课下巩固精练卷(14) 指数与指数函数（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(十四)　指数与指数函数 【基础巩固题】 1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　 ) A．－7 B．－1 C．1 D．7 解析：选C.m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2．(2024·四川模拟预测)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5 ，则(　　 ) A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 解析：选D.因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1， 又由幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1， 又因为指数函数y＝1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10＝1， 综上可得：b<a<c. 3．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B. y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)， 因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示． 故函数f(x)的图象不经过第二象限． 4．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)若f(x)＝sin x为偶函数，则a＝(　　 ) A．1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A.由f(x)＝sin x， 得f(－x)＝sin (－x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即sin (－x)＝sin x， 所以－＝＝，解得a＝1. 5．(2024·江西模拟)函数f(x)＝3x2－2|x|的一个单调递减区间为(　　 ) A．(－∞，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：选C. 令t＝x2－2|x|，则y＝3t， 由复合函数的单调性可知：f(x)的单调递减区间为函数t＝x2－2|x|的单调递减区间， 又函数t(－x)＝(－x)2－2|－x|＝t(x)， 即函数t(x)为偶函数，结合图象，如图所示， 可知函数t＝x2－2|x|的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)， 即f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1). 6．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　 ) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 解析：选C.a(2|x|＋1)＝2|x|， 因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－， 因为2|x|≥20＝1， 所以2|x|＋1≥2，0<≤，≤1－<1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确； D为充要条件，不符合要求． 7．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　 ) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 解析：选CD.画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 8．(多选)若4x－4y＜5－x－5－y，则下列关系式正确的是(　　 ) A．x＜y B．y－3＞x－3 C. D． 解析：选AD.由4x－4y＜5－x－5－y，得4x－5－x＜4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)＜f(y).因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x＜y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x＜y＜0时，x－3＞y－3，故B错误；当x＜0，y＜0时， ， 无意义，故C错误；因为y＝在R上是减函数，且x＜y，所以＜，即＜3－x，故D正确． 9．＝________． 解析：原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81. 答案：81 10．已知函数f(x)＝有最大值3，则a的值为________． 解析：令g(x)＝ax2－4x＋3， 则f(x)＝， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 答案：1 【综合应用题】 11．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是(　　 ) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 解析： 选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，因为a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知，0＜f(a)＜1，a＜0，c＞0，b的符号不确定，故A，B错误； 因为f(a)>f(c)，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故D正确； 又2a＋2c>2，所以2<2，即2a＋c<1，所以a＋c<0，即c<－a，所以2c<2－a，故C错误． 12．(2024·福建漳州期末)已知正数a，b，c满足2a＋＝4，3b＋＝6，4c＋＝8，则下列判断正确的是(　　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 解析：选A.由已知可得a＋＝2，b＋＝2，c＋＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的大致图象，如图所示，由图象可知a＜b＜c. 13．(多选)已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　 ) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 解析：选AC.因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0， 解得m＝，此时f(x)＝－， 则f(－x)＝＝－f(x)，符合题意，故A正确； 又f(x)＝， 因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1，所以－<f(x)<， 即f(x)∈，故B错误； 因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，且y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－是减函数，故C正确； 因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误． 14．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴＋m－1＝－m＋1， ∴2m＝－＋2， 构造函数y＝－＋2，x0∈[－1，1]， 令t＝，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1，3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0. 答案： 15．(人教A版必修一P161)对于函数f(x)＝a－(a∈R). (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 解：(1)函数的定义域为R，而y＝2x为增函数，所以y＝为减函数，故f(x)＝a－是增函数． 证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则2x2>2x1>0， f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0， 所以f(x2)>f(x1)，故f(x)在R上为增函数． (2)假设存在实数a，使f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，即2a＝＋. 因为＋＝2，所以a＝1， 故存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数． 16．定义在D上的函数f(x)，如果满足： 对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3， 可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数． (2)由题意对任意x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为－2x≤a≤－2x. 因为x<0，所以2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)； 又y＝＝4·2－x与y＝－2x都是减函数， 所以y＝－2x在(－∞，0)上单调递减， 所以y＝－2x>－20＝3. 因此为使－2x≤a≤－2x对任意的x∈(－∞，0)恒成立，只需0≤a≤3， 即实数a的取值范围是0≤a≤3. 【创新拓展题】 17．已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　 ) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 解析：选A.已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 因为y＝(cos α)x在(0，1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0，1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a. 18．正实数m，n满足e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，则的最小值为________． 解析：由e1-2m＋2－2m＝en-1＋n，得e1-2m＋(1－2m)＝en-1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0，因此， 当且仅当，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，取得最小值. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $