圆锥曲线（二）-专题训练卷 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第84卷

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第84卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第84卷 圆锥曲线（二） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 2．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 6．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 7．椭圆经过点，则椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 10．如图所示，已知点和点是双曲线与椭圆的公共焦点，且点是双曲线和椭圆在第一象限内的公共点．若，则椭圆的离心率是（   ）    A． B． C． D． 11．设是双曲线左支上的一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则（   ） A． B．或 C． D． 12．抛物线上一点到焦点的距离是（    ）. A．2 B．4 C． D． 13．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 14．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 15．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．抛物线的对称轴为轴，且经过点，则抛物线的标准方程为 . 17．若双曲线，则该双曲线的实轴长是 ． 18．椭圆短轴两端点与一焦点的连线成直角，则椭圆的离心率为 . 19．已知双曲线的方程为，该双曲线的离心率为 ． 20．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，椭圆C的焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆C的右焦点相同，且与椭圆C交于A，B两点，四边形的周长为32． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为椭圆C上的一点，且与x轴垂直，求的面积． 22．（本小题12分） 如图，已知是双曲线的左、右焦点，经过原点的直线与交于两点（在的左支上）．    (1)若点坐标为，且的一条渐近线方程为，求的标准方程； (2)若，且，求双曲线的离心率． 23．（本小题12分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上. (1)求抛物线的标准方程； (2)设过点的直线交抛物线与点，两点，且，求和两点间的距离. 24．（本小题14分） 如图所示，在平面直角坐标系中，已知双曲线C上的一个动点P到两个定点和的距离满足，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线上支的一个动点，求： ①的最小值； ②的面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第84卷，是专题训练卷。主要考查椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质与圆锥曲线综合应用。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第84卷 圆锥曲线（二） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．椭圆的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程求出的值代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上，则，， 则，解得， 则， 故选：. 2．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程及即可求解. 【详解】由双曲线的标准方程易知的焦点在轴上且，， 根据得， 所以双曲线的焦点坐标为，. 故选：A. 3．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准式，结合开口向上的抛物线，其准线方程为，即可解得. 【详解】抛物线方程化为标准式为， 所以，即准线方程为. 故选：D. 4．已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点以及顶点，写出椭圆的方程即可. 【详解】因为椭圆的焦点为和，点在椭圆上， 所以．椭圆焦点为轴， 椭圆的方程为． 故选：A. 5．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 6．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】若动点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 则根据抛物线的定义知，点的轨迹是满足抛物线. 故选：A. 7．椭圆经过点，则椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入求出，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆经过点， 所以，所以. 椭圆标准方程为：，进而得到. 所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为. 故选：A. 8．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程得出值，结合焦点位置代入渐近线方程公式中即可得解. 【详解】双曲线，焦点在轴上， 则，， 所以渐近线方程为， 故选：. 9．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出左焦点坐标，结合抛物线的焦点坐标公式即可得解. 【详解】椭圆中，焦点在轴上，且，， 则，，则左焦点坐标为， 抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合， 则，， 故选：. 10．如图所示，已知点和点是双曲线与椭圆的公共焦点，且点是双曲线和椭圆在第一象限内的公共点．若，则椭圆的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出． 【详解】由双曲线可知，所以， 则双曲线的焦距，即， 因为在双曲线中，又点在第一象限内， 所以，则， 对于椭圆，设长半轴为，则，解得， 因为椭圆和双曲线共焦点，所以， 故椭圆的离心率是． 故选：C. 11．设是双曲线左支上的一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先由双曲线方程得到，再由双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的性质可知，，，， 则， ∵，∴或． ∵P是双曲线左支上的一点，， ∴． 故选：C. 12．抛物线上一点到焦点的距离是（    ）. A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程中求出的值，结合焦半径公式即可得解. 【详解】因为点在抛物线上， 则，解得， 抛物线，则，， 根据焦半径公式可知，点到焦点的距离是， 故选：. 13．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质确定的值，再由椭圆与双曲线的标准方程确定离心率即可. 【详解】已知实数构成一个等比数列， 所以可得，即， 当时，的方程为为椭圆方程， 则，此时离心率， 当时，的方程为， 此时为双曲线方程，其中， 即，可得此时离心率为. 故选：C. 14．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的性质确定的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为 解得或，即的取值范围是或， 故选：B. 15．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合抛物线的定义可知该点到抛物线准线的距离也为6，先结合抛物线的方程求得准线方程，继而求得点的横坐标，代入抛物线方程，即可求解. 【详解】因为所求抛物线上的点与焦点的距离等于6， 所以该点到抛物线准线的距离也为6， 又抛物线的图像开口向左，准线方程为， 设所求点的坐标为，则，解得， 将代入抛物线方程得，解得， 故所求点的坐标是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．抛物线的对称轴为轴，且经过点，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意设抛物线的标准方程，再代入点求解即可. 【详解】因为抛物线的对称轴为轴， 所以抛物线的标准方程为， 又抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 17．若双曲线，则该双曲线的实轴长是 ． 【答案】8 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可求出实轴长度． 【详解】化为， ∴， ∴该双曲线的实轴长是8， 故答案为：8． 18．椭圆短轴两端点与一焦点的连线成直角，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的性质以及离心率的定义求解即可. 【详解】   因为椭圆短轴两端点与一焦点的连线成直角，所以. 进而为等腰三角形，即，进而. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 19．已知双曲线的方程为，该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程得到的值，再利用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知：， 则， 所以， 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 20．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出抛物线的焦点坐标，结合抛物线的定义即可得解. 【详解】    根据题意，作出图像， 抛物线，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，过点作准线的垂线，交抛物线于点， 此时的值最小， 此时点的纵坐标为，则，解得， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，椭圆C的焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆C的右焦点相同，且与椭圆C交于A，B两点，四边形的周长为32． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为椭圆C上的一点，且与x轴垂直，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）由抛物线的方程得到焦点坐标，结合椭圆的定义得到的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）先求出点P的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）设椭圆C的标准方程为，半焦距为c， 由抛物线的性质可知，抛物线的焦点为，则． ∵四边形的周长为32， ∴，解得， ∴， 则椭圆C的标准方程为． （2）∵椭圆C的标准方程为， ∴，． 设点，点P在椭圆C上，且与x轴垂直， ∴点，代入得，解得， ∴． 22．（本小题12分） 如图，已知是双曲线的左、右焦点，经过原点的直线与交于两点（在的左支上）．    (1)若点坐标为，且的一条渐近线方程为，求的标准方程； (2)若，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程求出之间的关系，再根据点坐标为求出标准方程. （2）根据双曲线的定义以及题目条件求出双曲线的离心率. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为，所以. 又因为点在双曲线上，且坐标为，所以. 再将代入，可得，解得，. 从而的标准方程. （2）因为关于原点对称，所以，， 则四边形是平行四边形，所以，. 又因为，，设，则，. 进而在中，， 所以，则. 由双曲线的定义可知，. 所以，则离心率. 23．（本小题12分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上. (1)求抛物线的标准方程； (2)设过点的直线交抛物线与点，两点，且，求和两点间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可设抛物线方程为，代入点，得，即可求出抛物线的标准方程； （2）由题意可知，设过点的直线方程，建立直线方程与抛物线方程的方程组，解出点，点的坐标，即可求出两点间的距离. 【详解】（1）抛物线经过点，其焦点在轴上，设抛物线的方程为， 代入，得， 解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意得直线不可能垂直于轴，垂直于轴的直线与抛物线只有一个公共点， 因为直线过点， 所以设直线的方程为， 可设， 联立，得， 所以， 因为， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 将代入抛物线方程得，解得， 所以， 将代入抛物线方程得， 解得， 所以， 所以， 当时，， 将代入抛物线方程中得， 解得， 所以， 所以， 综上所述，和两点间的距离. 24．（本小题14分） 如图所示，在平面直角坐标系中，已知双曲线C上的一个动点P到两个定点和的距离满足，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线上支的一个动点，求： ①的最小值； ②的面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由双曲线定义求出，由焦点坐标求出，再根据关系求出，即可求出双曲线标准方程. （2）①根据双曲线定义将求的最小值转换为求的最小值，即，再代两点间距离公式求解即可. ②根据直线方程及两点间距离公式求出，将点到直线距离的最小值转换为过点的切线与直线的距离，设出切线并联立双曲线与切线方程求出参数，即可求解. 【详解】（1）设双曲线方程为：， 由双曲线定义可知，，即， 由双曲线两焦点和可得：， 则， 故双曲线方程为：. （2）①因为，所以， 则当点在线段上时，有最小值，即， 当时，由可得，所以直线与轴交于， 则， 所以. ②当时，由可得，所以直线与轴交于， 所以， 要使的面积最小，则点到直线的距离最小， 此时过点作双曲线上支的切线与直线平行， 不妨设该切线方程为， 则由可得：， 则由可得：， 当时，由可得：切点纵坐标不满足，舍去， 故， 则两平行线与的距离为： ， 的面积最小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $