阶段综合检测卷(2) 函数与导数（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

阶段综合检测卷(二)　函数与导数 一、单项选择题 1．已知函数f＝sin 2x＋f′cos x－1，则＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．设函数f则f＝(　　 ) A．2 B．6 C．8 D．10 3．已知函数f(x)＝＋2，若f＝4，则f的值为(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．设a＝，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 5．2023年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c＝k·at(k，a为大于0的常数且a≠1)．若c＝时，t＝10；若c＝时，t＝20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要(参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32)(　　) A．43年 B．53年 C．73年 D．120年 6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 7．已知x1，x2分别是方程ex＋x－4＝0，ln (x－1)＋x－5＝0的根，则＋1＋ln (x2－1)的值为(　　) A．e＋ln 5 B．e2＋ln 5 C．10 D．5 8．已知函数f，且x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＋x3＋x4的最小值是(　　 ) A．－2 B．－ C．－1 D．－ 二、多项选择题 9．若a>b>1，0<m<1，则(　　 ) A．am<bm B．ma<mb C．logma<logmb D．logam<logbm 10．已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(2－x)为奇函数，f(2x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)＝1 B．f(2 024)＝－f(2 020) C．f′(－1)＝f′(7) D．f′(－2 021)＝f′(2 025) 11．已知函数f(x)＝若存在三个实数，使得，则(　　 ) A．x1＋x2＋x3的取值范围为 B．x2f的取值范围为 C．x1x2x3的取值范围为 D．x1f的取值范围为 三、填空题 12．写出一个同时满足①②的函数f＝___________．①f是偶函数，②f. 13． 已知函数f有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 14． 曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值．对于半径为R(R>0)的圆，定义其曲率K＝.对于一般曲线，我们可通过曲线上某点处的密切圆半径来描述该点的曲率，其中对于曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的密切圆半径计算公式为R＝.已知函数g(x)＝log2x，椭圆C：＝1(a>b>0)，则曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的曲率为____________；C上任一点处曲率的最大值为____________． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a； (2)求f(x)的单调区间和极值． 16．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的表达式； (2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>的解集． 17．已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R). (1)若函数f(x)有一个零点，求k的取值范围； (2)已知函数g(x)＝ex，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围. 18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫米/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫米/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1) (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：) 19．. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设，当时，对任意在x2∈，使≤f(x1)，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段综合检测卷(二)　函数与导数 1．解析：因为＝sin 2x＋f′cos x－1， 故可得f′(x)＝2cos 2x－f′(0)sin x， 令x＝0，则f′(0)＝2，故＝sin 2x＋2cos x－1，则＝1. 答案：C 2．解析：因为 所以f＝log28＝3，f＝3，所以f(－2)＋＝6. 答案：B 3．解析：令g，其定义域为R， 且g＝0，故为奇函数． 则f＋2＝4，又f＝4， 故可得f＝0. 答案：B 4．解析：由题意可得a＝， 设f(x)＝，x>0，则f′(x)＝， 故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 因为a＝f(4)＝f(2)，b＝f，c＝f，且0<<2<e<<4， 可得a＝f(2)>f＝c，a＝f(4)<f＝b，所以c<a<b. 答案：D 5．解析：由题意得，解得 所以c＝， 当c＝时，得，即， 两边取对数得＝log240＝3＋log25≈3＋2.32＝5.32， 所以t＝5.32×10＝53.2， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要53年． 答案：B 6．解析：因为函数f(x)是R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0， 所以f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)是R上周期为4的函数， 当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x， 所以f(0)＝1，f(1)＝0， 又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝f(2 024)＝f(0)＝1. 答案：D 7．解析：在同一平面直角坐标系绘制函数y＝ex＋1，y＝ln (x－1)，y＝－x＋5的图象， 由题意可知x1，x2的值分别为图中点P1，P2的横坐标， 则＋1，ln (x2－1)的值分别为图中点P1，P2的纵坐标， 因为函数y＝ex＋1和y＝ln (x－1)互为反函数， 互为反函数的图象关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋5的交点为P3， 易知P3，结合对称性可知＋1＋ln (x2－1)＝2×＝5. 答案：D 8．解析：设g＝2x＋2－x－2，因为，所以是偶函数， g－2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)， 故g是偶函数，且最小值为0， 函数y＝2x-1＋21-x－2可以由函数g(x)＝2x＋2－x－2的图象向右平移1个单位长度得到， 函数的图象如图所示： 则x3＋x4＝2，且f， 因为f，所以log4＝－log4， 所以log4＋log4＝0，即＝1， 故x1＋x2＝＋x2， 因为，即log4， 所以， 设h，t∈，任取t1，t2∈，且t1<t2， 则h 因为t1－t2<0，t1t2－1<0，所以h>0，即>h. 所以y＝h在t∈上单调递减， 所以x1＋x2≥－2－，所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－. 答案：D 9．解析：对于A，∵幂函数y＝xm(0<m<1)在单调递增，∴根据a>b>1可知am>bm，故A错误； 对于B，∵指数函数y＝mx(0<m<1)在R上单调递减，∴根据a>b>1可知ma<mb，故B正确； 对于C，∵对数函数y＝logmx(0<m<1)在上单调递减，∴根据a>b>1可知logma<logmb，C正确； 对于D，由C可知logma<logmb<0，∴>，即logam>logbm，故D错误． 答案：BC 10．解析：因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R， 若f(2－x)为奇函数，则f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)的图象关于点(2，0)对称，且f(2)＝0，故A错误； 因为f(2x＋4)为偶函数，所以f(2x＋4)＝f(－2x＋4)，即f(x＋4)＝f(－x＋4)，则f(x)＝f(8－x)， 又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x)＝－f(4－x)， 所以f(8－x)＝－f(4－x)，即f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)， 故f(x)的周期为8，所以f(2 024)＝f(0)，f(2 020)＝f(4)，在f(x＋4)＝－f(x)中，令x＝0，得f(4)＝－f(0)，所以f(2 024)＝－f(2 020)，故B正确； 对f(x＋8)＝f(x)两边同时求导，得f′(x＋8)＝f′(x)， 所以导函数f′(x)的周期为8，所以f′(－1)＝f′(7)，故C正确； 由f′(x)周期T＝8，得f′(－2 021)＝f′(3)，f′(2 025)＝f′(1)，对f(x)＝－f(4－x)两边同时求导，得f′(x)＝f′(4－x)，令x＝1，得f′(1)＝f′(3)， 所以f′(－2 021)＝f′(2 025)，故D正确． 答案：BCD 11．解析：作出函数的大致图象，如图所示， 设f＝t， 数形结合得：x1，x3均是关于t的增函数，x2是关于t的减函数，且2<t<4. 当0<x≤1时，令＝2，得x＝或， 所以<x1<<x2<，1<x3<2，且x1＋x2＝1，所以x1＋x2＋x3∈，故A正确； 不妨设x2＝，则t＝f＝4sin ，此时>2，所以B错误； 因为x1＋x2＝1，所以x1x2＝x1∈，且x1x2与x3均为关于t的增函数，所以x1x2x3∈，C正确； 因为x1为关于t的增函数，<x1<，2<f＝t<4，所以x1f∈，故D正确． 答案：ACD 12．解析：因为f，所以，故，可知函数的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造＝cos x. 答案：cos x(答案不唯一) 13. 解析：f′(x)＝ex－a＋xex，由题意f′(x)＝ex－a＋xex＝0有两个不等的实根，即a＝ex＋xex有两个不等的实根， 设g(x)＝ex＋xex，则g′(x)＝ex＋ex＋xex＝(x＋2)ex， x<－2时，g′(x)<0，g(x)递减，x>－2时，g′(x)>0，g(x)递增， 所以g(x)min＝g(－2)＝－e-2＝－， 又x<－1时，g(x)＝(x＋1)ex<0，且x→－∞时，g(x)→0，g(－1)＝0， 所以－<a<0，方程a＝ex＋xex有两个不等的实根，且都是变号的根，即f(x)有两个极值点． 答案：－<a<0 14. 解析：因为g′(x)＝，记h(x)＝g′(x) ，则h′(x)＝－， 所以g′(1)＝，h′(1)＝－；R|x＝1＝x＝1＝； 由曲率定义可知，曲率值K描述曲线弯曲程度大小，且结合曲线y＝g(x)各点曲率值K的变化趋势可知，曲线弯曲程度越大，曲率值K越大，所以椭圆C曲率值K最大点为其左、右顶点处． 椭圆C：b2x2＋a2y2＝a2b2的焦点均在x轴上， 经旋转得焦点在y轴上的椭圆E：b2y2＋a2x2＝a2b2，即b2y2＝a2b2－a2x2(*)， 在(*)式中两边分别对y，x求导得2b2y·y′＝－2a2x(**)，所以y′＝－x＝0＝0， 在(**)式中两边分别对y，x求导，令y′＝Y，得y′·y′＋Y′·y＝－x＝0＝0， 所以Y′|x＝0＝－x＝0＝x＝0＝，即Kmax＝. 答案： 15．解：(1)因为f′(x)＝＋2x＋a，所以f′(2)＝＋a， 又直线2x＋3y＝0的斜率为－，且f(x)在(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 则＝－1，解得a＝－3. (2)由(1)可知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，x>0， 令f′(x)＝＝0，解得x＝或1， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)极大值＝f＝ln ，f(x)极小值＝f(1)＝0. 16．解：(1)由f，可得图象关于x＝1对称． 因为x∈[1,2]，所以－x＋2∈[0,1]，f(－x＋2)＝logax， 又f(－x＋2)＝f(x)，故所求的表达式为logax，x∈[1，2]. (1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数. 因为a>1，由函数f(x)的最大值为1，知f(x)max＝f(0)＝f(－x)＝loga2＝1，即a＝2. 若x∈[0，1]，则loga(2－x)，所以， 当x∈[－1，0]时，f(x)是R上的偶函数，可得， 所以此时满足不等式的解集为. 因为f(x)是以2为周期的周期函数， 当x∈[－2，－1]时，f(x)>的解集为， 当x∈[1，2]时，f(x)>的解集为. 综上所述，f(x)>的解集为. 17．解：(1)f(x)定义域为，由于f(x)＝ln x－kx有一个零点，可得方程k＝有且仅有一个实根， 令h(x)＝，，由>0，得；由<0，得, ∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减， ∴h(x)的最大值为h(e)＝，又h(1)＝0， ∴x∈(0,1)时，h(x)<0；x∈(1，+)时，h(x)>0. 画出h(x)＝大致图象如图所示， 若直线的图象有一个交点，则. ∴k的取值范围是 (1)若. ∵， 令，， 令， 所以，而， ∴， 即 ∴ 故. 18．解：(1)， 所以其浓度为 当时，， 当时，， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时. (2)设从第一次喷洒起，经小时后，其浓度， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为. 19．解：(1)定义域为， ， 令 当 ； ； 当 ； ； ； 当 ； 当 ； ； ； 综上：当时，单调递减区间有(0,1)，单调递增区间有； 当时，单调递减区间有，单调递增区间有，； 当时，单调递增区间有，无单调递减区间； 当时，单调递减区间有，单调递增区间有，. (2)当时，由(1)得函数f(x)在区间上单调递减，在区间， 上单调递增， 从而函数f(x)在区间最小值为f＝－e2－3， 即存在x2∈，使g≤－e2－3， 即存在x∈，使得ex＋mx2－e2－3≤－e2－3， 即m≤－，令h，x∈，则m≤h， 由h′，当x∈时，f′>0，函数单调递增； 当x∈时，f′<0，函数单调递减， 所以h，所以m≤－. 学科网（北京）股份有限公司 $