小测卷(28) 利用空间向量求距离（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(二十八)　利用空间向量求距离 一、单选题 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BC1D的距离为(　　 ) A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且AB⊥AD，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，E为CC1的中点，则点E到直线AC1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 二、解答题 3．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC∥平面PAD，BC＝AD＝1，E是棱PD上的动点． (1)当E是棱PD的中点时，求证：CE∥平面PAB； (2)若AB＝1，AB⊥AD，求点B到平面ACE距离的范围． 4．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B＝. (1)证明：平面A1ACC1⊥平面ABC； (2)设M为侧棱CC1上的点，若平面A1BM与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线A1B1的距离． 5．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝，过A作一个平面α使得α∥平面PBC. (1)求平面α将四棱锥P­ABCD分成两部分几何体的体积之比； (2)若平面α与平面PBC之间的距离为，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 6．图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝. (1)求证：平面BC1E⊥平面ABED； (2)在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(二十八)　利用空间向量求距离 1．解析：由正方体的性质知，AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D， 易得平面AB1D1∥平面BDC1， 则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A， 所以. 连接A1C，由＝0， 且AB1∩B1D1＝B1，可知A1C⊥平面AB1D1， 得平面AB1D1的一个法向量为n＝， 则两平面间的距离d＝a. 答案：C 2．解析：因为在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，不妨设＝c.， |d|＝|b|＝|c|＝a，d·b＝0，d·c＝b·c＝a×a×a2， 所以＝|d＋b＋c|＝a，＝a， ·(d＋b＋c)＝－(c·d＋c·b＋c·c)＝－a2， 所以E到直线AC1的距离为d＝a. 答案：A 3．解：(1)证明：因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD. 取PA的中点F，连接BF、EF， 因为E是棱PD的中点，所以EF∥AD且EF＝AD， 因为BC∥AD且BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC， 所以四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF， 因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB. (2)取AD的中点O，连接PO，CO. 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 因为BC∥AD，BC＝AD，O为AD的中点，所以BC∥AO且BC＝AO， 所以四边形ABCO为平行四边形，则CO∥AB， 因为AB⊥AD，则CO⊥AD， 以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)、C(1，0，0)、P、D(0，1，0)，所以＝(1，1，0)， 设＝λ＝，其中0≤λ≤1， 则＝(0，2，0)＋＝， 设平面ACE的法向量n＝(x1，y1，z1)， 所以 令z1＝2－λ，得n＝， 设点B到平面ACE距离为d，d＝. 当λ＝0时，d＝0； 当0<λ≤1时，≥1，则0<d＝， 当且仅当λ＝1时等号成立． 综上，点B到平面ACE距离的取值范围是． 4．解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，∠A1AC＝60°，A1A＝2，AO＝1， 所以A1O＝，A1O⊥AC， 由题设可知，△ABC为边长为2的等边三角形，所以BO＝， 由A1B＝，A1B2＝A1O2＋BO2，所以A1O⊥BO，又AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC， 所以A1O⊥平面ABC， 因为A1O⊂平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面ABC. (2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 所以A(1，0，0)，B，C(－1，0，0)，A1， ＝＝＝， 设(0≤λ≤1)，可得M＝， 设平面A1BM的法向量为m＝(x，y，z)，则 即取y＝λ＋1，则z＝λ＋1，x＝(λ－1)， 所以m＝(λ－1)，λ＋1，λ＋1)，因为＝为平面ABC的一个法向量， 设平面A1BM与平面ABC的夹角为θ， cos θ＝， 解得λ＝，所以M， ＝＝， 所以点M到直线A1B1距离d＝. 5．解：(1)如图1，记平面α与直线CD，PD的交点分别为E，F，则平面AEF为平面α， 因为平面AEF∥平面PBC，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以AE∥BC，同理EF∥PC， 又AB∥CD，即AB∥EC，所以四边形ABCE是平行四边形，故EC＝AB＝1， 又CD＝2，故E是CD的中点， 由中位线定理的推论，可知F是PD的中点， 由条件易得SABCD＝(AB＋CD)·AD＝×(1＋2)×1＝，PD＝2DF， 由PD⊥底面ABCD，得VF­ADE＝DF，VP­ABCD＝×2DF＝DF，所以， 故平面α将四棱锥P­ABCD分成两部分几何体的体积之比为或. (2)由CD，PD，DA两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记PD的长为t，则P(0，0，t)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)， 则＝(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，2，－t)， 设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)， 则有即得 取y＝t，得平面PBC的法向量n＝(t，t，2)， 由条件易知点E到平面PBC距离为，即，解得t＝1或t＝－1(负值舍去)，即t＝1， 所以n＝(1，1，2)，＝(1，0，－1)， 故直线PA与平面PBC所成角θ满足sin θ＝. 6．解：(1)在图①中，连接AC，交BE于O， ∵四边形ABCE是边长为2的菱形，∠BCE＝60°，∴AC⊥BE，OA＝OC＝， 在图②中，相交直线OA，OC1均与BE垂直，∴∠AOC1是二面角A­BE­C1的平面角， ∵AC1＝，∴OA2＋，∴OA⊥OC1，∠AOC1＝90°，∴平面BC1E⊥平面ABED. (2)以O为坐标原点，正方向为x，y，z轴可建立如图②所示空间直角坐标系， 则D，C1，A，B(0，1，0)，E(0，－1，0)， ∴＝＝＝ ＝＝， 设＝，λ∈[0，1]， 则＝， 设平面ABC1的一个法向量n＝(x，y，z)， 则令x＝1，解得y＝，z＝1，∴n＝ ∴点P到平面ABC1的距离d＝，解得λ＝或λ＝(舍)， ∴＝，∴P＝， ∴＝， ∴直线EP与平面ABC1所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $