课下巩固精练卷(4) 基本不等式（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(四)　 基本不等式 【基础巩固题】 1．(人教B版必修一P82改编)已知a，b都是正数，且a＋b＝1，则的最小值是(　　 ) A． B．2 C．4 D．8 解析：选C.由题意得a>0，b>0，a＋b＝1，故(a＋b)＝1＋＝4，当且仅当，即a＝b＝时取等号，故的最小值是4. 2．(人教A版必修一P48)已知x>1，则x＋的最小值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝(x－1)＋＋1＝3，当且仅当x－1＝时，即当x＝2时等号成立，∴x＋的最小值为3. 3．(2024·安徽合肥三模)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　 ) A．4 B．4 C．4＋1 D．2＋1 解析：选D. ＋1，当且仅当，即y＝时，等号成立． 4．(2024·辽宁大连三模)已知正实数a，b，则“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.取a＝，满足a＋2b≤2，但a2＋4b2＝>2， 故“a＋2b≤2”推不出“a2＋4b2≤2”； 因为a2＋4b2≥2＝2·2ab＝4ab，当且仅当“a＝2b”时取等号， 当a2＋4b2≤2时，a2＋4b2＋4ab≤2＋4ab≤2＋a2＋4b2≤4，所以a2＋4b2＋4ab≤4，即(a＋2b)2≤4， 因为a＋2b>0，所以0<a＋2b≤2，所以a2＋4b2≤2能推出a＋2b≤2. 故“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的必要不充分条件． 5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.因为x>0，y>0，x＋3y＝1， 则(x＋3y)＝＋10＝16， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立，所以0<，即的最大值为. 6．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则的最小值为(　　 ) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：选B.由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故(a＋2b)＝5＋＝9， 当且仅当，且a＋2b＝1，即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，即x＝时，等号成立， 故的最小值为9. 7．(多选)(2024·海南模拟)若正实数a，b满足a＋2b＝1，则(　　 ) A．的最小值为1＋2 B．3b(2a＋b)的最大值为1 C．a2＋2b2的最小值为 D．(a＋1)(b＋1)的取值范围为(1，2) 解析：选BC.正实数a，b满足a＋2b＝1，a＝1－2b， 对于A，＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，A错误； 对于B，3b(2a＋b)≤2＝(a＋2b)2＝1，当且仅当a＝b＝时取等号，B正确； 对于C，a2＋2b2＝(1－2b)2＋2b2＝6b2－4b＋1＝62＋，当且仅当b＝时取等号，C正确； 对于D，(a＋1)(b＋1)＝(2－2b)(1＋b)＝2(1－b2)∈，D错误． 8．(多选)已知a>0，b>0且＝2，则下列说法正确的是(　　 ) A．ab有最小值4 B．a＋b有最小值 C．2ab＋a有最小值2 D．的最小值为4 解析：选ABD.A选项：由2＝，得ab≥4，当且仅当，即a＝1，b＝4时取等号，故A选项正确； B选项：a＋b＝(a＋b)＝＝，当且仅当，即a＝，b＝3时取等号，故B选项正确； C选项：由＝2，得2ab－4a－b＝0，所以2ab＋a＝5a＋b＝(5a＋b)＝＝，当且仅当，即a＝时取等号，故C选项错误； D选项：由A的分析知ab≥4且a＝1，b＝4时取等号，所以，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时取等号，故D选项正确． 9．若x<2，则x＋的最大值为________． 解析：x＋＋2， 由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋≤－6， 故x＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 答案：－4 10．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 解析：因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立， 故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 答案： 【综合应用题】 11．(多选)(2024·江苏扬州模拟)已知a＝log23，b＝log32，则(　　 ) A．ab＝1 B．> C．<2 D．a＋ln b>1 解析：选ABD.对于A，ab＝log23×log32＝＝1，故A正确： 对于B，＝2>，在这里a≠b，所以严格来说有>2>，故B正确； 对于C，＝ab＝b＋3a≥2在这里b≠3a，所以严格来说有>2，故C错误； 对于D，a＋ln b＝a＋ln ＝a－ln a，而a＝log23>1，定义f(x)＝x－ln x(x>1)，则f′(x)＝1－>0，从而f(x)＝x－ln x(x>1)单调递增，所以f(x)>f(1)＝1，所以f(a)＝a－ln a＝a＋ln b>1，故D正确． 12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)对任意x，y，x2＋y2－xy＝1，则(　　 ) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析：选BC.因为ab≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1变形可得y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcos θ＝1＋ －cos 2θ＋sin ∈，所以x2＋y2≥1不成立，所以D错误． 13．(2024·云南曲靖模拟)已知正数x，y满足x＋y＝4，则的最小值为__________． 解析：由正数x，y满足x＋y＝4，可得y＝4－x，所以－1＝0，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以的最小值为0. 答案：0 14．(2024·广西河池模拟)若实数a>1>b>0，且a2＋2b＝b2＋2a，则的最小值为________． 解析：由a2＋2b＝b2＋2a可得(a－b)(a＋b－2)＝0， 因为a>1>b>0，所以a－b≠0，即a＋b－2＝0，则a－1＋b＝1， 则＝(a－1＋b)＝2＋＝4， 当且仅当，即a＝时等号成立，故的最小值为4. 答案：4 15．(2024·江西宜春三模)已知x>0，y>0，且满足4x2＋9y2＋6xy－3＝0，则2x＋3y的最大值为_____________． 解析：解法1：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得4x2＋9y2＋12xy＝3＋6xy， 由基本不等式得(2x＋3y)2＝3＋2x·3y≤3＋2，可得(2x＋3y)2≤3， 所以2x＋3y≤2，当且仅当2x＝3y时取等号， 联立方程组解得x＝，故2x＋3y的最大值为2. 解法2：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得(x2＋9y2＋6xy)＋3x2＝3， 因为x>0，y>0，由权方和不等式得，即4≥(2x＋3y)2， 所以2x＋3y≤2，当且仅当，即2x＝3y时取等号， 联立方程组解得x＝，故2x＋3y的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $