课下巩固精练卷(13) 二次函数与幂函数（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(十三)　二次函数与幂函数 【基础巩固题】 1．(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象过点(2，4)，则函数的解析式为(　　 ) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sin x 解析：选B.设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2. 2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　 ) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析：选B.二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 可得则 所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 3．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　 ) A.y＝ B．y＝ C．y＝x3 D．y＝ 解析：选D.对于A：函数y＝的定义域为[0，＋∞)，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数y＝x3的定义域为R，且y＝x3为奇函数，且y＝x3在(0，＋∞)上是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：函数y＝的定义域为R，又y＝为奇函数，且y＝在(0，＋∞)上是上凸递增，故D正确． 4．(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　 ) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 解析：选AD.因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确． 5．(2024·江苏南京摸底)已知a＝，则(　　 ) A．b＜a＜d＜c B．b＜c＜a＜d C．c＜d＜b＜a D．b＜a＜c＜d 解析：选D.由题意得a＝，因为幂函数y＝在R上单调递增，所以a＜c＜d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a，故b<a<c<d. 6．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，6]，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(0，1] B．[1，3] C．(0，2] D．[1，2] 解析：选D.f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5，6]， 由图可知，m的取值范围是[1，2]. 7．(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　 ) 解析：选AB.A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意； C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意； D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意． 8．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若幂函数的图象经过点，则其解析式为y＝ B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1) D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称，则f(－a2＋2a－5)>f(3) 解析：选CD.A选项，设f(x)＝xα，将代入得＝2，即(2-3)α＝2，解得α＝－，故解析式为y＝f(x)＝，A错误； B选项，因为－<0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故f(x)＝为偶函数，故f(x)＝在(－∞，0)上单调递增，B错误； C选项，因为α>0，所以0α＝0，1α＝1，故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，C正确； D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1， 当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称， 当m＝－1时，f(x)＝x-1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去， 其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立， 故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3， 又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确． 9．已知函数f(x)＝xα＋2x(α≠0)，且f(4)＝10，则α＝________，若f(m)＞f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________． 解析：f(4)＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝，所以f(x)＝ ＋2x＝＋2x，其定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(m)＞f(－m＋1)可得解得＜m≤1，故实数m的取值范围为. 答案： 10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]，则n－m的最大值为________． 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1. 由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－＝1，a＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋b. 因为f(x)的值域为[2，＋∞)， 所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3， 故f(x)＝x2－2x＋3. 若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]， 令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1. 所以m最小为－1，n最大为3， 则n－m的最大值为4. 答案：4 【综合应用题】 11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　 ) A．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＞0 解析：选B. 由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上．因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0. 12．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　 ) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 解析：选A.函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b， ①当b>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关， 综上，M－m的值与a无关，与b有关． 13．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的是(　　 ) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 解析：选AB.设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0　(*)．当k＞1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；当k＜1时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1＜t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1＜－1，t2＞－1.因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．综上可知，A，B正确，C，D错误． 14．幂函数y＝xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ＝________． 解析：因为A(1，0)，B(0，1)，BM＝MN＝NA， 所以M， 不妨设y＝xα，y＝xβ分别过点M， 则， 则， 所以αβ＝1. 答案：1　 学科网（北京）股份有限公司 $