小测卷(6) 函数的奇偶性、周期性与对称性（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(六)　函数的奇偶性、周期性与对称性 1、 单选题 1．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是(　　 ) A．y＝lg x B．y＝ C．y＝ex D．y＝x－ 2．(2023·甘肃陇南一模)已知函数f(x)的定义域为R，当x<2时，f(x)＝－2x＋1，且f(x＋2)为奇函数，则f(7)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点对称，则b＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 4．已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)<2的解集是(　　 ) A．(1，2) B． C． D． 5．(2023·河南洛阳模拟)设f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数，f(3)＝0，则f(x)在[0，10]内的零点个数最少是(　　) A．4 B．6 C．7 D．9 6．(2022·山东潍坊三模)设函数f，若a＝f则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c 7．(2023·江西九江一模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(4－x)＝2，f(1)＝2，则＝(　　) A．23 B．22 C．19 D．18 8．(2023·山东潍坊模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f′(x)，g′(x)的定义域均为R，f(2x＋1)为奇函数，g(x－1)关于直线x＝1对称，则(　　) A．f(g(－1))＝－f(g(1)) B．g(f(－1))＝－g(f(3)) C．f(g′(－1))＝f(g′(1)) D．g(f′(－1))＝g(f′(3)) 二、多选题 9．(2022·河北邯郸二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f且＝2，则f(n∈N*)的值可能为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 10．已知定义在R上的偶函数满足f(x＋2)＝f(x－2)，且当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，则下列四个命题中正确的是(　　) A．T＝4 B．直线x＝－2为函数y＝f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在区间[2，－9]上存在3个零点 D．若f(x)＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，则x1＋x2＝－2 11．(2023·广东佛山模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，下列命题正确的是(　　) A．f(2 014)＋f(－2 015)＝0 B．函数f(x)在定义域上是周期为2的函数 C．函数f(x)的值域为(－1，1) D．直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点 12．已知函数f及其导数f′的定义域均为R，记g＝f′.若f为偶函数，g为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．g＝0 C．g＝0 D．g＝0 三、填空题 13．请写出一个函数＝_______，使之同时具有以下性质： ①图象关于y轴对称；②∀x∈R，f(x＋4)＝f. 14．已知函数f(x)＝x＋是偶函数，则m＝__________． 15．(2024·河南开封一模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2.则f(1)＝______．g(x)＝f(x)－lg x，则函数g(x)的零点共有______个． 16．已知函数f＝ex-1－e1-x＋x，则不等式≤2的解集是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(六)　函数的奇偶性、周期性与对称性 1．解析：函数y＝lg x定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数；y＝为偶函数；y＝ex是非奇非偶函数；故A，B，C不符合题意．对于D选项，定义域为＝－＝－，是奇函数，故图象关于原点对称． 答案：D 2．解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)， 可知f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(7)＝－f(－3)， 因为f(－3)＝－2-3＋1＝，所以f(7)＝－. 答案：A 3．解析：∵的图象关于点对称，∴＝0， 又fx＋10＋4a＋b， ∴x＋10＋4a＋2b＝0， ∴解得 答案：C 4．解析：因为f，所以f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)＝是增函数． 又因为f＝2，所以f(2x－3)<2可化为f(2x－3)<f(1)， 可得到<1，解得1<x<2. 答案：A 5．解析：因为f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数， 所以f(0)＝f(5)＝f(10)＝0，又f(3)＝0，所以f(3)＝f(8)， 则f(－3)＝f(2)＝f(7)＝0，f＝－f，则f＝＝f. 所以f＝f＝0，f＝f＝f＝0， 故零点至少有0，2，，10，则f(x)在[0，10]内的零点个数最少是9. 答案：D 6．解析：函数为偶函数且x＝为其一条对称轴， 故b＝，显然0<log32＝<ln 2<1，故b<a. 因为<1.8，1.5<<1.6，ln 2<1<，所以a<c，所以b<a<c. 答案：D 7．解析：由f(x)＋f(4－x)＝2，令x＝2得f(2)＝1. 令x＝1，得f(1)＋f(3)＝2，∵f(1)＝2，∴f(3)＝0. ∵f(2x＋1)为偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1＋x)＝f(1－x)，∴曲线f(x)关于直线x＝1对称． 又∵f(x)＋f(4－x)＝2，∴f(x)图象关于点(2，1)中心对称， f(x)＝2－f(4－x)＝2－f[1－(x－3)]＝2－f[1＋(x－3)]＝2－f(x－2)， 可得f(x＋2)＝2－f(x)，即f(x)＝2－f(x＋2)， 又f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝2－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期T＝4. ∵f(1)＝2，f(4)＝f(0)＝2－f(2)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， ∴＝5×4＋f(1)＋f(2)＝23. 答案：A 8．解析：由f(2x＋1)为奇函数得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 令t＝－2x＋1，则x＝，所以f(t)＝－f＝－f(2－t)， 即f(x)＝－f(2－x)，所以f(1－x)＝－f(2－(1－x))＝－f(1＋x)； 因为g(x－1)关于直线x＝1对称，所以g(x)关于y轴对称， 即g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)． 对于选项A，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)， 所以f(g(－1))＝f(g(1))≠－f(g(1))，故选项A错误． 对于选项B，由f(1－x)＝－f(1＋x)得f(－1)＝f(1－2)＝－f(1＋2)＝－f(3)， 所以g(f(－1))＝g(－f(3))＝g(f(3))≠－g(f(3))，故选项B错误． 对于选项C，因为g(x)的图象关于y轴对称，所以y轴左右两边对称点的切线关于y轴对称，所以切线的斜率互为相反数， 即g′(－x)＝－g′(x)，所以g′(－1)＝－g′(1)， 所以f(g′(－1))＝f(－g′(1))≠f(g′(1))，故选项C错误． 对于选项D，因为f(1－x)＝－f(1＋x)，所以f(x)关于点(1，0)中心对称， 因为＝1，所以f(－1)和f(3)关于点(1，0)对称， 所以f(x)在x＝－1和x＝3处切线的斜率相等，即f′(－1)＝f′(3)， 所以g(f′(－1))＝g(f′(3))，故选项D正确． 答案：D 9．解析：由题设，f(x)是周期为4的奇函数，且f＝2， 则f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)＝－f(2)，即f(2)＝0， f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2， f(0)＝f(0＋4)＝f(4)＝0， 所以f(1)＝f(1)＋f(2)＝2，f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 当n＝4k或n＝4k＋3，k∈N*时，f＝0； 当n＝4k＋1或n＝4k＋2，k∈N*时，f＝2. 答案：BC 10．解析：对于A，因为f(x＋2)＝f(x－2)，所以周期T＝4，故A正确； 对于B，因为f(x)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x－2)，又f(x＋2)＝f(x－2)， 所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故B正确； 对于C，若当x∈[0，2]时，f(x)无零点，则根据周期性和对称性可推出f(x)无零点，故C错误； 对于D，因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x)的周期T＝4， 又f(x)＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，所以x1＋x2＝2×(－2)＝－4，故D错误． 答案：AB 11．解析：由题意知，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 因为当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 当x∈[1，2)时，可得x－1∈[0，1)，可得f(x－1)＝log2x， 又因为f((x－1)＋1)＝－f(x－1)⇒f(x－1)＝－f(x)＝log2x⇒f(x)＝－log2x， 所以f(x)＝ 又由函数f(x)为定义在R上的偶函数，所以可作出函数f(x)的图象如下： 对于A中，由f(2 014)＋f(－2 015)＝f(2×1 007＋0)＋f(2 015)＝f(0)＋f(2×1 007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0，所以A正确； 对于B中，由图象可知函数不是周期函数，所以B是错误的； 对于C中，由图象可知函数的值域为(－1，1)，所以C正确． 对于D中，由图象可知直线y＝x与函数f(x)的图象只有1个交点，所以D错误． 答案：AC 12．解析：∵f为偶函数，＝f，∴f＝f， ∴f(x)关于直线x＝对称， 设f(x)＝2＋1，f＝1≠0，故选项A错误； ∵g为奇函数，∴g＝所以函数g(x)关于点对称． 令x＝0，得g＝0，故选项B正确； ∵f＝f， ∴′＝′，即＝f′， ∴f′(1)＋f′(2)＝0，∴g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确； ∴f′＋f′＝0，∴g＋g＝0，故选项D正确． 答案：BCD 13．解析：由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，所以f(x)＝cos ，满足题设要求． 答案：cos (答案不唯一) 14．解析：由ex－1≠0，得f(x)＝x＋的定义域为， 又∵f(x)＝x＋是偶函数，故f(－1)＝f(1)， 即－1＋，解得m＝2. 此时f(x)＝x＋，而f(－x)＝， 故f(x)的确为偶函数，故m＝2. 答案：2 15．解析：由f(x)＋f(2－x)＝0， 令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0； 由f(x)＋f(2－x)＝0，则f(2－x)＝－f(x)， 又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是以2为周期的函数， g(x)的零点个数，即函数y＝f(x)与y＝lg x的交点个数， 在同一坐标系中作出两函数图象： 由图可知两函数有5个交点，即函数g(x)的零点共有5. 答案：0　5 16．解析：构造函数g(x)＝f(x)－1＝ex-1－＋(x－1)，那么g(x) 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到h(x)＝g(x＋1)＝ex－＋x， h(x)的定义域为R，且h(－x)＝－ex－x＝－h(x)， 所以h(x) 为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x) 图象关于(1，0)对称，则有g(2－x)＝－g(x)． 不等式f≤2 等价于f(2－x)－1＋f(4－3x)－1≤0， 等价于g≤0，∴g(2－x)≤， 结合g(x)单调递增可知2－x≤3x－2，∴x≥1， 所以不等式f≤2的解集是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $