； (2)弦的长. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）解法一：联立方程组求出直线与交点坐标代入两点间距离公式即可得解. 解法二：联立方程组结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为，椭圆的焦点在轴上， 椭圆的一个顶点为，则， ，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组， 消去得， 解得或， 弦的长度为：. 解法二：将直线与椭圆的方程联立，得方程组，消去得， 由韦达定理得，， 代入弦长公式得. 24．（本小题14分） 如图，椭圆 的离心率为 ，抛物线：与椭圆的一个交点为    (1)求椭圆C的标准方程； (2)点B 在抛物线上，若以线段AB为直径的圆过原点O，求直线 AB 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点及离心率公式，可求出的值，进而可得椭圆C的标准方程； （2）根据抛物线过点，可求出抛物线方程，设点，结合题意可求出其坐标，最后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ， 所以，即， 又因为椭圆过点， 所以， 联立方程：，解得：， 所以椭圆C的标准方程为：. （2）因为抛物线：过点， 所以，解得：， 所以抛物线方程为； 设点，因为点在抛物线上， 所以， 以线段AB为直径的圆过原点O，则， 因为， 所以，即 将代入得： ，解得：或， 当时，，此时点与原点重合，不符合题意舍去， 当时，， 所以； 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $