小测卷(11) 导数与函数的单调性、极值、最值（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(十一)　导数与函数的单调性、极值、最值 一、单选题 1．设x＝θ是函数f(x)＝3cos x＋sin x的一个极值点，则tan θ＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 2．已知函数f(x)＝－x，则(　　) A．f的单调递减区间为(0，1) B．f的极小值点为1 C．f的极大值为－1 D．f的最小值为－1 3．定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝3，则不等式f(x)<3ex的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 4．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B． C．(－2，＋∞) D．(－8，＋∞) 5．若f(x)＝ex－2m sin x cos x，x∈存在极值，则实数m的取值范围为(　　) 6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是(　　) A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值 B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点 C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点 D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减 7．若函数f(x)＝－axex有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 8．设函数f(x)＝若f(m2)>f(2m＋3)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－3，1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 二、多选题 9．对于函数f＝9x3－ln x，下列结论中正确的是(　　) A．f在(0，＋∞)上单调递增 B．f在上单调递减 C．f有最小值 D．f有两个零点 10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1，则下列说法正确的是(　　) A．当b＝0时，f(x)有两个极值点 B．当a＝0时，f(x)的图象关于(0，1)中心对称 C．当b＝，且a>－4时，f(x)可能有三个零点 D．当f(x)在R上单调时，a2≥3b 11．已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则(　　) A．0<a< B．f(x2)>0 C．f(x1)<0 D．f(x2)<－ 12．若0<a<b<1，则(　　) A．ab<ba B．ab＋1<a＋b C．a1-b<b1-a D．loga(1＋b)>logb(1＋a) 三、填空题 13．函数f(x)＝的极值点为___________． 14．若函数f(x)＝x2＋4x＋1在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________． 15．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包下半部分近似一个圆柱、上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥．今制作一座蒙古包，下半部分圆柱的高为2 m、上半部分圆锥内部的母线长为3 m，当该蒙古包的内部空间最大时，其内部的实际占地面积为___________m2. 16．函数f(x)＝x－ln x－2的最小值为______，函数g(x)＝－x＋ln x的最小值为______． 四、解答题 17．已知函数f(x)＝x3－3ax， (1)讨论函数f(x)的极值情况； (2)求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值． 18．设函数f(x)＝x ln x－(a＋1)x＋a＋1，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(十一)　导数与函数的单调性、极值、最值 1．解析：∵由已知可得f′(θ)＝－3sin θ＋cos θ＝0，∴tan θ＝. 答案：C 2．解析：因为f(x)＝－x，所以f′(x)＝，令φ(x)＝1－ln x－x2， 则φ′(x)＝－－2x<0，所以φ(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)上单调递减． 因为φ＝0，所以当0<x<1时，φ(x)>0，即f′(x)>0；当x>1时，φ(x)<0，即f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 故f(x)的极大值点为1，f＝－1，即f＝－1，不存在最小值． 答案：C 3．解析：构造函数F(x)＝，所以F′(x)＝<0， 所以函数F(x)在R上单调递减． 因为f(x)<3ex，f(0)＝3，所以<⇔F(x)<F(0)， 所以x>0. 所以不等式f(x)<3ex的解集为(0，＋∞)． 答案：C 4．解析：由f(x)＝ln x＋ax2－2可得f′(x)＝＋2ax. 因为函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间， 所以f′(x)>0在x∈上有解，即a>－在x∈上有解． 设g(x)＝－，x∈，由g′(x)＝x-3>0在x∈上恒成立，所以g(x)在x∈单调递增，所以g<g(x)<g(1)，所以a>g＝－8. 答案：D 5．解析：由题意可知f(x)＝ex－m sin 2x，f′(x)＝ex－2m cos 2x＝0有解⇔2m＝， 令g(x)＝，则g′(x)＝>0，g(x)递增，g(0)＝1， g.∴. 答案：A 6．解析：由图象可知：当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥－2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增， 故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，y＝f(x)无极大值． 答案：C 7．解析：f′(x)＝－aex－axex＝(ex－2ax－2a)，因为有两个极值点，故ex－2ax－2a＝0有两个根，即y＝ex和y＝的图象有两个交点，画出图象， 若a<0，显然1个交点，不合题意； 若a>0，设直线y＝2a和y＝ex相切于点， 则解得x0＝0，故切点是，故2a>1，解得a>. 答案：C 8．解析：当x≤0时，f(x)＝ex＋cos x－x2，则f′(x)＝ex－sin x－x＝ex＋sin (－x)＋(－x)， 令y＝sin (－x)＋(－x)(x≤0)，令t＝－x(t≥0)，则y＝sin t＋t， 所以y′＝cos t＋1≥0，所以y＝sin t＋t在[0，＋∞)上单调递增， 所以y≥0，即y＝sin (－x)＋(－x)≥0， 因为ex>0，所以f′(x)＝ex－sin x－x＝ex＋sin (－x)＋(－x)>0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递增， 因为f(x)＝x＋2在(0，＋∞)上单调递增，且0＋2＝e0＋cos 0－×02， 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(m2)>f(2m＋3)，所以m2>2m＋3，即m2－2m－3>0， (m＋1)(m－3)>0，解得m<－1或m>3， 即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：D 9．解析：∵＝9x3－ln x，x>0，， 由f′＝0可得x＝， 当x∈时，f′<0，单调递减， 当x∈时，f′>0，单调递增， 所以当x＝时，函数有最小值f－ln 即＋ln 3， 所以AD错误，BC正确． 答案：BC 10．解析：对于A，当b＝0时，f(x)＝x3－ax2＋1，f′(x)＝3x2－2ax， 若a＝0，f′(x)＝3x2≥0，则f(x)在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当a＝0时，f(x)＝x3＋bx＋1，f(－x)＝－x3－bx＋1，则f(x)＋f(－x)＝2，所以f(x)的图象关于(0，1)中心对称，故B正确； 对于C项，当b＝时，f(x)＝x3－ax2＋x＋1， f′(x)＝3x2－2ax＋， 取－4<a<－3，即－64<a3<－54时，此时>， 所以当x<时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增， 当<x<时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减， 当x>时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增， 所以函数极小值为f＋1<0，函数极大值为f＝1>0， 即f<0，所以f(x)在有一个零点， 又因为f(a)＝＋1<－<0，f(－a)＝－＋1>0， 所以f(x)在有一个零点，在有一个零点， 即当－4<a<－3时，f(x)有三个零点，故C正确； 对于D项，若f(x)在定义域R上是单调函数， 则f′(x)＝3x2－2ax＋b≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12b≤0，解得a2≤3b，所以D错误． 答案：BC 11．解析：f′(x)＝ln x－ax＋x＝ln x＋1－2ax(x>0)， 令f′(x)＝0, 由题意可得ln x＝2ax－1有两个实数解x1，x2， 所以函数g(x)＝ln x＋1－2ax有且只有两个零点x1，x2，g′(x)＝. ①当a≤0时，g′(x)>0，f′(x)单调递增， 因此g(x)＝f′(x)至多有一个零点， 不符合题意， 应舍去； ②当a>0时， 令g′(x)＝0, 解得x＝， 因为当x∈时，g′(x)>0, 函数g(x)单调递增； 当x∈时，g′(x)<0, 函数g(x)单调递减， 所以x＝是函数g(x)的极大值点， 则>0, 即ln ＋1－1＝－ln (2a)>0，解得0<a<，故选项A正确； 因为f′(x1)＝0，所以f′(x1)＝ln x1＋1－2ax1＝0， 又因为x1<<x2，所以2ax1<1，所以ax1－1<－ax1， 所以f(x1)＝x1(ln x1－ax1)＝x1[2ax1－1－ax1]＝x1(ax1－1)<x1(－ax1)＝－<0，所以f(x1)<0，故选项C正确； 又f′(x2)＝ln x2＋1－2ax2＝0，所以＝ax2， f(x2)＝x2(ln x2－ax2)＝x2＝x2， 令h(x)＝x，则h′(x)＝ln x， 当x>1，h′(x)>0，h(x)单调递增，而1<<x2， 所以h(x2)>h(1)＝－，故选项D错误； 当a＝时(符合0<a<，此时f(x)仍有两个极值点)，此时f′(x2)＝ln x2＋1－x2＝0，解得x2＝e，所以f(x2)＝e＝0，故f(x2)正负不确定，故选项B错误． 答案：AC 12．解析：A选项中，因为0<a<1，故y＝ax在R上单调递减，故ab<aa， 因为y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故aa<ba，综上，ab<aa<ba，故A正确； B选项中，由于a＋b－ab－1＝(a－1)(1－b)<0，所以ab＋1>a＋b，故B不正确； C选项中，a1-b<b1-a⇔(1－b)ln a<(1－a)ln b⇔<， 设f(x)＝(0<x<1)，则f′(x)＝(0<x<1)， 设g(x)＝ln x＋－1(0<x<1)， 则g′(x)＝<0⇒g(x)>g(1)＝0⇒f′(x)>0， 所以f(x)在(0，1)上递增，这样f(a)<f(b)，故C正确； D选项中，取a＝，则loga(1＋b)＝＝， 又>>1，故loga(1＋b)＝<logb(1＋a)＝故D错误． 答案：AC 13．解析：当x>0时，f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－， 令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0<x<1， 所以函数f(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减， 易知x＝1为极小值点； 当x<0时，f(x)＝＋ln (－x)，f′(x)＝－<0恒成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)单调递减，所以f(x)无极值点． 综上所述，f(x)的极值点为1. 答案：1 14．解析：∵函数f(x)＝x2＋4x＋1，∴f′(x)＝x2－ax＋4， 若函数f(x)在区间(1，4)上不单调，则f′(x)＝x2－ax＋4＝0在(1，4)上存在变号零点， 由x2－ax＋4＝0得a＝x＋， 令g(x)＝x＋，x∈(1，4)，g′(x)＝， ∴g(x)在(1，2)上递减，在(2，4)上递增，而g(2)＝2＋＝4，g(1)＝1＋＝5，g(4)＝4＋＝5， 所以4<a<5. 答案：(4，5) 15．解析：设底面圆的半径为r，圆锥高为h， 则h＝，r2＝9－h2， ∴V＝πr2×2＋πr2h＝2π(9－h2)＋π(9－h2)h＝18π－2πh2＋3πh－πh3， 令f(h)＝18π－2πh2＋3πh－πh3， ∴f′(h)＝－πh2－4πh＋3π＝－π(h2＋4h－3)＝－π[(h＋2)2－7]， 令f′(h)＝0得h＝－2或h＝－－2(舍去)， 又∵母线长为3 m，∴0<h<3， ∴当0<h<－2时，f′(h)>0，f(h)单调递增；当－2<h<3时，f′(h)<0，f(h)单调递减，∴当h＝－2时，f(h)取得最大值，即V取得最大值， 此时r2＝9－h2＝4－2， 故占地面积S＝πr2＝π×π. 答案：π 16．解析：因为f(x)＝x－ln x－2，所以f′(x)＝1－，x>0， 当0<x<1时，f′(x)<0，则函数f(x)在(0，1)上单调递减， 当x>1时，f′(x)>0，则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－1. 令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1， 当x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当x<0时，h′(x)<0，h(x)在(－∞，0)上单调递减， 故h(x)≥h(0)＝0，即h(x)＝ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1，当x＝0时取等号． 所以g(x)＝－x＋ln x＝ex－ln x-2－(x－ln x－2)－2≥(x－ln x－2)－(x－ln x－2)－1＝－1，当x－ln x－2＝0时取等号； 由第一空可知函数f(x)＝x－ln x－2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由f＝>0，f(1)＝－1<0，即存在t∈，使得f(t)＝0， 所以即x－ln x－2＝0在(0，1)上有解，故g(x)≥－1，当x＝t时等号成立， 所以函数g(x)＝－x＋ln x的最小值为－1. 答案：－1　－1 17．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增， 无极值； 当a>0时，令f′(x)>0，解得x<－或x>， 令f′(x)<0，解得<， ∴函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减， ∴函数f(x)在x＝－处取得极大值，＝2a，在x＝处取得极小值，＝－2a. (2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增， 故f(x)max＝f(2)＝8－6a. 当0<a<4时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又f(0)＝0，f(2)＝8－6a，∴当0<a≤时，f(x)max＝f(2)＝8－6a; 当<a<4时，f(x)max＝f(0)＝0； 当a≥4时，函数f(x)在[0，2]上单调递减，f(x)max＝f(0)＝0. 综上，当a≤时，函数f(x)在[0，2]上的最大值为8－6a；当a>时，函数f(x)在[0，2]上的最大值为0. 18．解：(1)f′(x)＝ln x－a， 由f′(x)＝0得x＝ea， 当0<x<ea时，f′(x)<0；当x>ea时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，ea)上单调递减，在(ea，＋∞)上单调递增． (2)由于f(1)＝0，只需f(x)在区间(1，e]上没有零点，由(1)知， ①当ea≤1时，即a≤0时，f(x)在区间[1，e]上单调递增， 1<x≤e时，f(x)>f(1)＝0，符合题意； ②当ea≥e时，即a≥1时，f(x)在区间(1，e]上单调递减， 1<x≤e时，f(x)<f(1)＝0，符合题意； ③当1<ea<e时，即0<a<1时，f(x)在(1，ea)上单调递减，在(ea，e)上单调递增， 只需f(e)＝a＋1－ae<0即可，所以<a<1， 综上，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $