期末复习讲练全攻略一本通（知识梳理+高频易错考点练+压轴题型练+真题重组卷）-2025-2026学年人教版数学五年级上学期培优全攻略

期末复习讲练全攻略一本通 100 冲刺 分 2026最新版 名师推荐 人教版 · 单元知识梳理精讲（回顾） · 易错考点真题练（分单元） · 压轴考点真题练（总复习） · 期末实战演练卷（2套） 知识梳理+易错考点练+压轴考点练+期末实战练 （原卷版） 小学数学 姓名： 班级： 学号： 五年级上 同学你好，该套讲义精选历年人教版数学五年级上册第1-7单元各地区期末考试超高频考察题型题目，精益求精，助你轻松掌握解题技能！整体难度中等及偏上，适合绝大多数同学学习使用。讲义分为三大部分。 ●第一部分：单元知识梳理、易错讲练 1-7单元（小数乘法、位置、小数除法、可能性、简易方程、多边形的面积、数学广角-植树问题）知识点综合重难点复习，查漏补缺。每个单元知识点汇总，易错考点讲练，学以致用！加强对所学内容的进一步理解和掌握，熟悉易错题型的解题技巧和解题方法！ ●第二部分：压轴考点真题练 优选近两年全国各地名校期末真题，难度中上，1-7单元总复习篇，按照考点划分，深入浅出掌握疑难解题技巧！ ●第三部分：期末实战演练卷 一套名校真题重组卷、一套培优通关卷!层层递进，超越自我！ 预祝你在期末考试中取得满意成绩！ 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 知识梳理 易错讲练 2 第一单元 小数乘法 2 【温故知新 知识梳理】 2 【优选真题 易错讲练】15个考点 共30题 4 第二单元 位置 10 【温故知新 知识梳理】 10 【优选真题 易错讲练】3个考点 共12题 12 第三单元 小数除法 18 【温故知新 知识梳理】 18 【优选真题 易错讲练】24个考点 共48题 20 第四单元 可能性 29 【温故知新 知识梳理】 29 【优选真题 易错讲练】7个考点 共21题 29 第五单元 简易方程 33 【温故知新 知识梳理】 33 【优选真题 易错讲练】18个考点 共36题 35 第六单元 多边形的面积 41 【温故知新 知识梳理】 41 【优选真题 易错讲练】12个考点 共24题 43 第七单元 数学广角-植树问题 50 【温故知新 知识梳理】 50 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 51 第二部分 压轴考点真题练（46个考点 共92题） 54 第三部分 期末实战演练卷 73 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末真题重组拔高卷 73 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末冲刺培优卷 79 第一单元 小数乘法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点梳理02：小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点梳理03：小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点梳理04：小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点梳理05：积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点梳理06：整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点梳理07：小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点梳理08：解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 【优选真题 易错讲练】15个考点 共30题 易错讲练1 小数与整数的乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）某文具店购进了45支记号笔，每支2.6元，一共需要多少元？妙妙列竖式如图里的数表示（    ）。 A．5支记号笔的价格 B．40支记号笔的价格 C．104支记号笔的价格 D．45支记号笔的价格 【变式训练】（24-25五年级上·北京大兴·期末）下表是某学校五年级各班学生平均身高情况。 班级 人数 平均身高/厘米 五（1）班 36 143.6 五（2）班 34 144.1 求这所学校五年级学生的平均身高，下面的算式（    ）是正确的。 A． B． C． D． 易错讲练2 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南永州·期末）一辆货车从甲地开往乙地，每小时行50千米，3.6小时到达乙地。原路返回时用了3小时，这货汽车返回时的速度是多少？ 【变式训练】（24-25五年级上·河南郑州·期末）人工智能是自动驾驶的核心，目前无人驾驶出租车已经投入市场。某次李阿姨乘坐无人驾驶出租车行驶了7.2千米。李阿姨本次乘车应付多少元钱？先根据上面信息，补全如图线段图，再计算。 易错讲练3 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】（22-23五年级上·浙江温州·期末）温州市某县出租车收费标准如下：3千米及以内起步价11元；超过3千米的部分，每千米2.5元（不足1千米按1千米计算）。小明家到学校的距离是6.5千米，他从学校打车回家需要付多少钱？ （1）根据题意，把如图的线段图补充完整。 （2）列式解答。 【变式训练】（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 易错讲练4 小数与小数的乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·北京昌平·期末）与0.235×2.4得数相等的算式是（    ）。 A．23.5×2.4 B．2.35×2.4 C．2.35×0.24 D．0.235×0.24 【变式训练】（23-24五年级上·重庆綦江·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，以42.5千米/时的速度行了1.5时，再行驶26千米就可以到达两地的中点。甲、乙两地相距多少千米？ 易错讲练5 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（22-23五年级上·重庆城口·期末）1.34×0.18的积是( )位小数，它的积是( )。 【变式训练】（21-22五年级上·河南驻马店·期末）已经知道286×15＝4290，那么28.6×1.5＝( )，( )×15＝0.429。 易错讲练6 小数的连乘运算 【典例精讲】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）李师傅把每月车辆保养、使用相关信息记录如下： ①保险费平均每月260元； ②维修费平均每月180元； ③目前每升汽油的价钱是7.2元； ④每千米大约耗汽油0.08升； ⑤平均每月行驶1000千米； ⑥每月的停车费大约是120元。 （1）李师傅想计算出每月加油要多少钱，他需要用到的信息是（    ）、（    ）和（    ）。 （2）根据你选出的信息，计算出李师傅每月加油所需要的钱数是多少。 1【变式训练】（21-22五年级上·河南开封·期末）小麦磨成面粉后可用来制作面包。若1千克小麦可以磨成0.85千克面粉，1千克面粉可以制成1.2千克面包，则15千克小麦可以制成多少千克面包？ 易错讲练7 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（23-24五年级上·广东云浮·期末）324.7×0.5的积有 位小数，积比324.7 （填“大”或“小”）。 【变式训练】（23-24五年级上·浙江湖州·期末）计算“7.6×0.□8”，下面只有一个结果是正确的，正确的积是（    ）。 A．0.526 B．6.28 C．5.928 D．9.528 易错讲练8 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河北张家口·期中）一个房间长8.1米，宽5.2米。现在要铺上边长为0.6米的正方形地砖，100块够吗？ 【变式训练】（24-25五年级上·河南濮阳·期末）2024年7月26日，第33届奥林匹克运动会在巴黎举行。巴黎奥运会会徽的设计融合了多个象征性元素。一枚长方形巴黎奥运会会徽纪念章的长约是6.3厘米、宽约是5.4厘米，这枚巴黎奥运会会徽纪念章的周长和面积分别是多少？ 易错讲练9 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（22-23五年级上·河南信阳·期末）8.64×2.8的积是( )位小数，保留两位小数约是( )。 【变式训练】（22-23五年级上·吉林通化·期末）的积是( )位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是( )。 易错讲练10 还原小数近似数的问题 【典例精讲】（23-24五年级上·贵州六盘水·期末）佳佳和明明比赛猜数，你也来猜一猜。两个数相乘的积为两位小数，且积的近似数是3.9，积最大是( )，最小是( )。 【变式训练】（22-23五年级上·广东珠海·期末）两个数运算后的结果是一个三位小数，对它保留两位小数后近似数是6.28，那么这个三位小数最大是( )，最小是( )。 易错讲练11 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（24-25五年级下·云南丽江·期末）下列各题中，简算过程所运用的运算律和其他三个不同的是（    ）。 A．69×11＝69×10＋69 B．（28－1.4）×5＝28×5－1.4×5 C．12.5×9×8＝12.5×8×9 D．25×88＝25×80＋25×8 【变式训练】（24-25五年级上·重庆黔江·期末）计算，能简算的要简算。 2.8＋7.2×8×1.25        45.7×3.9－3.57×39       2.5×1.7＋9.3×2.5－2.5 7.93－1.25×6＋0.7    40×3.86×0.25        [2－0.98×（3.51－3.51）]÷2 易错讲练12 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（21-22五年级上·贵州铜仁·期末）用简算方法计算下面各题。 （1）8.75÷1.25÷8            （2）4.6×26＋26×5.5－2.6 （3）89.3×99＋89.3       （4）0.25×9.7×4        （5）102×4.5 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）下面各题怎么算简便就怎样算。 （1）2.5×104        （2）37÷1.25÷8         （3）50.8×2.4－2.4×0.8 易错讲练13 小数的估算及应用 【典例精讲】（23-24五年级上·福建厦门·期末）妈妈带了100元去超市购物，根据下表估一估，她可以买（    ）。 商品 大米 猪肉 闽南荔枝 闽西八大干 单价 30.6元/袋 26.8元/千克 11.4元/千克 49元/箱 A．2袋大米，1千克猪肉和2千克闽南荔枝 B．1袋大米、1千克猪肉和1箱闽西八大干 C．2千克猪肉和1箱闽西八大干 D．1千克猪肉、2千克闽南荔枝和1箱闽西八大干 【变式训练】（20-21五年级上·浙江杭州·期末）王老师为食堂购置食物，需要购买橄榄油20千克，大米50千克，猕猴桃100个，王老师用手机查了一下这些物品的价格，如下表： 物品 橄榄油 大米 猕猴桃 规格 5千克/瓶 10千克/袋 22个/箱 单价 278元/瓶 158.5元/袋 198元/箱 王老师准备3000元钱够吗？ 易错讲练14 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·北京大兴·期末）天然气是一种清洁高效的能源，有着广泛的应用。很多家庭使用天然气主要用于日常做饭和生活用热水，属于“一般生活用气”。某地区“一般生活用气”以年度为周期，采用阶梯计费方式，计费标准如右表所示。 用气量（立方米） 价格（元/立方米） 第一阶梯 0－350（含） 2.61 第二阶梯 350－500（含） 2.83 第三阶梯 500以上 4.23 （1）张阿姨家2023年的天然气用量是300立方米。她家2023年的天然气费是多少元？ （2）李阿姨家2023年的天然气用量是360立方米。计算李阿姨家2023年的天然气费，下面哪种方法正确？请说明理由。 【变式训练】（22-23五年级上·重庆城口·期末）某市居民用水按阶梯分段收费，收费标准如下表： 分档 户月用水量（吨） 水费价格标准（元/吨） 第一档 0~26 1.98 第二档 27~34 2.97 第三档 34以上 3.96 张老师家上月用水32吨，水费是多少元？ 易错讲练15 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）小红在计算一道小数乘法时，误将一个一位小数当成了整数，算出的结果是51.39，正确结果是（    ）。 A．5.139 B．51.39 C．513.9 D．5139 【变式训练】（22-23五年级上·山东菏泽·期末）脱式计算，能简算的要简算。 2.5×6.4×1.25        5.6×101－5.6        0.274×68＋6.8×7.26 第二单元 位置 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：用数对表示具体情境中物体的位置 1.列与行的含义： （1）列： 竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 （2）行： 横排叫做行。确定第几行，要从前往后（或从下往上，具体看情境图的说明，通常是从前往后）数。 2.数对的含义： 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。 3.数对的写法： 先表示列数，再表示行数。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号隔开。写作：（列数，行数）。 4.举例： （1）小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对（3，4）表示。 （2）小红的位置用数对表示是（5，2），表示她坐在第5列第2行。 名师点评： “同学们，我们每天都要坐在教室里，每个人都有自己的座位。如果我想让你们快速找到某个同学的座位，或者向别人介绍你的座位，怎么说才能既清楚又简洁呢？今天我们学习的‘数对’就是解决这个问题的好工具！大家一定要记住‘列’和‘行’的规定：竖排是列，从左往右数；横排是行，从前往后数。这个‘左’和‘前’是很重要的观察点。数对的写法也很关键，先列后行，外面加括号，中间用逗号隔开，比如（3，4），读作‘数对三逗号四’。这个小小的数对就能准确‘定位’一个位置，是不是很神奇？” 知识点梳理02：根据数对在具体情境中确定物体的位置 1.方法： （1）先找列数：从左往右数，找到对应的列。 （2）再找行数：从前往后（或从下往上）数，找到对应的行。 （3）列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 2.举例：教室座位图 讲台 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第1行（前排） ○ ○ ○ ○ ○ ← 第2行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第3行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第4行（后排） 在教室座位图中，数对（2，3）表示的位置是：从左数第2列，从前数第3行，找到这个交叉点就是该位置。 名师点评： “学会了用数对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？这就像我们拿着‘地图’找宝藏一样！第一步，先确定列，‘左右’看；第二步，再确定行，‘前后’看。列和行就像我们生活中的‘经线’和‘纬线’，它们的交点就是我们要找的‘宝藏’——物体的位置。记住，数对中的第一个数是‘列向导’，第二个数是‘行向导’，千万别找反了哦！” 知识点梳理03：在方格纸上用数对确定位置 1.方格纸的特点： （1）方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格。 （2）水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 （3）通常，方格纸的左上角（或左下角，具体看题目规定）会标有起始点（0，0），有时也直接从1开始标记列和行的序号。 2.用数对表示方格纸上点的位置： （1）方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置。 （2）数对（列数，行数）中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字；行数是指从下往上（或从上往下，根据题目习惯，通常是从下往上，与数学坐标系统一）数，该点所在的水平线对应的数字。 3.举例： 在下面的方格图中，请标出A（2，3），B（4，1），C（5，5）的位置。 A（2，3）：先找到第2列（从左往右数第2条竖线），再找到第3行（从下往上数第3条横线），它们的交点就是A。 B（4，1）：第4列，第1行。 C（5，5）：第5列，第5行。 名师点评： “同学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸。方格纸就像一个巨大的棋盘，每个交叉点都可以用数对来表示。在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是一样的，都是先列后行。不过，方格纸上的列和行通常会用数字标出来，方便我们查找。要注意的是，方格纸上的‘行’有时是从下往上数的，就像我们爬楼梯一样，从一楼（第1行）到二楼（第2行）。这和我们之前说的‘从前往后数’本质上是相通的，都是一种约定。这个小小的数对，其实是我们以后学习更复杂的‘坐标’的基础呢！” 【优选真题 易错讲练】3个考点 共12题 易错讲练1 用数对表示位置 【典例精讲】24-25五年级上·重庆·期末）（1）请以三角形ABC中AC为一条边，画一个面积为三角形2倍的平行四边形ACDE，其中D点用数对表示为（8，5），则E点位置用数对表示应为（    ）。 （2）将C点向下平移一格为C′，以C′点为梯形上底中的一点，画一个与平行四边形ACDE面积相等的梯形C′FGH。 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）在方格纸上已经画出三角形ABC的一条边，如下图。 （1）点B的位置用数对表示是 ，点C的位置用数对表示是（5，4），用直尺将三角形ABC画完整。 （2）在方格纸上用直尺画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）方格纸上已经画出三角形ABC的一条边（每个小方格是边长是1cm的正方形），如下图。 （1）点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）点C的位置用数对表示是（3，5），请用直尺将三角形ABC画完整。 （3）三角形ABC的面积是（    ）平方厘米。 （4）在方格纸上虚线l的右侧，用直尺画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 【变式训练3】（24-25五年级上·江西宜春·期末）（1）下图是一个平行四边形，请把它补充完整，如果用（3，5）表示点A的位置，那么点B的位置用数对表示是（    ），点C的位置用数对表示是（    ）。 （2）请画一个和平行四边形面积相等的三角形。 易错讲练2 根据数对找位置 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）雄安郊野公园规划面积是17.48平方公里，2.62万亩。河北省14个特色城市展园集中在东部区域，下面是雄安新区郊野公园14个园区分布的大概位置图。 (1)石家庄园的位置可以用（3，4）表示，那么张家口园就是( )，唐山园就是( )。从唐山园向南走2格，再向西走三格就到了( )园。 (2)周日，花花一家人去雄安郊野公园游玩，从主场馆进入，她们的游览路线是： （5，2）（4，3）（5，5）（7，4）（5，2） 花花一家都游览了哪些地方，填在下面的括号里。 主场馆( )( )( )主场馆 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽黄山·期末）方格纸上已经画出三角形ABC的一条边，如图所示。（每个小正方形的边长为1cm） （1）点B的位置用数对表示（    ）。 （2）点C的位置用数对表示是（4，5），用直尺将三角形画完整。 （3）画出一个平行四边形，使它的面积与已画三角形面积相等。 【变式训练2】（24-25五年级上·山东东营·期末）根据下面的信息，完成下列各题。 （1）图书馆的位置用数对表示是（    ）。 （2）小明现在的位置是（1，1），他所在的位置是（    ）。 （3）小明家距超市1000米。请你先在图上画出小明上学的路线，再用方向和距离描述小明的上学路线。 【变式训练3】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）观察下面方格图，按要求填一填、画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）点A的位置用数对表示为（5，8），则点B的位置用数对表示为（    ）。 （2）在方格图上描出点C（8，2）的位置，再依次连接A，B，C各点形成一个三角形，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以线段BC为一条边，在方格图上画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 易错讲练3 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）按要求做题。 （1）在下面的方格里描出下列各点：A（7，2），B（10，2），C（8，5），并把这几个点顺次连接成一个封闭图形ABC； （2）画出图形ABC向左平移5格后的图形A'B'C'； （3）若每个小方格的边长都是1cm，那么图形ABC的面积是（    ）cm2。 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江绍兴·期末）操作。 （1）点在数对（2，1），点在数对（6，1）的位置，请你在图中标出。 （2）请你在图中描出第三个点，使三个点相连后围成一个面积是6平方厘米的直角三角形（记作图①）。 （3）请你画出图①先向上平移5格，再向右平移2格后的图形（记作图②）。 【变式训练2】（21-22五年级上·福建福州·期末）图中三角形三个顶点A、B、C用数对表示分别是（6，7），（2，4），（7，4）。 （1）将这个三角形先向下平移2格。再向右平移4格，得到新的三角形A'B′C′，请在方格图上画出这个新的三角形。 （2）找出点D，并在右边方格上标出来，使这个点与原来三角形的三个顶点构成一个平行四边形。 （3）并在图上标出D点的数对，这样的点有（    ）个。 【变式训练3】（23-24五年级上·湖南岳阳·期末）在图中A的位置用数对( )表示，B的位置用数对( )表示。把点B向右平移两格得到的点的位置是( )。 第三单元 小数除法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点梳理02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点梳理03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点梳理04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 【优选真题 易错讲练】24个考点 共48题 易错讲练1 除数是整数的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆黔江·期末）一个粮食合作社用4台同样的收割机，3小时收割了4.2公顷小麦，1台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）不计算，下列算式中与4.2×0.25的结果不相等的是（    ）。 A．0.42×2.5 B．4.2÷4 C．4.2×2.5 易错讲练2 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）小红读一本故事书，第一天读的页数是第二天的2倍，第三天读的页数是第二天的3倍，第三天读的页数是第一天的( )倍。 【变式训练】（23-24五年级上·安徽宣城·期末）武汉长江大桥全长1670m，一列车队共16辆车。如果每辆车长均为3米，每相邻两辆车之间的车距为6m，车队每分钟行驶800m，那么车队完全通过大桥需要( )分钟。 易错讲练3 除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）3时15分＝( )时     6.3公顷＝( )平方米 【变式训练】（22-23五年级上·福建莆田·期末）把一个小数的小数点向右移动一位，得到的数比原数大8.19，原来的小数是（    ）。 A．8.19 B．0.819 C．9.1 D．0.91 易错讲练4 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·江西南昌·期中）小刚陪妈妈逛超市，想喝美年达，发现容量550mL的标价是3.00元，不远处同样规格的整箱12瓶装的标价是29.88元，妈妈说：“想喝吗？你如果能算出买整箱比买单瓶平均一瓶便宜多少钱，我就给你买。”你能通过计算回答小刚妈妈的问题吗？ 【变式训练】（23-24六年级下·湖南衡阳·期末）小明和爸爸开车去奶奶家，早上8：30从家出发，2小时行驶125千米，照这样计算，下午1：30可到达奶奶家。小明家与奶奶家相距多少千米？ 易错讲练5 与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（23-24五年级上·湖南张家界·期末）王阳明和妈妈在超市买东西，结账时发现收银员在算账时把一包薯片的价钱忘记点小数点了，所以多算了67.5元，如果这包薯片的价格是一位小数，这包薯片的价格是（    ）元。 A．4.5 B．6.5 C．7.5 【变式训练】（22-23五年级上·山东菏泽·期末）一个一位小数去掉小数点后，比原小数增加了21.6，原小数是( )。 易错讲练6 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆开州·期末）已知322÷14＝23，那么3.22÷0.14＝( )，3.22÷1.4＝( )。 【变式训练】（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）列竖式计算。 0.18×8.45＝        81÷3.6＝        3.06×4.5＝        4.32÷3.6＝ 易错讲练7 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）刘老师1.5小时扎12束鲜花，她平均每小时扎( )束鲜花；她平均扎一束鲜花要( )分钟。 【变式训练】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）下面是李奶奶家刚收到的水费缴款通知单，单上有一处不慎被污渍涂染了。已知每吨水费用是3.8元，请你帮李奶奶算一算本月水表读数是多少？ 易错讲练8 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.67÷0.23( )7.67           36.4÷1.02( )36.4 1.5×0.3( )1.5－0.3           0.75÷0.1( )0.75×10 【变式训练】（24-25五年级上·江西吉安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或 “＝”。 36.5×1.2( )1.2    2.78÷3.6( )2.78    5.6÷0.2( )5.6×5 易错讲练9 小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河北唐山·期末）脱式计算，能简算的要简算。 4.3×102                     3.7×0.2＋9.8×3.7 7.7÷0.5÷2                1.25×8.14×80 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 7.68×4.6＋5.4×7.68    1.3÷0.4÷0.25      2.6×1.9÷2.6×1.9 易错讲练10 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（23-24五年级上·河南商丘·期末）用递等式计算。（用你喜欢的方法计算） 3.6÷0.4－12×0.5        7.5÷12.5×0.8         1.3×7.2＋1.3×2.8 【变式训练】（22-23五年级上·浙江宁波·期末）脱式计算。（能简便的要用简便方法计算） 0.06÷0.3×5.6    1.25×3.5×8×2    （4＋0.8）×12.5 4.8×9.9    200－41.6＋3.2＋37    0.85×[（3－1.88）÷0.4] 易错讲练11 小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）能简算的要简算。 2.5×13.3×4        3.25×7.8＋7.8×6.75        （3－0.42×3）÷0.6 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.68＋0.32÷0.8        3.7×6.9＋0.37×31        25×12.5×3.2 易错讲练12 小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·广东韶关·期末）选择你喜欢的方法计算。 12.5＋12.5÷5         26÷1.25÷8        3.8×5.1＋3.8×4.9 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）怎样简便就怎样计算。（写出主要步骤） 5.5×7.3＋2.7×5.5                  0.63×99 0.125×8.45×80                    54.8÷（5.48×2.5） 易错讲练13 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）用竖式计算。（带※号的保留两位小数） 1.05×0.26＝          5÷0.25＝          ※2.4÷0.26≈ 【变式训练】（24-25五年级上·江西萍乡·期末）列竖式计算（带*号的要验算）。 3.45×0.36＝       *7.1÷0.25＝       23÷3.3≈（得数保留两位小数） 易错讲练14 判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北十堰·期中）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【变式训练】（21-22五年级上·重庆彭水·期末）算式□÷0.7的商是两位小数，四舍五入保留一位小数是0.3，被除数最小是0.175。( )（判断对错） 易错讲练15 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）10÷11的商是循环小数，用简便记法记作( )，保留两位小数约是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）循环小数64.864864…用简便方法表示是( )，保留一位小数约是( )，保留两位小数约是( )。 易错讲练16 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·江西宜春·期末）在6.81，6.，6.8 ，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有( )个，最小的数是( )，最大的数是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·山东菏泽·期中）在0.81234…、、、0.8、0.813813、0.181818…中最大的数是( )，最小的数是( )，这五个数中有限小数有( )个，循环小数有( )个。 易错讲练17 循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末），，三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【变式训练】（23-24五年级上·福建福州·期末）在2.028、、、这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 易错讲练18 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（21-22五年级上·河南信阳·期末）11÷7的商可以简写作( )，小数部分第67位上的数字是( )，得数保留三位小数约是( )。 【变式训练】（20-21五年级上·重庆大足·期末）计算的商，商的小数部分第100位上的数字是（    ）。 A．0 B．1 C．4 D．5 易错讲练19 用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·甘肃兰州·期末）根据前面算式的计算结果找规律，写出后面算式的计算结果。 ( ) ( ) 【变式训练】（23-24五年级上·全国·期末）按规律填数。 1÷11＝0.0909…， 2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，5÷11＝( )。 易错讲练20 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北孝感·期末）不计算，按规律直接写出结果。 1÷99＝0.010101… 2÷99＝0.020202… 3÷99＝0.030303… …… 10÷99＝( ) 【变式训练】（22-23五年级上·河南郑州·期末）淘淘在一本《趣味数学》中发现了一个有趣的规律，你也来尝试找一找这个规律。根据这个规律，写出后面两题的结果。 1.2÷4＝0.3 11.22÷34＝0.33 111.222÷334＝0.333 1111.2222÷3334＝( ) 11111.22222÷33334＝( ) 易错讲练21 用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备( )个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加( )kg脐橙。 【变式训练】（23-24五年级上·重庆綦江·期末）水泥仓库要运走水泥50吨，已运走了20吨，余下的改用一辆准载2.7吨的汽车运，还要几次才能运完？（得数保留整数） 易错讲练22 用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南周口·期末）服装厂要加工一批儿童服装，如果每套用布1.5m，可以加工500套；如果每套用布1.4m可以加工（    ）套。 A．536 B．535 C．534 D．1050 【变式训练】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）学校买来一捆90米长的绳子为学生做跳绳，先用去41.6米做了8根长跳绳，剩下的绳子做短跳绳。如果每根短跳绳长2.4米，那么最多可以做多少根这样的短跳绳？ 易错讲练23 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票。李叔叔从成都乘飞机到北京，机票是560元/张，他购买机票和行李一共付了728元，李叔叔携带了多少千克行李？ 行李质量 收费标准 不超过20千克 免费 超过20千克的部分 16.8元/千克 【变式训练】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）一袋蛋糕粉6千克，张阿姨做蛋糕用了2.2千克。李叔叔用剩下的蛋糕粉最多还能再做几个这样的蛋糕？ 易错讲练24 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（23-24五年级上·重庆·期中）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施。某通信公司某年推出5G套餐如下。 每月128元套餐 国内流量50GB；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB，满15元后的按2.8元/GB； 国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB，拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 【变式训练】（21-22五年级上·贵州黔西·期末）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费，具体如表： 第一级 第二级 12吨以内（含12吨） 12吨以上 1.85元/吨 2.40元/吨 （1）张叔叔家11月份用水34吨，应缴水费多少元？ （2）李叔叔家8月份缴水费41.4元，李叔叔家8月份用水多少吨？ 第四单元 可能性 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：不确定性 确定实验发生的可能结果: 正确地理解实验的构成要素，根据实验的要素判断实验发生的可能结果。实验要素变化，实验的可能结果也不同。 可预知：“一定”“不可能” 不可预知：“可能” 知识点梳理02：可能性的大小 判断事件发生的可能性大小: 在等可能性实验（例如：摸球实验）中，事件发生的可能性与物体的数量有关。物体数量多的，摸到的可能性就大；物体数量少的，摸到的可能性就小；物体数量相等的，摸到的可能性一样大。 知识点梳理03：根据随机现象结果进行推测 可能性大 数量多 可能性小 数量少 设计可能性不同的实验： 据要求利用不同颜色的球或棋子、转盘、扑克牌等工具设计可能性大小不同的实验。 【优选真题 易错讲练】7个考点 共21题 易错讲练1 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽黄山·期末）妈妈买了四种口味的汤圆，其中黑芝麻馅5个，五仁馅5个，巧克力馅5个，山楂馅5个。把这些汤圆一锅煮熟，任意捞出一个，下面说法正确的是（    ）。 A．可能是黑芝麻馅 B．一定是巧克力馅 C．可能是莲蓉馅 D．不可能是山楂馅 【变式训练1】（24-25五年级上·山东东营·期末）盒子里有6个白球，4个黄球。 （1）任意摸出1个球，摸到哪种颜色球的可能性大？ （2）摸出1个球记录颜色后，放回去摇匀后再摸，6个同学每人都摸10次。6个同学摸球的结果，一定都是6个白球和4个黄球吗？ 【变式训练2】24-25五年级上·广西玉林·期末）箱子里有3个红球、8个白球和5个黄球，任意摸出一个，有( )种可能，摸出( )球的可能性最大。 易错讲练2 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）一个不透明盒子里装有形状、大小完全相同的10个红球和8个白球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大。 【变式训练1】（2024·安徽亳州·小升初真题）盒子里有3个红球和2个黄球，至少摸出 个球，才能确保摸出的球中两种颜色都有；任意摸出一个球，摸出 球的可能性比较大。 【变式训练2】（22-23五年级上·湖北武汉·期末）同时掷两个相同的六面骰子（六个面分别刻有数字1、2、3、4、5、6），掷出的数字的和可能有( )种情况，掷出的和为( )的可能性最大。 易错讲练3 可能性大小的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）乐福超市迎新促销设计了集“福”活动，集福箱中有一些大小、形状相同的福卡，要使摸到“①爱国福”的可能性最大，摸到“②敬业福”的可能性最小，可能摸到“③和谐福”，不可能摸到“④友善福”。如果集福箱至少装6张福卡，分别应装几张？请你写一写（写序号）。 【变式训练1】（24-25五年级上·江西吉安·期末）十字路口红绿灯的时间设置为：红灯60秒，绿灯30秒，黄灯3秒。当你随意经过该路口时，遇到( )灯的可能性最大。 【变式训练2】（24-25五年级上·福建三明·期末）涛涛从一个不透明袋子里随机摸球，摸完放回摇匀，摸出的结果如下表，下面说法错误的是（    ）。 结果 次数 黑球 25 白球 1 红球 10 A．袋子里黑球可能最多 B．袋子里白球可能比红球少 C．再摸一次，可能会摸到白球 D．再摸一次，一定能摸到黑球 易错讲练4 概率的认识 【典例精讲】．（20-21六年级下·广东云浮·期末）抛硬币1000次，一定会有500次正面朝上，500次反面朝上。( )（判断对错） 【变式训练1】（23-24五年级上·河北邯郸·期末）三张数字卡片上分别写着4，6，7，用这三张卡片任意摆三位数。摆出奇数的可能性是，摆出偶数的可能性是。 【变式训练2】（2024六年级下·全国·专题练习）在下面的盒子中一定能拿到黄球的是 易错讲练5 游戏规则的公平性 【典例精讲】（24-25五年级下·北京房山·期末）甲、乙两人玩掷骰子游戏，骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6。下列游戏规则中，公平的是（    ）。 A．朝上的数是奇数，甲赢；朝上的数是偶数，乙赢。 B．朝上的数是质数，甲赢；朝上的数是合数，乙赢。 C．朝上的数小于4，甲赢；朝上的数大于4，乙赢。 D．朝上的数小于3，甲赢；朝上的数大于3，乙赢。 【变式训练1】（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明和小亮用转盘做游戏，指针停在阴影部分区域算小亮赢，指针停在空白区域算小明赢，请按要求涂一涂转盘。 【变式训练2】（22-23五年级上·河南鹤壁·期末）小丽和小琪做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回去再摇匀，每人摸5次。摸到红球小丽得1分，摸到绿球小琪得1分，摸到其他颜色的球二人都不得分，从（    ）口袋里摸球公平的。 A．2个红球、2个绿球、1个黄球 B．1个红球、2个绿球、2个黄球 C．2个红球、1个绿球、2个黄球 易错讲练6 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25五年级上·四川广安·期末）小张同时从三张分别标有字母A、B、C的卡片中任意抽出两张，有（    ）种可能的结果。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（24-25五年级上·内蒙古包头·期末）明明做实验，同时抛出两枚硬币，共抛了300次，落地后出现“一正一反”的最大可能是（    ）次左右。 A．75 B．100 C．150 【变式训练2】（23-24五年级上·河北·单元测试）袋子里有大小、形状都相同的小球共4个，其中白球2个，红球2个． （1）从中无放回地摸出两个球，这2个球都是白色的可能性是多少？ （2）从中有放回地摸出两个球，这2个球颜色相同的可能性是多少？颜色不同的可能性是多少？ 易错讲练7 生活中的概率 【典例精讲】（23-24五年级上·江西赣州·期末）张意买了一张体育彩票，（    ）会中奖。 A．可能 B．一定 C．不可能 【变式训练1】（2024·全国·小升初真题）某地的天气预报说：“明天的降水概率是80%”根据这个预报，下面的说法正确的是。（　　） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性很小 D．明天下雨的可能性很大 【变式训练2】（2023五年级·全国·课后作业）袋子里装有9个球，球上分别写有数字1～9。淘气和小冬玩摸球游戏，如果摸到奇数，淘气赢；如果摸到偶数，小冬赢。 （1）这个游戏规则公平吗？ （2）小冬一定会输吗？ （3）你能设计一个公平的规则吗？ 第五单元 简易方程 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点梳理05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点梳理06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点梳理07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点梳理08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点梳理09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点梳理10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点梳理10：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 【优选真题 易错讲练】18个考点 共36题 易错讲练1 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第五个数是( )，这五个连续自然数的和是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）在a×0.98＝b÷0.99中（a、b均不为0），下面表示a、b大小关系正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 易错讲练2 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24五年级上·黑龙江双鸭山·期末）一个长方形，长acm，宽8cm，如果把它的长减少1cm，宽不变，那么它的面积变成了（    ）cm2。 A．8（a－1） B．8a C．8a－1 【变式训练】（22-23五年级上·河北邯郸·期末）……第8个图形中，有 个涂色小三角形，第20个图形中，有 个涂色小三角形。 易错讲练3 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24五年级上·四川绵阳·期末）妈妈买了a千克梨子，每千克4.5元，又买了b千克苹果，每千克5元，那么4.5a－5b表示的是（    ）。 A．梨子比苹果重多少千克 B．梨子和苹果共付多少钱 C．苹果比梨子少付多少钱 【变式训练】（23-24五年级上·河南周口·期末）王老师带200元去体育用品店买足球，每个足球a元，王老师买了2个足球，式子200－2a表示的是( )。 易错讲练4 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）五年级本学期共读古典名著《西游记》，全书共a页，每天读12页，已经读了b天，用含有字母的式子表示，还有( )页没读。当a＝596，b＝8时，还有( )页没读。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）按照图中摆出若干个正方形。 (1)摆8个这样的正方形需要( )根小棒。 (2)如果要摆a个正方形（a大于1），用n表示所需小棒的根数，那么n＝( )。 易错讲练5 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】．（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（    ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【变式训练】（22-23五年级上·江西吉安·期末）下面式子中，（    ）不是方程。 A．5a＋b＝6 B．6x＝20.4 C．3x＋8＜10 D．3x－6＝5y 易错讲练6 方程的认识 【典例精讲】（23-24五年级上·全国·期末）下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）下面式子中，（    ）是方程。 A． B．16－2x＝8 C．30x－18 D． 易错讲练7 列简易方程 【典例精讲】（23-24五年级下·北京海淀·期末）甲、乙两工程队铺一条长2400m的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺160m，乙队每天铺140m。几天后能铺完这条公路？如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是（    ）。 A．160x＝2400＋140x B．160x＝2400－140x C．160x＋140x＝2400 D．（160＋140）x＝2400 【变式训练】（23-24五年级上·河北保定·期末）下面选项中，不能用方程“”来表示的是（    ）。 A．3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克。 B．买3千克苹果，每千克苹果x元，付出20元，找回2元。 C．绕保温杯一圈长x厘米，用一根20厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出2厘米。 易错讲练8 等式的性质1 【典例精讲】（24-25五年级上·山西忻州·期末）已知2x＝3y（x、y是非零自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（    ）。 A．3x＝4.5y B．20x＝6y＋16x C．4x＝9y 【变式训练】（22-23五年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，不正确的是（    ）。 A．若a＝b，则a＋3＝b＋3 B．若a＝b，则a×1.5＝b×2.5 C．若a＝b，则a－c＝b－c D．若a＝b，则a÷100＝b÷100 易错讲练9 等式的性质2 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北随州·期末）根据等式的性质，a＝b（a，b都不为0）变式后错误的是（    ）。 A．a＋1.8＝b＋1.8 B．a×2.5＝b÷2.5 C．a8＝b8 D．a2＝ab 【变式训练】（23-24四年级下·湖北武汉·期末）如果5a＝b，根据等式的性质在横线填上合适的数。 5a＋8＝b＋             5a÷ ＝b÷2.5 易错讲练10 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）解方程。 4.5x＝2.7        4.5x＋3.8x＝16.6        x－2.6×8＝45 【变式训练】（22-23五年级上·重庆城口·期末）解方程。 （1）             （2） （3）        （4） 易错讲练11 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（24-25五年级上·河北沧州·期末）解方程。 20.4－7x＝12        2x＋1.5x＝17.5        （x＋2.6）÷5＝20 【变式训练】（24-25五年级上·四川凉山·期末）解方程。 7.6÷＝0.08        8（－20）＝25.6      5＋0.3×8＝7.7 易错讲练12 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）解方程。（带☆的要写出检验过程。） 1.4x＋9.2x＝53        （3x－7）÷5＝16        ☆6.8＋3.2x＝14.8 【变式训练】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）解方程。 （1）8.6＋4x＝19.8     （2）x＋1.4x＝12 （3）6.6÷x＝15         （4）6x－0.9＝4.5 易错讲练13 解含括号的方程 【典例精讲】（24-25五年级上·河北张家口·期末）解方程。 31x＋25x＝112           x－0.7x＝21 （x－3）÷2＝7.5        4.6x－x＝4.32 【变式训练】（23-24五年级上·全国·单元测试）解下列方程。                   易错讲练14 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（22-23五年级上·河南新乡·期末）已知3.2－2与10＋2.4的值相等，那么＝( )。 【变式训练】（21-22五年级上·湖北武汉·期末）（    ）是方程的解。 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 易错讲练15 方程的检验 【典例精讲】（23-24五年级上·河南新乡·期末）解方程，带★的写出检验过程。 x÷2.5＝7.2         4x＋3.6x＝38           ★ 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）解方程。      （写出检验） 易错讲练16 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米，比洞庭湖面积的4.5倍少700平方千米。洞庭湖的面积是多少平方千米？（用方程解） 【变式训练】（23-24五年级上·重庆渝中·期末）甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。乙到达B地后，立即返回A地，乙离开B地12分钟后与正向B地行走的甲相遇。乙行完全程需要( )分钟。 易错讲练17 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）改革开放40多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付再到移动支付＋刷脸支付，中国人的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。某天店里的付款方式如下： 信息：①微信和支付宝共195单信息        ②支付宝单数是现金的7.5倍 ③支付宝单数比现金多65单信息     ④微信单数是支付宝的1.6倍 要想求出支付宝和微信分别有多少单，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） 解答： 【变式训练】（2023五年级上·全国·专题练习）复杂的分段问题。 为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数（度） 知心电价（元/度） 第一档 小于或等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于或等于400 0.85 某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元。已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度。问该户居民五、六月份各用电多少度？ 易错讲练18 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（2022·湖南长沙·小升初真题）一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（    ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 【变式训练】（22-23五年级上·河南郑州·期末）郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 第六单元 多边形的面积 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：平行四边形的面积 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高（） 公式推导： 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 易错点拨： 1.底和高必须是对应的（互相垂直）。 2.单位要统一（如厘米对应平方厘米）。 知识点梳理02：三角形的面积 定义：由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2（） 公式推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 注意事项： 1.必须用对应的底和高计算。 2.不要忘记除以2。 示例：一个三角形的底是5m，高是3m，面积是 。 知识点梳理03：梯形的面积 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰）。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2（） 公式推导：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 示例：一个梯形的上底是4dm，下底是6dm，高是3dm，面积是 。 知识点梳理04：组合图形的面积 定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 计算方法： 1.分割法：将组合图形分割成已学过的基本图形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形），分别计算面积后相加。 2.添补法：用一个大图形的面积减去补上去的小图形面积。 知识点梳理05：不规则图形的面积估算 方法： 1.数方格法：满格按1格计算，不满格按半格计算。 2.转化法：将不规则图形近似转化为已学过的基本图形估算面积。 知识点梳理06：易错点与培优技巧 易错点拨： 1.计算三角形、梯形面积时忘记除以2。 2.误用不对应的底和高计算面积（如梯形的腰当作高）。 3.单位换算错误（如平方米与平方分米混淆）。 培优技巧： 1.辅助线法：通过添加辅助线将复杂图形转化为基本图形（如连接梯形对角线分成两个三角形）。 2.等积变形：利用平行线间的距离相等，将图形转化为同底等高的等积图形简化计算。 3.公式逆用：已知面积和底（或高），求高（或底）时灵活运用公式变形（如 ）。 【优选真题 易错讲练】12个考点 共24题 易错讲练1 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（2021·河北保定·小升初真题）将一个平行四边形框架拉成一个长方形后，周长不变，面积变小。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级上·浙江宁波·期末）一个平行四边形相邻的两条边分别长为20cm、10cm，其中一条高为12cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．10×12 B．20×12 C．20×10 D．（20＋10）×12÷2 易错讲练2 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，周长不变，面积也不变。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）如图，刘爷爷家有一块平行四边形的菜地，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )m，面积是( )m2。 易错讲练3 利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（20-21五年级上·广东广州·期末）如图，把一个底边是6厘米的平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个长方形。量得长方形的周长是20厘米，则原来平行四边形的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练】（21-22五年级上·湖北武汉·期末）把图的平行四边形沿高剪开，可以分成图形①和图形②。将①平移后，和②拼成一个周长是36cm的正方形，那么这个平行四边形的面积是( )cm2。 易错讲练4 三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）古代数学名著《九章算术》中记载了三角形的面积计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）。如果下图三角形的广是10cm，从是7cm，那么将三角形转化成长方形后，长方形的面积是（    ）cm2。 A．10÷2×7＝35 B．10×7＝70 C．10＋7＝17 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）一个平行四边形（如图），涂色部分的面积是( )m2。 易错讲练5 三角形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东济南·期末）按要求作答。 （1）如图中，如果点A用数对表示是（7，3），先把它向右平移1格，再向上平移2格后得到点B，则点B用数对表示是（    ）。 （2）再把点A、点B分别向左平移3格得到点D、点C，依次连接A、B、C、D得到一个平行四边形，请你画出这个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 （3）请你在方格纸中画一个和这个平行四边形面积相等的三角形。 【变式训练】（24-25五年级上·江西宜春·期末）如图是一面墙，中间有一个长2米，宽1.5米的窗户，如果粉刷这面墙平均每平方米用3千克石膏，一共需用多少千克石膏？ 易错讲练6 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（23-24五年级上·重庆垫江·期末）下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？（    ）（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【变式训练】（23-24五年级上·四川乐山·期末）图中两条虚线互相平行，图中有（    ）个三角形与阴影三角形ABC的面积相等。 A．4 B．3 C．2 D．1 易错讲练7 梯形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积。出入相补原理是指：把一个图形分割、移补，而面积保持不变（如图）。说说下面梯形是如何通过转化来求面积的。 我发现：梯形可以通过分割、移补成一个( )形，转化后平行四边形的底是梯形的( )，平行四边形的高是梯形的( )；平行四边形的面积是“底×高”，所以梯形面积是( )（面积用字母表示）。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）王大爷和李奶奶分别用40米长的篱笆围成了一块靠墙的菜地（如图）。围成菜地的面积相比，（    ）。 A．王大爷围的面积大 B．李奶奶围的面积大 C．两块菜地面积一样大 D．无法比较 易错讲练8 梯形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东济南·期末）课本第96页第8题介绍了生活中堆圆木的一种方法，如图。假如有一批相同的电线杆也这样堆放，已知最下层有26根，最上层有15根，每相邻两层之间相差1根，一共堆放了12层。这批电线杆一共有( )根。 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）刘爷爷有块梯形麦田，梯形的上底是180米，下底是270米，高是120米，共收小麦32.4吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 易错讲练9 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（2024五年级·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（22-23五年级上·河南漯河·期末）两个完全一样的直角三角形重叠一部分（如图），形成两个梯形A、B，这两个梯形的面积的大小关系是（    ）。 A．梯形A的面积大 B．梯形B的面积大 C．它们的面积相等 易错讲练10 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆·期末）求下面图形的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（24-25五年级上·河北衡水·期末）求出下面图中阴影部分的面积。 易错讲练11 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·江西吉安·期末）求下面图形阴影部分的面积（单位：厘米）。 【变式训练】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）计算下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 易错讲练12 不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）小芳把弟弟的脚印拓印在纸上，并产生了一个问题：弟弟脚印的面积大约是多少？请你帮助小力解决这个问题，并记录解决问题的过程（可以涂一涂、数一数、算一算等）。（1个方格的面积表示1平方厘米） 【变式训练】（24-25五年级上·福建三明·期末）下面阴影部分是一块不规则形状的水塘，估算水塘面积最准确的是（    ）。 A．估成一个边长为5m的正方形面积 B．估成一个长为8m，宽为6m的长方形面积 C．估成一个上底为4m，下底为8m，高为6m的梯形面积 D．估成一个底为8m，高为6m的平行四边形面积 第七单元 数学广角-植树问题 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：基本概念 四要素：植树问题涉及总长、间隔长、间隔数和棵数这四个关键要素。其中，间隔数的计算方法为：间隔数 = 总长÷间隔长。 间隔：间隔是指相邻两棵树之间的距离，它是理解植树问题的核心概念之一。 知识点梳理02：不同类型的植树问题及公式 问题1：非封闭线路植树问题 两端都种树：棵数 = 间隔数 + 1。例如，在一条长 60 米的路，每隔 3 米种一棵树，两端都种，先计算间隔数为 60÷3 = 20 个，那么棵数就是 20 + 1 = 21 棵。 两端都不种树：棵数 = 间隔数 - 1。比如在 50 米的路边种树，每隔 5 米种一棵，两端不种，间隔数是 50÷5 = 10 个，棵数则为 10 - 1 = 9 棵。 一端种，一端不种：棵数 = 间隔数。若有一条 35 米长的路，每隔 7 米种一棵树，一端种一端不种，间隔数为 35÷7 = 5 个，所以棵数也是 5 棵。 问题2：封闭线路植树问题 封闭线路（如圆形、方形、椭圆形等）上种树，棵数 = 间隔数。例如一个圆形花坛周长 48 米，每隔 6 米放一盆花，间隔数为 48÷6 = 8 个，盆数（即棵数）就是 8 盆。 知识点梳理03：常见题型及解题思路 问题1：求间隔长 已知总长、棵数和植树类型，先根据相应公式求出间隔数，再用总长除以间隔数得到间隔长。比如已知两端都种树，总长 100 米，种了 21 棵树，先求间隔数为 21 - 1 = 20 个，那么间隔长就是 100÷20 = 5 米。 问题2：求棵数 根据总长和间隔长求出间隔数，再依据植树类型选择合适的公式计算棵数。如两端都不种，总长 80 米，间隔长 4 米，间隔数为 80÷4 = 20 个，棵数为 20 - 1 = 19 棵。 问题3：求总长 先根据已知条件求出间隔数，再用间隔数乘间隔长得到总长。例如一端种一端不种，有 15 棵树，间隔长 6 米，间隔数等于棵数为 15 个，总长就是 15×6 = 90 米。 问题4：双植树问题 通常涉及两条线路或不同条件下的植树情况，需要分别分析每条线路的植树类型，再根据相应公式计算，最后综合考虑两条线路之间的关系进行求解。 知识点梳理04：特殊的植树问题拓展 问题1：锯木头问题 锯木头的时间花在锯的次数上，段数 = 次数 + 1，次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间×次数。例如把一根木头锯成 5 段，需要锯的次数是 5 - 1 = 4 次，如果每锯一次需要 3 分钟，那么总时间就是 4×3 = 12 分钟。 问题2：爬楼梯、敲钟问题 时间花在段数上。爬楼梯时，楼层间隔数 = 到达楼层数 - 1；敲钟时，间隔数 = 敲钟次数 - 1。比如小明从 1 楼爬到 6 楼，楼层间隔数为 6 - 1 = 5 个；时钟敲 8 下，间隔数为 8 - 1 = 7 个。 问题3：方阵问题 分类：方阵分为实心（中实）方阵和空心（中空）方阵。 基本特点 方阵任何一层的每边上物体数相等。 相邻两层，边长差 2。 相邻两层，圈长差 8。 基本公式 每层物体总数 = (该层每边物体数 - 1)×4。 实心方阵物体总数 = 最外层每边物体数×最外层每边物体数。 空心方阵物体总数 = 实心物体总数 - 空心部分物体总数。 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 易错讲练1 植树问题（两端都栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）小华家住在九楼，为了锻炼身体，他每天都步行上楼，上一层楼大约需要15秒，那么他从一楼到家大约需要（    ）秒。 A．105 B．120 C．135 【变式训练1】（24-25五年级上·湖北随州·期末）2024年10月6日随州市举行了半程马拉松比赛，全程约20千米，平均每2千米设置一个医疗救助站（起点和终点都设），全程一共需要设置( )个医疗救助站。 【变式训练2】（24-25五年级上·河南信阳·期末）某景区在一条小路一侧每隔40米放置一个垃圾桶（两端都放），一共放了16个，这条小路全长( )米。如果每隔60米放一个垃圾桶（两端都放），那么沿着小路的一侧应该放置( )个垃圾桶。 【变式训练3】（22-23五年级上·浙江杭州·期末）如图（单位：厘米），工厂生产的两摞羽毛球整齐地叠放在桌面上。这种羽毛球出厂时每12个装一筒，那么这个羽毛球筒至少需要多少高？ 易错讲练2 植树问题（两端都不栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）李师傅把一根电线剪成一段一段的，每段长都是5米，他剪了9次正好剪完。这根电线原来的长度是( )米。 【变式训练1】（22-23五年级上·安徽淮南·期末）把一根木头锯成两段需要4分钟，锯成7段需要( )分钟。 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）在一条笔直走廊一侧，每隔a米摆放一盆花，如果两端不放，一共摆了x盆花，这条走廊长( )米；如果有一端要放，一共摆了x盆花，这条走廊长( )米。 【变式训练3】（23-24五年级上·山东济宁·期末）李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5米。 （1）这个花园的面积是多少平方米？   （2）在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 易错讲练3 植树问题（一端栽一端不栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）如图所示，小明从家出发沿小路散步，每隔10米就有一棵小树，走到第10棵小树时，小明一共走了( )米。 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有( )处这样的服务点。 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南常德·期末）围棋盘的最外层每边都能放19枚棋子，外边第二层每边都能放17枚棋子。外边两层一共可以摆放多少枚棋子？ 【变式训练3】（22-23五年级上·宁夏固原·期末）一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 易错讲练4 封闭图形上的植树问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【变式训练1】（24-25五年级上·江西赣州·期末）为了保护一棵古树，现在要为古树做一个长50米的圆形防护栏，如果沿着防护栏每隔2.5米打一个桩，一共需要打( )个桩。 【变式训练2】（24-25五年级上·四川乐山·期末）学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【变式训练3】（24-25五年级上·陕西延安·期末）为了保护一棵古银杏树，园林处要为它做一个长为40米的圆形防护栏。如果每隔2米打一个桩，一共要打（    ）个桩。 A．19 B．20 C．21 D．22 压轴题型练1 小数与整数的乘法计算与应用 1．（23-24五年级上·全国·期末）要买45千克香蕉，怎样买比较合算？通过计算说明。 2．（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）随着经济的发展，人民生活水平日益提高，李叔叔的工资也越涨越高。1982年，李叔叔的月工资是34.5元；2023年，李叔叔的月工资比1982年的300倍还多24.5元。2023年李叔叔的月工资是多少元？ 压轴题型练2 小数与小数的乘法 3．（23-24五年级上·北京通州·期末）下面直线上A点可能表示的是算式（    ）的得数。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级上·福建三明·期中）甲乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行驶63.4千米，乙车每小时行驶75.3千米。甲车开出1.5小时后乙车再出发，又过了3小时两车相遇。这两地相距多远？（先画线段图再列式解答） 线段图： 压轴题型练3 积的小数位数与乘数小数位数的关系 5．（23-24五年级上·福建莆田·期末）的积是( )位小数。 6．（22-23五年级上·福建莆田·期末）的积只有两位小数。( )（判断对错） 压轴题型练4 小数的连乘运算 7．（21-22五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）有一间长方形的库房，宽为8米，长是宽的1.5倍，这间库房的地面面积有多大？ 8．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）秋天是收获的季节。农场里种了1000棵向日葵（专门榨油的油葵），平均每棵大约收葵花籽0.25千克。如果每千克葵花籽可以榨油0.35千克，收获这些葵花籽一共可以榨油多少千克？ 压轴题型练5 因数和积的大小关系（小数乘法) 9．（23-24五年级上·四川乐山·期末）若0.8a＝b，（a＞0）那么（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．b＜1 10．（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）从0.73、0.907、1.09、46.7这四个数中任意选择两个数组成乘法算式，积比两个因数都小的算式有( )个，积在两个因数之间的算式有( )个。 压轴题型练6 利用小数与小数的乘法解决问题 11．（21-22五年级上·四川自贡·期末）小云家在学校的东面，小敏家在学校的西面，放学后两人同时回家，小云每分行75.2m，小敏每分行70m，经过6.5分，两人同时到家。她们两家相距（    ）m。 A．488.8 B．943.8 C．33.8 D．145.2 12．（22-23五年级上·贵州铜仁·期末）在生活中，我们看到有些道路设置了限高杆。限高杆的主要作用是通过限制经过车辆的高度，保障车辆和路上设施的安全。有一辆货车的车宽是2.4米，车高是车宽的1.3倍，那么这辆货车能否通过限高3.5米的限高杆？ 压轴题型练7 用“四舍五入”法求积的近似数 13．（23-24五年级上·广东肇庆·期末）3.85×2.7的积是( )位小数，保留两位小数是( )。 14．（23-24五年级上·广东东莞·期末）6.7×0.95的得数有( )位小数，保留两位小数是( )。 压轴题型练8 整数乘法运算定律推广到小数乘法 15．（24-25五年级上·河南南阳·期末）怎样简便怎样计算。 7.65×1.25×80          7.8×1.26＋8.74×7.8          0.875×101－0.875 16．（21-22五年级上·江西赣州·期末）计算，能简算的要简算。（第4小题先填一个数使其简便计算。） 3.25×100.1                       9.9×12.5＋12.5               12.5×0.25×______ 压轴题型练9 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 17．（23-24五年级上·广西南宁·期末）计算0.88×1.25，可以用11×（0.08×1.25）或（    ）进行简便运算。 A．0.8＋0.08×1.25 B．（0.8×1.25）×（0.08×1.25） C．0.08×1.25＋0.8×1.25 D．（0.8＋0.8）×1.25 18．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）计算下列各题（第②、③小题用简便方法计算）。 ①5.628－2.03×0.6＋0.7        ②9.9×10.1        ③7.8×1.26＋0.126×22 压轴题型练10 小数的估算及应用 19．（23-24五年级上·广东江门·期末）一道乘法算式1.□2×5.3＝？，这个非零数字被隐藏了，这道算式的结果可能是（    ）。 A．4.996 B．11.176 C．7.562 D．7.526 20．（23-24五年级·全国·假期作业）妈妈到超市买了一些东西（如图所示），付款时准备30元钱够吗？( )（填“够”或“不够”）你估算的方法是( )。 压轴题型练11 分段计费问题（小数乘法) 21．（23-24五年级上·黑龙江双鸭山·期末）为欢庆佳节，爸爸妈妈带聪聪去哈尔滨游玩，先到道里区体验剪纸、手工布艺、手抓鼓制作、黑陶制作等一系列非遗项目，感知中国传统文化。他们下了火车乘坐出租车前往，到达目的地后，里程表显示14.3千米，请你帮聪聪爸爸算算应付出租车费多少钱？ 哈尔滨市出租车计价标准 行驶里程（不足1千米，按1千米计算） 出租车费 3千米以内（包括3千米） 9元 超过3千米的部分 每千米1.9元 22．（23-24五年级上·广东肇庆·期末）合水粉葛是佛山市高明区的特色农产品，它同时具有食用和药用功能，具有解痉止痛，降低血压等功效，是中国国家地理标志产品。晴晴是高明人，她给在贵州的笔友寄5.8千克粉葛，以下是某快递公司省外寄件的收费标准说明，晴晴需要支付快递费多少钱？ 压轴题型练12 积的变化规律（小数乘法) 23．（24-25五年级上·重庆黔江·期末）两个因数的积是0.84，一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到原来的，积是( )。 24．（23-24五年级上·浙江温州·期末）下面算式中，与1.3×35的计算结果相等的算式是（    ）。 A．130×0.35 B．0.13×0.35 C．13×35 D．1.3×350 压轴题型练13 除数是整数的小数除法计算与应用 25．（24-25五年级上·四川凉山·期末）运通汽车公司开展节能减排活动，8辆汽车14天共节约汽油360.64升。照这样计算，一辆汽车每天可以节约汽油多少升？ 26．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）晨曦小学参加了“红歌会”比赛，比赛当天中午，学校领导决定给每位参赛教师在某订餐平台上订外卖， ，求每份快餐多少钱？（选择条件把题目补充完整）（    ）。 ①晨曦小学共有126位教师；②一共花了724.6元钱订外卖； ③晨曦小学共有76名教师参赛； ④一共有15所学校参加比赛；⑤其中包装费（总的）28元，送餐费4元。 A．①②④ B．②③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 压轴题型练14 与小数点移动相关的和差倍问题 27．（23-24五年级上·广东汕头·期末）甲、乙两数的和是214.5，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是( )，乙数是( )。 28．（21-22五年级上·江苏徐州·期中）把一个小数的小数点去掉后，比原数大39.6，这个小数是（    ）。 A．3.96 B．3.6 C．4.4 压轴题型练15 除数是小数的小数除法计算与应用 29．（24-25五年级上·重庆·期末）根据87×33＝2871，直接写出下面各题的得数。 0.87×3300＝( )   8.7×0.33＝( )   287.1÷0.87＝( ) 30．（23-24五年级上·山西长治·期末）2023年人工智能的飞速发展正在引发人们的深思，而科幻小说作为独特的文学体裁，将科技与人文相结合，探索未来世界的各种可能性。希望小学为了激发孩子们的想象力，帮助学生提升科学素养，准备购进图书《时间机器》，正值书店促销活动，现在每本是15.88元，原来准备买180本的钱，现在可以比原来多买多少本？ 压轴题型练16 被除数和商的大小关系（小数除法） 31．（23-24五年级上·新疆·期末）不计算，比较下面各算式的商，（    ）最大。 A．5.506÷0.47 B．5.506÷0.49 C．5.506÷1.4 32．（24-25五年级上·重庆巫山·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.7÷0.9( )0.7        5.2÷0.2( )52÷2 4.3×0.9( )4.3          0.68×0.1( )68÷100 压轴题型练17 小数的连除运算 33．（24-25五年级上·江西萍乡·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 62.7÷8÷1.25           0.25×32×12.5           9.8×101－9.8 34．（24-25五年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。 16×0.25×1.25                 24.8－4.8÷4×2.5     3.58÷12.5÷0.8                （3.92＋9.36÷4.5）×3.5 4.6×[（1－0.05）÷1.9]            0.78×8.4＋2.6×0.78－0.78 压轴题型练18 小数的乘、除法混合运算 35．（22-23五年级上·宁夏固原·期末）直接写得数。 0.7×0.6＝     4.2÷0.07＝     1.6－1.6×0.2＝ 2.8×0.01＝     0.23＋0.7＝     0.25×4÷0.25×4＝ =36．（23-24五年级上·河南周口·期末）脱式计算。                                                压轴题型练19 小数的四则运算及法则 37．（24-25五年级上·广西南宁·期末）下面各题怎样简便就怎样计算。 1.25×1.7×0.8        0.85×102        3.1×[19÷（4.8＋4.7）] 38．（24-25五年级上·浙江宁波·期末）选择合理方法计算。 7.8－3.4×1.3       12.5×3.4×0.8        16.7÷0.25÷0.4         17.2×2.4＋7.6×17.2 压轴题型练20 小数除法相关的简便计算 39．（24-25五年级上·甘肃陇南·期末）脱式计算。 4.5÷0.8÷0.125        1.95×3.8－3.8×0.95        0.43×11 40．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）脱式计算，能简算的要简算。 63.7÷4.9＋14.9        0.85×102        3.6÷1.5÷2 压轴题型练21 用“四舍五入”法求商的近似数 41．（24-25五年级上·河北保定·期末）竖式计算。（结果精确到百分位） 0.84×6.92        6.509÷0.27 42．（24-25五年级上·重庆铜梁·期末）竖式计算。（最后一道题得数保留一位小数） 3.05×5.6＝   4.35×2.4＝      8.28÷1.8＝        5.1÷1.8≈ 压轴题型练22 循环小数 43．（24-25五年级上·湖南长沙·期末）下列各数中，（    ）是循环小数。 A．5.676767 B．3.14159… C．7.32626… D．1.0260026… 44．（20-21五年级下·四川乐山·期末）3÷7的商的小数点后面第200位数字是( )，小数点后面的这200个数字之和是( )。 压轴题型练23 用归纳法解决计算器探索规律问题 45．（22-23五年级上·贵州黔西·期末）根据前四个算式的计算规律，直接写出后两个算式的得数。 1.08÷0.9＝1.2              11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4          1111.05÷0.9＝1234.5 11111.04÷0.9＝( ) 1111111.02÷0.9＝( ) 46．（22-23五年级上·广东珠海·期末）仔细观察下面几个算式的规律，7÷11的得数应是（    ）。 1÷11＝0.0909…  2÷11＝0.1818…  3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 压轴题型练24 用“进一法”解决问题 47．（22-23五年级上·贵州铜仁·期末）关于商的灵活运用。下列（    ）情境问题适合用“进一法”来解决。 A．小明的妈妈要将2.5kg香油分装在最多可盛0.4kg玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？ B．王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？ C．张老师带100元去为学校图书室买18.5元/本的词典，他可以买回几本？ 48．（23-24五年级上·福建福州·期末）今年天气适宜，李叔叔的茶油厂共收山茶油785千克，如果每个油桶最多可装4.5千克油，李叔叔至少需要准备多少个这样的油桶？ 压轴题型练25 用“去尾法”解决问题 49．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）甜心蛋糕店做一个紫薯面包需要0.16千克面粉，一袋5千克的面粉最多可以做多少个这样的紫薯面包？如果每4个紫薯面包装一个礼盒，至少需要几个礼盒才能全部装完？ 50．（23-24五年级上·河南郑州·期末）自“双减”以来，人民路小学坚持从学生全面发展出发，开设了多种特色课程。郑郑同学作为“水晶串珠”课程的一员，学会了多种制作串珠的方法。用串珠制作一个水晶球需要5颗珠子和1.6米长的鱼线。一捆25米长的鱼线最多可以用来制作（    ）个水晶球。 A．5 B．15 C．16 压轴题型练26 利用小数四则混合运算解决问题 51．（24-25五年级上·湖北襄阳·期末）某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算）。妈妈有一次通话8分29秒，她这一次通话的费用是多少？ （1）请借助表格，填一填你对此计费标准的理解。 通话的时间/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 通话的费用/元 （2）请借助线段图，画一画你对此计费标准的理解。 （3）妈妈这一次通话的费用是多少？请列式解答。 52．（24-25五年级上·福建三明·期中）王叔叔要乘出租车去15千米外（但不足16千米）的地方办事，请你算出他下车后应付出租费多少元？ 收费标准： 3千米以内收10元，超过3千米后每千米加收1.5元（不足1千米按1千米计算） 压轴题型练27 分段计费问题（小数除法) 53．（24-25五年级上·江西赣州·期末）李老师外出游玩时手机电量告急，赶忙租用了共享充电宝。充电宝租金说明：①每0.5小时收费1.5元，不足0.5小时按0.5小时计费；②满24小时收费合计20元，超过24小时的部分按时计费。李老师共使用了26.9小时，他将支付多少钱？ 54．（23-24五年级上·浙江台州·期末）某商场地下停车场收费标准如下：①3小时内（包括3小时），收费10元；②超过3小时的部分，每小时2.5元（不足1小时，按1小时计费）；③每辆车每天最高收费不超过30元。 （1）李叔叔在该停车场停一次车，一共花了17.5元。李叔叔的车子在这里最多停了多少小时？ （2）王阿姨11：00驶入该停车场，23：00离开，她需支付多少元？ 压轴题型练28 事件的确定性与不确定性 55．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）袋子中有5张10元和2张50元，从袋子中任意摸出两张，总钱数不可能是（    ）。 A．100元 B．70元 C．60元 D．20元 56．（23-24五年级上·河南新乡·期末）用1、4、6三个数组成一个三位数，这个三位数( )（填“可能”或“不可能”）小于100，这个三位数大于400的可能性比小于400的可能性要( )（填“大”或“小”）。 压轴题型练29 判断事件发生的可能性的大小 57．（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）一个盒子里有1个白球、3个红球和5个蓝球，从盒中任意摸一个球，可能有( )种结果，摸出( )球的可能性最大，( )球的可能性最小。 58．（24-25五年级上·重庆巫山·期末）从8个红色的玻璃球、5个黄色的玻璃球、2个蓝色玻璃球中任意摸出一个，摸到( )色的玻璃球可能性最大，摸到( )色玻璃球的可能性最小。 压轴题型练30 可能性大小的应用 59．（21-22五年级上·贵州黔西·期末）一个盒子里装有20张相同的卡片，其中有8张上面写着“八音坐唱”，3张上面写着“勒尤”，3张上面写着“高台狮灯”，6张上面写着“查白歌节”。老师打算请一位同学从中随机抽出一张作为国家级非物质文化遗产欣赏课的内容，那么抽出 的可能性最大，抽出 和 的可能性相同。 60．（23-24五年级上·河南安阳·期末）小强和小亮玩摸球游戏。盒子里有黑球和白球共10个，任意摸出一个，若摸出的白球的可能性大，则盒子里至少有( )个白球。 压轴题型练31 用字母表示稍复杂的数量关系 61．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）用小棒摆成如图所示的六边形，根据这样的摆法填写下表。 六边形的个数 1 2 3 4 … n … 小棒的根数 6 11 … … 62．（24-25五年级上·浙江宁波·期末）每张课桌的价钱是m元，椅子比课桌便宜30元，那么m－30表示的是( )，m＋（m―30）表示( )，如果2张桌子和4把椅子的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是( )。 压轴题型练32 含有字母式子的化简与求值 63．（23-24五年级上·新疆·期末）直接写出得数。 （1）2.6×0.3＝    （2）4.5÷0.9＝    （3）8.5y－8.1y＝    （4）n÷n＝ （5）1.2×6＝    （6）7.9÷0.1＝    （7）62＝    （8）0.6m＋0.4m＝ 64．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）一共有98吨黄豆，已经运走x吨，剩下的分5次运完。 （1）用含有字母的式子表示剩下的部分平均每次运走的吨数。 （2）当x＝28时，剩下的平均每次运走多少吨？ 压轴题型练33 应用等式的性质1和性质2解方程 65．（23-24五年级上·山西忻州·期末）下列线段图列出的方程正确的是（    ）。 A．x＋3x＝380 B．3x＋20＝380 C．x＋20×3＝380 66．（23-24五年级上·山西阳泉·期末）在第19届中国北京科技产业博览会上，一项“中国原创”的重大发明成为世界焦点，这项发明被称为“立体快巴”，也被称为“空中奔跑的巴士”“陆地空客”。普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客( )人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是( )。 压轴题型练34 解不含括号的方程 67．（24-25五年级上·山西晋中·期末）解方程。 6x＋3＝18.6           4x－1.8×40＝56 68．（24-25五年级上·湖北随州·期末）解方程。 5.5x＋6.7＝7.8        6×4－2x＝12.8        3.5x－0.8x＝11.34 压轴题型练35 解含括号的方程 69．（22-23五年级上·湖南怀化·期末）解方程。                    70．（21-22五年级上·河南驻马店·期末）解方程。 1.6＋2.4＝24                   （16.5－）×3.8＝19 7－3.8×3＝9.6                    27＋53＝188 压轴题型练36 解等号两边都有末知数的方程 71．（24-25五年级上·河北保定·期末）a是一个不为0的数，当a＝( )时，a2＝2a；当a＜2时，a2( )2a。 72．（22-23五年级上·湖南娄底·期末）当x＝( )时，x＋5和2x正好相等。 压轴题型练37 方程的检验 73．（23-24五年级上·河北唐山·期末）解方程，带☆的要检验。 8－4×14＝0                   ☆（100－3）÷2＝8 74．（23-24五年级上·广东广州·期末）解方程。（带★的要写出检验过程）                 ★ 压轴题型练38 列方程解含一个未知数的问题 75．（24-25五年级上·广西南宁·期末）高速发展的中国铁路见证了新中国的沧桑巨变。 由我国自主研发的“复兴号”高铁动车组列车的标准时速是350千米。 “和谐号”动车组列车的标准时速约是250千米。 如果“复兴号”与“和谐号”两车分别从相距2100千米的两地同时相向而行，几小时后相遇？ 76．（24-25五年级上·浙江宁波·期末）2023年10月8日，随着杭州亚运会所有481个项目的比赛结束，亚运会总奖牌榜正式出炉。中国体育代表团表现出色，以获得383枚奖牌的成绩遥遥领先于排名第二的日本，比日本的2倍还多7枚，日本体育代表团获得多少枚奖牌﹖（用方程解答） 压轴题型练39 列方程解含两个未知数的问题 77．（24-25五年级上·山东济南·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰。”清风小学五年级（1）班的秋游活动中要按需订餐，最后常规套餐和小份套餐各订了22份，常规套餐的单价是小份套餐单价的1.25倍，订餐共花了594元。常规套餐和小份套餐的单价各是多少元？（用方程解答） 78．（24-25五年级上·山西忻州·期末）近些年来，人们的支付方式从粮食布票交换、现金交易、银行卡到第三方支付，再到移动支付和刷脸支付，变得越来越便捷。王阿姨的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式，12月21日超市里各付款方式的单数如下： 信息①：微信和支付宝共276单信息   ②：支付宝单数约是现金的1.5倍 信息③：支付宝单数比现金多70单信息   ④：支付宝单数是微信的2倍 请选择上面的条件信息，提出问题并解答（用方程解） 我选择的条件信息： （填序号）问题 ？ 我的解答： 压轴题型练40 列方程解决稍复杂的实际问题 79．（23-24五年级上·河南南阳·期末）今年小红与妈妈的年龄之和是32岁，再过4年，妈妈年龄正好是小红的4倍。现在，妈妈( )岁，小红( )岁。 80．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）两个小数的和是15.4，刘强在书写时，不小心将一个小数的小数点向左移动了一位，结果两个小数的和变成了5.59，这两个小数之差是( )。 压轴题型练41 平行四边形面积的计算与应用 81．（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）某广告公司制作了一块平行四边形广告牌，它的底是35米，高20米。如果油漆这块广告牌（涂一面）每平方米用油漆200克，共需要油漆多少千克？ 82．（24-25五年级上·北京海淀·期末）王奶奶想靠墙用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为24平方米，如下图所示。一共需要篱笆多少米？ 压轴题型练42 三角形面积的计算与应用 83．（24-25五年级上·重庆·期末）如图空白部分的面积是25.3cm2，该平行四边形的面积是( )cm2。 84．（24-25五年级上·北京丰台·期末）校园有一块正方形的空地，想栽种不同植物。有种设计方案如图：由中心的小正方形和四周4个完全相同的三角形组成了一个风车形状。若在4个三角形的空地上种月季花，面积是( )平方米。 压轴题型练43 梯形面积的计算与应用 85．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）剪纸社团的同学在一张长方形纸上，剪出了不同的图形（如图所示）。这些图形中面积相等的是（    ）。 A．①② B．①⑤ C．②③ D．③④ 86．（24-25五年级上·河南商丘·期末）一块梯形玻璃，它的上底是4.5分米，下底是8.5分米，高是7.8分米。每平方米玻璃的价钱是70元，买这块玻璃要用多少钱？ 压轴题型练44 含多边形的组合图形的面积 87．（24-25五年级上·广西柳州·期末）学校长方形草地中有一条宽1米的石子路，形如大写字母“Z”（如图①），这条路的面积是多少？ （1）亮亮用“割补法”将石子路转化为两个基本图形（如图②），请根据他的想法计算出石子路面积。 （2）请你再用其他方法计算石子路的面积。 88．（24-25五年级上·广西柳州·期末）比较图两个平行四边形中涂色部分面积，。( )（判断对错） 说理： 。 压轴题型练45 求组合图形中阴影部分的面积 89．（23-24五年级上·河南安阳·期末）求下面图形中阴影部分的面积（单位：cm）。 （1）           （2） 90．（21-22五年级上·贵州黔西·期末）求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。 压轴题型练46 植树问题 91．（24-25五年级上·河北衡水·期末）某小学的教学楼有三层，每一层走廊长15米，计划在走廊一侧悬挂励志标语，每3米悬挂一个（两端都要挂），三层一共需要悬挂( )个标语。 92．（21-22五年级上·湖北孝感·期末）一条小路的一侧共栽了9棵树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3m，这条小路长( )m；如果在小路两侧每隔2m放一盆花（两端都不放），一共要放( )盆花。 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末真题重组拔高卷 考试时间：90分 满分：100分 班级： 姓名： 学号： . 一、计算：本题共3小题，共24分． 1．（本题8分）（24-25五年级上·北京西城·期末）口算。 4.7－0.3＝     5.6÷7＝        0.17×3＝        36÷0.04＝ 0.65＋0.24＝      99÷0.1＝       2.5×0.4＝        5.07×6＝ 2．（本题6分）（24-25五年级上·河南焦作·期末）列竖式计算，第三个算式的得数保留两位小数。              0.56×0.05＝       1.8÷0.75＝            19.4÷12≈ 3．（本题6分）（24-25五年级上·山东菏泽·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 3.6×9.9          21÷0.25÷0.4          0.55×5.6＋4.5×0.56 4．（本题4分）（24-25五年级上·河南商丘·期末）计算下面图形中阴影部分的面积。 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共14分． 5．（本题2分）（24-25五年级下·贵州铜仁·期末）3.25×0.4的积是( )位小数，积是( )。 6．（本题3分）（24-25五年级上·重庆·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.49×0.9( )5.49     9.4÷6( )1.56    B×10( )B÷0.1 7．（本题2分）（24-25五年级上·河北衡水·期末）计算7.55×0.5时，先按整数乘法计算出积是3775，再将小数点向左移动( )位，所以积是( )。 8．（本题2分）（2014三年级·全国·课后作业）7÷9商用循环小数表示是( )，保留两位小数是( )。 9．（本题1分）（24-25五年级上·重庆·期末）如图直角梯形是一个平行四边形的一条底减少6cm后得到的图形，其面积减少了27cm2；再将梯形上底缩短为0cm，则新图形的面积是( )cm2。 10．（本题1分）（24-25五年级上·重庆·期末）安安将7×（8－b）算成了7×8－b，比正确结果多了5.4，那么b是( )。 11．（本题1分）（24-25五年级上·河北衡水·期末）某次班干部选举中，小明得了a票，小丽得的票数比小明的2倍多2票，则小丽得了( )票，如果a＝6，则小丽得了( )票。 12．（本题2分）（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）一个等腰梯形如图所示，在这个梯形中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2，如果把两个这样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积是( )cm2。 三、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 13．（本题2分）（24-25五年级下·贵州铜仁·期末）下面算式中，积大于第一个乘数的是（    ）。 A．0.8×0.98 B．1.2×0.5 C．3.5×1.01 D．4.2×1 14．（本题2分）（24-25五年级上·山西晋中·期末）在日常生活中，我们常常用一些成语形容事件发生的可能性大小。下面成语中，表示可能性最小的是（    ）。 A．十拿九稳 B．大海捞针 C．百发百中 15．（本题2分）（24-25五年级上·江西吉安·期末）一个梯形的上底减少5cm，下底增加5cm，高增加2cm，那么它的面积与原来相比（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 16．（本题2分）（19-20五年级上·浙江杭州·期末）下列问题中，能用“1.2÷0.5”这个算式解决的问题是（    ）。 ①要修一条1.2千米的小路，每天修0.5千米，几天修完？ ②小明用1.2元买了0.5千克苹果，1千克苹果需要多少钱？ ③聪聪跑了1.2千米，明明跑的路程是聪聪的一半，明明跑了多少千米？ ④一辆电动车行驶1.2千米，需要耗电0.5千瓦时，1千瓦时可以行驶多少千米？ A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 17．（本题2分）（24-25五年级下·重庆九龙坡·期末）已知M×0.99＝N÷0.99（M、N均大于0），那么（    ）。 A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 四、判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 18．（本题2分）（24-25五年级上·湖北孝感·期末）平行四边形的面积是三角形面积的2倍，也是梯形面积的2倍。( ) 19．（本题2分）（24-25五年级上·湖北孝感·期末）要使0.62÷a＜0.62（a＞0），a应该大于1。( ) 20．（本题2分）（24-25五年级上·湖北十堰·期末）转动左边的转盘，指针停留在区域的可能性最大。( ) 21．（本题2分）（20-21五年级上·安徽·期末）同时掷两粒骰子N次，掷出点数和是7的可能性最大。( ) 22．（本题2分）（20-21五年级上·河北张家口·期末）小马虎把0.4a＋1.5错写成0.4（a＋1.5），所得结果比正确结果少0.9。( ) 五、动手操作：本题共2小题，共11分． 23．（本题5分）（24-25五年级上·广西南宁·期末） （1）用数对表示位置：C（    ），D（    ）。这个梯形的面积是（    ）平方厘米。 （2）在方格纸中画一个三角形，使它的面积是梯形ABCD面积的一半。 24．（本题6分）（23-24五年级上·江西赣州·期末）请按提示的要求把盒子里的球涂上合适的颜色。 六、应用题：本题共7小题，共31分． 25．（本题4分）（21-22五年级上·云南曲靖·期末）美心蛋糕房特制一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉。李师傅领了4千克面粉做蛋糕，李师傅最多可以做几个生日蛋糕？ 26．（本题4分）（24-25五年级下·天津河西·期末）中国自主研发并制造了多种机器人，服务于各行各业。某种人形机器人身体上的关节数是某种工业机器人的7倍，它比工业机器人多36个关节，这种人形机器人和工业机器人身体上的关节各有多少个？（用方程解决） 27．（本题4分）（24-25五年级上·湖北随州·期末）随州银杏谷景区上月游客人数达到11.18万人，其中成人人数是儿童人数的1.6倍。上月去银杏谷景区的儿童和成人各有多少万人？（列方程解答） 28．（本题4分）（24-25五年级上·江西吉安·期末）国家速滑馆是2022年北京冬奥会标志性场馆之一，其外形由3360块美丽的“丝带”曲面玻璃幕墙环绕，因此，又被称为“冰丝带”。甲、乙两个施工队在35天内共同完成了“冰丝带”的玻璃安装任务，甲队平均每天安装45块玻璃，乙队平均每天要安装多少玻璃？ 29．（本题5分）（20-21五年级上·四川绵阳·期末）海模比赛中，甲、乙两船同时从池塘的东西两岸相对开出，第一次在距东岸15米处相遇，相遇后继续前进，到达对岸后立即返回，第二次相遇在离西岸8米处，如果两船在行驶中速度不变，求池塘东西两岸的距离？ 30．（本题5分）（22-23五年级上·河南郑州·期末）郑州登封的嵩阳书院是中国古代著名的高等学府，中国古代四大书院之一，世界文化遗产“天地之中”历史建筑群组成部分，全国重点文物保护单位，其建筑风格是研究中国古代书院建筑及教育制度的“标本”。聪聪家距离嵩阳书院12公里，聪聪和爸爸妈妈准备用手机打车软件在网上打快车前去参观游玩。现在有普通快车和优享快车两种车型，收费标准如下表： 快车（普通型） 快车（优享型） 起步价 7.5元（含里程2公里） 8.5元（含里程2公里） 里程费 1.53元/公里 ？元/公里 远途费 超出12公里后，每公里加收0.3元 超出12公里后，每公里加收0.33元 （1）如果聪聪一家选择乘坐快车（普通型），从家出发到嵩阳书院需支付费用多少元？ （2）如果聪聪一家选择乘坐快车（优享型），从家出发到嵩阳书院后会比乘坐快车（普通型）多支付费用2.3元，则快车（优享型）的里程费为多少元/公里？（用方程解答） 31．（本题5分）（22-23五年级下·山西晋中·期末）小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末冲刺培优卷 考试时间：90分 满分：100分 班级： 姓名： 学号： . 一、计算：本题共3小题，共27分． 1．（本题9分）（25-26五年级上·云南文山·月考）直接写出得数。 1.1×10＝    100×9.298＝    8.9×6.8≈    0.1×0.1＝      0.5×12＝ 7.8×2.1≈     3.02×0.2＝    8.4＋2.56＝      6.1－3.5＝ 2．（本题8分）（25-26五年级上·四川遂宁·期中）列竖式计算下面各题。（带※的要验算） 4.7×0.63＝                   5.6×420＝ 2.04×0.56≈     （得数保留两位小数）       ※8.262÷2.7＝ 3．（本题6分）（25-26五年级上·广东珠海·期中）计算下面各题，能简算的要简算。                      4．（本题4分）（2025五年级上·全国·专题练习）计算下面图形涂色部分的面积。（单位：dm） 二、填空题：本题共8小题，每空1分，共20分． 5．（本题6分）（24-25五年级上·湖南常德·期中）在某一海域中一艘船发生故障，船上的雷达探测显示，附近有一艘军舰、一艘货船和一艘商船（如图）。 (1)请用数对表示各船的位置。 出事船只位于( )，军舰位于( )，商船位于( )，货船位于( )。 (2)商船以每小时50千米的速度赶到出事地点救援，需要( )小时。 6．（本题1分）（25-26五年级上·广西玉林·期中）小青从住宅小区一楼走到四楼用了1.2分钟，照这样计算，她走到七楼还需要( )分钟。 7．（本题3分）（25-26五年级上·广西玉林·期中）根据算式24×16＝384，直接写出结果。 2.4×1.6＝( )            0.24×1.6＝( )            38.4÷1.6＝( ) 8．（本题2分）（25-26五年级上·广西玉林·期中）86.4×3.02的积有( )位小数，结果保留两位小数是( )。 9．（本题4分）（25-26五年级上·贵州黔南·期中）在下面的（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.24÷0.8( )3.24                                35.2×1.24( )3.52×12.4 1.6×0.13( )1.6     35.6÷0.97( )35.6×0.97 10．（本题1分）（25-26五年级上·河北唐山·期中）如图，一个大正方形被分成了三个小图形；一个小正方形、一个面积是15平方米的长方形和一个面积是40平方米的长方形。被分割的这个大正方形的面积是( )平方米。 11．（本题1分）（24-25五年级上·河南许昌·期中）某小学五年级学生人数是四年级学生人数的1.3倍，如果四年级学生再转来30人，则两个年级学生人数就一样多，原来四年级有( )人。 12．（本题2分）（25-26五年级上·贵州遵义·期中）小明参加独舞表演比赛，有5位评委为他打分。去掉一个最高分和一个最低分后，平均分为90.5分；若只去掉一个最高分，平均分为86.75分；若只去掉一个最低分，平均分为92.5分。小明得的最低分、最高分分别是( )分和( )分。 三、选择题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 13．（本题1分）（25-26五年级上·广西玉林·期中）李明用计算器计算“6.8×9”时，发现计算器的按键“8”坏了，他想到了三种不同的输入方法，其中（    ）是错误的。 A．13.6×9÷2 B．3.4×2×9 C．7×9－0.2 14．（本题1分）（24-25五年级上·河南郑州·期中）许昌鸠山的红枫景色和迷人的登山路线吸引了大量游客。周末，小恒一家乘坐出租车去离家6千米的鸠山赏红叶，出租车的收费标准如图所示。下面（    ）符合题中的数量关系。 A． B． C． D． 15．（本题1分）（25-26五年级上·贵州黔南·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．小数可以分成有限小数和循环小数。 B．4.2÷2.5×4＝4.2÷10＝0.42的计算过程和结果都是正确的。 C．随意翻开一本日历，翻到周末的可能性比工作日的可能性大。 D．a和b都是大于1的小数，a与b的积一定既大于a，又大于b。 16．（本题1分）（25-26五年级上·辽宁鞍山·月考）下面各算式中都有一部分数字被遮住了，计算结果可以用直线上的点b表示的算式可能是（    ）。 A．2.9×5.□ B．10×1.1□ C．10×0.9□ D．3.□×4.□ 17．（本题1分）（25-26五年级上·福建福州·期中）如果（M、N都不为0），那么M和N的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 四、判断题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 18．（本题1分）（25-26五年级上·山东菏泽·期中）a÷b＝c……5（a、b、c均不为0）若a与b同时缩小到原来的，则余数是0.5。( ) 19．（本题1分）（25-26五年级上·河北廊坊·期中）圆珠笔2.5元钱一支，12元钱最多能买几支？要用“进一法”解决这个问题。( ) 20．（本题1分）（25-26五年级上·甘肃兰州·期中）随意掷一个骰子，掷出双数点的可能性比掷出单数点的可能性大。( ) 21．（本题1分）（24-25五年级上·河北保定·期中）两个因数的积保留两位小数是9.30，它的准确值可能是9.305。( ) 22．（本题1分）（25-26五年级上·河南驻马店·期中）如果3.5与一个小数的积是三位小数，那么这个小数不一定是两位小数。( ) 五、动手操作：本题共2小题，共12分． 23．（本题6分）（24-25五年级上·河北保定·期中）下面是某城市部分城区的平面示意图。 （1）用数对描述一下学校和客运站的位置。 学校（    ）    客运站（    ） （2）书店在学校以北100m，再往东走600m处，请在图中标出书店的位置。 （3）周六，乐乐的活动路线是（6，2）→（2，4）→（4，6）→（6，7），说一说他这一天去了哪些地方？ 24．（本题6分）（2021六年级下·全国·竞赛）如图，是把一个平行四边形分成面积相等的三等份的2种分法。（图1和图2是同一种分法，因为它们分的思路相同；图3和图4也是同一种分法，因为它们分的思路也相同。） 请你再用3种不同的思路设计3种分法（不同于上述2种分法），分别把下面3个平行四边形分成面积相等的三等份。 六、应用题：本题共7小题，共31分． 25．（本题4分）（25-26五年级上·广西玉林·期中）王叔叔到桂林旅游，在特产商店买了3.5千克桂林米粉，每千克18.8元，又买了一瓶辣椒酱，价格是12.5元。他一共需要支付多少元？ 26．（本题4分）（25-26五年级上·河北石家庄·期中）如下图，李晓做了一个长20厘米，宽12厘米的长方形框架，把它拉成一个平行四边形，面积减少52平方厘米，你知道拉成的平行四边形的高是多少厘米吗？ 27．（本题6分）（25-26五年级上·河北石家庄·期中）江海公园有一块梯形的空地（如图），给它铺上草坪。 （1）草坪的单价是8.5元/平方米，购买草坪的预算是7000元。用草坪铺满这块梯形的空地，预算的钱够不够？ （2）工程队发现绿化面积不达标，于是准备把它扩建成一个平行四边形。受条件限制，扩建时只能把梯形的上底延长，下底和高不变。请在上面的图中画出扩建后的图形。 （3）扩建后，草坪的面积比原来增加了多少平方米？ 28．（本题4分）（25-26五年级上·湖南张家界·期中）网络发达的时代，每家每户都离不开网络，君君家9月份上网费是165元，已知每小时上网费是2.2元，那么君君9月份平均每天上网多少小时？ 29．（本题4分）（25-26五年级上·安徽宿州·期中）某市居民每月每户用水收费原来每立方米2.50元，为了提倡“节约用水”，现作如下调整： 用水量 20吨及以下 20吨以上的部分 收费标准 每吨2.5元 每吨3.2元 李阿姨家8月份水费是82元，李阿姨家8月份用水多少吨？ 30．（本题4分）（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米。阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘米。求DE的长。 31．（本题5分）（22-23五年级上·广东佛山·期中）王阿姨在超市买了两件不同的商品，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，因此她只付给了收银员16元，而收银员说她应付38.95元。实际两件商品各是多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲练全攻略一本通 100 冲刺 分 2026最新版 名师推荐 人教版 · 单元知识梳理精讲（回顾） · 易错考点真题练（分单元） · 压轴考点真题练（总复习） · 期末实战演练卷（2套） 知识梳理+易错考点练+压轴考点练+期末实战练 （解析版） 小学数学 姓名： 班级： 学号： 五年级上 同学你好，该套讲义精选历年人教版数学五年级上册第1-7单元各地区期末考试超高频考察题型题目，精益求精，助你轻松掌握解题技能！整体难度中等及偏上，适合绝大多数同学学习使用。讲义分为三大部分。 ●第一部分：单元知识梳理、易错讲练 1-7单元（小数乘法、位置、小数除法、可能性、简易方程、多边形的面积、数学广角-植树问题）知识点综合重难点复习，查漏补缺。每个单元知识点汇总，易错考点讲练，学以致用！加强对所学内容的进一步理解和掌握，熟悉易错题型的解题技巧和解题方法！ ●第二部分：压轴考点真题练 优选近两年全国各地名校期末真题，难度中上，1-7单元总复习篇，按照考点划分，深入浅出掌握疑难解题技巧！ ●第三部分：期末实战演练卷 一套名校真题重组卷、一套培优通关卷!层层递进，超越自我！ 预祝你在期末考试中取得满意成绩！ 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 知识梳理 易错讲练 2 第一单元 小数乘法 2 【温故知新 知识梳理】 2 【优选真题 易错讲练】15个考点 共30题 4 第二单元 位置 21 【温故知新 知识梳理】 21 【优选真题 易错讲练】3个考点 共12题 23 第三单元 小数除法 36 【温故知新 知识梳理】 36 【优选真题 易错讲练】24个考点 共48题 38 第四单元 可能性 64 【温故知新 知识梳理】 64 【优选真题 易错讲练】7个考点 共21题 65 第五单元 简易方程 74 【温故知新 知识梳理】 74 【优选真题 易错讲练】18个考点 共36题 76 第六单元 多边形的面积 99 【温故知新 知识梳理】 99 【优选真题 易错讲练】12个考点 共24题 101 第七单元 数学广角-植树问题 115 【温故知新 知识梳理】 115 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 117 第二部分 压轴考点真题练（46个考点 共92题） 124 第三部分 期末实战演练卷 174 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末真题重组拔高卷 174 2025-2026学年人教版数学五年级上学期期末冲刺培优卷 191 第一单元 小数乘法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点梳理02：小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点梳理03：小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点梳理04：小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点梳理05：积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点梳理06：整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点梳理07：小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点梳理08：解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 【优选真题 易错讲练】15个考点 共30题 易错讲练1 小数与整数的乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）某文具店购进了45支记号笔，每支2.6元，一共需要多少元？妙妙列竖式如图里的数表示（    ）。 A．5支记号笔的价格 B．40支记号笔的价格 C．104支记号笔的价格 D．45支记号笔的价格 【答案】B 【思路引导】小数与整数的计算方法：计算小数乘整数时，先按照整数乘法的方法计算；①末尾对齐：将两个乘数的末尾数字对齐；②按照整数乘法算出积：忽略小数点，像计算整数乘法那样进行计算；③确定小数点的位置：数出两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 2.6×45，计算时用45的每一位分别去乘26，5在个位，表示5，5与26相乘得数的末位与个位对齐，4在十位，表示40，4与26相乘得数的末位与十位对齐，然后将两次的结果相加，再从积的右边起数出一位，点上小数点。 【规范解答】 由分析可知：4在十位，表示40，则表示2.6与40相乘的结果，即40×2.6，计算的是40支记号笔的价格。 妙妙列竖式如图里的数表示40支记号笔的价格。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级上·北京大兴·期末）下表是某学校五年级各班学生平均身高情况。 班级 人数 平均身高/厘米 五（1）班 36 143.6 五（2）班 34 144.1 求这所学校五年级学生的平均身高，下面的算式（    ）是正确的。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】平均数＝总数量÷总份数，分别用两个班的平均身高×人数，计算出两个班的总身高，求和，再除以两个班的总人数即可。 【规范解答】 （厘米） 求这所学校五年级学生的平均身高是143.84厘米，算式是正确的。 故答案为：D 易错讲练2 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南永州·期末）一辆货车从甲地开往乙地，每小时行50千米，3.6小时到达乙地。原路返回时用了3小时，这货汽车返回时的速度是多少？ 【答案】60千米/小时 【思路引导】根据速度×时间＝路程，用50×3.6列式求出从甲地到乙地的路程，再根据路程÷时间＝速度，用甲地到乙地的路程除以返回时用的3小时即可解答。 【规范解答】50×3.6÷3 ＝180÷3 ＝60（千米/小时） 答：这货汽车返回时的速度是60千米/小时。 【变式训练】（24-25五年级上·河南郑州·期末）人工智能是自动驾驶的核心，目前无人驾驶出租车已经投入市场。某次李阿姨乘坐无人驾驶出租车行驶了7.2千米。李阿姨本次乘车应付多少元钱？先根据上面信息，补全如图线段图，再计算。 【答案】见详解；24.5元 【思路引导】根据题意，先用7.2千米减去3千米，求出超出3千米的部分，因为不足1千米按1千米计算，所以超出3千米的部分要按5千米计算，用超出3千米的部分乘每千米2.5元，求出超出3千米部分的费用，再加上3千米及以内的12元，即可求出李阿姨本次乘车应付多少元。 【规范解答】 7.2−3＝4.2（千米） 4.2千米按照5千米计算 5×2.5＝12.5（元） 12.5＋12＝24.5（元） 答：李阿姨本次乘车应付24.5元。 易错讲练3 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】（22-23五年级上·浙江温州·期末）温州市某县出租车收费标准如下：3千米及以内起步价11元；超过3千米的部分，每千米2.5元（不足1千米按1千米计算）。小明家到学校的距离是6.5千米，他从学校打车回家需要付多少钱？ （1）根据题意，把如图的线段图补充完整。 （2）列式解答。 【答案】（1）图见详解 （2）21元 【思路引导】（1）6.5千米分成两部分，第一部分是3千米，按照11元收费，剩下的3.5千米要按照4千米收费，每千米是收费2.5元，由此画出线段图； （2）根据（1）求出超过3千米部分收费的钱数，再加上11元即可求解。 【规范解答】（1）线段图如下： （2）6.5－3＝3.5（千米） 3.5千米≈4千米 11＋4×2.5 ＝11＋10 ＝21（元） 答：他从学校打车回家需要付21元钱。 【考点剖析】解答此题需要分情况探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法。 【变式训练】（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 【答案】57.8吨 【思路引导】剩下沙子13.5吨，是第二次用去之前的一半，第二次用去之前有沙子13.5×2＝27吨，27吨加上1.9吨沙子是原来沙子的一半，再乘2，即可求出原来沙子的重量即可。 【规范解答】（13.5×2＋1.9）×2 ＝（27＋1.9）×2 ＝28.9×2 ＝57.8（吨） 建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有57.8吨。 易错讲练4 小数与小数的乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·北京昌平·期末）与0.235×2.4得数相等的算式是（    ）。 A．23.5×2.4 B．2.35×2.4 C．2.35×0.24 D．0.235×0.24 【答案】C 【思路引导】积的变化规律：一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数不变，积就扩大到原来的几倍（或缩小为原来的几分之一）； 一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍），积不变；据此解答。 【规范解答】A．23.5×2.4，23.5是原来0.235扩大到原来的100倍，2.4不变；则积扩大到原来的100倍，不符合题意； B．2.35×2.4，2.35是原来0.235扩大到原来的10倍，2.4不变，则积扩大到原来的10倍，不符合题意； C．2.35×0.24，2.35是原来0.235扩大到原来的10倍；0.24是原来2.4缩小到原来的，则积不变，符合题意； D．0.235×0.24，0.235不变，0.24是原来0.235扩大到原来的10倍，则积缩小到原来的，不符合题意。 与0.235×2.4得数相等的算式是2.35×0.24。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级上·重庆綦江·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，以42.5千米/时的速度行了1.5时，再行驶26千米就可以到达两地的中点。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】179.5千米 【思路引导】速度×时间＝路程，据此求出汽车1.5时的路程，再将这个路程加上26千米，求出两地距离的一半。再将距离的一半乘2，即可求出甲、乙两地相距多少千米。 【规范解答】（42.5×1.5＋26）×2 ＝（63.75＋26）×2 ＝89.75×2 ＝179.5（千米） 答：甲、乙两地相距179.5千米。 易错讲练5 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（22-23五年级上·重庆城口·期末）1.34×0.18的积是( )位小数，它的积是( )。 【答案】 四 0.2412 【思路引导】末尾的积没有0，所以积的位数等于两个因数的小数的位数和，即1.34×0.18的积是四位小数。 小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 据此解答。 【规范解答】 1.34×0.18的积是四位小数，它的积是0.2412。 【变式训练】（21-22五年级上·河南驻马店·期末）已经知道286×15＝4290，那么28.6×1.5＝( )，( )×15＝0.429。 【答案】 42.9 0.0286 【思路引导】28.6×1.5中，因数28.6是一位小数，因数1.5是一位小数，根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”，那么它们的积是42.90，通常会把小数部分末尾的0去掉，所以积是42.9。 （  ）×15＝0.429，因数15不变，积0.429与4290相比，积缩小到原来的，根据积的变化规律可知，另一个因数286也要缩小到原来的，即0.0286。 【规范解答】已经知道286×15＝4290，那么 28.6×1.5＝42.9 0.0286×15＝0.429 易错讲练6 小数的连乘运算 【典例精讲】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）李师傅把每月车辆保养、使用相关信息记录如下： ①保险费平均每月260元； ②维修费平均每月180元； ③目前每升汽油的价钱是7.2元； ④每千米大约耗汽油0.08升； ⑤平均每月行驶1000千米； ⑥每月的停车费大约是120元。 （1）李师傅想计算出每月加油要多少钱，他需要用到的信息是（    ）、（    ）和（    ）。 （2）根据你选出的信息，计算出李师傅每月加油所需要的钱数是多少。 【答案】（1）③；④；⑤ （2）576元 【思路引导】（1）想计算出每月加油要多少钱，需要知道汽油单价，汽车耗油量和每月行驶里程，据此分析。 （2）每月行驶里程×每千米耗油量＝每月汽油用量，每月汽油用量×汽油单价＝每月加油需要的钱数，据此列式解答。 【规范解答】（1）李师傅想计算出每月加油要多少钱，他需要用到的信息是③、④和⑤。 （2）1000×0.08×7.2 ＝80×7.2 ＝576（元） 答：李师傅每月加油所需要的钱数是576元。 1【变式训练】（21-22五年级上·河南开封·期末）小麦磨成面粉后可用来制作面包。若1千克小麦可以磨成0.85千克面粉，1千克面粉可以制成1.2千克面包，则15千克小麦可以制成多少千克面包？ 【答案】15.3千克 【思路引导】由题意可知，用15乘0.85即可求出15千克小麦可以磨成面粉的质量，再用磨成面粉的质量乘1.2即可求出可以制成多少千克面包。 【规范解答】15×0.85×1.2 ＝12.75×1.2 ＝15.3（千克） 答：15千克小麦可以制成15.3千克的面包。 易错讲练7 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（23-24五年级上·广东云浮·期末）324.7×0.5的积有 位小数，积比324.7 （填“大”或“小”）。 【答案】 两 小 【思路引导】在小数乘法中，如果积的末尾不是0，则因数中一共有几位小数，积就是几位小数； 一个非0数乘小于1的数，积小于原数；一个非0数乘大于1的数，积大于原数。 【规范解答】通过分析可得：324.7×0.5的积的末尾不是0，因数中一共有两位小数，则它的积有两位小数； 0.5＜1，则它的积比324.7小。 【变式训练】（23-24五年级上·浙江湖州·期末）计算“7.6×0.□8”，下面只有一个结果是正确的，正确的积是（    ）。 A．0.526 B．6.28 C．5.928 D．9.528 【答案】C 【思路引导】根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”，以及因数与积的大小关系“一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小”进行判断。 【规范解答】A．7.6×0.□8中，两个因数末尾的数相乘6×8＝48，积的末尾应是8，所以正确的积不可能是0.526； B．7.6×0.□8中，因数7.6是一位小数，因数0.□8是两位小数，则它们的积是三位小数，所以正确的积不可能是6.28； C．5.928是三位小数，且末尾是8；因为0.□8＜1，则7.6×0.□8＜7.6，5.928＜7.6，所以正确的积可能是5.928； D．因为0.□8＜1，则7.6×0.□8＜7.6，9.528＞7.6，所以正确的积不可能是9.528。 故答案为：C 易错讲练8 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河北张家口·期中）一个房间长8.1米，宽5.2米。现在要铺上边长为0.6米的正方形地砖，100块够吗？ 【答案】不够 【思路引导】已知房间的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，求出房间地面的面积； 现在要铺上边长为0.6米的正方形地砖，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一块地砖的面积，再乘100，即是100块地砖的面积； 最后用房间的面积与100块地砖的面积进行比较，得出结论。 【规范解答】8.1×5.2＝42.12（平方米） 0.6×0.6×100 ＝0.36×100 ＝36（平方米） 42.12＞36 答：100块不够。 【变式训练】（24-25五年级上·河南濮阳·期末）2024年7月26日，第33届奥林匹克运动会在巴黎举行。巴黎奥运会会徽的设计融合了多个象征性元素。一枚长方形巴黎奥运会会徽纪念章的长约是6.3厘米、宽约是5.4厘米，这枚巴黎奥运会会徽纪念章的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长23.4厘米；面积34.02平方厘米 【思路引导】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，把纪念章的长和宽分别代入列式解答即可。 【规范解答】（6.3＋5.4）×2 ＝11.7×2 ＝23.4（厘米） 6.3×5.4＝34.02（平方厘米） 答：这枚巴黎奥运会会徽纪念章的周长是23.4厘米，面积是34.02平方厘米。 易错讲练9 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（22-23五年级上·河南信阳·期末）8.64×2.8的积是( )位小数，保留两位小数约是( )。 【答案】 三 24.19 【思路引导】根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”可知： 8.64×2.8中，因数8.64是两位小数，因数2.8是一位小数，则它们的积是三位小数。 根据小数乘法的计算法则先算出8.64×2.8的积，再保留两位小数，看小数点后第三位的数字，依据“四舍五入”法取近似数。 【规范解答】8.64×2.8＝24.192≈24.19 8.64×2.8的积是三位小数，保留两位小数约是24.19。 【变式训练】（22-23五年级上·吉林通化·期末）的积是( )位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是( )。 【答案】 四 0.20 【思路引导】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 精确到百分位看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【规范解答】4.09×0.05＝0.2045≈0.20 的积是四位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是0.20。 易错讲练10 还原小数近似数的问题 【典例精讲】（23-24五年级上·贵州六盘水·期末）佳佳和明明比赛猜数，你也来猜一猜。两个数相乘的积为两位小数，且积的近似数是3.9，积最大是( )，最小是( )。 【答案】 3.94 3.85 【思路引导】要考虑3.9是一个两位小数的近似数，有两种情况： “四舍”得到的3.9，有3.91、3.92、3.93、3.94，其中最大是3.94； “五入”得到的3.9，有3.85、3.86、3.87、3.88、3.89，其中最小是3.85。 【规范解答】3.94≈3.9 3.85≈3.9 两个数相乘的积为两位小数，且积的近似数是3.9，积最大是3.94，最小是3.85。 【变式训练】（22-23五年级上·广东珠海·期末）两个数运算后的结果是一个三位小数，对它保留两位小数后近似数是6.28，那么这个三位小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 6.284 6.275 【思路引导】保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一，据此分析。 【规范解答】这个三位小数最大是6.284，最小是6.275。 【考点剖析】关键是掌握用四舍五入保留近似数的方法。 易错讲练11 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（24-25五年级下·云南丽江·期末）下列各题中，简算过程所运用的运算律和其他三个不同的是（    ）。 A．69×11＝69×10＋69 B．（28－1.4）×5＝28×5－1.4×5 C．12.5×9×8＝12.5×8×9 D．25×88＝25×80＋25×8 【答案】C 【思路引导】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加； 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。 我们需要分析每个选项所运用的运算律，找出所运用的运算律和其他三个不同的算式。 【规范解答】A．69×11＝69×（10＋1）＝69×10＋69×1，这里先把11拆分成10＋1，然后利用乘法分配律进行简算。 B．（28－1.4）×5＝28×5－1.4×5，这是直接运用乘法分配律进行简算。 C．12.5×9×8＝12.5×8×9，这里交换了9和8的位置，运用的是乘法交换律进行简算。 D．25×88＝25×（80＋8）＝25×80＋25×8，把88拆分成80＋8，然后利用乘法分配律进行计算。 所以简算过程所运用的运算律和其他三个不同的是C选项。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级上·重庆黔江·期末）计算，能简算的要简算。 2.8＋7.2×8×1.25        45.7×3.9－3.57×39       2.5×1.7＋9.3×2.5－2.5 7.93－1.25×6＋0.7    40×3.86×0.25        [2－0.98×（3.51－3.51）]÷2 【答案】74.8；39；25； 1.13；38.6；1 【思路引导】2.8＋7.2×8×1.25，利用乘法结合律，转化成2.8＋7.2×（8×1.25），先算小括号里的乘法，再算括号外的乘法，最后算加法； 45.7×3.9－3.57×39，将45.7×3.9转化成4.57×39，逆用乘法分配律，先算（4.57－3.57），再与39相乘； 2.5×1.7＋9.3×2.5－2.5，逆用乘法分配律，先算（1.7＋9.3－1），再与2.5相乘； 7.93－1.25×6＋0.7，先算乘法，再算减法，最后算加法； 40×3.86×0.25，利用乘法交换律，转化成40×0.25×3.86，再从左往右算； [2－0.98×（3.51－3.51）]÷2，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，再算中括号里的减法，最后算括号外的除法。 【规范解答】2.8＋7.2×8×1.25 ＝2.8＋7.2×（8×1.25） ＝2.8＋7.2×10 ＝2.8＋72 ＝74.8 45.7×3.9－3.57×39 ＝4.57×39－3.57×39 ＝（4.57－3.57）×39 ＝1×39 ＝39 2.5×1.7＋9.3×2.5－2.5 ＝（1.7＋9.3－1）×2.5 ＝10×2.5 ＝25 7.93－1.25×6＋0.7 ＝7.93－7.5＋0.7 ＝0.43＋0.7 ＝1.13 40×3.86×0.25 ＝40×0.25×3.86 ＝10×3.86 ＝38.6 [2－0.98×（3.51－3.51）]÷2 ＝[2－0.98×0]÷2 ＝[2－0]÷2 ＝2÷2 ＝1 易错讲练12 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（21-22五年级上·贵州铜仁·期末）用简算方法计算下面各题。 （1）8.75÷1.25÷8            （2）4.6×26＋26×5.5－2.6 （3）89.3×99＋89.3       （4）0.25×9.7×4        （5）102×4.5 【答案】（1）0.875；（2）260 （3）8930；（4）9.7；（5）459 【思路引导】（1）根据除法的性质，把式子转化为8.75÷（1.25×8）进行简算； （2）把2.6看作（26×0.1），再根据乘法分配律，把式子转化为（4.6＋5.5－0.1）×26进行简算； （3）根据乘法分配律，把式子转化为89.3×（99＋1）进行简算； （4）根据乘法交换律，把式子转化为0.25×4×9.7进行简算； （5）把102看作（100＋2），再根据乘法分配律，把式子转化为100×4.5＋2×4.5进行简算。 【规范解答】（1）8.75÷1.25÷8 ＝8.75÷（1.25×8） ＝8.75÷10 ＝0.875 （2）4.6×26＋26×5.5－2.6 ＝4.6×26＋26×5.5－26×0.1 ＝（4.6＋5.5－0.1）×26 ＝（10.1－0.1）×26 ＝10×26 ＝260 （3）89.3×99＋89.3 ＝89.3×99＋89.3×1 ＝89.3×（99＋1） ＝89.3×100 ＝8930 （4）0.25×9.7×4 ＝0.25×4×9.7 ＝1×9.7 ＝9.7 （5）102×4.5 ＝（100＋2）×4.5 ＝100×4.5＋2×4.5 ＝450＋9 ＝459 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）下面各题怎么算简便就怎样算。 （1）2.5×104        （2）37÷1.25÷8         （3）50.8×2.4－2.4×0.8 【答案】（1）260；（2）3.7；（3）120 【思路引导】（1）把104看作（100＋4），再根据乘法分配律，把式子转化为2.5×100＋4×2.5进行简算； （2）根据除法的性质，把式子转化为37÷（1.25×8）进行简算； （3）根据乘法分配律，把式子转化为2.4×（50.8－0.8）进行简算。 【规范解答】（1）2.5×104 ＝2.5×（100＋4） ＝2.5×100＋4×2.5 ＝250＋10 ＝260 （2）37÷1.25÷8 ＝37÷（1.25×8） ＝37÷10 ＝3.7 （3）50.8×2.4－2.4×0.8 ＝2.4×（50.8－0.8） ＝2.4×50 ＝120 易错讲练13 小数的估算及应用 【典例精讲】（23-24五年级上·福建厦门·期末）妈妈带了100元去超市购物，根据下表估一估，她可以买（    ）。 商品 大米 猪肉 闽南荔枝 闽西八大干 单价 30.6元/袋 26.8元/千克 11.4元/千克 49元/箱 A．2袋大米，1千克猪肉和2千克闽南荔枝 B．1袋大米、1千克猪肉和1箱闽西八大干 C．2千克猪肉和1箱闽西八大干 D．1千克猪肉、2千克闽南荔枝和1箱闽西八大干 【答案】D 【思路引导】将大米、猪头、闽南荔枝和闽西八大干的单价估为相近的整数，然后根据单价×数量＝总价，分别求出各项所需的钱数，然后与100元进行对比即可。 【规范解答】30.6≈31，26.8≈27，11.4≈11，49≈50 A．2×30.6＋1×26.8＋2×11.4 ≈2×31＋1×27＋2×11 ＝62＋27＋22 ＝89＋22 ＝111（元） 111元＞100元 B．1×30.6＋1×26.8＋1×49 ≈1×31＋1×27＋1×50 ＝31＋27＋50 ＝58＋50 ＝108（元） 108元＞100元 C．2×26.8＋1×49 ≈2×27＋1×50 ＝54＋50 ＝104（元） 104元＞100元 D．1×26.8＋2×11.4＋1×49 ≈1×27＋2×11＋1×50 ＝27＋22＋50 ＝49＋50 ＝99（元） 99元＜100元 由此可知，她可以买1千克猪肉、2千克闽南荔枝和1箱闽西八大干。 故答案为：D 【变式训练】（20-21五年级上·浙江杭州·期末）王老师为食堂购置食物，需要购买橄榄油20千克，大米50千克，猕猴桃100个，王老师用手机查了一下这些物品的价格，如下表： 物品 橄榄油 大米 猕猴桃 规格 5千克/瓶 10千克/袋 22个/箱 单价 278元/瓶 158.5元/袋 198元/箱 王老师准备3000元钱够吗？ 【答案】够 【思路引导】由题意可知，需要购买（20÷5）瓶橄榄油，每瓶278元按300元计算，需要购买（50÷10）袋大米，每袋158.5元按160元计算，需要购买5箱猕猴桃，每箱198元按200元计算，根据“总价＝单价×数量”分别表示出购买橄榄油、大米、猕猴桃的钱数，最后求出购买三种物品需要的总钱数，据此解答。 【规范解答】278元≈300元，158.5元≈160元，198元≈200元。 100÷22≈5（箱） 20÷5×300＋50÷10×160＋5×200 ＝4×300＋5×160＋1000 ＝1200＋800＋1000 ＝3000（元） 因为商品估算的单价大于商品的实际价格，所以3000元够。 答：王老师准备3000元钱够。 【考点剖析】掌握单价、总价、数量之间的关系，估算单价应该大于商品的实际单价。 易错讲练14 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·北京大兴·期末）天然气是一种清洁高效的能源，有着广泛的应用。很多家庭使用天然气主要用于日常做饭和生活用热水，属于“一般生活用气”。某地区“一般生活用气”以年度为周期，采用阶梯计费方式，计费标准如右表所示。 用气量（立方米） 价格（元/立方米） 第一阶梯 0－350（含） 2.61 第二阶梯 350－500（含） 2.83 第三阶梯 500以上 4.23 （1）张阿姨家2023年的天然气用量是300立方米。她家2023年的天然气费是多少元？ （2）李阿姨家2023年的天然气用量是360立方米。计算李阿姨家2023年的天然气费，下面哪种方法正确？请说明理由。 【答案】（1）783元； （2）方法三正确，因为360立方米是属于第二阶梯，则用完350立方米后，多余的部分按照每立方米2.8元计算。 【思路引导】（1）张阿姨家用的天然气是300立方米，属于第一阶梯，是按照每立方米2.61元，即天然气费＝每立方米的钱×用的气立方米数； （2）360立方米是属于第二阶梯，则用完350立方米后，多余的部分按照每立方米2.83元，即最后的费用＝前面的350立方米的天然气费用＋多的天然气×每立方米的费用。 【规范解答】（1）300×2.61＝783（元） 答：她家2023年的天然气费是783元。 （2）答：方法三正确，因为360立方米是属于第二阶梯，则用完350立方米后，多余的部分按照每立方米2.8元计算。 【变式训练】（22-23五年级上·重庆城口·期末）某市居民用水按阶梯分段收费，收费标准如下表： 分档 户月用水量（吨） 水费价格标准（元/吨） 第一档 0~26 1.98 第二档 27~34 2.97 第三档 34以上 3.96 张老师家上月用水32吨，水费是多少元？ 【答案】69.3元 【思路引导】，可知要用第一档收费标准和第二档收费标准，可先计算第一档26吨水费的价钱，再计算第二档吨水费的价钱，根据，代入数据计算即可得两档收费的价钱，最后相加即可得解。 【规范解答】 （元） 答：水费是69.3元。 易错讲练15 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）小红在计算一道小数乘法时，误将一个一位小数当成了整数，算出的结果是51.39，正确结果是（    ）。 A．5.139 B．51.39 C．513.9 D．5139 【答案】A 【思路引导】根据积的变化规律：当因数乘或除以一个数（不为0），积也随着乘或除以这个数。由题意可知，误将一个一位小数当成了整数，则算出的结果相当于正确结果乘10，反之用错误结果除以10，即可得解。 【规范解答】 小红在计算一道小数乘法时，误将一个一位小数当成了整数，算出的结果是51.39，正确结果是5.139。 故答案为：A 【变式训练】（22-23五年级上·山东菏泽·期末）脱式计算，能简算的要简算。 2.5×6.4×1.25        5.6×101－5.6        0.274×68＋6.8×7.26 【答案】20；560；68 【思路引导】第一小题，把原式变为：2.5×0.4×2×8×1.25，利用乘法结合律，可以简算； 第二小题，把5.6看作是5.6与1的积，利用乘法分配律，可以简算； 第三小题，根据积的变化规律，把原式变为：2.74×6.8＋6.8×7.26，再利用乘法分配律，可以简算。 【规范解答】2.5×6.4×1.25 ＝2.5×0.4×2×8×1.25 ＝（2.5×0.4）×2×（8×1.25） ＝1×2×10 ＝20 5.6×101－5.6 ＝5.6×（101－1） ＝5.6×100 ＝560 0.274×68＋6.8×7.26 ＝2.74×6.8＋6.8×7.26 ＝（2.74＋7.26）×6.8 ＝10×6.8 ＝68 第二单元 位置 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：用数对表示具体情境中物体的位置 1.列与行的含义： （1）列： 竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 （2）行： 横排叫做行。确定第几行，要从前往后（或从下往上，具体看情境图的说明，通常是从前往后）数。 2.数对的含义： 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。 3.数对的写法： 先表示列数，再表示行数。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号隔开。写作：（列数，行数）。 4.举例： （1）小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对（3，4）表示。 （2）小红的位置用数对表示是（5，2），表示她坐在第5列第2行。 名师点评： “同学们，我们每天都要坐在教室里，每个人都有自己的座位。如果我想让你们快速找到某个同学的座位，或者向别人介绍你的座位，怎么说才能既清楚又简洁呢？今天我们学习的‘数对’就是解决这个问题的好工具！大家一定要记住‘列’和‘行’的规定：竖排是列，从左往右数；横排是行，从前往后数。这个‘左’和‘前’是很重要的观察点。数对的写法也很关键，先列后行，外面加括号，中间用逗号隔开，比如（3，4），读作‘数对三逗号四’。这个小小的数对就能准确‘定位’一个位置，是不是很神奇？” 知识点梳理02：根据数对在具体情境中确定物体的位置 1.方法： （1）先找列数：从左往右数，找到对应的列。 （2）再找行数：从前往后（或从下往上）数，找到对应的行。 （3）列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 2.举例：教室座位图 讲台 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第1行（前排） ○ ○ ○ ○ ○ ← 第2行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第3行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第4行（后排） 在教室座位图中，数对（2，3）表示的位置是：从左数第2列，从前数第3行，找到这个交叉点就是该位置。 名师点评： “学会了用数对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？这就像我们拿着‘地图’找宝藏一样！第一步，先确定列，‘左右’看；第二步，再确定行，‘前后’看。列和行就像我们生活中的‘经线’和‘纬线’，它们的交点就是我们要找的‘宝藏’——物体的位置。记住，数对中的第一个数是‘列向导’，第二个数是‘行向导’，千万别找反了哦！” 知识点梳理03：在方格纸上用数对确定位置 1.方格纸的特点： （1）方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格。 （2）水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 （3）通常，方格纸的左上角（或左下角，具体看题目规定）会标有起始点（0，0），有时也直接从1开始标记列和行的序号。 2.用数对表示方格纸上点的位置： （1）方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置。 （2）数对（列数，行数）中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字；行数是指从下往上（或从上往下，根据题目习惯，通常是从下往上，与数学坐标系统一）数，该点所在的水平线对应的数字。 3.举例： 在下面的方格图中，请标出A（2，3），B（4，1），C（5，5）的位置。 A（2，3）：先找到第2列（从左往右数第2条竖线），再找到第3行（从下往上数第3条横线），它们的交点就是A。 B（4，1）：第4列，第1行。 C（5，5）：第5列，第5行。 名师点评： “同学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸。方格纸就像一个巨大的棋盘，每个交叉点都可以用数对来表示。在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是一样的，都是先列后行。不过，方格纸上的列和行通常会用数字标出来，方便我们查找。要注意的是，方格纸上的‘行’有时是从下往上数的，就像我们爬楼梯一样，从一楼（第1行）到二楼（第2行）。这和我们之前说的‘从前往后数’本质上是相通的，都是一种约定。这个小小的数对，其实是我们以后学习更复杂的‘坐标’的基础呢！” 【优选真题 易错讲练】3个考点 共12题 易错讲练1 用数对表示位置 【典例精讲】24-25五年级上·重庆·期末）（1）请以三角形ABC中AC为一条边，画一个面积为三角形2倍的平行四边形ACDE，其中D点用数对表示为（8，5），则E点位置用数对表示应为（    ）。 （2）将C点向下平移一格为C′，以C′点为梯形上底中的一点，画一个与平行四边形ACDE面积相等的梯形C′FGH。 【答案】（1）（7，8），图见详解 （2）见详解 【思路引导】根据平行四边形和梯形的面积关系以及数对的概念，对于（1），要根据三角形与平行四边形面积的关系以及平行四边形的性质来确定点位置；对于（2），在确定位置后，依据平行四边形面积求出梯形各边可能的长度来画出梯形。 【规范解答】如图： 已知三角形面积公式为，平行四边形面积公式为。以为公共边，要使平行四边形面积是三角形面积的2倍，依据面积公式可知，平行四边形与三角形等高。已知点用数对表示为（8，5），观察图形可知点位置用数对表示为（4，8），C点位置用数对表示为（5，5），因为平行四边形对边平行且相等，平行且等于。从点向左数，在水平方向上的距离为个单位，点横坐标为；在垂直方向的距离为个单位，点纵坐标为5，则点的纵坐标为，所以点位置用数对表示为（7，8）。 首先将向下平移一格得到点，点坐标为（5，4），平行四边形的面积为9，因为点为梯形上底中的一点，平行四边形面积与梯形 的面积相等，所以梯形 的面积也为9，由梯形面积公式为，已知平行四边形的高为3，所以梯形 的高也为3，上底为2，下底为4，代入面积公式，与平行四边形面积相等，根据这些长度可画出过点且与平行四边形面积相等的梯形 。 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）在方格纸上已经画出三角形ABC的一条边，如下图。 （1）点B的位置用数对表示是 ，点C的位置用数对表示是（5，4），用直尺将三角形ABC画完整。 （2）在方格纸上用直尺画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 【答案】（1）（8，1）；图形见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。观察图形，点B在第8列、第1行，所以点B的位置用数对表示是（8，1） ；已知点C（5，4），根据数对中第一个数表示列，第二个数表示行，在方格纸上找到这个点，然后用直尺依次连接A、B、C三点，即可画出三角形ABC。 （2）已知三角形底是8－2＝6，高是4－1＝3，然后根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出三角形面积是6×3÷2＝9；要使平行四边形的面积为9，根据“平行四边形面积＝底×高”可确定底为3，高为3（3×3＝9），或者底为9，高为1等，只要底和高的乘积为9 即可；据此画出符合要求的平行四边形。（画法不唯一） 【规范解答】（1）由图可知，点B在第8列、第1行，所以点B的位置用数对表示是（8，1）；作图如下： （2）作图如下： 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）方格纸上已经画出三角形ABC的一条边（每个小方格是边长是1cm的正方形），如下图。 （1）点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）点C的位置用数对表示是（3，5），请用直尺将三角形ABC画完整。 （3）三角形ABC的面积是（    ）平方厘米。 （4）在方格纸上虚线l的右侧，用直尺画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 【答案】（1）B（8，1） （2）图见详解 （3）12 （4）图见详解 【思路引导】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此求出点B的位置用数对表示。 （2）根据数对表示位置的方法，求出点C的位置，画出三角形ABC。 （3）根据图可知，1格表示1厘米，求出三角形的底和高的长度，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出三角形ABC的面积。 （4）根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积等于平行四边形面积，确定出平行四边形的底和高，画出平行四边形（答案不唯一）。 【规范解答】（1）点B（8，1） 点B的位置用数对表示是（8，1）。 （2）图如下： （3）三角形ABC的底是：1×6＝6（厘米）；高是：1×4＝4（厘米） 6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 三角形ABC的面积是12平方厘米。 （4）平行四边形的面积是12平方厘米，底是4厘米，高是3厘米。（画法不唯一） 4×3＝12（平方厘米） 图如下： 【变式训练3】（24-25五年级上·江西宜春·期末）（1）下图是一个平行四边形，请把它补充完整，如果用（3，5）表示点A的位置，那么点B的位置用数对表示是（    ），点C的位置用数对表示是（    ）。 （2）请画一个和平行四边形面积相等的三角形。 【答案】（1）（2，2）；（7，5）；补全图形见详解； （2）见详解 【思路引导】（1）数对表示位置：第一个数表示列，第二个数表示行，据此写出点B和点 C的位置；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，据此补全图形即可； （2）平行四边形的面积＝底×高，据此算出四边形的面积，再根据三角形的面积＝底×高÷2画出一个和平行四边形面积相等的三角形即可，注意：画法不唯一。 【规范解答】（1）如果用（3，5）表示点A的位置，那么点B的位置用数对表示是（2，2），点C的位置用数对表示是（7，5）。 （2）4×3＝12 12×2＝24，即画出的三角形底和高的乘积是24即可。 画图如下： （画法不唯一） 易错讲练2 根据数对找位置 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）雄安郊野公园规划面积是17.48平方公里，2.62万亩。河北省14个特色城市展园集中在东部区域，下面是雄安新区郊野公园14个园区分布的大概位置图。 (1)石家庄园的位置可以用（3，4）表示，那么张家口园就是( )，唐山园就是( )。从唐山园向南走2格，再向西走三格就到了( )园。 (2)周日，花花一家人去雄安郊野公园游玩，从主场馆进入，她们的游览路线是： （5，2）（4，3）（5，5）（7，4）（5，2） 花花一家都游览了哪些地方，填在下面的括号里。 主场馆( )( )( )主场馆 【答案】(1) （4，6） （8，7） 廊坊 (2) 邯郸园 廊坊园 秦皇岛园 【思路引导】数对是一个表示位置的概念，前一个数字表示列，后一个数字表示行。我们需要根据给定的石家庄园的数对表示方法，来确定其他园区的数对位置，以及根据游览路线的数对找出对应的园区。 求解计划为：先根据数对规则确定（1）中张家口园和唐山园的数对；根据上北下南，左西右东确定出此时是第几列、第几行即可解答； （2）根据数对与园区的对应关系，找出游览路线对应的园区。 【规范解答】（1）观察图表，张家口园在第4列，第6行，所以张家口园的位置用数对表示为（4，6）； 唐山园在第8列，第7行，所以唐山园的位置用数对表示为（8，7）； 从唐山园向南走2格，相当于走到了第5行，再向西走三格，相当于到了就到了第5列，所以从唐山园向南走2格，再向西走三格就到了廊坊园。 （2） 已知主场馆位置用数对（5，2）表示。游览路线为（5，2）（4，3）（5，5）（7，4）（5，2）。 观察图表，数对（4，3）对应的园区是邯郸园。 数对（5，5）对应的园区是廊坊园。 数对（7，4）对应的园区是秦皇岛园。 【变式训练1】（24-25五年级上·安徽黄山·期末）方格纸上已经画出三角形ABC的一条边，如图所示。（每个小正方形的边长为1cm） （1）点B的位置用数对表示（    ）。 （2）点C的位置用数对表示是（4，5），用直尺将三角形画完整。 （3）画出一个平行四边形，使它的面积与已画三角形面积相等。 【答案】（1）（10，1） （2）（3）见详解 【思路引导】（1）（2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （3）根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形面积，再根据平行四边形面积＝底×高，确定平行四边形的底和高，作图即可。 【规范解答】（1）点B的位置用数对表示（10，1）。 （2）作图如下： （3）8×4÷2＝16（cm2） 16＝4×4，画出的平行四边形底和高都是4cm即可，作图如下： （平行四边形画法不唯一） 【变式训练2】（24-25五年级上·山东东营·期末）根据下面的信息，完成下列各题。 （1）图书馆的位置用数对表示是（    ）。 （2）小明现在的位置是（1，1），他所在的位置是（    ）。 （3）小明家距超市1000米。请你先在图上画出小明上学的路线，再用方向和距离描述小明的上学路线。 【答案】（1）（4，2） （2）小明家 （3）见详解 【思路引导】（1）（2）数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此解答。 （3）从小明家距超市1000米可知：一格代表实际距离1000米。根据地图是上北下南，左西右东，结合方向和距离，即可描述小明的上学路线。 【规范解答】（1）图书馆的位置用数对表示是（4，2）。 （2）小明现在的位置是（1，1），他所在的位置是小明家。 （3）小明从家出发，先向东走2000米，再向北走2000米就到达学校。 上学的路线如图： （答案不唯一） 【变式训练3】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）观察下面方格图，按要求填一填、画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）点A的位置用数对表示为（5，8），则点B的位置用数对表示为（    ）。 （2）在方格图上描出点C（8，2）的位置，再依次连接A，B，C各点形成一个三角形，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 （3）以线段BC为一条边，在方格图上画一个与三角形ABC面积相等的平行四边形。 【答案】（1）（3，2） （2）图见详解；15 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此求出点B的位置用数对表示； （2）根据数对表示位置的方法，找出点C，再依次连接A，B，C各点，求出三角形的底和高，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出三角形面积； （3）三角形面积等于平行四边形的面积，已知线段BC的长，求出平行四边形的高，画出平行四边形，解答解答。 【规范解答】（1）点B的位置用数对表示为（3，2）。 点A的位置用数对表示为（5，8），则点B的位置用数对表示为（3，2）。 （2）图见详解： 三角形的底是5厘米，高是6厘米； 面积：5×6÷2 ＝30÷2 ＝15（平方厘米） 这个三角形面积是15平方厘米。 （3）15÷5＝3（厘米） 图如下： （平行四边形的画法不唯一） 易错讲练3 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）按要求做题。 （1）在下面的方格里描出下列各点：A（7，2），B（10，2），C（8，5），并把这几个点顺次连接成一个封闭图形ABC； （2）画出图形ABC向左平移5格后的图形A'B'C'； （3）若每个小方格的边长都是1cm，那么图形ABC的面积是（    ）cm2。 【答案】（1）（2）图见详解 （3）4.5 【思路引导】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数。依次描出各点后连线即可。 （2）平移图形的作图方法：找出构成图形的关键点；确定平移方向（向左）和平移距离（5格）；再依次连接各对应点。 （3）根据，观察可知三角形的底是3cm，高是3cm，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）（2）据分析作图如下： （3） （cm2） 若每个小方格的边长都是1cm，那么图形ABC的面积是4.5cm2。 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江绍兴·期末）操作。 （1）点在数对（2，1），点在数对（6，1）的位置，请你在图中标出。 （2）请你在图中描出第三个点，使三个点相连后围成一个面积是6平方厘米的直角三角形（记作图①）。 （3）请你画出图①先向上平移5格，再向右平移2格后的图形（记作图②）。 【答案】见详解 【思路引导】（1）数对中前一个数表示第几列，后一个数表示第几行。点A在数对（2，1），即在第2列第1行；点B在数对（6，1）的位置，即在第6列第1行。据此可画出位置。 （2）直角三角形的一个角是直角，即有两条边的角度是90°，可经过A点垂直向上作直角边，根据三角形面积＝底×高÷2，已知面积为6平方厘米，一条直角边AB＝4，可得出高为：，C点数对为（2，4），找出C点连接三点可得出答案。 （3）将三角形向上平移5格，再向右平移2格，可依次将三角形的A、B、C三个顶点分别平移到相应位置，再进行连接得出答案。 【规范解答】可画出如图: （答案不唯一） 【变式训练2】（21-22五年级上·福建福州·期末）图中三角形三个顶点A、B、C用数对表示分别是（6，7），（2，4），（7，4）。 （1）将这个三角形先向下平移2格。再向右平移4格，得到新的三角形A'B′C′，请在方格图上画出这个新的三角形。 （2）找出点D，并在右边方格上标出来，使这个点与原来三角形的三个顶点构成一个平行四边形。 （3）并在图上标出D点的数对，这样的点有（    ）个。 【答案】（1）（2）图见详解 （3）3 【思路引导】（1）根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化，据此画出平移后的三角形。 （2）根据平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等。据此可知，D点的位置可能与A点在同一行，AD的长等于BC的长，D的位置也可能在第3列，第1行，CD的长等于A B的长，据此在图找到这个点，并画出这个平行四边形。 （3）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。这样的点有3个，据此解答。 【规范解答】（1）（2）作图如下： （3）D点的位置用数对表示是（1，7）或（3，1）或（11，7），这样的点有3个。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握图形平移的性质及应用，平行四边形的特征及应用，利用数对表示物体位置的方法及应用。 【变式训练3】（23-24五年级上·湖南岳阳·期末）在图中A的位置用数对( )表示，B的位置用数对( )表示。把点B向右平移两格得到的点的位置是( )。 【答案】 （2，3） （3，2） （5，2） 【思路引导】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 【规范解答】通过分析可得：在图中A的位置是第2列第3行，用数对（2，3）表示；B的位置是第3列第2行，用数对（3，2）表示。把点B向右平移两格得到的点的位置是第5列第2行，用数对表示为（5，2）。 第三单元 小数除法 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点梳理02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点梳理03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点梳理04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 【优选真题 易错讲练】24个考点 共48题 易错讲练1 除数是整数的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆黔江·期末）一个粮食合作社用4台同样的收割机，3小时收割了4.2公顷小麦，1台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 【答案】0.35公项 【思路引导】收割的总面积÷用的时间＝4台同样的收割机每小时收割面积，4台同样的收割机每小时收割面积÷4＝1台收割机每小时可以收割的面积，据此列式解答。 【规范解答】4.2÷3÷4 ＝1.4÷4 ＝0.35（公顷） 答：1台收割机每小时可以收割小麦0.35公顷。 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）不计算，下列算式中与4.2×0.25的结果不相等的是（    ）。 A．0.42×2.5 B．4.2÷4 C．4.2×2.5 【答案】C 【思路引导】根据积的变化规律：一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数不变，积就扩大到原来的几倍（或缩小的原来的几分之一）； 一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍），积不变； 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，据此逐项分析，进行解答。 【规范解答】A．0.42×2.5；4.2缩小到原来的，0.25扩大到原来的10，积不变，所以0.42×2.5与4.2×0.25的结果相同。 B．4.2÷4； （4.2×0.25）÷（4×0.25） ＝4.2×0.25÷1 ＝4.2×0.25 4.2×0.25＝4.2÷4，所以4.2÷4与4.2×0.25的结果相同。 C．4.2×2.5；4.2不变，2.5扩大到原来的10倍，则4.2×2.5的积也扩大到原来的10倍。 所以4.2×2.5的结果与4.2×0.25的结果不相同。 算式中与4.2×0.25的结果不相等的是4.2×2.5。 故答案为：C 易错讲练2 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）小红读一本故事书，第一天读的页数是第二天的2倍，第三天读的页数是第二天的3倍，第三天读的页数是第一天的( )倍。 【答案】1.5 【思路引导】假设小红第二天读了2页，根据求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数，用2乘2求出第一天读的页数，再用第二天读的页数乘3，求出第三天读的页数，再用第三天读的页数除以第一天读的页数即可求解。 【规范解答】假设小红第二天读了2页。 2×3÷（2×2） ＝6÷4 ＝1.5 所以第三天读的页数是第一天的1.5倍。 【变式训练】（23-24五年级上·安徽宣城·期末）武汉长江大桥全长1670m，一列车队共16辆车。如果每辆车长均为3米，每相邻两辆车之间的车距为6m，车队每分钟行驶800m，那么车队完全通过大桥需要( )分钟。 【答案】2.26 【思路引导】车队的长度＝16辆车的长度＋15个车距的长度；16辆车的长度为：16×3＝48（米）；15个车距的长度为：15×6＝90（米）；所以车队的长度为：48＋90＝138（米）；车队要完全通过大桥，行驶的路程＝车队长度＋大桥长度，即：138＋1670＝1808（米）；时间＝路程÷速度，据此解答。 【规范解答】车队的长度为： 16×3＋15×6 ＝48＋90 ＝138（米） 车队要通过大桥行驶的路程为： 138＋1670＝1808（米） 所需时间为：1808÷800＝2.26（分钟） 那么车队完全通过大桥需要2.26分钟。 易错讲练3 除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）3时15分＝( )时     6.3公顷＝( )平方米 【答案】 3.25 63000 【思路引导】1小时＝60分，1公顷＝10000平方米，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【规范解答】15÷60＝0.25（时），所以3时15分＝3.25时； 6.3×10000＝63000（平方米），所以6.3公顷＝63000平方米。 【变式训练】（22-23五年级上·福建莆田·期末）把一个小数的小数点向右移动一位，得到的数比原数大8.19，原来的小数是（    ）。 A．8.19 B．0.819 C．9.1 D．0.91 【答案】D 【思路引导】把一个数的小数点向右移动一位即所得的数是原来的10倍，由题意知比原数大8.19，也就是原数的9倍是8.19，求原来的数用除法可求出答案。 【规范解答】 原来的小数是0.91。 故答案为：D 易错讲练4 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·江西南昌·期中）小刚陪妈妈逛超市，想喝美年达，发现容量550mL的标价是3.00元，不远处同样规格的整箱12瓶装的标价是29.88元，妈妈说：“想喝吗？你如果能算出买整箱比买单瓶平均一瓶便宜多少钱，我就给你买。”你能通过计算回答小刚妈妈的问题吗？ 【答案】0.51元 【思路引导】根据总价÷数量＝单价，用12瓶装的标价除以12，求出12瓶装的1瓶的价钱，再用3.00元减去12瓶装的1瓶的价钱，求出买整箱比买单瓶平均一瓶便宜多少钱。 【规范解答】29.88÷12＝2.49（元） 3.00－2.49＝0.51（元） 答：买整箱比买单瓶平均一瓶便宜0.51元。 【变式训练】（23-24六年级下·湖南衡阳·期末）小明和爸爸开车去奶奶家，早上8：30从家出发，2小时行驶125千米，照这样计算，下午1：30可到达奶奶家。小明家与奶奶家相距多少千米？ 【答案】312.5千米 【思路引导】先把出发的时间和到达奶奶家的时间转化成用24时计时法表示的时间，再计算出路上用的时间；然后根据速度×时间＝路程，计算出兰兰家到奶奶家的总路程。 【规范解答】上午8时30分就是8时30分 下午1时30分就是13时30分 13时30分－8时30分＝5时 125÷2×5 ＝62.5×5 ＝312.5（千米） 答：小明家与奶奶家相距312.5千米。 易错讲练5 与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（23-24五年级上·湖南张家界·期末）王阳明和妈妈在超市买东西，结账时发现收银员在算账时把一包薯片的价钱忘记点小数点了，所以多算了67.5元，如果这包薯片的价格是一位小数，这包薯片的价格是（    ）元。 A．4.5 B．6.5 C．7.5 【答案】C 【思路引导】这包薯片的价格是一位小数，价钱忘记点小数点，相当于小数点向右移动一位，扩大到原数的10倍，根据差倍问题的解题方法，多算的钱数÷（倍数－1）＝一倍数，即薯片的价格。 【规范解答】67.5÷（10－1） ＝67.5÷9 ＝7.5（元） 这包薯片的价格是7.5元。 故答案为：C 【变式训练】（22-23五年级上·山东菏泽·期末）一个一位小数去掉小数点后，比原小数增加了21.6，原小数是( )。 【答案】2.4 【思路引导】根据题意，一个一位小数去掉小数点，即原小数扩大到原来的10倍，把原小数看作1份，则新数是10份，相差（10－1）份；已知新数比原小数多21.6，用多的数除以（10－1）份，即可求出一份数，也就是原小数。 【规范解答】21.6÷（10－1） ＝21.6÷9 ＝2.4 原小数是2.4。 【考点剖析】本题考查小数除法的应用，利用差倍问题的解题方法解答。 易错讲练6 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆开州·期末）已知322÷14＝23，那么3.22÷0.14＝( )，3.22÷1.4＝( )。 【答案】 23 2.3 【思路引导】被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几；除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几；商不变的规律：被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 算式3.22÷0.14中被除数、除数同时除以100，商不变；算式3.22÷1.4中被除数除以100，商除以100，除数除以10，商在除以100的基础上再乘10，据此解答。 【规范解答】3.22÷0.14＝（322÷100）÷（14÷100）＝23 3.22÷1.4＝（322÷100）÷（1.4÷10）＝23÷100×10＝2.3 已知322÷14＝23，那么3.22÷0.14＝23，3.22÷1.4＝2.3。 【变式训练】（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）列竖式计算。 0.18×8.45＝        81÷3.6＝        3.06×4.5＝        4.32÷3.6＝ 【答案】1.521；22.5；13.77；1.2 【思路引导】小数乘法，小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【规范解答】0.18×8.45＝1.521        81÷3.6＝22.5        3.06×4.5＝13.77       4.32÷3.6＝1.2                                    易错讲练7 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）刘老师1.5小时扎12束鲜花，她平均每小时扎( )束鲜花；她平均扎一束鲜花要( )分钟。 【答案】 8 7.5 【思路引导】求刘老师平均每小时扎鲜花的数量时，用扎鲜花的数量除以小时数；求刘老师平均扎一束鲜花需要的分钟数时，用分钟数除以扎鲜花的数量，所求结果的单位和除法算式中被除数的单位保持一致，据此解答。 【规范解答】12÷1.5＝8（束） 1小时＝60分钟 1.5×60＝90（分钟） 90÷12＝7.5（分钟） 所以，她平均每小时扎8束鲜花，她平均扎一束鲜花要7.5分钟。 【变式训练】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）下面是李奶奶家刚收到的水费缴款通知单，单上有一处不慎被污渍涂染了。已知每吨水费用是3.8元，请你帮李奶奶算一算本月水表读数是多少？ 【答案】540吨 【思路引导】根据总价÷单价＝数量，列式：45.6÷3.8，求出李奶奶家本月的用水吨数，本月的用水吨数＝本月读数－上月读数，所以，本月水表读数＝上月读数＋本月的用水吨数，据此列式解答。 【规范解答】45.6÷3.8＝12（吨） 528＋12＝540（吨） 答：本月水表读数是540吨。 易错讲练8 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.67÷0.23( )7.67           36.4÷1.02( )36.4 1.5×0.3( )1.5－0.3           0.75÷0.1( )0.75×10 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＝ 【思路引导】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；除以大于1的数，商比原数小；除以0.1和乘10都是将小数点向右移动一位，因此一个数除以0.1等于这个数乘10；不能分析出大小关系的计算出结果再比较。 【规范解答】0.23＜1，7.67÷0.23＞7.67           1.02＞1，36.4÷1.02＜36.4 1.5×0.3＝0.45、1.5－0.3＝1.2，1.5×0.3＜1.5－0.3           0.75÷0.1＝0.75×10 【变式训练】（24-25五年级上·江西吉安·期末）在括号里填上“＞”“＜”或 “＝”。 36.5×1.2( )1.2    2.78÷3.6( )2.78    5.6÷0.2( )5.6×5 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【思路引导】一个数（0除外）乘一个大于1的数，结果大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，结果小于原数；一个数（0除外）除以一个大于1的数，商就小于被除数；除以一个小于1的数商就大于被除数；也可以计算出两边的算式，再进行比较。 【规范解答】36.5×1.2＞1.2 2.78÷3.6＜2.78 5.6÷0.2＝28，5.6×5＝28，28＝28，5.6÷0.2＝5.6×5 易错讲练9 小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河北唐山·期末）脱式计算，能简算的要简算。 4.3×102                     3.7×0.2＋9.8×3.7 7.7÷0.5÷2                1.25×8.14×80 【答案】438.6；37 7.7；814 【思路引导】4.3×102，把102化为100＋2，原式化为：4.3×（100＋2），再根据的乘法分配律，原式化为：4.3×100＋4.3×2，再进行计算； 3.7×0.2＋9.8×3.7，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：3.7×（0.2＋9.8），再进行计算； 7.7÷0.5÷2，根据除法性质，原式化为：7.7÷（0.5×2），再进行计算； 1.25×8.14×80，根据乘法交换律，原式化为：1.25×80×8.14，再进行计算。 【规范解答】4.3×102 ＝4.3×（100＋2） ＝4.3×100＋4.3×2 ＝430＋8.6 ＝438.6 3.7×0.2＋9.8×3.7 ＝3.7×（0.2＋9.8） ＝3.7×10 ＝37 7.7÷0.5÷2 ＝7.7÷（0.5×2） ＝7.7÷1 ＝7.7 1.25×8.14×80 ＝1.25×80×8.14 ＝100×8.14 ＝814 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 7.68×4.6＋5.4×7.68    1.3÷0.4÷0.25      2.6×1.9÷2.6×1.9 【答案】76.8；13；3.61 【思路引导】根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式化为7.68×（4.6＋5.4）进行简算； 根据除法的性质：一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，把原式化为1.3÷（0.4×0.25）进行简算； 根据乘法交换律和结合律把原式化为：2.6÷2.6×（1.9×1.9）进行计算。 【规范解答】7.68×4.6＋5.4×7.68             ＝7.68×（4.6＋5.4）   ＝7.68×10   ＝76.8    1.3÷0.4÷0.25                ＝1.3÷（0.4×0.25） ＝1.3÷0.1 ＝13 2.6×1.9÷2.6×1.9 ＝2.6÷2.6×1.9×1.9 ＝1×1.9×1.9 ＝1.9×1.9 ＝3.61 易错讲练10 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（23-24五年级上·河南商丘·期末）用递等式计算。（用你喜欢的方法计算） 3.6÷0.4－12×0.5        7.5÷12.5×0.8         1.3×7.2＋1.3×2.8 【答案】3；0.48；13 【思路引导】3.6÷0.4－12×0.5，先计算除法和乘法，再计算减法； 7.5÷12.5×0.8，按照运算顺序，先计算除法，再计算乘法； 1.3×7.2＋1.3×2.8，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：1.3×（7.2＋2.8），再进行计算。 【规范解答】3.6÷0.4－12×0.5 ＝9－6 ＝3 7.5÷12.5×0.8 ＝0.6×0.8 ＝0.48 1.3×7.2＋1.3×2.8 ＝1.3×（7.2＋2.8） ＝1.3×10 ＝13 【变式训练】（22-23五年级上·浙江宁波·期末）脱式计算。（能简便的要用简便方法计算） 0.06÷0.3×5.6    1.25×3.5×8×2    （4＋0.8）×12.5 4.8×9.9    200－41.6＋3.2＋37    0.85×[（3－1.88）÷0.4] 【答案】1.12；70；60 47.52；198.6；2.38 【思路引导】0.06÷0.3×5.6，先计算除法，再计算乘法； 1.25×3.5×8×2，根据乘法交换律，原式化为：1.25×8×3.5×2，再根据乘法结合律，原式化为：（1.25×8）×（3.5×2），再进行计算； （4＋0.8）×12.5，先计算括号里的加法，原式化为：4.8×12.5，再把4.8化为6×0.8，原式化为：6×0.8×12.5，再根据乘法结合律，原式化为：6×（0.8×12.5），再进行计算； 4.8×9.9，把9.9化为10－0.1，原式化为：4.8×（10－0.1），再根据乘法分配律，原式化为：4.8×10－4.8×0.1，再进行计算； 200－41.6＋3.2＋37，按照运算顺序，从左往右进行计算； 0.85×[（3－1.88）÷0.4]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的乘法。 【规范解答】0.06÷0.3×5.6 ＝0.2×5.6 ＝1.12 1.25×3.5×8×2 ＝1.25×8×3.5×2 ＝（1.25×8）×（3.5×2） ＝10×7 ＝70 （4＋0.8）×12.5 ＝4.8×12.5 ＝6×0.8×12.5 ＝6×（0.8×12.5） ＝6×10 ＝60 4.8×9.9 ＝4.8×（10－0.1） ＝4.8×10－4.8×0.1 ＝48－0.48 ＝47.52 200－41.6＋3.2＋37 ＝158.4＋3.2＋37 ＝161.6＋37 ＝198.6 0.85×[（3－1.88）÷0.4] ＝0.85×[1.12÷0.4] ＝0.85×2.8 ＝2.38 易错讲练11 小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）能简算的要简算。 2.5×13.3×4        3.25×7.8＋7.8×6.75        （3－0.42×3）÷0.6 【答案】133；78；2.9 【思路引导】2.5×13.3×4，根据乘法交换律，原式化为：2.5×4×13.3，再进行计算。 3.25×7.8＋7.8×6.75，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（3.25＋6.75）×7.8，再进行计算。 （3－0.42×3）÷0.6，先计算括号里的乘法，再计算括号里的减法，最后计算括号外的除法。 【规范解答】2.5×13.3×4 ＝2.5×4×13.3 ＝10×13.3 ＝133 3.25×7.8＋7.8×6.75 ＝（3.25＋6.75）×7.8 ＝10×7.8 ＝78 （3－0.42×3）÷0.6 ＝（3－1.26）÷0.6 ＝1.74÷0.6 ＝2.9 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.68＋0.32÷0.8        3.7×6.9＋0.37×31        25×12.5×3.2 【答案】1.08；37；1000 【思路引导】（1）按照先算除法，再算加法的顺序计算； （2）先根据积不变的规律把算式写成3.7×6.9＋3.7×3.1，再利用乘法分配律的逆运用a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成3.7×（6.9＋3.1），再进一步计算即可； （3）先把3.2写成0.4×8，再利用乘法的结合律（a×b）×c＝a×（b×c）和乘法交换律a×b×c＝a×c×b把算式写成（25×0.4）×（12.5×8），再进一步计算即可。 【规范解答】0.68＋0.32÷0.8 ＝0.68＋0.4 ＝1.08 3.7×6.9＋0.37×31 ＝3.7×6.9＋3.7×3.1 ＝3.7×（6.9＋3.1） ＝3.7×10 ＝37 25×12.5×3.2 ＝25×12.5×（0.4×8） ＝（25×0.4）×（12.5×8） ＝10×100 ＝1000 易错讲练12 小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·广东韶关·期末）选择你喜欢的方法计算。 12.5＋12.5÷5         26÷1.25÷8        3.8×5.1＋3.8×4.9 【答案】15；2.6；38 【思路引导】先算除法，再算加法； 连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，利用简便计算求解； 将3.8提出来，利用乘法分配律进行简便计算。 【规范解答】12.5＋12.5÷5 ＝12.5＋2.5 ＝15 26÷1.25÷8 ＝26÷（1.25×8） ＝26÷10 ＝2.6 3.8×5.1＋3.8×4.9 ＝3.8×（5.1＋4.9） ＝3.8×10 ＝38 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）怎样简便就怎样计算。（写出主要步骤） 5.5×7.3＋2.7×5.5                  0.63×99 0.125×8.45×80                    54.8÷（5.48×2.5） 【答案】55；62.37 84.5；4 【思路引导】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把5.5×7.3＋2.7×5.5变成5.5×（7.3＋2.7），再按顺序计算； （2）先把99拆成100－1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把0.63×（100－1）变成0.63×100－0.63×1，再按顺序计算； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a把0.125×8.45×80变成0.125×80×8.45，再按顺序计算； （4）根据除法的性质a÷（b×c）＝ a÷b÷c把54.8÷（5.48×2.5）变成54.8÷5.48÷2.5，再按顺序计算。 【规范解答】（1）5.5×7.3＋2.7×5.5 ＝5.5×（7.3＋2.7） ＝5.5×10 ＝55                （2）0.63×99 ＝0.63×（100－1） ＝0.63×100－0.63×1 ＝63－0.63 ＝62.37 （3）0.125×8.45×80 ＝0.125×80×8.45 ＝10×8.45 ＝84.5                     （4）54.8÷（5.48×2.5） ＝54.8÷5.48÷2.5 ＝10÷2.5 ＝4 易错讲练13 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）用竖式计算。（带※号的保留两位小数） 1.05×0.26＝          5÷0.25＝          ※2.4÷0.26≈ 【答案】0.273；20；9.23 【思路引导】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【规范解答】1.05×0.26＝0.273 5÷0.25＝20     ※2.4÷0.26≈9.23             【变式训练】（24-25五年级上·江西萍乡·期末）列竖式计算（带*号的要验算）。 3.45×0.36＝       *7.1÷0.25＝       23÷3.3≈（得数保留两位小数） 【答案】1.242；28.4；6.97 【思路引导】小数乘法的运算法则：先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 除数是小数的除法计算法则：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 第二题的验算：用商乘除数，看积是否等于被除数，如果等于被除数，说明计算正确，否则不正确。 保留两位小数，要看小数点后面第三位是几，根据四舍五入法取近似值即可。 【规范解答】3.45×0.36＝1.242     *7.1÷0.25＝28.4         23÷3.3≈6.97   验算： 易错讲练14 判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北十堰·期中）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【答案】5.832 【思路引导】被除数＝商×除数，当除数一定，商越大则被除数就越大；商保留一位小数是3.2，商最大应该是在末尾添“4”，再将商和除数代入式子计算即可。 【规范解答】商最大为：3.24 3.24×1.8＝5.832 被除数最大为5.832。 【考点剖析】此题涉及到小数乘法的计算，利用近似数求出原数的最大值是解题的关键。 【变式训练】（21-22五年级上·重庆彭水·期末）算式□÷0.7的商是两位小数，四舍五入保留一位小数是0.3，被除数最小是0.175。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】被除数＝除数×商，除数是0.7，那么当商最小时，被除数就最小。商保留一位小数是0.3，那么商最小是0.25。用0.25乘0.7，即可求出被除数最小是多少。 【规范解答】商最小是0.25，0.25×0.7＝0.175，所以被除数最小是0.175。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了小数除法，掌握除法各部分间的关系、商的近似数求法是解题的关键。 易错讲练15 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）10÷11的商是循环小数，用简便记法记作( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 0.91 【思路引导】先计算出10÷11的商；循环小数的简便记法：可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点；求商的近似数时，保留两位小数，看第三位小数，根据“四舍五入”进行保留即可。据此解答即可。 【规范解答】10÷11＝0.909090… ＝≈0.91     所以10÷11的商是循环小数，用简便记法记作，保留两位小数约是0.91。 【变式训练】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）循环小数64.864864…用简便方法表示是( )，保留一位小数约是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 64.9 64.86 【思路引导】循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【规范解答】64.864864…＝ 64.864864…≈64.9 64.864864…≈64.86 循环小数64.864864…用简便方法表示是，保留一位小数约是64.9，保留两位小数约是64.86。 易错讲练16 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·江西宜春·期末）在6.81，6.，6.8 ，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有( )个，最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 3 6.71286… 6. 【思路引导】无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大据此分析解答。 【规范解答】无限小数有：6.、6.8 、6.71286…共3个 在6.81，6.，6.8 ，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有3个，最小的数是6.71286…，最大的数是。 【变式训练】（24-25五年级上·山东菏泽·期中）在0.81234…、、、0.8、0.813813、0.181818…中最大的数是( )，最小的数是( )，这五个数中有限小数有( )个，循环小数有( )个。 【答案】 0.181818… 2 3 【思路引导】小数比较大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大……以此类推比较大小即可；小数部分是有限的小数是有限小数，循环小数指的是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，据此解答。 【规范解答】＝0.818181… ＝0.81111… 因为0.818181…＞0.813813＞0.81234…＞0.81111…＞0.8＞0.181818…，所以＞0.813813＞0.81234…＞＞0.8＞0.181818…。 在0.81234…、、、0.8、0.813813、0.181818…中，有限小数有：0.8、0.813813，有2个；循环小数有： 、、0.181818…，有3个。 在0.81234…、、、0.8、0.813813、0.181818…中最大的数是，最小的数是0.181818…，这五个数中有限小数有2个，循环小数有3个。 易错讲练17 循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末），，三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 【思路引导】先将循环小数的简便写法改写成一般写法，再按照多位小数的大小比较方法：看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；若整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。比较大小，再排序即可。 【规范解答】＝0.23111…    ＝0.2313131…   ＝0.231231… 0.2313131…＞0.231231…＞0.23111… 最大的是，最小的是。 【变式训练】（23-24五年级上·福建福州·期末）在2.028、、、这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 2.028 【思路引导】根据循环小数的定义：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断重复出现的小数叫作循环小数；比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大，如果整数部分相同，十分位大的那个数就大，如果十分位上的那个数也相同，百分位上大的那个数就大，依次类推对几个数进行判断即可。 【规范解答】由分析可得： 在2.028、、、这四个数中，整数部分都是2，2.028的十分位是0，其余都是2，所以2.028最小； 、、三个数中，百分位是0，其他两个数的百分位都是8，所以小于其他两个数； 、两个数中，千分位是0，的千分位是2，所以大于，即为四个数中最大的数； 综上所述：在2.028、、、这四个数中，最大的数是，最小的数是2.028。 易错讲练18 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（21-22五年级上·河南信阳·期末）11÷7的商可以简写作( )，小数部分第67位上的数字是( )，得数保留三位小数约是( )。 【答案】 5 1.571 【思路引导】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除不尽时，如果是循环小数，商用循环小数表示；如果要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 先计算出11÷7的商是，是一个循环小数，循环节是571428，每6个数字一循环，所以求小数部分第67位上的数字，用67÷6，余数是几，就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。 得数保留三位小数，就看小数部分第四位上的数，根据四舍五入法进行解答。 【规范解答】11÷7＝ 商的循环节是571428，每6个数字一循环； 67÷6＝11……1 所以，小数部分第67位上的数字是5。 11÷7≈1.571 11÷7的商可以简写作，小数部分第67位上的数字是5，得数保留三位小数约是1.571。 【变式训练】（20-21五年级上·重庆大足·期末）计算的商，商的小数部分第100位上的数字是（    ）。 A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。 从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 根据小数除法的计算方法，求出商，用循环小数表示，再确定循环节，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量例减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【规范解答】78.6÷11＝7.1454545… 循环节是45。 （100－1）÷2 ＝99÷2 ＝49（组）……1（个） 计算的商，商的小数部分第100位上的数字是4。 故答案为：C 易错讲练19 用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·甘肃兰州·期末）根据前面算式的计算结果找规律，写出后面算式的计算结果。 ( ) ( ) 【答案】 499.95 599.94 【思路引导】观察算式，发现积的规律：积的百位逐个加1，小数的第二位逐个减1，据此解答即可。 【规范解答】根据分析可得：99.99×5＝499.95；99.99×6＝599.94。 【考点剖析】本题考查找规律，解答本题的关键是分析观察算式结果。 【变式训练】（23-24五年级上·全国·期末）按规律填数。 1÷11＝0.0909…， 2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，5÷11＝( )。 【答案】0.4545……/ 【思路引导】观察前三个式子可知：一个一位数除以11，所得的商都是循环小数，循环小数的整数部分是0，小数部分第一位和第二位是它的循环节，且循环节是这个一位数的9倍。据此解答。 【规范解答】通过分析可得： 5×9＝45，则5÷11＝0.4545…。 易错讲练20 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北孝感·期末）不计算，按规律直接写出结果。 1÷99＝0.010101… 2÷99＝0.020202… 3÷99＝0.030303… …… 10÷99＝( ) 【答案】0.101010… 【思路引导】观察可知，除数都是99，商是循环小数，且循环节由2个数组成，当被除数是1时，循环节是01，当被除数是2时，循环节是02，由此可知，被除数是10时，循环节是10，据此填空。 【规范解答】根据分析 1÷99＝0.010101… 2÷99＝0.020202… 3÷99＝0.030303… …… 10÷99＝0.101010… 【变式训练】（22-23五年级上·河南郑州·期末）淘淘在一本《趣味数学》中发现了一个有趣的规律，你也来尝试找一找这个规律。根据这个规律，写出后面两题的结果。 1.2÷4＝0.3 11.22÷34＝0.33 111.222÷334＝0.333 1111.2222÷3334＝( ) 11111.22222÷33334＝( ) 【答案】 0.3333 0.33333 【思路引导】观察算式，除数是一位数的商是一位小数，小数部分是一个3；除数是两位数的商是两位小数，小数部分是两个3；以此类推，第四个算式，除数是四位数，那么商是0.3333，第五个算式，除数是五位数，那么商是0.33333。 【规范解答】1.2÷4＝0.3 11.22÷34＝0.33 111.222÷334＝0.333 1111.2222÷3334＝0.3333 11111.22222÷33334＝0.33333 【考点剖析】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 易错讲练21 用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备( )个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加( )kg脐橙。 【答案】 17 5 【思路引导】由题意可知，要求250里有几个15，用除法计算，得数采用“进一法”保留整数。 用第一小问中得到的纸箱个数，乘15即可得纸箱全部装满的重量，再减250即可得解。 【规范解答】（个） （kg） 每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备17个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加5kg脐橙。 【变式训练】（23-24五年级上·重庆綦江·期末）水泥仓库要运走水泥50吨，已运走了20吨，余下的改用一辆准载2.7吨的汽车运，还要几次才能运完？（得数保留整数） 【答案】12次 【思路引导】水泥总吨数－已运走的吨数＝余下的吨数，最后无论剩下多少水泥，都得再运一次，余下的吨数÷载重量，结果用进一法保留近似数即可。 【规范解答】（50－20）÷2.7 ＝30÷2.7 ≈12（次） 答：还要12次才能运完。 易错讲练22 用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南周口·期末）服装厂要加工一批儿童服装，如果每套用布1.5m，可以加工500套；如果每套用布1.4m可以加工（    ）套。 A．536 B．535 C．534 D．1050 【答案】B 【思路引导】先用乘法求出一共有多少米的布，再用总长度÷每套的用布的长度求出可以加工的套数，如果有余数，剩余长度不足做成一套衣服，要舍去。 【规范解答】1.5×500÷1.4 ＝750÷1.4 ＝535（套）⋯⋯1（米） 剩余1米长度不够做一套衣服，所以可以加工535套。 故答案为B 【变式训练】（24-25五年级上·云南曲靖·期末）学校买来一捆90米长的绳子为学生做跳绳，先用去41.6米做了8根长跳绳，剩下的绳子做短跳绳。如果每根短跳绳长2.4米，那么最多可以做多少根这样的短跳绳？ 【答案】20根 【思路引导】先用绳子的总长（90米）减去做长跳绳用去的长度（41.6米），就是剩下做短跳绳的长度。每根短跳绳长2.4米，求最多能做多少根这样的短跳绳，就是求剩下的长度里面有多少个2.4米，用除法计算。计算结果不是整数时，用去尾法保留整数，因为无论余下多长的绳子都不够再制作1根；据此解答。 【规范解答】（90－41.6）÷2.4 ＝48.4÷2.4 ≈20（根） 答：最多可以做20根这样的短跳绳。 易错讲练23 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票。李叔叔从成都乘飞机到北京，机票是560元/张，他购买机票和行李一共付了728元，李叔叔携带了多少千克行李？ 行李质量 收费标准 不超过20千克 免费 超过20千克的部分 16.8元/千克 【答案】30千克 【思路引导】不超过20千克的行李免费，李叔叔从成都乘飞机到北京，机票是560元/张，他购买机票和行李一共付了728元，728＞560，所以李叔叔携带得行李超过了20千克，用李叔叔购买机票和行李一共付的钱数减去机票的价钱，求出行李付的钱数，再用行李付的钱数除以每千克行李的钱数，求出李叔叔携带的行李超过20千克多少千克，再加上免费的20千克即可解答。 【规范解答】（728－560）÷16.8＋20 ＝168÷16.8＋20 ＝10＋20 ＝30（千克） 答：李叔叔携带了30千克行李。 【变式训练】（23-24五年级上·四川遂宁·期末）一袋蛋糕粉6千克，张阿姨做蛋糕用了2.2千克。李叔叔用剩下的蛋糕粉最多还能再做几个这样的蛋糕？ 【答案】11个 【思路引导】蛋糕粉总质量－张阿姨做蛋糕用的质量＝剩下的质量，最后无论剩下多少蛋糕粉，只要不够一个生日蛋糕用的质量，就无法做一个生日蛋糕，剩下的质量÷一个生日蛋糕用的质量，结果用去尾法保留近似数即可。 【规范解答】（6－2.2）÷0.32 ＝3.8÷0.32 ≈11（个） 答：李叔叔用剩下的蛋糕粉最多还能再做11个这样的蛋糕。 易错讲练24 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（23-24五年级上·重庆·期中）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施。某通信公司某年推出5G套餐如下。 每月128元套餐 国内流量50GB；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB，满15元后的按2.8元/GB； 国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB，拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 【答案】（1）140元 （2）55.5GB 【思路引导】（1）7月份王老师的国内流量没有超标，在套餐内不用另交费；拨打国内电话880分钟，超出标准，用880－800，求出国内电话超出部分时间，再乘0.15，求出超出部分的话费，再加上套餐费，即可解答。 （2）8月份话费中，通话时间没有超过标准，通话费不另行收费；用8月份王老师的话费减去套餐内的128元，求出超出50GB流量所花的费用，因为150－128＝22元，其中的15元可以15÷3＝3GB的流量；剩下的流量费用是单价2.8元的流量费用，用剩下流量费用÷2.8，求出流量，再加上15元的流量数，再加上套餐内的流量数，即可解答。 【规范解答】（1）（880－800）×0.15＋128 ＝80×0.15＋128 ＝12＋128 ＝140（元） 答：7月份王老师的手机话费是140元。 （2）150－128＝22（元） 15÷5＝3（GB） （22－15）÷2.8＋3＋50 ＝7÷2.8＋3＋50 ＝2.5＋3＋50 ＝5.5＋50 ＝55.5（GB） 答：王老师用了55.5GB的国内流量。 【变式训练】（21-22五年级上·贵州黔西·期末）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费，具体如表： 第一级 第二级 12吨以内（含12吨） 12吨以上 1.85元/吨 2.40元/吨 （1）张叔叔家11月份用水34吨，应缴水费多少元？ （2）李叔叔家8月份缴水费41.4元，李叔叔家8月份用水多少吨？ 【答案】（1）75元 （2）20吨 【思路引导】（1）由于张叔叔家11月用水34吨，超过了12吨，12吨是每吨1.85元，超过12吨的部分是2.40元，根据单价×数量＝总价，用12×1.85求出12吨的价格，再用34减去12求出超出的吨数，用超出的吨数×2.4求出这些钱数，再和12吨的钱数相加即可。 （2）由于12×1.85＝22.2（元），41.4＞22.2，说明李叔叔家8月份的用水量超过12吨，用8月份的水费减去22.2元，求出超出12吨部分的钱数，再用超出12吨部分的钱数除以2.4即可求出超出12吨多少吨，再加上12吨即可。 【规范解答】（1）12×1.85＝22.2（元） 34－12＝22（吨） 22×2.4＝52.8（元） 52.8＋22.2＝75（元） 答：应缴水费75元。 （2）41.4＞22.2 41.4－22.2＝19.2（元） 19.2÷2.4＝8（吨） 8＋12＝20（吨） 答：李叔叔家8月份用水20吨。 第四单元 可能性 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：不确定性 确定实验发生的可能结果: 正确地理解实验的构成要素，根据实验的要素判断实验发生的可能结果。实验要素变化，实验的可能结果也不同。 可预知：“一定”“不可能” 不可预知：“可能” 知识点梳理02：可能性的大小 判断事件发生的可能性大小: 在等可能性实验（例如：摸球实验）中，事件发生的可能性与物体的数量有关。物体数量多的，摸到的可能性就大；物体数量少的，摸到的可能性就小；物体数量相等的，摸到的可能性一样大。 知识点梳理03：根据随机现象结果进行推测 可能性大 数量多 可能性小 数量少 设计可能性不同的实验： 据要求利用不同颜色的球或棋子、转盘、扑克牌等工具设计可能性大小不同的实验。 【优选真题 易错讲练】7个考点 共21题 易错讲练1 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽黄山·期末）妈妈买了四种口味的汤圆，其中黑芝麻馅5个，五仁馅5个，巧克力馅5个，山楂馅5个。把这些汤圆一锅煮熟，任意捞出一个，下面说法正确的是（    ）。 A．可能是黑芝麻馅 B．一定是巧克力馅 C．可能是莲蓉馅 D．不可能是山楂馅 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，一锅煮熟的元宵，有四种口味，各有5个，所以任意捞出一个，可能是黑芝麻馅，可能是巧克力馅，可能是五仁馅，可能是山楂馅，锅里有的口味都有可能捞到，据此解答。 【规范解答】A．可能是黑芝麻馅，故选项说法正确； B．可能是巧克力馅，也可能是五仁馅、山楂馅、黑芝麻馅，故选项说法错误； C．没有莲蓉馅，故选项说法错误； D．可能是山楂馅，故选项说法错误； 故答案为：A 【变式训练1】（24-25五年级上·山东东营·期末）盒子里有6个白球，4个黄球。 （1）任意摸出1个球，摸到哪种颜色球的可能性大？ （2）摸出1个球记录颜色后，放回去摇匀后再摸，6个同学每人都摸10次。6个同学摸球的结果，一定都是6个白球和4个黄球吗？ 【答案】（1）摸到白球的可能性大 （2）不可能 【思路引导】（1）不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小； （2）因为一共有2种颜色的球，所以任意摸出一个球有2种结果，但不能确定摸到白球、黄球的个数。 【规范解答】（1）6＞4 答：任意摸出1个球，摸到白色球的可能性大。 （2）答：一个盒子里有6个白球、4个黄球，从盒中摸一个球，可能摸到白球，也可能摸到黄球，有2种结果，不可能一定都是6个白球和4个黄球。 【变式训练2】24-25五年级上·广西玉林·期末）箱子里有3个红球、8个白球和5个黄球，任意摸出一个，有( )种可能，摸出( )球的可能性最大。 【答案】 三/3 白 【思路引导】任意摸出一个球，是红、黄、白都有可能，所以箱子里有几种颜色的球，摸出的球就有几种可能。个数最多的球被摸出的可能性最大，据此解答。 【规范解答】箱子里有三种颜色的球，任意摸出一个，红、白、黄球都有可能，所以有三种可能。因为8＞5＞3，所以摸出白球的可能性最大。 易错讲练2 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）一个不透明盒子里装有形状、大小完全相同的10个红球和8个白球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性大。 【答案】红 【思路引导】可能性大小的判断，球除颜色外都相同，从球的数量上分析。数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样；据此解答。 【规范解答】10＞8，所以任意摸出一个球，摸到红球的可能性大。 【变式训练1】（2024·安徽亳州·小升初真题）盒子里有3个红球和2个黄球，至少摸出 个球，才能确保摸出的球中两种颜色都有；任意摸出一个球，摸出 球的可能性比较大。 【答案】 4 红 【思路引导】根据题意，盒子里有3个红球和2个黄球，运气最差的情况为先取出的3个球都是红球，再从盒子里任意摸出一个球，一定是黄球中的一个，此时会出现摸出的球中两种颜色都有。 根据可能性大小的判断方法，比较盒子里红球、黄球的数量多少，数量多的，摸到的可能性就大。 【规范解答】3＋1＝4（个） 3＞2，红球的数量多； 盒子里有3个红球和2个黄球，至少摸出4个球，才能确保摸出的球中两种颜色都有；任意摸出一个球，摸出红球的可能性比较大。 【变式训练2】（22-23五年级上·湖北武汉·期末）同时掷两个相同的六面骰子（六个面分别刻有数字1、2、3、4、5、6），掷出的数字的和可能有( )种情况，掷出的和为( )的可能性最大。 【答案】 11 7 【思路引导】每个骰子上面的数字都是1~6，列出两个骰子同时扔出后，朝上的两个数字之和一共有多少种情况，两个数字的和出现的次数最多，掷出的可能性就最大。 【规范解答】如下表： 表中和的情况有36种，很多数字是重复的，所以和不同的情况：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种，和为7出现的次数最多，所以和为7出现的可能性最大。 【考点剖析】计算出朝.上的两个数字之和一共的可能性是解答题目的关键。 易错讲练3 可能性大小的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）乐福超市迎新促销设计了集“福”活动，集福箱中有一些大小、形状相同的福卡，要使摸到“①爱国福”的可能性最大，摸到“②敬业福”的可能性最小，可能摸到“③和谐福”，不可能摸到“④友善福”。如果集福箱至少装6张福卡，分别应装几张？请你写一写（写序号）。 【答案】 【思路引导】因为不可能摸到“④友善福”，根据可能性的概念，这意味着“④友善福”的数量为0张；由于要使摸到“②敬业福”的可能性最小，在集福箱至少装6张福卡的情况下，“②敬业福”的数量应最少，所以可以设“②敬业福”装1张；因为要使摸到“①爱国福”的可能性最大，所以“③和谐福”的数量不能太多。在已经确定“④友善福”为0张，“②敬业福”为1张的情况下，设“③和谐福”装2张是比较合理的。据此解答即可。 【规范解答】如图： 【变式训练1】（24-25五年级上·江西吉安·期末）十字路口红绿灯的时间设置为：红灯60秒，绿灯30秒，黄灯3秒。当你随意经过该路口时，遇到( )灯的可能性最大。 【答案】红 【思路引导】根据可能性大小的判断方法，比较红灯、绿灯、黄灯的时间长短，时间最长的，遇到的可能性最大；反之，时间最短的，遇到的可能性就最小。 【规范解答】60＞30＞3 当你随意经过该路口时，遇到红灯的可能性最大。 【变式训练2】（24-25五年级上·福建三明·期末）涛涛从一个不透明袋子里随机摸球，摸完放回摇匀，摸出的结果如下表，下面说法错误的是（    ）。 结果 次数 黑球 25 白球 1 红球 10 A．袋子里黑球可能最多 B．袋子里白球可能比红球少 C．再摸一次，可能会摸到白球 D．再摸一次，一定能摸到黑球 【答案】D 【思路引导】分析题目，摸出某种颜色的次数越多说明袋子里这种颜色的球可能越多，摸出的次数越少，说明袋子中这种颜色的球少；每一次摸球，每种球都有可能摸到，据此解答。 【规范解答】根据分析： A．因为25＞10＞1，所以说明袋子中黑球可能最多，原题说法正确； B．因为25＞10＞1，所以白球可能最少，红球的个数可能大于白球且小于黑球，那么袋子里白球可能比红球少，原题说法正确； C．袋子中有黑球、白球、红球，再摸一次，可能会摸到白球，也可能摸到黑球或红球，原题说法正确； D．再摸一次，每种球都有可能摸到，一定能摸到黑球这个说法是错误的。 故答案为：D 易错讲练4 概率的认识 【典例精讲】．（20-21六年级下·广东云浮·期末）抛硬币1000次，一定会有500次正面朝上，500次反面朝上。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】可能性预示着事物发展的趋势，但不是一定会出现预示的结果，据此分析。 【规范解答】抛硬币1000次，正面和反面朝上的次数可能会接近500次，不一定正好各500次。 故答案为：× 【考点剖析】抛硬币正面和反面朝上的结果只是一个不确定事件发生的可能性的大小。 【变式训练1】（23-24五年级上·河北邯郸·期末）三张数字卡片上分别写着4，6，7，用这三张卡片任意摆三位数。摆出奇数的可能性是，摆出偶数的可能性是。 【答案】； 【思路引导】可先用这些数字组合成三位数，然后在其中找到奇数、偶数，利用分数与除法的关系，计算摆出奇数、偶数的可能性，注意能约分的要约分。 【规范解答】组成的三位数有：467、476、647、674、746、764，共计6个。其中，奇数有467、647；偶数有476、674、746、764。则摆出奇数的可能性是2÷6＝；摆出偶数的可能性是4÷6＝。 【考点剖析】主要考查了可能性，同时也涉及到数的简单排列组合，让我们感受到可能性的无处不在。 【变式训练2】（2024六年级下·全国·专题练习）在下面的盒子中一定能拿到黄球的是 【答案】2号盒子 【规范解答】略 易错讲练5 游戏规则的公平性 【典例精讲】（24-25五年级下·北京房山·期末）甲、乙两人玩掷骰子游戏，骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6。下列游戏规则中，公平的是（    ）。 A．朝上的数是奇数，甲赢；朝上的数是偶数，乙赢。 B．朝上的数是质数，甲赢；朝上的数是合数，乙赢。 C．朝上的数小于4，甲赢；朝上的数大于4，乙赢。 D．朝上的数小于3，甲赢；朝上的数大于3，乙赢。 【答案】A 【思路引导】确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】A．奇数有1、3、5，共3个，偶数有2、4、6，共3个，奇数和偶数的数量一样，公平； B．质数有2、3、5，共3个，合数有4、6，共2个，3＞2，朝上的数是质数的可能性大，不公平； C．小于4的数有1、2、3，共3个，大于4的数有5、6，共2个，甲赢的可能性大，不公平； D．小于3的数有1、2，共2个，大于3的数有4、5、6，共3个，乙赢的可能性大，不公平。 公平的是朝上的数是奇数，甲赢；朝上的数是偶数，乙赢。 故答案为：A 【变式训练1】（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明和小亮用转盘做游戏，指针停在阴影部分区域算小亮赢，指针停在空白区域算小明赢，请按要求涂一涂转盘。 【答案】见详解 【思路引导】阴影部分区域比空白区域多，小亮赢的可能性大；阴影部分区域比空白区域少，小明赢的可能性大；阴影部分和空白区域一样多，两人赢的可能性一样大，公平，据此涂色。 【规范解答】 （涂法不唯一） 【变式训练2】（22-23五年级上·河南鹤壁·期末）小丽和小琪做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回去再摇匀，每人摸5次。摸到红球小丽得1分，摸到绿球小琪得1分，摸到其他颜色的球二人都不得分，从（    ）口袋里摸球公平的。 A．2个红球、2个绿球、1个黄球 B．1个红球、2个绿球、2个黄球 C．2个红球、1个绿球、2个黄球 【答案】A 【思路引导】游戏是否公平，需要看两人得分的可能性是否一样大，也就是摸到红球和摸到绿球的可能性是否一样大，具体地说，就是看红球的个数和绿球的个数是否一样，若一样多，摸到两种颜色的球的可能性就一样大，游戏公平，否则就不公平，据此解答。 【规范解答】A．2＝2，红球和绿球的个数相同，摸到红球的可能性和摸到绿球的可能性相同，游戏公平； B．1＜2，红球比绿球少，摸到红球的可能性小于摸到绿球的可能性，游戏不公平； C．2＞1，红球比绿球多，摸到红球的可能性大于摸到绿球的可能性，游戏不公平。 小丽和小琪做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回去再摇匀，每人摸5次。摸到红球小丽得1分，摸到绿球小琪得1分，摸到其他颜色的球二人都不得分，从2个红球、2个绿球、1个黄球口袋里摸球公平的。 故答案为：A 易错讲练6 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25五年级上·四川广安·期末）小张同时从三张分别标有字母A、B、C的卡片中任意抽出两张，有（    ）种可能的结果。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】题目中卡片数量较少可以用列举法解答，按顺序依次列举，做到不重复不遗漏，列举出所有可能出现的结果，即可求得。 【规范解答】卡片A和卡片B，卡片A和卡片C，卡片B和卡片C，所以小张同时从三张分别标有字母A、B、C的卡片中任意抽出两张，有3种可能的结果。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25五年级上·内蒙古包头·期末）明明做实验，同时抛出两枚硬币，共抛了300次，落地后出现“一正一反”的最大可能是（    ）次左右。 A．75 B．100 C．150 【答案】C 【思路引导】假设这两枚硬币分别是A、B，抛出后，可能出现4种情况：A正B正、A反B反、A正B反、A反B正，其中“一正一反”有2种情况，所有的可能性中，“一正一反”的可能性占了一半，落地后出现“一正一反”的最大可能性＝抛出硬币的总次数÷2，据此解答。 【规范解答】300÷2＝150（次） 所以，落地后出现“一正一反”的最大可能是150次左右。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24五年级上·河北·单元测试）袋子里有大小、形状都相同的小球共4个，其中白球2个，红球2个． （1）从中无放回地摸出两个球，这2个球都是白色的可能性是多少？ （2）从中有放回地摸出两个球，这2个球颜色相同的可能性是多少？颜色不同的可能性是多少？ 【答案】（1） （2）， 【规范解答】（1）第一次摸到的可能性是：＝ 第二次摸到的可能是＝ 两次摸到的概率之积就是这2个球都是白色×＝ 答：这2个球都是白色的可能性是． （2）由（1）可知，都摸到白球的可能性是 同理，都摸到红球的可能性是 +＝ 1﹣＝ 答：这2个球颜色相同的可能性是，颜色不同的可能性是． 易错讲练7 生活中的概率 【典例精讲】（23-24五年级上·江西赣州·期末）张意买了一张体育彩票，（    ）会中奖。 A．可能 B．一定 C．不可能 【答案】A 【思路引导】张意买了一张体育彩票，能否中大奖是一个随机事件，可能中奖也可能不中奖。 【规范解答】由分析可得：因为购买彩票，是一个随机事件，可能中奖也可能不中奖，不能确定； 故答案为：A 【考点剖析】考查了确定事件和不确定事件，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 【变式训练1】（2024·全国·小升初真题）某地的天气预报说：“明天的降水概率是80%”根据这个预报，下面的说法正确的是。（　　） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性很小 D．明天下雨的可能性很大 【答案】D 【规范解答】明天的降水概率是80%，说明下雨的可能性很大，但不是一定下雨，它属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；进而得出答案。 故答案为：D 【变式训练2】（2023五年级·全国·课后作业）袋子里装有9个球，球上分别写有数字1～9。淘气和小冬玩摸球游戏，如果摸到奇数，淘气赢；如果摸到偶数，小冬赢。 （1）这个游戏规则公平吗？ （2）小冬一定会输吗？ （3）你能设计一个公平的规则吗？ 【答案】（1）不公平 （2）不一定 （3）见详解 【思路引导】（1）由题意可得，袋中有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9共9个球，摸到奇数的可能性有1、3、5、7、9共5种可能性，而摸到偶数的可能性只有2、4、6、8共4种可能性，据此判断即可。 （2）小冬不一定会输，无论获胜的可能性有多大，只要不是1，进行有限次游戏的输赢都是不一定的； （3）去掉1或9，使奇数和偶数都是4个，胜率各占一半，就公平了。当然加上10也可以，等等，只要使奇数和偶数的个数相同，就是公平的。 【规范解答】（1）这个游戏不公平，因为淘气胜率大于小冬的胜率。 （2）小冬不一定会输，因为有1、2、3、4、5、6、7、8、9共9个球，其中含有偶数的球有2、4、6、8号，小冬只是输的可能性大而已。 （3）要使游戏公平，去掉1或9，使奇数和偶数都是4个即可。（答案不唯一） 第五单元 简易方程 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点梳理05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点梳理06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点梳理07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点梳理08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点梳理09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点梳理10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点梳理10：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 【优选真题 易错讲练】18个考点 共36题 易错讲练1 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第五个数是( )，这五个连续自然数的和是( )。 【答案】 a＋2/2＋a 5a 【思路引导】相邻的两个自然数之间相差1，五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第二个数＋1＝第三个数，第三个数＋1＋1＝第五个数，中间自然数（第三个数）×5＝这五个连续自然数的和。 【规范解答】从小到大第三个数：a－1＋1＝a 从小到大第五个数：a＋1＋1＝（a＋2） 这五个连续自然数的和：a×5＝5a 第五个数是（a＋2），这五个连续自然数的和是5a。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）在a×0.98＝b÷0.99中（a、b均不为0），下面表示a、b大小关系正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【答案】A 【思路引导】假设a×0.98＝b÷0.99＝1，根据积÷一个因数＝另一个因数、商×除数＝被除数，分别求出a、b的值，再比较大小即可。 【规范解答】假设a×0.98＝b÷0.99＝1，则 a＝1÷0.98≈1.02 b＝1×0.99＝0.99 1.02＞0.99，所以a＞b。 故答案为：A 易错讲练2 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24五年级上·黑龙江双鸭山·期末）一个长方形，长acm，宽8cm，如果把它的长减少1cm，宽不变，那么它的面积变成了（    ）cm2。 A．8（a－1） B．8a C．8a－1 【答案】A 【思路引导】根据题意，长方形的长acm减少1cm，长变成（a－1）cm，宽8cm不变；根据长方形的面积＝长×宽，据此用含字母的式子表示长方形的面积。 【规范解答】（a－1）×8＝8（a－1）cm2 或8（a－1）＝（8a－8）cm2 那么它的面积变成8（a－1）cm2或（8a－8）cm2。 故答案为：A 【变式训练】（22-23五年级上·河北邯郸·期末）……第8个图形中，有 个涂色小三角形，第20个图形中，有 个涂色小三角形。 【答案】 36 210 【思路引导】根据观察，图中涂色小三角形的个数分别是，1、1＋2＝3、1＋2＋3＝6…以此类推，第四个图形里有1＋2＋3＋4＝10，第五个图形就是1＋2＋3＋4＋5＝15，由此可得出第n个图形的涂色小三角形的总个数为1＋2＋3＋…＋n＝n×（n＋1）÷2；据此解答即可。 【规范解答】阴影三角形的规律是n×（n＋1）÷2，第8个图形中有： 8×（8＋1）÷2 ＝8×9÷2 ＝72÷2 ＝36（个） 第20个图形中有： 20×（20＋1）÷2 ＝20×21÷2 ＝420÷2 ＝210（个） 所以第8个图形中有36个，第20个图形中有210个。 易错讲练3 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24五年级上·四川绵阳·期末）妈妈买了a千克梨子，每千克4.5元，又买了b千克苹果，每千克5元，那么4.5a－5b表示的是（    ）。 A．梨子比苹果重多少千克 B．梨子和苹果共付多少钱 C．苹果比梨子少付多少钱 【答案】C 【思路引导】根据“单价×数量＝总价”可知，4.5a表示买梨子花的钱数，5b表示买苹果花的钱数；由此得出4.5a－5b表示买梨子比苹果多付的钱数，或者买苹果比梨子少付的钱数。 【规范解答】A．梨子比苹果重多少千克，用a－b表示，不符合题意； B．梨子和苹果共付多少钱，用4.5a＋5b表示，不符合题意； C．苹果比梨子少付多少钱，用4.5a－5b表示，符合题意。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级上·河南周口·期末）王老师带200元去体育用品店买足球，每个足球a元，王老师买了2个足球，式子200－2a表示的是( )。 【答案】剩下的钱数 【思路引导】单价×数量＝总价，足球单价×个数＝买足球花的钱数，总钱数－买足球花的钱数＝剩下的钱数，据此分析。 【规范解答】王老师带200元去体育用品店买足球，每个足球a元，王老师买了2个足球，200是总钱数，2a是买足球花的钱数，式子200－2a表示的是剩下的钱数。 易错讲练4 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）五年级本学期共读古典名著《西游记》，全书共a页，每天读12页，已经读了b天，用含有字母的式子表示，还有( )页没读。当a＝596，b＝8时，还有( )页没读。 【答案】 a－12b 500 【思路引导】用每天读的页数乘已经读的天数，求出已经读的页数，再用总页数减去已经读的页数，就是还有多少页没读；把a＝596，b＝8代入上面的关系式中，计算即可解答。 【规范解答】a－12×b＝（a－12b）（页） 把a＝596，b＝8代入a－12b，得： 596－12×8 ＝596－96 ＝500（页） 所以全书共a页，每天读12页，已经读了b天，用含有字母的式子表示，还有（a－12b）页没读，当a＝596，b＝8时，还有500页没读。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）按照图中摆出若干个正方形。 (1)摆8个这样的正方形需要( )根小棒。 (2)如果要摆a个正方形（a大于1），用n表示所需小棒的根数，那么n＝( )。 【答案】(1)25 (2)3a＋1 【思路引导】观察图形可知，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（4＋3）根小棒，摆3个正方形需要（4＋3×2）根小棒，摆4个正方形需要（4＋3×3）根小棒……则摆a个正方形需要[4＋3×（a－1）]根小棒，据此解答即可。 【规范解答】（1）（1）4＋3×（8－1） ＝4＋3×7 ＝4＋21 ＝25（根） 摆8个这样的正方形需要25根小棒。 （2）（2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）根 如果要摆a个正方形（a大于1），用n表示所需小棒的根数，那么n＝3a＋1。 易错讲练5 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】．（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（    ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【答案】C 【思路引导】A．由题意可知，长方形的宽为x分米，则长为4x分米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2列出方程并与4x＋x＝20比较； B．由题意可知，男生有x人，等量关系为：男生的人数×4＝女生的人数，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； C．由题意可知，鸡有x只，则鸭有4x只，等量关系为：鸡的只数＋鸭的只数＝20，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； D．由题意可知，杏树有x棵，则桃树的棵数＝杏树的棵数×4＋20，据此写出关系式并与4x＋x＝20比较。 【规范解答】A．（x＋4x）×2＝20 长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍。它们的数量关系可以用“（x＋4x）×2＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； B．4x＝20 合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍。它们的数量关系可以用“4x＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； C．4x＋x＝20 王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍。它们的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示； D．4×x＋20＝4x＋20 杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵。桃树的棵数可以用“4x＋20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示。 故答案为：C 【变式训练】（22-23五年级上·江西吉安·期末）下面式子中，（    ）不是方程。 A．5a＋b＝6 B．6x＝20.4 C．3x＋8＜10 D．3x－6＝5y 【答案】C 【思路引导】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数；据此解题即可。 【规范解答】A．5a＋b＝6，是方程； B．6x＝20.4，是方程； C．3x＋8＜10，不是等式； D．3x－6＝5y，是方程。 故答案为：C 【考点剖析】正确理解“方程是含有未知数的等式”的意义，是解答此题的关键。 易错讲练6 方程的认识 【典例精讲】（23-24五年级上·全国·期末）下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】表示左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程，注意方程的两个条件：①含未知数；②等式。据此判断。 【规范解答】A．含有未知数，但不是等式，所以不是方程； B．含有未知数，但不是等式，所以不是方程； C．是等式，也含有未知数，所以是方程。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）下面式子中，（    ）是方程。 A． B．16－2x＝8 C．30x－18 D． 【答案】B 【思路引导】含有未知数的等式叫作方程，据此可知，方程一定是等式，等式不一定是方程。注意方程的两个条件：①含未知数；②等式；据此解答。 【规范解答】A．18×6＝108，是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．16－2x＝8，含有未知数，且是等式，所以是方程； C．30x－18，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； D．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 所以是方程的是16－2x＝8。 故答案为：B 易错讲练7 列简易方程 【典例精讲】（23-24五年级下·北京海淀·期末）甲、乙两工程队铺一条长2400m的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺160m，乙队每天铺140m。几天后能铺完这条公路？如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是（    ）。 A．160x＝2400＋140x B．160x＝2400－140x C．160x＋140x＝2400 D．（160＋140）x＝2400 【答案】A 【思路引导】根据题意，设x天后铺完这条公路，甲队每天铺160m，x天修160xm，乙队每天铺140m，x天修140xm，甲队修的米数＋乙队修的米数＝这条路的总长度，根据等量关系判断各选项即可。 【规范解答】A．160x＝2400＋140x表示甲队修的米数＝这条路的总长度＋乙队修的米数，不符合题意； B．160x＝2400－140x表示甲队修的米数＝这条路的总长度－乙队修的米数，符合题意； C．160x＋140x＝2400表示甲队修的米数＋乙队修的米数＝这条路的总长度，符合题意； D．（160＋140）x＝2400表示（甲队每天修的米数＋乙队每天修的米数）×一共修的天数＝这条路的总长度，符合题意； 所以如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是160x＝2400＋140x。 故答案为：A 【变式训练】（23-24五年级上·河北保定·期末）下面选项中，不能用方程“”来表示的是（    ）。 A．3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克。 B．买3千克苹果，每千克苹果x元，付出20元，找回2元。 C．绕保温杯一圈长x厘米，用一根20厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出2厘米。 【答案】A 【思路引导】A．将3个小球的质量减去一个大球质量，差等于2克； B．将付出的钱减去买苹果花的钱，等于找回的钱2元； C．将3圈乘每圈的长度x米，再加上2厘米，会等于细绳的长度20厘米。 【规范解答】A．3x－20＝2； B．20－3x＝2，或3x＋2＝20； C．3x＋2＝20； 所以，A选项不能用方程“3x＋2＝20”表示。 故答案为：A 易错讲练8 等式的性质1 【典例精讲】（24-25五年级上·山西忻州·期末）已知2x＝3y（x、y是非零自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（    ）。 A．3x＝4.5y B．20x＝6y＋16x C．4x＝9y 【答案】C 【思路引导】等式的性质： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 【规范解答】A．3x＝4.5y，两边同时÷1.5，可得2x＝3y； B．20x＝6y＋16x，两边同时－16x，再同时÷2，可得2x＝3y； C．4x＝9y，两边同时÷2，可得2x＝4.5y。 等式不成立的是4x＝9y。 故答案为：C 【变式训练】（22-23五年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，不正确的是（    ）。 A．若a＝b，则a＋3＝b＋3 B．若a＝b，则a×1.5＝b×2.5 C．若a＝b，则a－c＝b－c D．若a＝b，则a÷100＝b÷100 【答案】B 【思路引导】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（除外），等式仍然成立，据此对每个选项进行分析，找到不正确的选项即可。 【规范解答】A．如果a＝b，根据等式的基本性质，a＋3＝b＋3，说法正确； B．如果a＝b，根据等式基本性质，a×1.5＝b×1.5，说法错误； C．如果a＝b，根据等式的基本性质，a－c＝b－c，说法正确； D．如果a＝b，根据等式的基本性质，a÷100＝b÷100，说法正确； 故答案为：B 易错讲练9 等式的性质2 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北随州·期末）根据等式的性质，a＝b（a，b都不为0）变式后错误的是（    ）。 A．a＋1.8＝b＋1.8 B．a×2.5＝b÷2.5 C．a8＝b8 D．a2＝ab 【答案】B 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。 【规范解答】A．等式a＝b变成a＋1.8＝b＋1.8，利用等式的性质1，正确； B．等式a＝b变成a×2.5＝b÷2.5，左右两边的变化不相同，错误； C．等式a＝b变成a－8＝b－8，利用等式的性质1，正确； D．等式a＝b变成a2＝ab，利用等式的性质2，正确； 故答案为：B 【变式训练】（23-24四年级下·湖北武汉·期末）如果5a＝b，根据等式的性质在横线填上合适的数。 5a＋8＝b＋             5a÷ ＝b÷2.5 【答案】 8 2.5 【思路引导】由于5a＝b，则第一个把5a换成b，即左边的式子变为b＋8，要使两边相等，则根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，等式不变，则第一个空填8；第二个空变为b÷（ ）＝b÷2.5，根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个数（0除外）等式不变，即第二个空填2.5。 【规范解答】由分析可知： 5a＋8＝b＋8 5a÷2.5＝b÷2.5 易错讲练10 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）解方程。 4.5x＝2.7        4.5x＋3.8x＝16.6        x－2.6×8＝45 【答案】x＝0.6；x＝2；x＝65.8 【思路引导】第一个：根据等式的性质2，等式两边同时除以4.5即可求解； 第二个：先化简等号左边的式子，即原式变为：8.3x＝16.6，再根据等式的性质2，等式两边同时除以8.3即可求解； 第三个：根据等式的性质1，等式两边同时加上2.6×8的积。 【规范解答】4.5x＝2.7 解：4.5x÷4.5＝2.7÷4.5 x＝0.6 4.5x＋3.8x＝16.6 解：8.3x＝16.6 8.3x÷8.3＝16.6÷8.3 x＝2 x－2.6×8＝45 解：x－20.8＝45 x－20.8＋20.8＝45＋20.8 x＝65.8 【变式训练】（22-23五年级上·重庆城口·期末）解方程。 （1）            （2） （3）        （4） 【答案】；； ； 【思路引导】（1）根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时减5，计算即可得解； （2）根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时加3，再根据等式性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以7，计算即可得解； （3）先计算等式左边的加法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以2.1，计算即可得解； （4）根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以8，再根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时加12。最后等式两边再同时除以5，计算即可得解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 易错讲练11 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（24-25五年级上·河北沧州·期末）解方程。 20.4－7x＝12        2x＋1.5x＝17.5        （x＋2.6）÷5＝20 【答案】x＝1.2；x＝5；x＝97.4 【思路引导】20.4－7x＝12，根据等式的性质1，方程两边同时加上7x，再减去12，再根据等式的性质2，方程两边同时除以7即可。 2x＋1.5x＝17.5，先化简方程左边含有x的算式，即求出2＋1.5的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2＋1.5的和即可。 （x＋2.6）÷5＝20，根据等式的性质2，方程两边同时乘5，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.6即可。 【规范解答】20.4－7x＝12 解：20.4－7x＋7x－12＝12－12＋7x 7x＝20.4－12 7x＝8.4 7x÷7＝8.4÷7 x＝1.2 2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x＝17.5 3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 （x＋2.6）÷5＝20 解（x＋2.6）÷5×5＝20×5 x＋2.6＝100 x＋2.6－2.6＝100－2.6 x＝97.4 【变式训练】（24-25五年级上·四川凉山·期末）解方程。 7.6÷＝0.08        8（－20）＝25.6      5＋0.3×8＝7.7 【答案】＝95；＝23.2；＝1.06 【思路引导】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时乘，把方程变成0.08＝7.6，然后方程两边同时除以0.08，求出方程的解； （2）方程两边先同时除以8，再同时加上20，求出方程的解； （3）先把方程化简成5＋2.4＝7.7，然后方程两边先同时减去2.4，再同时除以5，求出方程的解。 【规范解答】（1）7.6÷＝0.08 解：7.6÷×＝0.08× 0.08＝7.6 0.08÷0.08＝7.6÷0.08 ＝95 （2）8（－20）＝25.6 解：8（－20）÷8＝25.6÷8 －20＝3.2 －20＋20＝3.2＋20 ＝23.2 （3）5＋0.3×8＝7.7 解：5＋2.4＝7.7 5＋2.4－2.4＝7.7－2.4 5＝5.3 5÷5＝5.3÷5 ＝1.06 易错讲练12 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）解方程。（带☆的要写出检验过程。） 1.4x＋9.2x＝53        （3x－7）÷5＝16        ☆6.8＋3.2x＝14.8 【答案】x＝5；x＝29；x＝2.5 【思路引导】（1）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以10.6，计算即可。 （2）根据等式的基本性质2，等式两边同时乘5，再根据等式的基本性质1，等式两边同时加7，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3，计算即可。 （3）根据等式的基本性质1，等式两边同时减6.8，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3.2，计算即可。检验就把x的解代入等式的左边，计算出左边的结果如与右边的数相等，即所得的解正确。 【规范解答】1.4x＋9.2x＝53 解：10.6x＝53 10.6x÷10.6＝53÷10.6 x＝5 （3x－7）÷5＝16 解：（3x－7）÷5×5＝16×5 3x－7＝80 3x－7＋7＝80＋7 3x＝87 3x÷3＝87÷3 x＝29 6.8＋3.2x＝14.8 解：6.8＋3.2x－6.8＝14.8－6.8 3.2x＝8 3.2x÷3.2＝8÷3.2 x＝2.5 检验：当x＝2.5 左边＝6.8＋3.2×2.5 ＝6.8＋8 ＝14.8 右边＝14.8 左边＝右边，所以x＝2.5是方程的解。 【变式训练】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）解方程。 （1）8.6＋4x＝19.8     （2）x＋1.4x＝12 （3）6.6÷x＝15         （4）6x－0.9＝4.5 【答案】（1）x＝2.8；（2）x＝5 （3）x＝0.44；（4）x＝0.9 【思路引导】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去8.6，再同时除以4即可； （2）乘法分配律可以逆运用，用字母表示：a×c＋b×c＝（a＋b）×c；先运用乘法分配律的逆运算化简方程为2.4x＝12，再根据等式的性质，方程两边同时除以2.4即可； （3）根据等式的性质，方程两边同时乘x，再将方程左右两边的式子交换位置，然后同时除以15即可； （4）根据等式的性质，方程两边同时加上0.9，再同时除以6即可；据此解答。 【规范解答】（1）8.6＋4x＝19.8 解：8.6＋4x－8.6＝19.8－8.6 4x＝11.2 4x÷4＝11.2÷4 x＝2.8 （2）x＋1.4x＝12 解：2.4x＝12 2.4x÷2.4＝12÷2.4 x＝5 （3）6.6÷x＝15 解：6.6÷x×x＝15×x 6.6＝15x 15x＝6.6 15x÷15＝6.6÷15 x＝0.44 （4）6x－0.9＝4.5 解：6x－0.9＋0.9＝4.5＋0.9 6x＝5.4 6x÷6＝5.4÷6 x＝0.9 易错讲练13 解含括号的方程 【典例精讲】（24-25五年级上·河北张家口·期末）解方程。 31x＋25x＝112           x－0.7x＝21 （x－3）÷2＝7.5        4.6x－x＝4.32 【答案】x＝2；x＝70 x＝18；x＝1.2 【思路引导】“31x＋25x＝112”先计算加法，再将等式两边同时除以56，解出x； “x－0.7x＝21”先计算减法，再将等式两边同时除以0.3，解出x； “（x－3）÷2＝7.5”将等式两边先同时乘2，再同时加上3，解出x； “4.6x－x＝4.32”先计算减法，再将等式两边同时除以3.6，解出x。 【规范解答】31x＋25x＝112 解：56x＝112 56x÷56＝112÷56 x＝2 x－0.7x＝21 解：0.3x＝21 0.3x÷0.3＝21÷0.3 x＝70 （x－3）÷2＝7.5 解：（x－3）÷2×2＝7.5×2 x－3＝15 x－3＋3＝15＋3 x＝18 4.6x－x＝4.32 解：3.6x＝4.32 3.6x÷3.6＝4.32÷3.6 x＝1.2 【变式训练】（23-24五年级上·全国·单元测试）解下列方程。                   【答案】x＝13；x＝13.75；x＝6.5； x＝8；x＝3；x＝6 【思路引导】（1）根据等式的性质一，方程两边同时减17，然后根据等式的性质二，方程两边同时除以9即可； （2）根据等式的性质二，方程两边同时除以4，然后根据等式的性质一，方程两边同时加6，最后同时除以2即可； （3）将方程左侧先化简成2.8x，然后方程两边同时除以2.8即可； （4）根据等式的性质二，方程两边同时乘5，然后根据等式的性质一，方程两边同时加8，最后同时除以6即可； （5）将方程左侧先化简成8.1x，然后方程两边同时除以8.1即可； （6）先根据除法各部分之间的关系，除数等于被除数除以商，将方程转化为x＝9.6÷1.6，计算求解即可。 【规范解答】9x＋17＝134 解：9x＋17－17＝134－17 9x＝117 9x÷9＝117÷9 x＝13 4×（2x－6）＝86 解：4×（2x－6）÷4＝86÷4 2x－6＝21.5 2x－6＋6＝21.5＋6 2x＝27.6 2x÷2＝27.6÷2 x＝13.75 x＋1.8x＝18.2 解：2.8x＝18.2 2.8x÷2.8＝18.2÷2.8 x＝6.5 （6x－8）÷5＝8 解：（6x－8）÷5×5＝8×5 6x－8＝40 6x－8＋8＝40＋8 6x＝48 6x÷6＝48÷6 x＝8 9.7x－1.6x＝24.3 解：8.1x＝24.3 8.1x÷8.1＝24.3÷8.1 x＝3 9.6÷x＝1.6 解：x＝9.6÷1.6 x＝6 易错讲练14 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（22-23五年级上·河南新乡·期末）已知3.2－2与10＋2.4的值相等，那么＝( )。 【答案】15 【思路引导】已知3.2－2与10＋2.4的值相等，即3.2－2＝10＋2.4，根据等式的性质解方程，方程两边先同时减去2.4，把未知数都统一到等号的左边，方程变成0.8－2＝10，然后方程两边先同时加上2，再同时除以0.8，求出的值。 【规范解答】3.2－2＝10＋2.4 解：3.2－2－2.4＝10＋2.4－2.4 0.8－2＝10 0.8－2＋2＝10＋2 0.8＝12 0.8÷0.8＝12÷0.8 ＝15 【考点剖析】本题考查利用等式的性质解方程，掌握方程两边都有未知数的解法。 【变式训练】（21-22五年级上·湖北武汉·期末）（    ）是方程的解。 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【思路引导】根据等式性质1，等式两边同时减去2.5x，再根据等式性质2，等式两边同时除以3.5，即可算出x的值。 【规范解答】6x＝7＋2.5x 解： 故答案为：A 【考点剖析】此题考查了等式性质以及解方程。要求学生熟练掌握并灵活运用。 易错讲练15 方程的检验 【典例精讲】（23-24五年级上·河南新乡·期末）解方程，带★的写出检验过程。 x÷2.5＝7.2         4x＋3.6x＝38           ★ 【答案】x＝18；x＝5；x＝12.7；检验过程见详解 【思路引导】x÷2.5＝7.2，根据等式的性质2，两边同时×2.5即可； 4x＋3.6x＝38，先将左边合并成7.6x，根据等式的性质2，两边同时÷7.6即可； ★，根据等式的性质1和2，两边同时÷2，再同时＋4.8即可。 方程的检验：要将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【规范解答】x÷2.5＝7.2 解：x÷2.5×2.5＝7.2×2.5 x＝18 4x＋3.6x＝38 解：7.6x＝38 7.6x÷7.6＝38÷7.6 x＝5 ★ 解： 检验：方程的左边＝2（x－4.8） ＝2×（12.7－4.8） ＝2×7.9 ＝15.8 ＝方程的右边 所以x＝12.7是方程的解。 【变式训练】（23-24五年级上·福建莆田·期末）解方程。      （写出检验） 【答案】； 【思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （1）方程等号左右两边先同时减去0.6，等号左右两边再同时除以0.4，即可解出方程； （2）先化简方程得到，等号左右两边再同时除以0.58，即可解出方程。 检验：把求得的未知数的值代入原方程；按照原方程中给定的运算顺序和计算法则，分别计算方程左右两边的表达式；比较方程左右两边的计算结果，如果相等，说明求得的未知数的值是原方程的解；如果不相等，则不是原方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： 检验：把代入原方程， 左边＝3－0.42×3 ＝3－1.26 ＝1.74 右边＝1.74 左边等于右边，所以是原方程的解。 易错讲练16 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米，比洞庭湖面积的4.5倍少700平方千米。洞庭湖的面积是多少平方千米？（用方程解） 【答案】2600平方千米 【思路引导】设洞庭湖的面积是x平方千米，根据马尔马拉海比洞庭湖面积的4.5倍少700平方千米，列出方程求解即可。 【规范解答】解：设洞庭湖的面积是x平方千米。 4.5x－700＝11000 4.5x－700＋700＝11000＋700 4.5x＝11700 4.5x÷4.5＝11700÷4.5 x＝2600 答：洞庭湖的面积是2600平方千米。 【变式训练】（23-24五年级上·重庆渝中·期末）甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。乙到达B地后，立即返回A地，乙离开B地12分钟后与正向B地行走的甲相遇。乙行完全程需要( )分钟。 【答案】84 【思路引导】设乙行完全程需要x分钟，已知乙每分钟走80米，则从A地到B地的总路程是80x米。乙离开B地12分钟后与甲相遇，则相遇时甲走了（x＋12）分钟，甲每分钟走60米，则甲走的路程是60（x＋12）米，乙走的路程是80（x＋12），两人一共走的路程和是A地到B地两地路程的2倍，据此列出方程：60（x＋12）＋80（x＋12）＝80x×2，根据等式的性质解出方程即可。 【规范解答】解：设乙行完全程需要x分钟。 60（x＋12）＋80（x＋12）＝80x×2 60x＋720＋80x＋960＝160x 140x＋1680＝160x 140x＋1680－140x＝160x－140x 1680＝20x 1680÷20＝20x÷20 x＝84 则乙行完全程需要84分钟。 【考点剖析】明确两人一共走的路程和是A、B两地路程的2倍，据此分别用含有x的式子表示两人各自走的路程、A地到B地两地的路程是解题的关键。 易错讲练17 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）改革开放40多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付再到移动支付＋刷脸支付，中国人的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。某天店里的付款方式如下： 信息：①微信和支付宝共195单信息        ②支付宝单数是现金的7.5倍 ③支付宝单数比现金多65单信息     ④微信单数是支付宝的1.6倍 要想求出支付宝和微信分别有多少单，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） 解答： 【答案】①；④ 支付宝75单；微信120单 【思路引导】选择信息①和④，设支付宝有x单，则微信有1.6x单，根据支付宝单数＋微信单数＝总单数，列出方程求出x的值是支付宝单数，支付宝单数×1.6＝微信单数。 【规范解答】选择的信息是①和④。 解：设支付宝有x单， x＋1.6x＝195 2.6x＝195 2.6x÷2.6＝195÷2.6 x＝75 75×1.6＝120（单） 答：支付宝有75单，微信有120单。 【变式训练】（2023五年级上·全国·专题练习）复杂的分段问题。 为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数（度） 知心电价（元/度） 第一档 小于或等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于或等于400 0.85 某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元。已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度。问该户居民五、六月份各用电多少度？ 【答案】六月份的用电数是310度；五月份的用电数是190度 【思路引导】如果五月份的用电数大于200度，则五、六月份的每度电价都是0.6元，根据单价×数量＝总价，用0.6×500即可求出总价是300元，和290.5不符，所以五月份的用电数小于或等于200度，每度电价是0.5元，六月份的每度电价是0.6元，设六月份的用电数是x度，五月份的用电数是（500－x）度，根据单价×数量＝总价，列方程为0.6x＋（500－x）×0.55＝290.5，然后解出方程即可。 【规范解答】第①种情况：五月份的用电数大于200度， 五六月总价是0.6×500＝300（元） 300≠290.5 所以第①种情况不符合题意； 第②种情况：五月份的用电数小于或等于200度， 解：设六月份的用电数是x度，五月份的用电数是（500－x）度。 0.6x＋（500－x）×0.55＝290.5 0.6x＋275－0.55x＝290.5 0.05x＋275＝290.5 0.05x＋275－275＝290.5－275 0.05x＝15.5 0.05x÷0.05＝15.5÷0.05 x＝310 500－310＝190（度） 答：六月份的用电数是310度，五月份的用电数是190度。 【考点剖析】本题主要考查了分段收费问题，需明确每档的单价不同，然后列方程解决问题。 易错讲练18 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（2022·湖南长沙·小升初真题）一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（    ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 【答案】B 【思路引导】顺流速度＝船速＋2，逆流速度＝船速－2；速度×时间＝路程，由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，得等量关系式（船速＋2）×6＝（船速－2）×8，据此列方程解答求出船速，进而求出两地间的距离。 【规范解答】解：设船在静水中的速度是每小时x千米。 （x＋2）×6＝（x－2）×8 6x＋12＝8x－16 6x＋12－12＝8x－16－12 6x＝8x－（16＋12） 6x＝8x－28 8x－28＋28＝6x＋28 8x＝6x＋28 8x－6x＝6x＋28－6x 2x＝28 2x÷2＝28÷2 x＝14 （14＋2）×6 ＝16×6 ＝96（千米） 两地之间的距离是96千米。 故答案为：B 【考点剖析】此题用方程解答比较好理解，关键是先求出船速，再根据速度×时间＝路程求出全程。 【变式训练】（22-23五年级上·河南郑州·期末）郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 【答案】B 【思路引导】设这个园区内共有x头双峰骆驼，则单峰骆驼有（36－x）头，单峰骆驼数量×1＋双峰骆驼×2＝48，据此列出方程求出x的值即可。 【规范解答】解：设这个园区内共有x头双峰骆驼。 （36－x）×1＋2x＝48 36－x＋2x＝48 36＋x＝48 36＋x－36＝48－36 x＝12 这个园区内共有12头双峰骆驼。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查鸡兔同笼问题，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 第六单元 多边形的面积 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：平行四边形的面积 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高（） 公式推导： 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 易错点拨： 1.底和高必须是对应的（互相垂直）。 2.单位要统一（如厘米对应平方厘米）。 知识点梳理02：三角形的面积 定义：由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2（） 公式推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 注意事项： 1.必须用对应的底和高计算。 2.不要忘记除以2。 示例：一个三角形的底是5m，高是3m，面积是 。 知识点梳理03：梯形的面积 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰）。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2（） 公式推导：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 示例：一个梯形的上底是4dm，下底是6dm，高是3dm，面积是 。 知识点梳理04：组合图形的面积 定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 计算方法： 1.分割法：将组合图形分割成已学过的基本图形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形），分别计算面积后相加。 2.添补法：用一个大图形的面积减去补上去的小图形面积。 知识点梳理05：不规则图形的面积估算 方法： 1.数方格法：满格按1格计算，不满格按半格计算。 2.转化法：将不规则图形近似转化为已学过的基本图形估算面积。 知识点梳理06：易错点与培优技巧 易错点拨： 1.计算三角形、梯形面积时忘记除以2。 2.误用不对应的底和高计算面积（如梯形的腰当作高）。 3.单位换算错误（如平方米与平方分米混淆）。 培优技巧： 1.辅助线法：通过添加辅助线将复杂图形转化为基本图形（如连接梯形对角线分成两个三角形）。 2.等积变形：利用平行线间的距离相等，将图形转化为同底等高的等积图形简化计算。 3.公式逆用：已知面积和底（或高），求高（或底）时灵活运用公式变形（如 ）。 【优选真题 易错讲练】12个考点 共24题 易错讲练1 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（2021·河北保定·小升初真题）将一个平行四边形框架拉成一个长方形后，周长不变，面积变小。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】将平行四边形框架拉成长方形后，每条边的长度不变，所以周长不变；长方形的长等于平行四边形的底，但长方形的宽大于平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高判断面积的变化情况即可。 【规范解答】由分析得：将一个平行四边形框架拉成长方形后，周长不变，面积变大；原说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级上·浙江宁波·期末）一个平行四边形相邻的两条边分别长为20cm、10cm，其中一条高为12cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．10×12 B．20×12 C．20×10 D．（20＋10）×12÷2 【答案】A 【思路引导】 如图，平行四边形的高与底边的临边可以组成一个直角三角形，底边的临边是这个直角三角形的斜边，斜边大于直角边，因此平行四边形的高应该小于底边的临边，这个平行四边形对应的底和高是10cm和12cm，根据平行四边形面积＝底×高，列式即可。 【规范解答】10×12＝120（cm2） 这个平行四边形的面积是（10×12）cm2。 故答案为：A 易错讲练2 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，周长不变，面积也不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把长方形框架拉成一个平行四边形后，四条边的长度没变，所以平行四边形和长方形的周长相等。 把长方形框架拉成一个平行四边形后，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：长方形的面积大于平行四边形的面积。 【规范解答】 四条边的长度没变，则长方形的周长＝平行四边形的周长； 长方形的长＝平行四边形的底，长方形的宽＞平行四边形的高； 长×宽＞底×高，所以长方形的面积＞平行四边形的面积。 所以，把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，周长不变，面积变小。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）如图，刘爷爷家有一块平行四边形的菜地，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )m，面积是( )m2。 【答案】 20.4 21 【思路引导】根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高；用6×3.5，求出平行四边形菜地的面积，再用菜地的面积÷5，再根据求出高5m对应的底边的长度，再用两条邻边的和乘2求出篱笆的长度，据此解答。 【规范解答】6×3.5＝21（m2） 21÷5＝4.2（m） （6＋4.2）×2 ＝10.2×2 ＝20.4（m） 刘爷爷家有一块平行四边形的菜地，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆20.4m，面积是21m2。 易错讲练3 利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（20-21五年级上·广东广州·期末）如图，把一个底边是6厘米的平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个长方形。量得长方形的周长是20厘米，则原来平行四边形的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4 24 【思路引导】把平行四边形沿高剪开，再把剪下来的向右平移，就可以拼成一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，是6厘米，长方形的宽就是平行四边形的高，用长方形的周长除以2，求出长与宽的和，再减去长方形的长，就是长方形的宽，也就是原来平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式：S＝ah计算其面积，完成做题即可。 【规范解答】20÷2－6 ＝10－6 ＝4（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 【考点剖析】解决本题关键是明确平行四边形的底和高与长方形长和宽的关系。 【变式训练】（21-22五年级上·湖北武汉·期末）把图的平行四边形沿高剪开，可以分成图形①和图形②。将①平移后，和②拼成一个周长是36cm的正方形，那么这个平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】81 【思路引导】由题意可知：把一个平行四边形沿高剪开后得到两个图形，这两个图形可以拼成一个周长是36cm的正方形，可知出正方形的边长，因为这个平行四边形的面积就等于拼成的正方形的面积，根据正方形的面积公式：S＝a²，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】36÷4＝9（厘米） 9×9＝81（平方厘米） 【考点剖析】本题考查了平行四边形的面积，解答此题关键是理解平行四边形与正方形的面积是相等的。 易错讲练4 三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）古代数学名著《九章算术》中记载了三角形的面积计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）。如果下图三角形的广是10cm，从是7cm，那么将三角形转化成长方形后，长方形的面积是（    ）cm2。 A．10÷2×7＝35 B．10×7＝70 C．10＋7＝17 【答案】A 【思路引导】“半广以乘正从”就是说三角形的面积是底的一半乘高。这里要把三角形转化成长方形，根据这个古代方法以及转化的思路。已知三角形的广（底）是10cm，从（高）是7cm。按照“半广以乘正从”，转化后的长方形面积其实就相当于用三角形底的一半乘高。因为把三角形转化成长方形，这个长方形的面积计算和三角形面积计算有联系，根据古代的方法，是半广（底的一半）乘从（高）。底是10cm，半广就是10÷2＝5cm，高是7cm，那么长方形面积就是10÷2×7＝5×7＝35cm2。依次分析各选项，进而得出正确答案。 【规范解答】由分析可知，正确的计算是： 10÷2×7 ＝5×7 ＝35（cm2） 选项中，只有A选项符合。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）一个平行四边形（如图），涂色部分的面积是( )m2。 【答案】5.2 【思路引导】涂色部分的面积可以看作是两个涂色三角形的面积之和，其中这两个涂色三角形的底相等，设上面一个涂色三角形的高为am，则下面一个涂色三角形的高为（2.6－a）m；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入相应数值计算，据此解答。 【规范解答】4×a÷2＋4×（2.6－a）÷2 ＝4a÷2＋（10.4－4a）÷2 ＝2a＋10.4÷2－4a÷2 ＝2a＋5.2－2a ＝5.2（m2） 因此涂色部分的面积是5.2m2。 易错讲练5 三角形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东济南·期末）按要求作答。 （1）如图中，如果点A用数对表示是（7，3），先把它向右平移1格，再向上平移2格后得到点B，则点B用数对表示是（    ）。 （2）再把点A、点B分别向左平移3格得到点D、点C，依次连接A、B、C、D得到一个平行四边形，请你画出这个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 （3）请你在方格纸中画一个和这个平行四边形面积相等的三角形。 【答案】（1）（8，5） （2）6 （3） 【思路引导】（1）数对（7，3）表示第7列，第3行，向右平移1格是第8列，向上平移2格是第5行，用数对表示（8，5）。 （2）依次连接的平行四边形的底是3厘米，高是2厘米，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可。 （3）三角形的面积是6平方厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，可以得出底×高＝12，可以设底是4厘米，高是3厘米。底和高不唯一，底和高的乘积是12即可。 【规范解答】（1）B是第8列，第5行，用数对表示（8，5）。 （2）3×2＝6（平方厘米） 则这个平行四边形的面积是6平方厘米。 （3）三角形的底是4厘米，高是3厘米。（图形不唯一） 【变式训练】（24-25五年级上·江西宜春·期末）如图是一面墙，中间有一个长2米，宽1.5米的窗户，如果粉刷这面墙平均每平方米用3千克石膏，一共需用多少千克石膏？ 【答案】80.1千克 【思路引导】先求出这面墙的面积；这面墙的面积等于长是6米，宽是4.2米的长方形面积，加上底是6米，高是1.5米的三角形面积，再减去长是2米，宽是1.5米的长方形窗户的面积；根据长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，求出这面墙的面积，再乘每平方米用石膏的数量，即可解答。 【规范解答】4.2×6＋6×1.5÷2－2×1.5 ＝25.2＋9÷2－3 ＝25.2＋4.5－3 ＝29.7－3 ＝26.7（平方米） 26.7×3＝80.1（千克） 答：一共需用80.1千克石膏。 易错讲练6 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（23-24五年级上·重庆垫江·期末）下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？（    ）（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【答案】（1）相等；（2）见详解 【思路引导】（1）三角形面积＝底×高÷2，这两个三角形的底均为2，高均为4，那么这两个三角形等底等高、面积相等； （2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。 【规范解答】（1）这两个三角形的面积相等吗？相等。 （2）如图： （答案不唯一） 【变式训练】（23-24五年级上·四川乐山·期末）图中两条虚线互相平行，图中有（    ）个三角形与阴影三角形ABC的面积相等。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】平行线间的距离处处相等，三角形面积＝底×高÷2，等底等高的三角形，面积相等，据此分析。 【规范解答】图中有3个三角形与阴影三角形同底等高，因此有3个三角形与阴影三角形ABC的面积相等。 故答案为：B 易错讲练7 梯形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积。出入相补原理是指：把一个图形分割、移补，而面积保持不变（如图）。说说下面梯形是如何通过转化来求面积的。 我发现：梯形可以通过分割、移补成一个( )形，转化后平行四边形的底是梯形的( )，平行四边形的高是梯形的( )；平行四边形的面积是“底×高”，所以梯形面积是( )（面积用字母表示）。 【答案】 平行四边 上底与下底的和 高的一半 S＝（a＋b）×h÷2 【思路引导】观察图形可知，通过对梯形的部分图形进行分割、移补等操作，能够拼接成平行四边形，所以把梯形进行分割、移补，可以转化成一个平行四边形； 观察图形的移补过程，将梯形的一部分切割移补后，平行四边形的底由梯形的上底和下底共同组成，所以转化后平行四边形的底是梯形的上底与下底的和，即（a＋b）； 因为在移补过程中，梯形的高被平分，成为平行四边形的高，所以平行四边形的高是梯形的高的一半，即（h÷2）； 由于梯形通过“出入相补”转化为平行四边形后面积不变，已知平行四边形的面积公式是“底×高”，那么转化后的平行四边形面积为S＝（a＋b）×（h÷2）＝（a＋b）×h÷2，即梯形的面积。 【规范解答】分析可知，梯形可以通过分割、移补成一个平行四边形，转化后平行四边形的底是梯形的上底与下底的和，平行四边形的高是梯形的高的一半；平行四边形的面积是“底×高”，所以梯形面积是S＝（a＋b）×h÷2。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）王大爷和李奶奶分别用40米长的篱笆围成了一块靠墙的菜地（如图）。围成菜地的面积相比，（    ）。 A．王大爷围的面积大 B．李奶奶围的面积大 C．两块菜地面积一样大 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】分别计算出两块菜地的面积，比较即可。王大爷的菜地：篱笆长－梯形的高＝梯形上下底的和，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算；李奶奶的菜地：篱笆长－三角形的高＝三角形的底，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算。 【规范解答】王大爷的菜地：（40－10）×10÷2 ＝30×10÷2 ＝150（平方米） 李奶奶的菜地：（40－10）×10÷2 ＝30×10÷2 ＝150（平方米） 两块菜地的面积都是150平方米，两块菜地面积一样大。 故答案为：C 易错讲练8 梯形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山东济南·期末）课本第96页第8题介绍了生活中堆圆木的一种方法，如图。假如有一批相同的电线杆也这样堆放，已知最下层有26根，最上层有15根，每相邻两层之间相差1根，一共堆放了12层。这批电线杆一共有( )根。 【答案】246 【思路引导】根据题意，这是一个上底是15下底是26，高是12的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2代入数据列式计算即可。 【规范解答】（15＋26）×12÷2 ＝41×12÷2 ＝492÷2 ＝246（根） 假如有一批相同的电线杆也这样堆放，已知最下层有26根，最上层有15根，每相邻两层之间相差1根，一共堆放了12层。这批电线杆一共有246根。 【变式训练】（24-25五年级上·河南焦作·期末）刘爷爷有块梯形麦田，梯形的上底是180米，下底是270米，高是120米，共收小麦32.4吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】12吨 【思路引导】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形麦田的面积，再把面积单位平方米换算成公顷，再用共收小麦的重量÷梯形麦田的面积，即可解答。 【规范解答】（180＋270）×120÷2 ＝450×120÷2 ＝54000÷2 ＝27000（平方米） 27000平方米＝2.7公顷 32.4÷2.7＝12（吨） 答：平均每公顷收小麦12吨。 易错讲练9 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（2024五年级·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】15平方厘米 【思路引导】由图意可知：两个三角形都去掉公共部分（三角形DOC），则剩余部分的面积仍然相等，即阴影部分的面积＝梯形OEFC的面积，先求出梯形的上底，进而利用梯形的面积公式即可求解。 【规范解答】（9﹣3＋9）×2÷2 ＝15×2÷2 ＝15（平方厘米） 答：阴影部分的面积是15平方厘米。 【考点剖析】解答此题的关键是明白：阴影部分的面积＝梯形OEFC的面积。 【变式训练】（22-23五年级上·河南漯河·期末）两个完全一样的直角三角形重叠一部分（如图），形成两个梯形A、B，这两个梯形的面积的大小关系是（    ）。 A．梯形A的面积大 B．梯形B的面积大 C．它们的面积相等 【答案】C 【思路引导】从图中可知，一个直角三角形是由梯形A和空白小三角形组成，另一个直角三角形是由梯形B和空白小三角形组成，因为两个直角三角形完全一样，它们的面积相等，空白小三角形是公共部分，由此得出梯形A和B的面积关系。 【规范解答】梯形A的面积＋空白小三角形的面积＝梯形B的面积＋空白小三角形的面积 梯形A的面积＝梯形B的面积 故答案为：C 【考点剖析】本题考查图形面积的转化，抓住两个直角三角形的面积相等以及空白小三角形是公共部分解答。 易错讲练10 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆·期末）求下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】40平方厘米；846平方厘米 【思路引导】图1是平行四边形，已知平行四边形底是10厘米，对应的高是4厘米，根据“平行四边形的面积＝底×高”计算出平行四边形面积即可； 图2的面积等于长方形的面积减去梯形的面积，已知长方形长40厘米，宽30厘米，根据“长方形的面积＝长×宽”计算出长方形面积，已知梯形上底是25厘米，下底是34厘米，高是12厘米，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积，最后用长方形面积减去梯形面积。 【规范解答】图1：10×4＝40（平方厘米） 所以这个平行四边形的面积是40平方厘米。 图2：40×30－（25＋34）×12÷2 ＝1200－59×12÷2 ＝1200－708÷2 ＝1200－354 ＝846（平方厘米） 所以它的面积是846平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级上·河北衡水·期末）求出下面图中阴影部分的面积。 【答案】38.4cm2；75cm2 【思路引导】观察左边图形，阴影部分是一个平行四边形，空白部分是一个等腰直角三角形（因为有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形），平行四边形的底是6.4cm，高等于等腰直角三角形的直角边，为6cm，根据“平行四边形面积＝底×高”计算出阴影部分的面积。 观察右边图形，两个阴影三角形的高都等于梯形的高10cm，且两个阴影三角形的底之和等于梯形的下底15cm，将两个阴影三角形看作一个整体，即底是15cm，高是10cm，根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出阴影部分的面积。 【规范解答】左图：6.4×6＝38.4（cm2） 所以该图中阴影部分的面积是38.4cm2。 右图：15×10÷2 ＝150÷2 ＝75（cm2） 所以该图中阴影部分的面积是75cm2。 易错讲练11 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·江西吉安·期末）求下面图形阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】18平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】梯形： （6＋12）×6÷2 ＝18×6÷2 ＝108÷2 ＝54（平方厘米）     三角形： 12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米）    阴影： 54－36＝18（平方厘米） 阴影部分的面积是18平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）计算下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1802.5平方厘米；100平方厘米 【思路引导】第一个阴影部分的面积＝梯形面积－平行四边形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高； 第二个阴影部分的面积＝长方形面积＋正方形面积－2个空白三角形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2。 【规范解答】（30＋85）×35÷2－6×35 ＝115×35÷2－210 ＝2012.5－210 ＝1802.5（平方厘米） 15×20＋10×10－15×20÷2－（20＋10）×10÷2 ＝300＋100－150－30×10÷2 ＝300＋100－150－150 ＝100（平方厘米） 阴影部分的面积分别是1802.5平方厘米、100平方厘米。 易错讲练12 不规则图形的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）小芳把弟弟的脚印拓印在纸上，并产生了一个问题：弟弟脚印的面积大约是多少？请你帮助小力解决这个问题，并记录解决问题的过程（可以涂一涂、数一数、算一算等）。（1个方格的面积表示1平方厘米） 【答案】26平方厘米（答案不唯一） 【思路引导】可采用估算的方法，先数整格数，再数不满格的，不满格按半格计算，然后再用总格数乘每个方格的面积，据此解答。 【规范解答】整格有16格，不满格的有20格 （平方厘米） 答：弟弟脚印的面积大约是26平方厘米。（答案不唯一） 【变式训练】（24-25五年级上·福建三明·期末）下面阴影部分是一块不规则形状的水塘，估算水塘面积最准确的是（    ）。 A．估成一个边长为5m的正方形面积 B．估成一个长为8m，宽为6m的长方形面积 C．估成一个上底为4m，下底为8m，高为6m的梯形面积 D．估成一个底为8m，高为6m的平行四边形面积 【答案】C 【思路引导】由图可知，阴影部分的形状近似于一个梯形，把不规则图形的面积转化为基本图形的面积，利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，即可估算出水塘的面积，据此解答。 【规范解答】如图： （4＋8）×6÷2 ＝12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（m2） 所以这块不规则形状的水塘面积大约是36m2。 估算水塘面积最准确的是将这个不规则形状的水塘估成一个上底为4m，下底为8m，高为6m的梯形面积。 故答案为：C 第七单元 数学广角-植树问题 【温故知新 知识梳理】 知识点梳理01：基本概念 四要素：植树问题涉及总长、间隔长、间隔数和棵数这四个关键要素。其中，间隔数的计算方法为：间隔数 = 总长÷间隔长。 间隔：间隔是指相邻两棵树之间的距离，它是理解植树问题的核心概念之一。 知识点梳理02：不同类型的植树问题及公式 问题1：非封闭线路植树问题 两端都种树：棵数 = 间隔数 + 1。例如，在一条长 60 米的路，每隔 3 米种一棵树，两端都种，先计算间隔数为 60÷3 = 20 个，那么棵数就是 20 + 1 = 21 棵。 两端都不种树：棵数 = 间隔数 - 1。比如在 50 米的路边种树，每隔 5 米种一棵，两端不种，间隔数是 50÷5 = 10 个，棵数则为 10 - 1 = 9 棵。 一端种，一端不种：棵数 = 间隔数。若有一条 35 米长的路，每隔 7 米种一棵树，一端种一端不种，间隔数为 35÷7 = 5 个，所以棵数也是 5 棵。 问题2：封闭线路植树问题 封闭线路（如圆形、方形、椭圆形等）上种树，棵数 = 间隔数。例如一个圆形花坛周长 48 米，每隔 6 米放一盆花，间隔数为 48÷6 = 8 个，盆数（即棵数）就是 8 盆。 知识点梳理03：常见题型及解题思路 问题1：求间隔长 已知总长、棵数和植树类型，先根据相应公式求出间隔数，再用总长除以间隔数得到间隔长。比如已知两端都种树，总长 100 米，种了 21 棵树，先求间隔数为 21 - 1 = 20 个，那么间隔长就是 100÷20 = 5 米。 问题2：求棵数 根据总长和间隔长求出间隔数，再依据植树类型选择合适的公式计算棵数。如两端都不种，总长 80 米，间隔长 4 米，间隔数为 80÷4 = 20 个，棵数为 20 - 1 = 19 棵。 问题3：求总长 先根据已知条件求出间隔数，再用间隔数乘间隔长得到总长。例如一端种一端不种，有 15 棵树，间隔长 6 米，间隔数等于棵数为 15 个，总长就是 15×6 = 90 米。 问题4：双植树问题 通常涉及两条线路或不同条件下的植树情况，需要分别分析每条线路的植树类型，再根据相应公式计算，最后综合考虑两条线路之间的关系进行求解。 知识点梳理04：特殊的植树问题拓展 问题1：锯木头问题 锯木头的时间花在锯的次数上，段数 = 次数 + 1，次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间×次数。例如把一根木头锯成 5 段，需要锯的次数是 5 - 1 = 4 次，如果每锯一次需要 3 分钟，那么总时间就是 4×3 = 12 分钟。 问题2：爬楼梯、敲钟问题 时间花在段数上。爬楼梯时，楼层间隔数 = 到达楼层数 - 1；敲钟时，间隔数 = 敲钟次数 - 1。比如小明从 1 楼爬到 6 楼，楼层间隔数为 6 - 1 = 5 个；时钟敲 8 下，间隔数为 8 - 1 = 7 个。 问题3：方阵问题 分类：方阵分为实心（中实）方阵和空心（中空）方阵。 基本特点 方阵任何一层的每边上物体数相等。 相邻两层，边长差 2。 相邻两层，圈长差 8。 基本公式 每层物体总数 = (该层每边物体数 - 1)×4。 实心方阵物体总数 = 最外层每边物体数×最外层每边物体数。 空心方阵物体总数 = 实心物体总数 - 空心部分物体总数。 【优选真题 易错讲练】4个考点 共16题 易错讲练1 植树问题（两端都栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）小华家住在九楼，为了锻炼身体，他每天都步行上楼，上一层楼大约需要15秒，那么他从一楼到家大约需要（    ）秒。 A．105 B．120 C．135 【答案】B 【思路引导】根据题意，住在九楼，则需要上（9－1）层，再乘15即可求出从一楼到家大约需要多少秒。 【规范解答】（9－1）×15 ＝8×15 ＝120（秒） 他从一楼到家大约需要120秒。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级上·湖北随州·期末）2024年10月6日随州市举行了半程马拉松比赛，全程约20千米，平均每2千米设置一个医疗救助站（起点和终点都设），全程一共需要设置( )个医疗救助站。 【答案】11 【思路引导】先用全长除以2得到有几个2千米，再根据植树问题的方法，两端都栽，再用几加1即可得解。 【规范解答】 （个） 2024年10月6日随州市举行了半程马拉松比赛，全程约20千米，平均每2千米设置一个医疗救助站（起点和终点都设），全程一共需要设置11个医疗救助站。 【变式训练2】（24-25五年级上·河南信阳·期末）某景区在一条小路一侧每隔40米放置一个垃圾桶（两端都放），一共放了16个，这条小路全长( )米。如果每隔60米放一个垃圾桶（两端都放），那么沿着小路的一侧应该放置( )个垃圾桶。 【答案】 600 11 【思路引导】分析题目，此题属于植树问题中两端都植的问题，植树的棵数＝全长÷间距＋1，全长＝（棵数－1）×间距，据此先用16减去1求出一共有多少个间隔，再乘40即可求出小路的全长；最后用小路的全长除以60再加1即可求出一共可以放置多少个垃圾桶。 【规范解答】（16－1）×40 ＝15×40 ＝600（米） 600÷60＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 某景区在一条小路一侧每隔40米放置一个垃圾桶（两端都放），一共放了16个，这条小路全长600米。如果每隔60米放一个垃圾桶（两端都放），那么沿着小路的一侧应该放置11个垃圾桶。 【变式训练3】（22-23五年级上·浙江杭州·期末）如图（单位：厘米），工厂生产的两摞羽毛球整齐地叠放在桌面上。这种羽毛球出厂时每12个装一筒，那么这个羽毛球筒至少需要多少高？ 【答案】26.6厘米 【思路引导】根据题图可知，最上面那一个羽毛球的高度＋4个间隔的高度＝15.4厘米，最上面那一个羽毛球的高度＋2个间隔的高度＝12.2厘米，两个式子相减，进而求出1个间隔的高度和一个羽毛球的高度；12个羽毛球叠起来的高度＝最上面那一个羽毛球的高度＋11×1个间隔的高度，据此解答。 【规范解答】（15.4－12.2）÷（4－2） ＝3.2÷2 ＝1.6（厘米） 12.2－1.6×（3－1） ＝12.2－1.6×2 ＝12.2－3.2 ＝9（厘米） 9＋1.6×（12－1） ＝9＋1.6×11 ＝9＋17.6 ＝26.6（厘米） 答：羽毛球筒至少需要26.6厘米高。 【考点剖析】本题考查了植树问题的灵活应用，先求出1个间隔的高度和一个羽毛球的高度是解答本题的关键。 易错讲练2 植树问题（两端都不栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）李师傅把一根电线剪成一段一段的，每段长都是5米，他剪了9次正好剪完。这根电线原来的长度是( )米。 【答案】50 【思路引导】剪的次数与段数的关系是段数比次数多1，因此剪9次得到（9＋1）段，每段5米，用每段的长度×（9＋1）段，即可求出电线原来的长度。 【规范解答】5×（9＋1） ＝5×10 ＝50（米） 李师傅把一根电线剪成一段一段的，每段长都是5米，他剪了9次正好剪完。这根电线原来的长度是50米。 【变式训练1】（22-23五年级上·安徽淮南·期末）把一根木头锯成两段需要4分钟，锯成7段需要( )分钟。 【答案】24 【思路引导】把一根木头锯成两段，锯1次，需要4分钟，锯成7段需要锯7－1＝6（次），根据乘法的意义，用锯一次所需的时间乘次数，即可解答。 【规范解答】4×（7－1） ＝4×6 ＝24（分钟） 则锯成7段需要24分钟。 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）在一条笔直走廊一侧，每隔a米摆放一盆花，如果两端不放，一共摆了x盆花，这条走廊长( )米；如果有一端要放，一共摆了x盆花，这条走廊长( )米。 【答案】 ax＋a ax 【思路引导】两端都不栽的植树问题中，间隔数＝棵数＋1，再利用“总长＝间距×间隔数”即可求得走廊的长度。一端栽一端不栽的植树问题中，即花盆数＝间隔数＝走廊的长度÷每两盆花之间的距离，则走廊的长度＝间隔数×每两盆花之间的距离，据此解答。 【规范解答】两端不放： 走廊长度：a×（x＋1）＝（ax＋a）米 一端放：a×x＝ax（米） 在一条笔直走廊一侧，每隔a米摆放一盆花，如果两端不放，一共摆了x盆花，这条走廊长（ax＋x）米；如果有一端要放，一共摆了x盆花，这条走廊长ax米。 【变式训练3】（23-24五年级上·山东济宁·期末）李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5米。 （1）这个花园的面积是多少平方米？   （2）在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 【答案】（1）70平方米 （2）16棵 【思路引导】（1）根据题意和图形，可知花园是一个直角梯形，梯形的上底、下底和高8米是用篱笆围成，那么用篱笆的全长减去8米，即是梯形的上底与下底之和；然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可求出这个花园的面积。 （2）先用篱笆的全长除以每相邻两棵观赏树的间距，求出观赏树的间隔数；因为篱笆两端不栽，则棵数＝间隔数－1，据此求出一共要栽观赏树的棵数。 【规范解答】（1）（25.5－8）×8÷2 ＝17.5×8÷2 ＝140÷2 ＝70（平方米）    答：这个花园的面积是70平方米。 （2）25.5÷1.5－1 ＝17－1 ＝16（棵）              答：一共要栽16棵观赏树。 【考点剖析】（1）本题考查梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底与下底之和是解题的关键。 （2）本题考查植树问题，明白两端都不栽时，“棵数＝间隔数－1”是解题的关键。 易错讲练3 植树问题（一端栽一端不栽） 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）如图所示，小明从家出发沿小路散步，每隔10米就有一棵小树，走到第10棵小树时，小明一共走了( )米。 【答案】100 【思路引导】根据植树问题，一端栽一端不栽，小明走到第10棵小树时，经过了10段间隔，即走了10个10米，用乘法计算即可。 【规范解答】（米） 如图所示，小明从家出发沿小路散步，每隔10米就有一棵小树，走到第10棵小树时，小明一共走了100米。 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有( )处这样的服务点。 【答案】12 【思路引导】根据植树问题，一端点植树则间隔数等于服务点数，用除法计算间隔数即可得解。 【规范解答】（处） 某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有12处这样的服务点。 【变式训练2】（24-25五年级上·湖南常德·期末）围棋盘的最外层每边都能放19枚棋子，外边第二层每边都能放17枚棋子。外边两层一共可以摆放多少枚棋子？ 【答案】136枚 【思路引导】根据题意，围棋盘的最外层每边都能放19枚棋子，外边第二层每边都能放17枚棋子，根据正方形每条边的棋子数量按照“一端栽一端不栽”的植树问题，可知最外层每边有（19－1）枚棋子，外边第二层每边有（17－1）枚棋子，一共有四条边，用每边的棋子数乘4，分别求出最外层与外边第二层的棋子数量，再相加即是外边两层一共摆放棋子的总数。 【规范解答】（19－1）×4 ＝18×4 ＝72（枚） （17－1）×4 ＝16×4 ＝64（枚） 一共：72＋64＝136（枚） 答：外边两层一共可以摆放136枚棋子。 【变式训练3】（22-23五年级上·宁夏固原·期末）一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【思路引导】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷间距＝路灯数量，据此列式解答。 【规范解答】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备50盏路灯。 易错讲练4 封闭图形上的植树问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【答案】168人 【思路引导】已知方阵最外层每边有25人，第二层每边有15人，中心的一层每边有5人，用每条边上的人数乘4，再减去每条边顶点处重复计算的4人，求出每层人数，再相加，就是这个方阵的总人数。 【规范解答】（25×4－4）＋（15×4－4）＋（5×4－4） ＝（100－4）＋（60－4）＋（20－4） ＝96＋56＋16 ＝168（人） 答：这个方阵最少一共有168人。 【变式训练1】（24-25五年级上·江西赣州·期末）为了保护一棵古树，现在要为古树做一个长50米的圆形防护栏，如果沿着防护栏每隔2.5米打一个桩，一共需要打( )个桩。 【答案】20 【思路引导】在圆形的周围植树，间隔数就是植树的棵树，而题中防护栏就是个圆形，用全长除以间距就是间隔数，即需要打桩的个数。 【规范解答】50÷2.5＝20（个） 所以一共需要打20个桩。 【变式训练2】（24-25五年级上·四川乐山·期末）学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【答案】720平方米 【思路引导】观察可知，一条长边有11盏灯，根据植树问题两端都栽，长边两端都有灯，可知长边有个间隔，每个间隔是3米，可用乘法计算长的长度，用，可得到宽除了两端中间有7盏灯，又根据植树问题两端都不栽，可知宽有个间隔，再乘3可得宽的长度，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【规范解答】长：（11－1）×3 ＝10×3 ＝30（米） 宽：（36－11×2）÷2 ＝（36－22）÷2 ＝14÷2 ＝7（盏） （7＋1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 面积：30×24＝720（平方米） 答：舞台的面积是720平方米。 【变式训练3】（24-25五年级上·陕西延安·期末）为了保护一棵古银杏树，园林处要为它做一个长为40米的圆形防护栏。如果每隔2米打一个桩，一共要打（    ）个桩。 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【思路引导】本题属于“封闭型”植树问题，桩的个数＝段数，据此用40除以2即可求出段数，即桩的个数。 【规范解答】40÷2＝20（个），则一共要打20个桩。 故答案为：B 压轴题型练1 小数与整数的乘法计算与应用 1．（23-24五年级上·全国·期末）要买45千克香蕉，怎样买比较合算？通过计算说明。 【答案】批发两箱香蕉，再买5千克香蕉，这样比较合算。 【规范解答】方法一：45×4.5＝202.5（元） 方法二：50×2＋4.5×（45－20×2）＝122.5（元） 202.5＞122.5 答：批发两箱香蕉，再买5千克香蕉，这样比较合算。 2．（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）随着经济的发展，人民生活水平日益提高，李叔叔的工资也越涨越高。1982年，李叔叔的月工资是34.5元；2023年，李叔叔的月工资比1982年的300倍还多24.5元。2023年李叔叔的月工资是多少元？ 【答案】10374.5元 【思路引导】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，1982年的月工资×300＋24.5＝2023年的月工资，据此列式解答。 【规范解答】300×34.5＋24.5 ＝10350＋24.5 ＝10374.5（元） 答：2023年李叔叔的月工资是10374.5元。 压轴题型练2 小数与小数的乘法 3．（23-24五年级上·北京通州·期末）下面直线上A点可能表示的是算式（    ）的得数。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】小数乘法法则：按整数乘法的法则先求出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 A在1和2之间，所以A大于1且小于2，由此计算出每个选项中算式的积，然后选择可能的得数即可。 【规范解答】1＜A＜2 A．0.4×0.5＝0.2，不可能； B．1.3×0.7＝0.91，不可能； C．3.5×0.4＝1.4，可能； D．2.8×1.5＝4.2，不可能。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·福建三明·期中）甲乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行驶63.4千米，乙车每小时行驶75.3千米。甲车开出1.5小时后乙车再出发，又过了3小时两车相遇。这两地相距多远？（先画线段图再列式解答） 线段图： 【答案】 511.2千米 【思路引导】画线段图时，先画甲先行驶1.5小时的路程，再画甲乙同时行驶3小时的路程和；两条线段的和即为总路程； 根据时间×速度＝路程，将甲车的速度乘其先行驶的1.5小时，算出甲车先走的路程，再用甲的速度加上乙的速度，求出二者速度和，乘3小时，求出二者3小时的路程，最后加上甲先走的路程，即为两地相距的距离。 【规范解答】 63.4×1.5＋（63.4＋75.3）×3 ＝63.4×1.5＋138.7×3 ＝95.1＋416.1 ＝511.2（千米） 答：这两地相距511.2千米远。 压轴题型练3 积的小数位数与乘数小数位数的关系 5．（23-24五年级上·福建莆田·期末）的积是( )位小数。 【答案】21 【思路引导】根据小数的乘法计算法则：积是几位小数就看因数中共有几位小数，据此解答。 【规范解答】，则这个因数是12位小数；，则另一个因数是9位小数；12位小数与9位小数相乘，积应是21位小数；又因为12×8＝96，所以。 因此的积是21位小数。 6．（22-23五年级上·福建莆田·期末）的积只有两位小数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个小数相乘，积的末尾不为0时，两个因数共有几位小数，则积就有几位小数。据此判断即可。 【规范解答】因为0.28和0.07都是两位小数，所以积是四位小数，则原题干说法错误。 故答案为：× 压轴题型练4 小数的连乘运算 7．（21-22五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）有一间长方形的库房，宽为8米，长是宽的1.5倍，这间库房的地面面积有多大？ 【答案】96平方米 【思路引导】根据题意可知，长是宽的1.5倍，用宽×1.5，求出长方形的长；再根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【规范解答】8×1.5×8 ＝12×8 ＝96（平方米） 答：这件库房的底面面积有96平方米。 8．（22-23五年级上·河南洛阳·期末）秋天是收获的季节。农场里种了1000棵向日葵（专门榨油的油葵），平均每棵大约收葵花籽0.25千克。如果每千克葵花籽可以榨油0.35千克，收获这些葵花籽一共可以榨油多少千克？ 【答案】87.5千克 【思路引导】根据小数乘法的意义，用1000×0.25即可求出葵花籽的总千克数，再乘0.35即可求出收获这些葵花籽一共可以榨油多少千克。 【规范解答】1000×0.25×0.35 ＝250×0.35 ＝87.5（千克） 答：收获这些葵花籽一共可以榨油87.5千克。 【考点剖析】本题主要考查了小数乘法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 压轴题型练5 因数和积的大小关系（小数乘法) 9．（23-24五年级上·四川乐山·期末）若0.8a＝b，（a＞0）那么（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．b＜1 【答案】A 【思路引导】在小数乘法中，一个数（0除外），乘一个小于1的数，积小于这个数，据此解答。 【规范解答】0.8＜1 则0.8a＜a 因为0.8a＝b， 即b＜a 故答案为：A 10．（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）从0.73、0.907、1.09、46.7这四个数中任意选择两个数组成乘法算式，积比两个因数都小的算式有( )个，积在两个因数之间的算式有( )个。 【答案】 1 4 【思路引导】小数乘法计算法则：先按照整数乘法求出积，再点小数点。乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 通过列举将能组成的算式一一列举，并求出积，从而解题。 【规范解答】0.73×0.907＝0.66211，0.66211＜0.73，0.66211＜0.907 0.73×1.09＝0.7957，0.73＜0.7957＜1.09 0.73×46.7＝34.091，0.73＜34.091＜46.7 0.907×1.09＝0.98863，0.907＜0.98863＜1.09 0.907×46.7＝42.3569，0.907＜42.3569＜46.7 1.09×46.7＝50.903，50.903＞1.09，50.903＞46.7 所以，积比两个因数都小的算式有1个，积在两个因数之间的算式有4个。 压轴题型练6 利用小数与小数的乘法解决问题 11．（21-22五年级上·四川自贡·期末）小云家在学校的东面，小敏家在学校的西面，放学后两人同时回家，小云每分行75.2m，小敏每分行70m，经过6.5分，两人同时到家。她们两家相距（    ）m。 A．488.8 B．943.8 C．33.8 D．145.2 【答案】B 【思路引导】根据题意，小云家和小敏家在学校的东、西面，放学后两人同时回家，同时到家，根据“路程＝速度×时间”，分别求出两人家与学校的距离，再相加，即是她们两家的距离。 【规范解答】小云家与学校相距：75.2×6.5＝488.8（m） 小敏家与学校相距：70×6.5＝455（m） 两家相距：488.8＋455＝943.8（m） 她们两家相距943.8m。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查行程问题以及小数乘法的计算，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 12．（22-23五年级上·贵州铜仁·期末）在生活中，我们看到有些道路设置了限高杆。限高杆的主要作用是通过限制经过车辆的高度，保障车辆和路上设施的安全。有一辆货车的车宽是2.4米，车高是车宽的1.3倍，那么这辆货车能否通过限高3.5米的限高杆？ 【答案】能 【思路引导】已知车宽2.4米，车高是车宽的1.3倍，根据倍数的意义，是一个数的几倍用乘法，即用车的宽度乘1.3即可求出该车的高度，用求出的车高度和3.5米进行比较即可。 【规范解答】由分析可得： 2.4×1.3＝3.12（米） 3.12＜3.5，所以能通过。 答：这辆货车能通过限高3.5米的限高杆。 压轴题型练7 用“四舍五入”法求积的近似数 13．（23-24五年级上·广东肇庆·期末）3.85×2.7的积是( )位小数，保留两位小数是( )。 【答案】 三 10.40 【思路引导】小数乘法，小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 保留两位小数就是精确到百分位，要看千分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值，千分位上的数字小于5，则千分位以及后面的数字舍去，如果千分位上的数字大于或等于5，则向百分位进1，再舍去。 【规范解答】3.85×2.7＝10.395 10.395≈10.40 3.85×2.7的积是三位小数，保留两位小数是10.40。 14．（23-24五年级上·广东东莞·期末）6.7×0.95的得数有( )位小数，保留两位小数是( )。 【答案】 三 6.37 【思路引导】（1）根据小数的乘法计算法则：积是几位小数就看因数中共有几位小数；（2）保留两位小数：也就是精确到百分位，只要看千分位上的数字是几，运用“四舍五入”法求得近似数；据此解答。 【规范解答】6.7×0.95的积是三位小数 6.7×0.95＝6.365，保留两位小数是6.37。 因此6.7×0.95的得数有三位小数，保留两位小数是6.37。 压轴题型练8 整数乘法运算定律推广到小数乘法 15．（24-25五年级上·河南南阳·期末）怎样简便怎样计算。 7.65×1.25×80          7.8×1.26＋8.74×7.8          0.875×101－0.875 【答案】765；78；87.5 【思路引导】（1）根据乘法结合律，将原式变成7.65×（1.25×80），即可简算。 （2）根据乘法分配律，将原式变成7.8×（1.26＋8.74），即可简算。 （3）根据乘法分配律，将原式变成0.875×（101－1），即可简算。 【规范解答】7.65×1.25×80 ＝7.65×（1.25×80） ＝7.65×100 ＝765 7.8×1.26＋8.74×7.8 ＝7.8×（1.26＋8.74） ＝7.8×10 ＝78 0.875×101－0.875 ＝ 0.875×（101－1） ＝0.875×100 ＝87.5 16．（21-22五年级上·江西赣州·期末）计算，能简算的要简算。（第4小题先填一个数使其简便计算。） 3.25×100.1                       9.9×12.5＋12.5               12.5×0.25×______ 【答案】325.325；136.25 4.26；4，12.5（答案不唯一） 【思路引导】第一个：可以把100.1看成（100＋0.1），之后根据乘法分配律即可简便运算； 第二个：把9.9拆成（10－0.1），即原式变为：（10－0.1）×12.5＋12.5，根据乘法分配律即可简便运算； 第三个：有括号先算括号里的，即先算括号里的乘法，再算加法。 第四个：要使其简便运算，由于12.5×8和0.25×4都可以简便，可以使横线上的数是4，即原式变为：12.5×0.25×4，再根据乘法结合律即可简便运算。（答案不唯一） 【规范解答】3.25×100.1 ＝3.25×（100＋0.1） ＝3.25×100＋3.25×0.1 ＝325＋0.325 ＝325.325 9.9×12.5＋12.5 ＝（10－0.1）×12.5＋12.5 ＝10×12.5－0.1×12.5＋12.5 ＝125－1.25＋12.5 ＝136.25 ＝3.55＋0.71 ＝4.26 这个算式的横线上可以填4。 12.5×0.25×4 ＝12.5×（0.25×4） ＝12.5×1 ＝12.5（答案不唯一） 压轴题型练9 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 17．（23-24五年级上·广西南宁·期末）计算0.88×1.25，可以用11×（0.08×1.25）或（    ）进行简便运算。 A．0.8＋0.08×1.25 B．（0.8×1.25）×（0.08×1.25） C．0.08×1.25＋0.8×1.25 D．（0.8＋0.8）×1.25 【答案】C 【思路引导】根据题意，计算0.88×1.25，可以用11×（0.08×1.25），是将0.88写成11×0.08，再利用乘法交换律和乘法结合律进行简算；也可将0.88×1.25，写成（0.08＋0.8）×1.25，再利用乘法分配律写成0.08×1.25＋0.8×1.25。据此逐项分析即可解答。 【规范解答】A．0.8＋0.08×1.25，应加上括号写成（0.8＋0.08）×1.25，所以不符合题意； B．（0.8×1.25）×（0.08×1.25），应把中间乘号改成加号，写成（0.8×1.25）＋（0.08×1.25），所以不符合题意； C．0.08×1.25＋0.8×1.25，是将0.88×1.25，写成（0.08＋0.8）×1.25，再用乘法分配律进行简算，符合题意； D．（0.8＋0.8）×1.25，0.8＋0.8＝1.6，不符合题意； 故答案为：C 18．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）计算下列各题（第②、③小题用简便方法计算）。 ①5.628－2.03×0.6＋0.7        ②9.9×10.1        ③7.8×1.26＋0.126×22 【答案】①5.11；②99.99；③12.6 【思路引导】①先算乘法，再算减法，最后算加法； ②先把10.1拆成10＋0.1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； ③先根据积不变的规律把0.126×22改写成1.26×2.2，然后根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【规范解答】①5.628－2.03×0.6＋0.7 ＝5.628－1.218＋0.7 ＝4.41＋0.7 ＝5.11 ②9.9×10.1 ＝9.9×（10＋0.1） ＝9.9×10＋9.9×0.1 ＝99＋0.99 ＝99.99 ③7.8×1.26＋0.126×22 ＝7.8×1.26＋1.26×2.2 ＝（7.8＋2.2）×1.26 ＝10×1.26 ＝12.6 压轴题型练10 小数的估算及应用 19．（23-24五年级上·广东江门·期末）一道乘法算式1.□2×5.3＝？，这个非零数字被隐藏了，这道算式的结果可能是（    ）。 A．4.996 B．11.176 C．7.562 D．7.526 【答案】D 【思路引导】小数乘法法则：按整数乘法的法则先求出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 2×3＝6，则1.□2×5.3的结果的末尾一定是6。把1.□2看作1，1×5.3＝5.3，则1.□2×5.3的结果一定大于5.3；把1.□2看作2，2×5.3＝10.6，则1.□2×5.3的结果一定小于10.6。据此解答。 【规范解答】A．通过分析可得：1.□2×5.3的结果一定大于5.3，而4.996＜5.3，则这道算式的结果不可能是4.996； B．1.□2×5.3的结果一定小于10.6，而11.176＞10.6，则这道算式的结果不可能是11.176； C．1.□2×5.3的结果的末尾一定是6，而7.562的末尾是2，则这道算式的结果不可能是7.562； D．7.526的末尾是6，且大于5.3小于10.6，则这道算式的结果可能是7.526。 故答案为：D 20．（23-24五年级·全国·假期作业）妈妈到超市买了一些东西（如图所示），付款时准备30元钱够吗？( )（填“够”或“不够”）你估算的方法是( )。 【答案】 够 2.8×2＋4.9＋3.7×4≈27（元），27＜30 【思路引导】单价×数量＝总价；估算时，把单价都往大的，且最接近的整数估，再将结果与30元进行比较；据此解答。 【规范解答】根据分析： 2.8×2＋4.9＋3.7×4 ≈3×2＋5＋4×4 ＝6＋5＋16 ＝27（元） 27＜30，所以准备30元钱够；估算的方法是2.8×2＋4.9＋3.7×4≈27（元），27＜30。 【考点剖析】掌握小数的估算方法是解答本题的关键， 压轴题型练11 分段计费问题（小数乘法) 21．（23-24五年级上·黑龙江双鸭山·期末）为欢庆佳节，爸爸妈妈带聪聪去哈尔滨游玩，先到道里区体验剪纸、手工布艺、手抓鼓制作、黑陶制作等一系列非遗项目，感知中国传统文化。他们下了火车乘坐出租车前往，到达目的地后，里程表显示14.3千米，请你帮聪聪爸爸算算应付出租车费多少钱？ 哈尔滨市出租车计价标准 行驶里程（不足1千米，按1千米计算） 出租车费 3千米以内（包括3千米） 9元 超过3千米的部分 每千米1.9元 【答案】31.8元 【思路引导】聪聪家乘出租车行驶14.3千米，按15千米计，15千米＞3千米，所以分成两段收费： 第一段，行驶3千米，收费9元； 第二段，行驶超过3千米的部分，单价1.9元，路程（15－3）千米，根据“单价×数量＝总价”，求出这一段路程的费用； 最后把这两段的车费相加，即是应付的出租车费。 【规范解答】14.3千米按15千米计。 9＋1.9×（15－3） ＝9＋1.9×12 ＝9＋22.8 ＝31.8（元） 答：应付出租车费31.8元。 22．（23-24五年级上·广东肇庆·期末）合水粉葛是佛山市高明区的特色农产品，它同时具有食用和药用功能，具有解痉止痛，降低血压等功效，是中国国家地理标志产品。晴晴是高明人，她给在贵州的笔友寄5.8千克粉葛，以下是某快递公司省外寄件的收费标准说明，晴晴需要支付快递费多少钱？ 【答案】42.5元 【思路引导】把5.8千克看作6千克计算，用6－1即可求出超过1千克部分的质量，再根据单价×数量＝总价，用超过1千克部分的质量×5.5即可求出超过1千克部分的总价，再加上15元，即可求出晴晴需要支付的快递费。 【规范解答】把5.8千克看作6千克计算， （6－1）×5.5＋15 ＝5×5.5＋15 ＝27.5＋15 ＝42.5（元） 答：晴晴需要支付快递费42.5元。 压轴题型练12 积的变化规律（小数乘法) 23．（24-25五年级上·重庆黔江·期末）两个因数的积是0.84，一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到原来的，积是( )。 【答案】8.4 【思路引导】两数相乘，一个因数扩大到原来的几倍，积扩大到原来的几倍，另一个因数缩小到原数的几分之一，积再跟着缩小到原数的几分之一，据此分析。 【规范解答】0.84×100÷10＝8.4 两个因数的积是0.84，一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到原来的，积是8.4。 24．（23-24五年级上·浙江温州·期末）下面算式中，与1.3×35的计算结果相等的算式是（    ）。 A．130×0.35 B．0.13×0.35 C．13×35 D．1.3×350 【答案】A 【思路引导】根据积不变的规律，一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数除以或乘几，积不变，据此逐一分析各项即可。 【规范解答】A．1.3乘100变为130，35除以100变为0.35，符合积不变的规律，则130×0.35与1.3×35的计算结果相等； B．1.3除以10变为0.13，35除以100变为0.35，不符合积不变的规律，则0.13×0.35与1.3×35的计算结果不相等； C．1.3乘10变为13，35不变，不符合积不变的规律，则13×35与1.3×35的计算结果不相等； D．1.3不变，35乘10变为350，不符合积不变的规律，则1.3×350与1.3×35的计算结果不相等。 故答案为：A 压轴题型练13 除数是整数的小数除法计算与应用 25．（24-25五年级上·四川凉山·期末）运通汽车公司开展节能减排活动，8辆汽车14天共节约汽油360.64升。照这样计算，一辆汽车每天可以节约汽油多少升？ 【答案】3.22升 【思路引导】用节约汽油的总升数除以汽车总辆数，求出一辆汽车14天节约汽油的升数，再除以14，即是一辆汽车每天可以节约汽油的升数。 【规范解答】360.64÷8÷14 ＝45.08÷14 ＝3.22（升） 答：一辆汽车每天可以节约汽油3.22升。 26．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）晨曦小学参加了“红歌会”比赛，比赛当天中午，学校领导决定给每位参赛教师在某订餐平台上订外卖， ，求每份快餐多少钱？（选择条件把题目补充完整）（    ）。 ①晨曦小学共有126位教师；②一共花了724.6元钱订外卖； ③晨曦小学共有76名教师参赛； ④一共有15所学校参加比赛；⑤其中包装费（总的）28元，送餐费4元。 A．①②④ B．②③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【思路引导】由题意可知，晨曦小学参加了比赛，学校领导决定给每位参赛教师在某订餐平台上订外卖，求每份快餐多少钱，则需要知道晨曦小学共有多少名教师参赛，订外卖花去的钱数以及包装费和送餐费。据此选择即可。 【规范解答】由分析可知： 需要选择的条件为：一共花了724.6元钱订外卖； 晨曦小学共有76名教师参赛；其中包装费（总的）28元，送餐费4元。即②③⑤。 故答案为：D 压轴题型练14 与小数点移动相关的和差倍问题 27．（23-24五年级上·广东汕头·期末）甲、乙两数的和是214.5，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 195 19.5 【思路引导】根据题意，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，说明甲数是乙数的10倍，把乙数看作1份，则甲数是10份，一共是（10＋1）份； 用甲、乙两数的和除以总份数，求出一份数，即是乙数；再用乙数乘10，得到甲数。 【规范解答】乙数： 214.5÷（10＋1） ＝214.5÷11 ＝19.5 甲数：19.5×10＝195 所以，甲数是195，乙数是19.5。 28．（21-22五年级上·江苏徐州·期中）把一个小数的小数点去掉后，比原数大39.6，这个小数是（    ）。 A．3.96 B．3.6 C．4.4 【答案】C 【思路引导】假设这个小数是一位小数，去掉小数点后，现在的数是原数的10倍，根据两数之差÷（倍数－1）＝较小数解答。 【规范解答】39.6÷（10－1） ＝39.6÷9 ＝4.4 这个小数是4.4。 故答案为：C 【考点剖析】解答此题的关键是掌握差倍公式：两数之差÷（倍数－1）＝较小数。 压轴题型练15 除数是小数的小数除法计算与应用 29．（24-25五年级上·重庆·期末）根据87×33＝2871，直接写出下面各题的得数。 0.87×3300＝( )   8.7×0.33＝( )   287.1÷0.87＝( ) 【答案】 2871 2.871 330 【思路引导】0.87×3300，87缩小到原来的，33扩大到原来的100倍，积不变； 8.7×0.33，87缩小到原来的，0.33缩小到原来的，积缩小到原来的；2871÷1000＝2.871； 由87×33＝2871可知，2871÷87＝33；被除数缩小到原来的，除数缩小到原来的，则商扩大到原来的10倍，33×10＝330；据此解答。 【规范解答】0.87×3300＝2871 8.7×0.33＝2.871 287.1÷0.87＝330 30．（23-24五年级上·山西长治·期末）2023年人工智能的飞速发展正在引发人们的深思，而科幻小说作为独特的文学体裁，将科技与人文相结合，探索未来世界的各种可能性。希望小学为了激发孩子们的想象力，帮助学生提升科学素养，准备购进图书《时间机器》，正值书店促销活动，现在每本是15.88元，原来准备买180本的钱，现在可以比原来多买多少本？ 【答案】45本 【思路引导】已知原来《时间机器》的单价为19.85元，准备买180本，根据“总价＝单价×数量”，求出总钱数； 现在《时间机器》的单价为15.88元，根据“数量＝总价÷单价”，求出用这个总钱数现在可以买的本数； 最后用现在买的本数减去原来的180本，即是现在可以比原来多买的本数。 【规范解答】总钱数：19.85×180＝3573（元） 现在买的本数：3573÷15.88＝225（本） 多买：225－180＝45（本） 答：现在可以比原来多买45本。 压轴题型练16 被除数和商的大小关系（小数除法） 31．（23-24五年级上·新疆·期末）不计算，比较下面各算式的商，（    ）最大。 A．5.506÷0.47 B．5.506÷0.49 C．5.506÷1.4 【答案】A 【思路引导】观察可知，选项中各除法算式的被除数都是5.506，当被除数相同且不为0时，除数越大，商越小；除数越小，商越大，据此解答。 【规范解答】分析可知，0.47＜0.49＜1.4，则5.506÷0.47＞5.506÷0.49＞5.506÷1.4，所以5.506÷0.47的商最大。 故答案为：A 32．（24-25五年级上·重庆巫山·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.7÷0.9( )0.7        5.2÷0.2( )52÷2 4.3×0.9( )4.3          0.68×0.1( )68÷100 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ 【思路引导】（1）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。据此解答。 （2）被除数和除数同时除以几（0除外），商不变，据此解答。 （3）一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，据此解答。 （4）一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数除以100，则小数点向左移动2位，再比较大小。据此解答。 【规范解答】0.9＜1，所以0.7÷0.9＞0.7 ，所以5.2÷0.2＝52÷2 0.9＜1，所以4.3×0.9＜4.3 0.1＜1，0.68×0.1＜0.68，68÷100＝0.68，所以 0.68×0.1＜68÷100 压轴题型练17 小数的连除运算 33．（24-25五年级上·江西萍乡·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 62.7÷8÷1.25           0.25×32×12.5           9.8×101－9.8 【答案】6.27；100；980 【思路引导】62.7÷8÷1.25，根据除法性质，原式化为：62.7÷（8×1.25），再进行计算。 0.25×32×12.5，把32化为4×8，原式化为：0.25×4×8×12.5，再根据乘法结合律，原式化为：（0.25×4）×（8×12.5），再进行计算。 9.8×101－9.8，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：9.8×（101－1），再进行计算。 【规范解答】62.7÷8÷1.25 ＝62.7÷（8×1.25） ＝62.7÷10 ＝6.27 0.25×32×12.5 ＝0.25×4×8×12.5 ＝（0.25×4）×（8×12.5） ＝1×100 ＝100 9.8×101－9.8 ＝9.8×（101－1） ＝9.8×100 ＝980 34．（24-25五年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。 16×0.25×1.25                      24.8－4.8÷4×2.5     3.58÷12.5÷0.8                    （3.92＋9.36÷4.5）×3.5 4.6×[（1－0.05）÷1.9]            0.78×8.4＋2.6×0.78－0.78 【答案】5；21.8 0.358；21 2.3；7.8 【思路引导】16×0.25×1.25，把16化为2×8，原式化为：2×8×0.25×1.25，再根据乘法交换律，原式化为：2×0.25×8×1.25，再根据乘法结合律，原式化为：（2×0.25）×（8×1.25），再进行计算。 24.8－4.8÷4×2.5，先计算除法，再计算乘法，最后计算减法； 3.58÷12.5÷0.8，根据除法性质，原式化为：3.58÷（12.5×0.8），再进行计算。 （3.92＋9.36÷4.5）×3.5，先计算小括号了的除法，再计算小括号里的加法，最后计算括号外的乘法。 4.6×[（1－0.05）÷1.9]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的乘法。 0.78×8.4＋2.6×0.78－0.78，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：0.78×（8.4＋2.6－1），再进行计算。 【规范解答】16×0.25×1.25 ＝2×8×0.25×1.25 ＝2×0.25×8×1.25 ＝（2×0.25）×（8×1.25） ＝0.5×10 ＝5 24.8－4.8÷4×2.5 ＝24.8－1.2×2.5 ＝24.8－3 ＝21.8 3.58÷12.5÷0.8 ＝3.58÷（12.5×0.8） ＝3.58÷10 ＝0.358 （3.92＋9.36÷4.5）×3.5 ＝（3.92＋2.08）×3.5     ＝6×3.5 ＝21 4.6×[（1－0.05）÷1.9] ＝4.6×[0.95÷1.9] ＝4.6×0.5 ＝2.3 0.78×8.4＋2.6×0.78－0.78 ＝0.78×（8.4＋2.6－1） ＝0.78×（11－1） ＝0.78×10     ＝7.8 压轴题型练18 小数的乘、除法混合运算 35．（22-23五年级上·宁夏固原·期末）直接写得数。 0.7×0.6＝     4.2÷0.07＝     1.6－1.6×0.2＝ 2.8×0.01＝     0.23＋0.7＝     0.25×4÷0.25×4＝ 【答案】0.42；60；1.28 0.028；0.93；16 =36．（23-24五年级上·河南周口·期末）脱式计算。                                                【答案】37.46；12 251.44；38.38 【思路引导】（1）根据小数四则混合运算的顺序，先算乘法，再算加法； （2）根据小数四则混合运算的顺序，从左到右依次计算； （3）根据小数四则混合运算的顺序，先算乘法，再算加法； （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，简便计算。 【规范解答】5.87＋40.5×0.78 ＝5.87＋31.59 ＝37.46 12.5÷2.5×2.4 ＝5×2.4 ＝12 2.8×17.8＋7.2×28 ＝49.84＋201.6 ＝251.44 3.8×10.1 ＝3.8×（10＋0.1） ＝3.8×10＋3.8×0.1 ＝38＋0.38 ＝38.38 压轴题型练19 小数的四则运算及法则 37．（24-25五年级上·广西南宁·期末）下面各题怎样简便就怎样计算。 1.25×1.7×0.8        0.85×102        3.1×[19÷（4.8＋4.7）] 【答案】1.7；86.7；6.2 【思路引导】（1）根据乘法交换律a×b×c＝a×c×b把算式写成1.25×0.8×1.7，再进一步计算即可； （2）先把102写成100＋2，再根据乘法分配律（a＋b）×c ＝a×c＋b×c把算式写成0.85×100＋0.85×2，再进一步计算即可； （3）按照先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外面的乘法的顺序计算即可。 【规范解答】1.25×1.7×0.8 ＝1.25×0.8×1.7 ＝1×1.7 ＝1.7 0.85×102 ＝0.85×（100＋2） ＝0.85×100＋0.85×2 ＝85＋1.7 ＝86.7 3.1×[19÷（4.8＋4.7）] ＝3.1×[19÷9.5] ＝3.1×2 ＝6.2 38．（24-25五年级上·浙江宁波·期末）选择合理方法计算。 7.8－3.4×1.3       12.5×3.4×0.8        16.7÷0.25÷0.4         17.2×2.4＋7.6×17.2 【答案】3.38；34； 167；172 【思路引导】按照小数四则混合运算的顺序，先算乘法再算减法； 因为12.5×0.8＝10，调换3.4和0.8的位置后，先算12.5与0.8的积，再与3.4相乘； 因为0.25×0.4＝0.1，应用连除法的性质，用16.7除以0.25与0.4的积； 逆用乘法分配律，用17.2乘2.4与7.6的和，据此解答。 【规范解答】7.8－3.4×1.3 ＝7.8－4.42 ＝3.38 12.5×3.4×0.8 ＝12.5×0.8×3.4 ＝10×3.4 ＝34 16.7÷0.25÷0.4 ＝16.7÷（0.25×0.4） ＝16.7÷0.1 ＝167 17.2×2.4＋7.6×17.2 ＝17.2×（2.4＋7.6） ＝17.2×10 ＝172 压轴题型练20 小数除法相关的简便计算 39．（24-25五年级上·甘肃陇南·期末）脱式计算。 4.5÷0.8÷0.125        1.95×3.8－3.8×0.95        0.43×11 【答案】45；3.8；4.73 【思路引导】（1）根据除法的性质，把算式写成4.5÷（0.8×0.125），再进一步计算即可； （2）根据乘法分配律，把算式变为：（1.95－0.95）×3.8，再按照顺序进行计算即可； （3）先把11写成10＋1，即0.43×（10＋1），再根据乘法分配律，把算式变为：0.43×10＋0.43×1，再按照顺序进行计算即可。 【规范解答】4.5÷0.8÷0.125 ＝4.5÷（0.8×0.125）   ＝4.5÷0.1 ＝45      1.95×3.8－3.8×0.95 ＝（1.95－0.95）×3.8 ＝1×3.8 ＝3.8    0.43×11 ＝0.43×（10＋1） ＝0.43×10＋0.43×1 ＝4.3＋0.43 ＝4.73 40．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）脱式计算，能简算的要简算。 63.7÷4.9＋14.9        0.85×102        3.6÷1.5÷2 【答案】27.9；86.7；1.2 【思路引导】（1）按照先算除法再算加法的顺序计算； （2）先把102写成100＋2，再根据乘法分配律简便计算； （3）根据除法的性质先算1.5×2，再用3.6除以所得的积即可。 【规范解答】63.7÷4.9＋14.9 ＝13＋14.9 ＝27.9        0.85×102     ＝0.85×（100＋2）     ＝0.85×100＋0.85×2 ＝85＋1.7 ＝86.7 3.6÷1.5÷2 ＝3.6÷（1.5×2） ＝3.6÷3 ＝1.2 压轴题型练21 用“四舍五入”法求商的近似数 41．（24-25五年级上·河北保定·期末）竖式计算。（结果精确到百分位） 0.84×6.92        6.509÷0.27 【答案】5.81；24.11 【思路引导】小数乘法，小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除；除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法保留小数。 精确到百分位，要看千分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值，千分位上的数字小于5，则千分位以及后面的数字舍去，如果千分位上的数字大于或等于5，则向百分位进1，再舍去。 【规范解答】0.84×6.92≈5.81      6.509÷0.27≈24.11 42．（24-25五年级上·重庆铜梁·期末）竖式计算。（最后一道题得数保留一位小数） 3.05×5.6＝   4.35×2.4＝      8.28÷1.8＝        5.1÷1.8≈ 【答案】17.08；10.44；4.6；2.8 【思路引导】小数乘法法则，按整数乘法的法则先求出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。注意商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。求商的近似数，先计算到比要保留的小数位数多一位，得数保留一位小数，则根据百分位上的数字“四舍五入”取近似值。 【规范解答】3.05×5.6＝17.08            4.35×2.4＝10.44                 8.28÷1.8＝4.6               5.1÷1.8≈2.8              压轴题型练22 循环小数 43．（24-25五年级上·湖南长沙·期末）下列各数中，（    ）是循环小数。 A．5.676767 B．3.14159… C．7.32626… D．1.0260026… 【答案】C 【思路引导】一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 【规范解答】A．5.676767是有限小数，不是循环小数； B．3.14159…没有循环节，不是循环小数； C．7.32626…是循环小数，循环节是26； D．1.0260026…没有循环节，不是循环小数。 7.32626…是循环小数。 故答案为：C 44．（20-21五年级下·四川乐山·期末）3÷7的商的小数点后面第200位数字是( )，小数点后面的这200个数字之和是( )。 【答案】 2 897 【思路引导】根据小数除法，先计算出3÷7的商，发现它的商是循环小数，循环节是“428571”共6位。用200除以6，求出商和余数，商是33，余数是2，据此找出小数点后面第200位数字是多少，再利用乘法和加法求出小数点后面的这200个数字之和是多少。 【规范解答】3÷7＝ 200÷6＝33……2 （4＋2＋8＋5＋7＋1）×33＋4＋2 ＝27×33＋4＋2 ＝891＋4＋2 ＝897 所以，3÷7的商的小数点后面第200位数字是2，小数点后面的这200个数字之和是897。 【考点剖析】本题考查了小数除法和循环小数，掌握循环小数的周期特征是解题的关键。 压轴题型练23 用归纳法解决计算器探索规律问题 45．（22-23五年级上·贵州黔西·期末）根据前四个算式的计算规律，直接写出后两个算式的得数。 1.08÷0.9＝1.2              11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4          1111.05÷0.9＝1234.5 11111.04÷0.9＝( ) 1111111.02÷0.9＝( ) 【答案】 12345.6 1234567.8 【思路引导】观察前四题，发现被除数的整数部分都是1构成的数字，1的个数依次递增，小数部分的十分位是0，百分位是从8开始的依次递减的自然数；除数都是0.9；得数中的整数部分的位数与被除数的整数部分的位数相同，依次是1、12、123……，小数部分分别是从2开始递增的自然数，即2、3、4……，据此解答。 【规范解答】由分析可知， 11111.04÷0.9＝12345.6 1111111.02÷0.9＝1234567.8 【考点剖析】本题主要考查了计算中的规律，对于此类问题，应先寻找规律，再根据规律解答。 46．（22-23五年级上·广东珠海·期末）仔细观察下面几个算式的规律，7÷11的得数应是（    ）。 1÷11＝0.0909…  2÷11＝0.1818…  3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 【答案】C 【思路引导】观察可知，除数都是11，被除数分别是1、2、3……，商的小数部分分别是两位数字循环，两位数字之和是9，且第一位数字开始依次是0、1、2、3、4…，由此即可接着往下写出得数。 【规范解答】根据分析，7÷11的得数应是0.6363…。 故答案为：C 【考点剖析】解答此题的关键是根据所给出的式子，找出规律，再根据规律解决问题。 压轴题型练24 用“进一法”解决问题 47．（22-23五年级上·贵州铜仁·期末）关于商的灵活运用。下列（    ）情境问题适合用“进一法”来解决。 A．小明的妈妈要将2.5kg香油分装在最多可盛0.4kg玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？ B．王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？ C．张老师带100元去为学校图书室买18.5元/本的词典，他可以买回几本？ 【答案】A 【思路引导】最后无论剩下多少香油，都得需要一个瓶子来盛，香油质量÷一个瓶子盛的质量，结果用进一法保留近似数即可；最后无论剩下多少丝带，只要不够一个礼盒的用量，就无法包装一个礼盒，丝带长度÷每个礼盒需要的长度，结果用去尾法保留近似数即可；最后无论剩下多少钱，只要不够一本词典的钱数，就无法购买一本词典，带的钱数÷词典单价，结果用去尾法保留近似数即可。 【规范解答】A．2.5÷0.4≈7（个） 用进一法，需要准备7个瓶子。 B．25÷1.5≈16（个） 用去尾法，这些红丝带可以包装16个礼盒。 C．100÷18.5≈5（本） 用去尾法，他可以买回5本。 小明的妈妈要将2.5kg香油分装在最多可盛0.4kg玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？适合用“进一法”来解决。 故答案为：A 48．（23-24五年级上·福建福州·期末）今年天气适宜，李叔叔的茶油厂共收山茶油785千克，如果每个油桶最多可装4.5千克油，李叔叔至少需要准备多少个这样的油桶？ 【答案】175个 【思路引导】用山茶油的总质量除以每个油桶最多可装的质量，利用“进一法”将商保留到整数，即可求出李叔叔至少需要准备多少个这样的油桶。 【规范解答】785÷4.5≈175（个） 答：李叔叔至少需要准备175个这样的油桶。 压轴题型练25 用“去尾法”解决问题 49．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）甜心蛋糕店做一个紫薯面包需要0.16千克面粉，一袋5千克的面粉最多可以做多少个这样的紫薯面包？如果每4个紫薯面包装一个礼盒，至少需要几个礼盒才能全部装完？ 【答案】31个；8个 【思路引导】已知做一个紫薯面包需要0.16千克面粉，求5千克面粉最多可以做多少个这样的紫薯面包，也就是求5里面有几个0.16，用除法计算，得数采用“去尾法”取整数。 已知每4个紫薯面包装一个礼盒，求至少需要几个礼盒才能全部装完，就是求紫薯面包的总个数里面有几个4，用除法计算，得数采用“进一法”取整数。 【规范解答】5÷0.16≈31（个） 31÷4≈8（个） 答：最多可以做31个这样的紫薯面包，至少需要8个礼盒才能全部装完。 50．（23-24五年级上·河南郑州·期末）自“双减”以来，人民路小学坚持从学生全面发展出发，开设了多种特色课程。郑郑同学作为“水晶串珠”课程的一员，学会了多种制作串珠的方法。用串珠制作一个水晶球需要5颗珠子和1.6米长的鱼线。一捆25米长的鱼线最多可以用来制作（    ）个水晶球。 A．5 B．15 C．16 【答案】B 【思路引导】根据数量＝总量÷单一量，解答即可。如果商中有余数，要根据实际采用合适的方法取近似数。 【规范解答】25÷1.5≈15.6（个）＝15个 一捆25米长的鱼线最多可以用来制作（15）个水晶球。 故答案为：B 【考点剖析】，根据生活实际情况用“去尾法”取值是解答关键。 压轴题型练26 利用小数四则混合运算解决问题 51．（24-25五年级上·湖北襄阳·期末）某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算）。妈妈有一次通话8分29秒，她这一次通话的费用是多少？ （1）请借助表格，填一填你对此计费标准的理解。 通话的时间/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 通话的费用/元 （2）请借助线段图，画一画你对此计费标准的理解。 （3）妈妈这一次通话的费用是多少？请列式解答。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）0.88元 【思路引导】（1）根据题意可知，前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算），从第4分钟收费0.22＋0.11＝0.33（元），从第4分钟开始，每增加1分钟，依次增加0.11元，所以从第5分钟到第9分钟收费依次为：0.44元，0.55元，0.66元，0.77元，0.88元。 （2）画一条线段平均分成9份，每段表示1分钟，前三段（三分钟）表示收费0.22元，再表示出后6段（后6分钟）的收费：0.11×6=0.66（元）即可； （3）妈妈通话8分29秒按9分钟计算，用9减去3，求出超过3分钟的时间，再乘0.11，求出超过3分钟的费用，再加上3分钟以内的费用，即可求出妈妈这一次通话的费用是多少。 【规范解答】（1）3分钟及以内收费0.22元； 0.22＋0.11＝0.33（元） 0.33＋0.11＝0.44（元） 0.44$