圆锥曲线（四）-专题训练卷 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第86卷

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第86卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第86卷 圆锥曲线（四） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点（非长轴端点），则的最大值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 4．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．若实数满足，则曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．实轴长 D．虚轴长 8．已知双曲线方程为，则其焦距为（    ） A．7 B．10 C． D．5 9．已知双曲线的两个焦点分别为、，其一条渐近线方程为，若点在双曲线上，则（   ） A． B． C． D． 10．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 12．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 14．抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 15．若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．若抛物线上一点P到y轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为 17．已知双曲线的方程为，则渐近线方程为 18．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于 . 19．若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程是 ． 20．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 已知椭圆的焦点为，，且且该椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上一点，且，求的面积. 22．（本小题12分） 已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求坐标原点O到直线的距离d； (3)已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 23．（本小题12分） 已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 24．（本小题14分） 已知圆C的圆心与抛物线的焦点重合，且圆被直线截得的弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)一条斜率等于1的直线与圆交于A，B两点，求面积最大时直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第86卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第86卷 圆锥曲线（四） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程求解焦点即可. 【详解】椭圆中，所以，解得. 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点（非长轴端点），则的最大值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质可知，当为椭圆短轴的一个端点时，的面积最大，求解即可. 【详解】由题意，可得离心率，即， 则，，从而， 当为椭圆短轴的一个端点时，的面积最大，的最大值为. 故选：A. 3．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，可表示点到点的距离， 可表示点到点的距离， 则，又， 则，满足椭圆的定义， 因为两定点都在y轴上，所以该椭圆的焦点在y轴上. 故选：B. 4．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率和长轴长可求解焦点坐标，再由双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】∵椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26， ∴，解得， ∴椭圆的焦点坐标为和， 又∵曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8， 可知曲线是焦点为和的双曲线， 且，即， ∴， ∴双曲线为. 故选：D. 5．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的值，再由椭圆的定义得出的周长为，即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率为，左焦点， 所以且，解得， 所以的周长为 ， 故选：A．    6．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程组求出的值即可得解. 【详解】因为椭圆的长、短半轴长之和为10，焦距为， 所以，联立方程组得，解得， 因为焦点在轴上，所求椭圆的方程为， 故选：. 7．若实数满足，则曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．实轴长 D．虚轴长 【答案】B 【分析】根据双曲线方程以及双曲线实轴长，虚轴长，焦距，焦距的定义即可求解. 【详解】因为实数满足，即， 则曲线与均为双曲线方程. 选项A中，曲线与的焦点分别在轴，轴上， 所以焦点不相同，错误， 选项B中，曲线的焦距为， 曲线的焦距为，焦距相同，正确， 选项C中，曲线的实轴长为，曲线的实轴长为， 实轴长不相同，错误， 选项D中，曲线的虚轴长为，曲线的虚轴长为， 虚轴长不相同，错误， 故选：B. 8．已知双曲线方程为，则其焦距为（    ） A．7 B．10 C． D．5 【答案】B 【分析】由双曲线方程确定，由求出，进而可得焦距． 【详解】双曲线方程为，则， 所以，得双曲线的焦距为， 故选：B． 9．已知双曲线的两个焦点分别为、，其一条渐近线方程为，若点在双曲线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由渐近线方程可求解a的值，进而可求解焦点坐标，再由向量的坐标表示以及向量的内积计算即可. 【详解】∵双曲线焦点在x轴，双曲线的一条渐近线方程为， ∴，解得，可得， ∴、的坐标分别为、， ∴，，则， ∵点在双曲线上，∴，解得， 即． 故选：C. 10．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 11．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定抛物线焦点坐标，从而确定抛物线方程. 【详解】由题意知抛物线的焦点为双曲线的顶点， 即为或，即或，解得或， 当时，抛物线的方程为， 当时，抛物线的方程为， 故选：D. 12．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标即可 【详解】抛物线，即的焦点在轴的正半轴，且，解得. 所以焦点坐标为. 故选：C. 13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意假设抛物线的方程，再利用抛物线的焦半径公式求得，从而得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上， 所以可设抛物线的方程为，其准线方程为， 又抛物线上一点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离也为4，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 14．抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的准线为，即可求得抛物线的准线方程. 【详解】由题意得，解得，即， 故的准线方程为. 故选：C. 15．若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，结合题意求出点坐标，利用抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，准线方程为， 抛物线上一点到轴的距离为，则点的纵坐标为或， 当时，，解得； 当时，，解得； ， 点到抛物线的准线的距离为， 点到抛物线的焦点的距离为4， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．若抛物线上一点P到y轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为 【答案】16 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，依题意得到点的横坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】抛物线，则，即， 抛物线开口方向向左，所以焦点的坐标为，准线方程为， 则点到轴的距离为，故点的横坐标， 所以点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 故答案为： 17．已知双曲线的方程为，则渐近线方程为 【答案】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，再根据双曲线的标准方程求渐近线方程. 【详解】双曲线的方程化为标准式为， 即双曲线焦点在轴上，， 即渐近线的方程为， 故答案为： 18．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于 . 【答案】/ 【分析】先由渐近线方程得出的关系，再由的关系和离心率公式计算即可. 【详解】设焦点在轴上的双曲线为， 因为渐近线方程为，所以，即， 由得，， 因为，所以， 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 19．若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由点到直线的距离和两点间距离，结合题设列出式子，解出轨迹方程. 【详解】设，因为点到直线的距离比它到点的距离小2， 根据点到直线的距离和两点间距离得， 整理得， 故答案为：. 20．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.6 【分析】由条件及的关系列出方程组，求得关系，即可得出离心率. 【详解】∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列， ∴消去参数，得， ∴，即或（舍去）， 所以． 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 已知椭圆的焦点为，，且且该椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据焦距与焦点所在轴设出标准方程，再代入条件即可； （2）根据垂直关系列式求解即可； 【详解】（1）由题意得椭圆的半焦距，焦点在轴上. 设椭圆的标准方程为， 由，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，， 所以.① 由得，.② ②-①得，则. 所以的面积为. 22．（本小题12分） 已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求坐标原点O到直线的距离d； (3)已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的一般方程，利用点到直线的距离公式即可求解； （3）根据（1）求出a，根据双曲线中a、b、c的关系求出双曲线的c和焦距2c，根据双曲线的定义及求出，在中，根据余弦定理即可求得答案． 【详解】（1）∵椭圆离心率为，焦点距离为， ∴，解得， 又∵，∴求得． ∴椭圆标准方程为． （2）∵直线过点和， ∴， ∴方程为，即． ∴原点到直线的距离； （3）由（1）知， ∴对于双曲线，， ∴， ∴， 根据双曲线的定义可知， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，根据余弦定理， 得． 23．（本小题12分） 已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）首先确定椭圆的顶点和焦点的坐标，进而确定双曲线方程； （2）联立双曲线方程和直线方程，由根与系数关系确定点的坐标，进而求解的面积. 【详解】（1）在椭圆中，左右顶点为，焦点为， 双曲线，焦点在轴上， 已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、左右顶点重合， 则，， 所以双曲线的标准方程为. （2）若是直线与双曲线相交所得线段的中点， 设，则中点的坐标为， 联立方程 消去，整理得， 根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 因为的底边在轴上，所以高，底， 所以. 24．（本小题14分） 已知圆C的圆心与抛物线的焦点重合，且圆被直线截得的弦长为. (1)求圆的标准方程； (2)一条斜率等于1的直线与圆交于A，B两点，求面积最大时直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用抛物线标准方程求出圆的圆心坐标，利用圆的弦长公式求出半径，即可求圆的方程； （2）利用三角形面积公式可知当时面积最大，设出直线方程，利用三角形的高及点到直线的距离求出参数，即可求直线的方程. 【详解】（1）抛物线即的焦点坐标为，圆心， 圆被直线截得的弦长为 ， 圆到直线的距离， . 圆的标准方程为：. （2）， 当时，的面积最大，此时为等腰直角三角形， 设直线方程为， 为等腰直角三角形，则，以为底的高为 则圆心到直线的距离为， 从而有，解得或， 直线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $