专题07 复数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题07 复数 一、填空题 1．（2025·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 2．（2025·山东预赛）已知为复数，则满足方程的全部根为_____． 3．（2025·重庆预赛）若实数使得关于的方程有模为3的虚根，则的取值范围为_____． 4．（2025·福建预赛）若是关于的方程的两个虚数根，且，则实数的值为_____． 5．（2025·广西预赛）已知虚数使得和都是实数，则__________． 6．（2025·江苏预赛）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 7．（2025·新疆预赛）已知复数，其中，则的取值范围为 ． 8．（2025·北京预赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是_____． 9．（2025·吉林预赛）若复数满足，则的最小值为_____． 10．（2024·广东预赛）已知复数，满足，则的最大值为_____． 11．（2024·江苏预赛）设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____． 12．（2024·贵州预赛）已知复数满足：，则_____． 13．（2024·北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 ． 14．（2024·福建预赛）已知为方程的三个不同的复数根，则_____． 15．（2024·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 16．（2024·浙江预赛）已知复数满足，则 ． 17．（2024·内蒙古预赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 ． 18．（2024·新疆预赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是_____． 19．（2024·上海预赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 ． 20．（2024·重庆预赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 ．（其中i为虚数单位） 21．（2023·东莞预赛）已知复数满足是纯虚数（其中是虚数单位），则的最大值为_____． 22．（2023·福建预赛）已知是互为共轭的复数，若，则_____． 23．（2023·贵州预赛）已知为虚数，且，则_____． 24．（2023·苏州预赛）方程有四个复数根，其中模长最大的复数根的实部为_____． 25．（2023·浙江预赛）设不全相等的三个复数满足方程．记复平面上以为顶点的三角形三边的长从小到大依次为，则_____． 26．（2023·重庆预赛）已知复数满足，则的最大值为_____． 27．（2022·重庆预赛）已知复数满足，且，则_____． 28．（2022·广西预赛）若复数满足，则的虚部为_____． 29．（2022·新疆预赛）设为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率_____． 30．（2022·浙江预赛）若单位复数满足表示复数的共轭），则_____． 31．（2022·福建预赛）已知复数在复平面上对应的点分别为，且为坐标原点，则的周长为_____． 32．（2022·甘肃预赛）设为一对共轭复数，如果满足，且为实数，则_____． 33．（2022·苏州预赛）已知为虚数，且为实数，则_____． 二、解答题 34．（2025·贵州预赛）复数满足求的 最大值． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 2．（2025·全国联赛B卷）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为_____． 3．（2024·全国联赛B卷）复数（为虚数单位），则的模为_____． 4．（2023·全国联赛A卷）设复数（为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为_____． 5．（2022·全国联赛A卷）若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 6．（2022·全国联赛A1卷）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 7．（2022·全国联赛A2卷）设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____． 8．（2022·全国联赛B卷）已知复数满足，且，则的值为_____． 9．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合（为虚数单位）．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 二、解答题 10．（2024·全国联赛A卷）设复数满足，求的最小可能值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数 一、填空题 1．（2025·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 【答案】． 【详解】由题，所以． 2．（2025·山东预赛）已知为复数，则满足方程的全部根为_____． 【答案】． 【详解】由二项式定理展开可知：， 从而，故原方程等价于， 即，进而可知， 因此，， 从而，． 3．（2025·重庆预赛）若实数使得关于的方程有模为3的虚根，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】法一：设方程有模为3的虚根，其中满足． 代入有，从而有且． 注意，所以． 注意，所以． 另一方面，对每一个，可找到一个，使得，且使方程有模为3的虚根． 故的取值范围为． 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为，其中满足． 由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为． 再由韦达定理知． 下同法一． 4．（2025·福建预赛）若是关于的方程的两个虚数根，且，则实数的值为_____． 【答案】1 【详解】方程化为． 依题意，方程两虚数根为． 于是，解得． 所以． 5．（2025·广西预赛）已知虚数使得和都是实数，则_____▲_____． 【答案】 【详解】． 由为实数，为虚数可知． 于是．故． 因此，或者． 6．（2025·江苏预赛）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 【答案】6． 【详解】对应的复平面上的点为，分别对应定点，，则，表明在以为直径的圆（即单位圆）上，而是指动点到所对应的定点的距离．设原点与的连线交圆于定点（在之间），则，当时等号成立． 7．（2025·新疆预赛）已知复数，其中，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，由，可得． ．设对应对应，则， 所求即为的取值范围． ， ，即． 的取值范围为． 8．（2025·北京预赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是_____． 【答案】7 【详解】记这个虚根为，则，故． 于是，得，进而要求．因此，此时，从而，故，表明或须是6的倍数．由知显然．若，则，矛盾．若，取即可． 9．（2025·吉林预赛）若复数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由复数减法的几何意义可知最小值为． 10．（2024·广东预赛）已知复数，满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 由于，则．设， 于是 从而 所以的最大值为． 11．（2024·江苏预赛）设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____． 【答案】 【详解】设，则 ，于是． 所以． 12．（2024·贵州预赛）已知复数满足：，则_____． 【答案】4048 【详解】 则． 于是， 所以． 13．（2024·北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， ， 复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离， 到的距离为， 所以，的最大值为． 14．（2024·福建预赛）已知为方程的三个不同的复数根，则_____． 【答案】0 【详解】. 于是． 所以． 或者三次方程为，所以由韦达定理得． 15．（2024·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 【答案】2 【详解】设，则 ． 所以． 16．（2024·浙江预赛）已知复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设R）， 由，得，所以， 由，得，所以， ，解得或， 所以． 17．（2024·内蒙古预赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为关于的方程的三个复数根分别为，，， 可得，且， 由①②可得， 因为，可得，即 同理可得，， 各式相乘得 ． 18．（2024·新疆预赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若 ，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】因为，所以． 因为，所以， 从而，所以． 19．（2024·上海预赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 ． 【答案】5 【详解】设为方程的模为1的虚根， 则． 因此， 所以，代回原式得． （1）当， （2）当． 所以正整数的最小值为5． 20．（2024·重庆预赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 ．（其中i为虚数单位） 【答案】 【详解】设（不同时为且）， 则， 因为为纯虚数， 所以，所以或， 当时，， 则当时，， 当时，复数对应的点是以为圆心，为半径的圆（除去实轴、虚轴上的点）， 而表示点与点的距离， 因为，所以点在圆内， 所以， 综上所述，的最小值为． 21．（2023·东莞预赛）已知复数满足是纯虚数（其中是虚数单位），则的最大值为_____． 【答案】 【详解】设，则 为纯虚数， 于是 （除去两点）． 所以的最大值为，此时． 22．（2023·福建预赛）已知是互为共轭的复数，若，则_____． 【答案】4 【详解】注意到，则有， 于是． 所以． 23．（2023·贵州预赛）已知为虚数，且，则_____． 【答案】1 【详解】，所以． 24．（2023·苏州预赛）方程有四个复数根，其中模长最大的复数根的实部为_____． 【答案】 【详解】令，则 ． 于是原方程模长最大的复数根为，实部为． 25．（2023·浙江预赛）设不全相等的三个复数满足方程．记复平面上以为顶点的三角形三边的长从小到大依次为，则_____． 【答案】 【详解】 设， 则 ，同理可得 所以． 26．（2023·重庆预赛）已知复数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，设， 则 等号成立时．所以的最大值为． 27．（2022·重庆预赛）已知复数满足，且，则_____． 【答案】4 【详解】设 ， 则． 由， 于是． 又 从而 ， 所以． 28．（2022·广西预赛）若复数满足，则的虚部为_____． 【答案】0或1 【详解】设，则， 于是或1．所以的虚部为0或1． 29．（2022·新疆预赛）设为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率_____． 【答案】 【详解】设，则 ，所以双曲线的离心率． 30．（2022·浙江预赛）若单位复数满足表示复数的共轭），则_____． 【答案】 【详解】，所以． 31．（2022·福建预赛）已知复数在复平面上对应的点分别为，且为坐标原点，则的周长为_____． 【答案】 【详解】 于是且，从而． 所以的周长为． 32．（2022·甘肃预赛）设为一对共轭复数，如果满足，且为实数，则_____． 【答案】 【详解】， ． 33．（2022·苏州预赛）已知为虚数，且为实数，则_____． 【答案】3 【详解】 由于为虚数，所以． 二、解答题 34．（2025·贵州预赛）复数满足求的 最大值． 【答案】2 【详解】， ， ，1 同理，． 上式中的等号可以同时成立．例如：当时，；当时，；当时，，这时． 故． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 【答案】18． 【详解】由于 故 上式为实数当且仅当，即，故所求的最小值为18． 2．（2025·全国联赛B卷）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为_____． 【答案】． 【详解】由，可设，则． 再由可知，得，故． 计算得，因此． 3．（2024·全国联赛B卷）复数（为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【解析】，其模长为． 4．（2023·全国联赛A卷）设复数（为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【详解】．因，而当时，，故的最大值为2． 5．（2022·全国联赛A卷）若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 【答案】 【详解】设． 由于为负实数，这等价于，所以且，即且异号． 又此时为纯虚数，故，结合异号，可知．所以． 6．（2022·全国联赛A1卷）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【详解】记，则． 因此． 7．（2022·全国联赛A2卷）设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】计算得． 根据条件，存在实数，使得，即有 当取遍一切实数时，的取值范围是． 8．（2022·全国联赛B卷）已知复数满足，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故．因此，结合知．进而． 9．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合（为虚数单位）．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 【答案】 【详解】当时，的值分别为，故．由于的所有元素之和为，即，故． 所以的所有元素之积为． 二、解答题 10．（2024·全国联赛A卷）设复数满足，求的最小可能值． 【答案】 【详解】解法1：设，则，故 ① 记．对固定的，记，求的最小值． 由，不妨设．我们证明，其中． 当时，， （用到及在上单调增）． 当时， 所以． 当（①取到等号），时，取到最小值． 解法2：设，不妨设其中． 计算得 所以 利用，可得 ① 亦有 ② 注意到方程的正根为． 当时，由①得． 当时，由②得． 因此当时，取到最小值． 解法3：因为，所以我们有 从而上两式最右边各项分别是到复平面中实轴上的点，的距离，所以把换成其实部时，都不会增大．因此只需考虑函数在上的最小值． 因为，因此我们有以下几种情况： 1．若，则，在这一区间上的最小值为 2．若，则，在这一区间上的最小值为 3．若，则，在这一区间上的最小值为 4．若，则，在这一区间上的最小值为 5．若，则，在这一区间上的最小值为 综上所述，所求最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $