课下巩固精练卷(5) 基本不等式的综合应用（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(五)　 基本不等式的综合应用 【基础巩固题】 1．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　 ) A．13 B．12 C．9 D．4 解析：选C.因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 2．若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是(　　 ) A． B． C．4 D．5 解析：选B.由题意，得“∀x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 故当x∈时，3x＋≥λ恒成立， 由基本不等式，得3x＋≥＝， 当且仅当3x＝，即x＝∈时，等号成立， 故λ≤. 3．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　 ) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B.设底面圆半径为r，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r＝，即r＝时等号成立． 4．双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　 ) A． B． C．2 D． 解析：选A.因为双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan ＝， 所以b＝a，c＝＝2a. 所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时等号成立． 5．已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　 ) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) 解析：选A.由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，得＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y)＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25，故实数t的取值范围是(－∞，25]. 6．(2024·四川遂宁模拟)在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若(x>0，y>0)，则的最小值为(　　 ) A．3 B．4 C．8 D．9 解析：选D.因为点F为线段BC上任一点(不含端点)， 所以设，故， 即， 又(x>0，y>0)， 故x＋2y＝1－λ＋λ＝1， 故＝(x＋2y)＝1＋4＋≥5＋2＝9， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立， 故的最小值为9. 7．(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　 ) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 解析：选ABC.由于ex＋ey≥＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时取等号，故A正确； 由基本不等式得xy≤＝4，故lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确； x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确； 由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0，4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0，16)，故D错误． 8．(多选)若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　 ) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2－1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e 解析：选ABD.由a>1，b＝>1，得1<a<e2，因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A正确； 因为ab＝e2，所以ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确； ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增，所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C错误； 设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确． 9．(人教A版必修一P48)已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为__________cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大为________cm2. 解析：设矩形的长为a cm，宽为b cm， 因为矩形的周长为36 cm，所以2(a＋b)＝36，得b＝18－a， 所以旋转形成的圆柱的侧面积为2πab＝2πa(18－a)≤2π×＝162π cm2，当且仅当a＝18－a，即a＝b＝9时等号成立． 故当矩形的长、宽均为9 cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大为162π cm2. 答案：9　162π 10．(人教A版必修一P49)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24 cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x cm，求△ADP的最大面积及相应x的值． 解：如图，设AB＝x cm，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为24 cm，可知AD＝(12－x)cm.设PC＝a cm，则DP＝(x－a)cm， ∵∠APD＝∠CPB′，∠ADP＝∠CB′P＝90°，AD＝CB′，∴Rt△ADP≌Rt△CB′P， ∴AP＝PC＝a cm. 在Rt△ADP中，由勾股定理得AD2＋DP2＝AP2，即(12－x)2＋(x－a)2＝a2， 解得a＝，所以DP＝x－a＝. 所以△ADP 的面积为S＝AD·DP＝(12－x)·＝6·＝6[－(x＋)＋18]. 由基本不等式与不等式的性质，得S≤6×(－2＋18)＝108－72. 当且仅当x＝时，即当x＝6时，△ADP的面积最大，面积的最大值为(108－72)cm2. 【综合应用题】 11．(2024·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tanα的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为β为锐角，所以tan β>0，由题意可得tan α＝＝≤＝，当且仅当tan β＝时取等号，故tan α的最大值为. 12．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则的最小值为________. 解析：函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0， 则有即ab＝1，且a>0， 所以＝(a－b)＋， 又a>b，所以a－b>0， 则(a－b)＋≥2＝， 当且仅当a－b＝，且ab＝1， 即a＝，b＝时等号成立， 即的最小值为. 答案： 13．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，请写出使得“m<”恒成立的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子作答) 解析：由题意可知a>0，b>0，故＝(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号，所以≥8恒成立，若m<恒成立，则m<8.故使得“m<”恒成立的一个充分不必要条件为m<7(答案不唯一，合理即可，可以从不等式的角度出发，填写m<6，m<5等，也可以直接填写合适的m的值，如m＝0，m＝1等). 答案：m<7(答案不唯一) 14．已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素，则M＝的最小值为________． 解析：由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素， 所以b>a>0，Δ＝b2－4ac＝0， 所以b>a>0，b2＝4ac. 所以M＝＝ ＝， 设t＝－1>0，所以＝t＋1， 所以M＝＝t＋＋5≥2＋5＝2＋5. 当且仅当t＝时，等号成立． 所以M的最小值为2＋5. 答案：2＋5 15．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围． 解：(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)，则屋子前面新建墙体长为米， 则y＝3＋7 200＝900＋7 200≥900×2＋7 200＝14 400， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元． (2)由题意可知，900＋7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立， 即，所以>a， 即a<， ＝x＋1＋＋6≥2＋6＝12， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立， 则的最小值为12，即a<12， 又a>5，所以a的取值范围是(5，12). 学科网（北京）股份有限公司 $