小测卷(10) 导数的概念与几何意义（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(十)　导数的概念与几何意义 一、单选题 1．下列求导不正确的是(　　) A． B． C． D． 2．已知f(x)＝sin x＋f′(0)cos x, 则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 3．利用导数的定义计算值为(　　) A．1 B． C．0 D．2 4．已知函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线与圆心为Q(1，0)的圆相切，则圆的面积是(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 5．已知f为奇函数，且当x>0时，f＝e2x-1＋，则曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．2x＋y＋4＝0 B．2x－y＋4＝0 C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y＋2＝0 6．若点P是曲线y＝2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 7．已知函数f(x)＝(a，b∈R)，点P(1，0)位于曲线y＝f(x)的下方，且过点P可以作3条直线与曲线y＝f(x)相切，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 8．若曲线y＝ln x上恰有三个不同的点到直线y＝x＋a的距离为，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－2 C．1 D．－3或1 二、多选题 9．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 10．若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)的方程可以是(　　) A．f(x)＝x3＋2x2＋8 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln 11．已知函数f(x)＝x3－mx，若过点P(－1，1)恰能作3条曲线y＝f(x)的切线，则m的值可以为(　　) A． B． C． D． 12．已知函数f(x)＝，过点(a，b)作曲线f(x)的切线，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0，b＝0时，有且仅有一条切线 B．当a＝0时，可作三条切线，则0<b< C．当a＝2，b>0时，可作两条切线 D．当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值范围为或 三、填空题 13．曲线f(x)＝(a≠0)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则a＝________________. 14．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm，上口宽6 cm，若以20 cm3/s的匀速往杯中注水，当水深为4 cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率v＝_______cm/s. 15．已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为___________． 16．若曲线f(x)＝(x－a－1)ex只有一条经过点(1，0)的切线，则a的值可以为________，此时切线方程为____________． 四、解答题 17．已知函数y＝f(x)＝(2x2＋1)(x－2)＋. (1)求f′(x)； (2)求函数图象在点P(1，f(1))处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积． 18．已知函数f(x)＝x3＋λx2－x(λ∈R)为奇函数． (1)若f(x)≤m2＋4m对x∈恒成立，求实数m的取值范围； (2)过点A且与曲线y＝f(x)相切的直线为l，l与x轴、y轴分别交于点B，C，O为坐标原点，求△BOC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(十)　导数的概念与几何意义 1．解析：对于A，＝(3x＋5)′·3(3x＋5)2＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，′＝′·ln x＋x3′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝，故C错误； 对于D，′＝′＋′＝2x ln 2－sin x，故D正确． 答案：C 2．解析：f′(x)＝cos x－f′(0)sin x，所以f′(0)＝cos 0＝1， 所以f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，所以f(0)＝cos 0＝1. 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1·，即x－y＋1＝0. 答案：A 3．解析：依题意，令函数f(x)＝ln x，求导得f′(x)＝， 所以＝2f′(e)＝. 答案：B 4．解析：依题意知y′＝ex， 则函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝e0＝1， 所以函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0， 因为该切线x－y＋1＝0与圆心为Q(1，0)的圆相切， 所以圆的半径r＝， 所以圆Q的面积为πr2＝2π. 答案：B 5．解析：当x<0时，＝－e-2x-1＋，则＝2e-2x-1－， 所以f′＝－2，又f＝－3， 故切线方程为y＋3＝－2，即2x＋y＋4＝0. 答案：A 6．解析：设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应切点为P(x，y)， 由y＝x2－2ln x，则y′＝3x－， 令y′＝3x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故点P的坐标为， 故点P到直线y＝x－3的距离最小值为. 答案：A 7．解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b，设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率为f′(x0)， 切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，由于切线过点P(1，0)， ∴－f(x0)＝f′(x0)(1－x0)，整理得＋＝0. 构造函数g(x)＝x3＋(a－1)x2－2ax－，∴y＝g(x)有三个不同的零点， g′(x)＝2x2＋2(a－1)x－2a＝2(x－1)(x＋a)， 易知a≠－1，g(1)·g(－a)<0，即<0，即(a－1)(a＋2)2>0， 又因为点P(1，0)在曲线下方，∴f(1)>0，即a>－，解得a>1. 答案：D 8．解析：依题意，设直线l与直线y＝x＋a平行，且与曲线y＝ln x的图象相切于点P(m，n)， 对于y＝ln x，定义域为x∈(0，＋∞)，则y′＝， 所以有y′|x＝m＝，直线l的斜率k＝， 又因为直线l与直线y＝x＋a平行，则有＝1，解得m＝1， 则n＝ln 1＝0，故点P的坐标为(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1， 若曲线y＝ln x上恰有三个不同的点到直线y＝x＋a的距离为， 必有直线l到直线y＝x＋a的距离为，则有，解得a＝1或a＝－3， 当a＝1时，直线y＝x＋a即为y＝x＋1与曲线y＝ln x没有交点， 曲线y＝ln x上只有1个点到直线y＝x＋a的距离为，不符合题意； 当a＝－3时，直线y＝x＋a即为y＝x－3与曲线y＝ln x有2个交点， 曲线y＝ln x上恰有三个不同的点到直线y＝x－3的距离为， 一个点为点P，剩余的两个点则在直线y＝x－3的右下方，符合题意； 故a＝－3. 答案：A 9．解析：选项A，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确； 选项B，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的f′(t2)不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误； 选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在[t2，t3]内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确； 选项D，在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确． 答案：AC 10．解析：因为直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝的切线，所以y＝在某点处的导数值为. 对于A，由＝x3＋2x2＋8，可得＝3x2＋4x， 令f′，即6x2＋8x－1＝0， 因为Δ＝82－4×6×>0，所以有解，故A正确； 对于B，由＝tan x，可得f′(x)＝， 令f′，可得cos2x＝2，无解，故B不正确； 对于C，f′>0，故f′有解，故C正确； 对于D，＝ln 的定义域为， 令f′，可得x＝－，不符合x>－， 所以f′无解，故D不正确． 答案：AC 11．解析：设切点为P(x0，y0)，则f′(x)＝3x2－m， 所以切线的斜率为k＝f′(x0)＝－m，则切线的方程为y－y0＝(x－x0)， 因为点P(－1，1)在切线上， 所以1－(－1－x0)，即m＝＋1， 令g(x)＝2x3＋3x2＋1，则g′(x)＝6x2＋6x， 令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－1， 当x<－1或x>0时，g′(x)>0；当－1<x<0时，g′(x)<0， 所以当x＝－1时，g(x)取得极大值g(－1)＝2， 当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝1， 因为过点P(－1，1)恰能作3条曲线y＝f(x)的切线， 所以直线y＝m与y＝g(x)的图象有3个交点， 如图所示， 所以m的取值范围是1<m<2. 答案：BC 12．解析：对于A，当a＝0，b＝0时，点在函数f(x)＝的图象上，f′(x)＝， 若点为切点，则切线斜率为k＝f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x， 若点不为切点，设切点坐标为，所以y0＝， 切线斜率为，所以x0＝0，y0＝0，即切点为原点，所以a＝0，b＝0时，有且仅有一条切线，故A正确； 对于B，设切点坐标为，所以y0＝，f′(x)＝， 则切线的斜率为k＝，切线方程为，当a＝0时，则b＝，设g，则， 当x∈时，g′<0，g单调递减，当x∈时，g单调递增，当x∈时，g′<0，单调递减， 所以当x＝0时，g有极小值，为g＝0，当x＝2时，g有极大值，为g，当x>0时，g>0，画出f(x)＝的图象， 当a＝0时，若作三条切线，则y＝b与g(x)＝的图象有3个交点，由图可得0<b<，故B正确； 对于C, 当a＝2时，由切线方程得，则b＝，设h，则h′≤0，所以h单调递减，且h>0， 如图， 所以当a＝2，b>0时，y＝b与h的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C错误； 当0<a<2时，由切线方程为得，则b＝， 设t，则t′， 因为0<a<2，所以当x∈时，t′<0，t单调递减，当x∈时，t′>0，t单调递增，当x∈时，t单调递减， x＝a时，t有极小值为t>0， x＝2时，t有极大值为t>0， t的图象如下， 若作两条切线，则b的取值为或，故D正确． 答案：ABD 13．解析：由函数f(x)＝，可得f′(x)＝， 因为f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，可得f′(0)＝＝0，解得a＝. 答案：/0.5 14．解析：设t时刻水的深度为h cm，水面半径为r cm，则，则r＝h， 当水深为4 cm时，酒杯中水面的半径为此时水的体积为V＝π××4＝3π， 由题意可得20t＝3π，可得t＝ s； 由题意可得20t＝πr2h＝π×πh3，∴h＝， h′＝，当t＝时，h′＝. 答案： 15．解析：设l与曲线y＝ex－1相切于点P，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝，整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x. 答案：y＝ex－1或y＝x 16．解析：设切点坐标为(t，(t－a－1)et)． 由f′(x)＝(x－a)ex，得f′(t)＝(t－a)et， 所以切线方程为y－(t－a－1)et＝(t－a)et(x－t)． 将点(1，0)的坐标代入，得－(t－a－1)et＝(t－a)et(1－t)，整理得t2－(a＋2)t＋2a＋1＝0. 由题意可知，方程有两个相等的实数根，则Δ＝[－(a＋2)]2－4(2a＋1)＝0，解得a＝0或a＝4. 当a＝0时，t＝1，此时切线方程为y＝e(x－1)，即ex－y－e＝0； 当a＝4时，t＝3，此时切线方程为y＋2e3＝－e3(x－3)，即e3x＋y－e3＝0. 答案：0或4　ex－y－e＝0或e3x＋y－e3＝0 17．解：(1)由f(x)＝(2x2＋1)(x－2)＋， 得f′(x)＝4x(x－2)＋(2x2＋1)×1＋×πcos πx＝6x2－8x＋1＋cos πx. (2)∵f(1)＝3×(－1)＋＝－3，f′(1)＝6×1－8＋1＋cos π＝－2， ∴函数f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程y－(－3)＝－2(x－1)， 整理得2x＋y＋1＝0. 令y＝0，得x＝－，令x＝0，得y＝－1， ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝＝. 18．解：(1)因为f(x)＝x3＋λx2－x(λ∈R)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即－x3＋λx2＋x， 解得λ＝0，所以f(x)＝x3－x， f′(x)＝3x2－，令f′(x)＝0，得x＝－或， x 2 f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值－ ↗ 5 由上表知，f(x)max＝f(2)＝5， 所以m2＋4m≥5，解得m≤－5或m≥1. (2)因为f(1)＝－，所以点A在曲线y＝f(x)上， 当A为切点时，kl＝f′(1)＝，切线l的方程为y＝x－2， 所以B，C(0，－2)，S△BOC＝； 当A不是切点时，设切点坐标， kl＝f′(x0)＝，整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝－或x0＝1(舍去)， 所以kl＝f′＝－，切线l的方程为y＝－， 所以B，C，S△BOC＝. 综上，△BOC的面积为或. 学科网（北京）股份有限公司 $