7.5 空间直线、平面的垂直（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直线、平面的垂直”核心考点，依据课标要求系统梳理线线、线面、面面垂直的定义、判定及性质定理，对接高考评价体系，分析近5年高频考点分布，归纳出垂直关系判定证明、空间角计算、平行与垂直综合应用三类常考题型，融入2023全国甲卷等真题实例，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的复习策略，如通过“双垂线法”突破线面垂直判定定理应用，“交线垂线法”解析面面垂直性质定理，培养学生的数学思维和空间观念。设易错点诊断（如“直线垂直平面内无数条直线≠线面垂直”）和课下精练卷，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握学情，提升高考复习效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第七章 立体几何与空间向量 01 [课标要求] 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间基本图形的垂直关系的简单命题． 7．5　空间直线、平面的垂直 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十七) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十七) 空间直线、平面的垂直 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 【必备知识】 1．直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 任意一条直线 平行 (2)判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 ，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 两条相交直 线都垂直 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 ． (2)范围： ． 射影 90° 0° [0，π] 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围： ． 两个半平面 垂直于棱l 4．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直 直二面角 垂线 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直 垂直于 交线 【必记结论】 1．与“直线与平面垂直”有关的结论 (1)若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. (2)若a∥b，a⊥α，则b⊥a. (3)若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　) × × × √ 2．若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是(　　) ①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线； ②平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线； ③平面α内的任一条直线必垂直于平面β； ④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选C.平面α内存在不与平面β垂直的直线，故①错误，②正确；平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故③错误；若平面α内的任意一点取在交线l上，则所作垂线不一定垂直于平面β，故④错误． 3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有______对． 解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA, 平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：7 4．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_________心． (2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点． (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心． 解析：(1)∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC的外心． (2)由(1)知，点O是△ABC的外心，又∠ACB＝90°， 如图，∴点O是斜边AB的中点． (3)连接AO并延长交BC于点E， ∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA， ∴PA⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA， ∵PO⊥平面ABC于点O，BC⊂平面ABC， ∴PO⊥BC， 又PO∩PA＝P，PO，PA⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵AE⊂平面APE，∴BC⊥AE， 同理可证HC⊥AB，BG⊥AC， ∴O是△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)中　(3)垂 5．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α所成的角是________． 解析：如图，连接AB，由PB⊥α， 知∠PAB是线段PA与平面α所成的角， 在Rt△PAB中，因为PA＝PB， 所以sin ∠PAB＝，∠PAB∈， 所以∠PAB＝，即线段PA与平面α所成的角为. 答案： 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 【例1】　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 证明：(1)如图，连接A1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1. 因为四边形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又因为CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C， 所以B1D1⊥平面A1C1C. 又因为A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1. (2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1＝AD，B1C1∥AD， 所以四边形ADC1B1为平行四边形， 所以C1D∥AB1， 因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1. 又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1， 所以MN⊥平面AB1D1. 由(1)知A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1. 又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1. 所以MN∥A1C. 【对点练习】　1.如图①所示，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠BDC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿直线BC折起，如图②所示，使AD＝，点M，N分别为AC，AD的中点．判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由． 证明：MN⊥平面ABD.理由如下： 在Rt△BDC中，BC＝2，CD＝1，由勾股定理得BD＝， 因为AD＝，AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2， 所以AB⊥BD. 又AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD， 所以AB⊥平面CBD. 又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD. 又CD⊥BD，且BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD， 所以CD⊥平面ABD. 又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD， 所以MN⊥平面ABD. 题型二　面面垂直的判定与性质 【例2】　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 因为BC⊂平面BCC1B1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1， A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 所以四棱锥A1­BB1C1C的高为A1O， 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC， 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以O为CC1中点，OC1＝AA1＝1， 又因为A1C⊥AC， 所以A1C2＋AC2＝，即x2＋x2＝22，解得x＝， 所以A1O＝＝1， 即四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 【对点练习】　2.(2024·邯郸模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥平面ABCD； (2)平面BEF∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 且PA⊂平面PAD，PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点， ∴AB∥DE，且AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE， ∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD， ∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD， ∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD， ∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， ∴平面BEF∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E和F分别是CD和PC的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF， 又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF， ∵CD⊂平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD. 题型三　平行与垂直的综合问题 【例3】　(2024·石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O， 所以O为AD1的中点． 又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1， OE⊂平面ABD1，所以OE∥BD1. 又因为O为AD1的中点，所以E为AB的中点． (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C， 理由如下：设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD， 又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD， 平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD， 又因为AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中，tan ∠ADE＝， 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE， 所以AC⊥平面D1DE. 又因为AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 【对点练习】　3.(人教A版必修二P162)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 解：垂直，证明如下： ∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC. 又底面ABCD为正方形，∴AB⊥BC， 而PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， ∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PA＝AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB. 而PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC. ∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC. 三余定理cos θ＝的应用 已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2. 【典例】　如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为________． 解析：如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上， ∠PAO为PA与平面α所成的角， 所以cos ∠PAC＝cos ∠PAO·cos ∠OAC， 所以cos 60°＝cos ∠PAO·cos 45°， 所以cos ∠PAO＝， 故∠PAO＝45°， 所以PA与平面α所成的角为45°. 答案：45° 1．(人教A版必修二P162)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”，则“l⊥m且l⊥n”，反之若“l⊥m且l⊥n”，当m∥n时，推不出“l⊥α”，∴ “l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件． 2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　 ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：选D.如图所示， 因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P， 所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA， 同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心． 3．(2024·河南名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　 ) A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m 解析：选B.A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误； B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确； C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误； D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误． 4．(2024·河北秦皇岛模拟)在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC，D，E，M分别为AC，PC，BC的中点，则以下结论不一定成立的是(　　 ) A．PA∥平面BDE B．若PA⊥BC，则AB＝AC C．若∠BAC＝90°，则平面PBC⊥平面PAM D．点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心 解析：选C.对于A，因为D，E分别为AC，PC的中点，所以PA∥DE，又PA⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正确； 对于B，因为BC的中点为M，PB＝PC，所以PM⊥BC，又PA⊥BC，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAM，所以BC⊥平面PAM，又因为AM⊂平面PAM，所以BC⊥AM，则AB＝AC，故B正确； 对于C，∠BAC＝90°，则MA＝MB＝MC，又PA＝PB＝PC，则△PMA≌△PMB≌△PMC，则∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝90°，故PM⊥AM，若平面PAM⊥平面PBC，因为平面PAM∩平面PBC＝PM，AM⊂平面PAM，所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，又M为BC的中点，则AB＝AC，不一定成立，故C不一定成立； 对于D，由PA＝PB＝PC可知，点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故D正确． 5．(2024·沈阳模拟)在四面体ABCD中，△BCD为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(　　 ) A．AB与CD可能垂直 B．A在平面BCD内的射影可能是B C．AB与CD不可能垂直 D．平面ABC与平面BCD不可能垂直 解析：选A.对于A，C，当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，A在平面BCD上的射影为O，即OA⊥平面BCD. 由于CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD. 连接BO并延长交CD于F，则CD⊥BF， 由于AO∩BF＝O，AO，BF⊂平面ABO， 所以CD⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，所以AB⊥CD，故A正确，C错误． 对于B，若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，故B错误． 对于D，当A在平面BCD内的射影在直线BC(除点B)上时，平面ABC与平面BCD垂直，故D错误． 6．(2024·武汉模拟)已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A­BCD，则在折叠过程中，不可能出现(　　 ) A．AB⊥CD B．AC⊥BD C．三棱锥A­BCD的体积为 D．平面ABD⊥平面BCD 解析：选A.对于A，若AB⊥CD，因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，而CD＝2，AD＝2，即直角边长与斜边长相等，显然不正确； 对于B，取BD的中点O，连接AO，OC， 因为AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，所以BD⊥平面AOC， 又AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC； 对于C，当折叠所成的∠AOC＝150°时，顶点A到底面BCD的距离为×sin 30°＝，此时VA­BCD＝； 对于D，当∠AOC＝90°时，有平面ABD⊥平面BCD. 7．刘徽注《九章算术·商功》中有“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图2所示由正方体ABCD­A1B1C1D1得到的堑堵ABC­A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P­ABC中，鳖臑的个数为(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.设正方体的棱长为a，则由题意知， A1C1＝AC＝a， 当点P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC， 则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°. 由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°， 则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形， 即此时四面体P­ABC是鳖臑； 当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1， 所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥AP， 所以△PBC，△ABC为直角三角形． 因为四边形ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP， 则△PAB是直角三角形， 又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC， 又PC⊂平面PBC，所以AP⊥PC， 所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P­ABC是鳖臑； 当点P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝，又AC＝a， 由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形， 则此时四面体P­ABC不是鳖臑． 8．(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　 ) A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面PAB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面PAC 解析：选ACD.∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， ∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确； ∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC为圆O直径，∴AB⊥BC， ∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确； 又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN， ∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴AN⊥平面PBC， ∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC， 故A正确． 9．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则下列结论可能正确的有(　　 ) A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面BDF⊥平面BCF D．平面DCF⊥平面BCF 解析：选BC.对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，所以A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以B正确； 对于C，如图所示，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；对于D，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D错误． 10．(多选)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　 ) A．CD⊥PD B．AB⊥PC C．平面PBD⊥平面PAC D．E，F，C，D四点共面 解析：选AD.如图所示， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确； 因为CD∥AB，CD⊥平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又PC∩平面PAD＝P， 所以AB与PC不垂直，故B错误； 因为底面ABCD是矩形， 所以BD与AC不一定垂直， 则BD与平面PAC不一定垂直， 所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误； 因为点E，F分别是棱PA，PB的中点， 所以EF∥AB， 又AB∥CD，所以EF∥CD， 所以E，F，C，D四点共面，故D正确． 11．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________． 解析：画出如图所示示意图， 设底面边长为a，则塔高EF＝a， AF＝a， 所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为. 答案： 12．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：连接AC，因为底面ABCD各边都相等， 所以AC⊥BD， 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PA⊥BD， 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直， 即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或MB⊥PC) 13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________． 解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD， 可得C1C⊥ED， 由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1， 可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC， 在矩形ABCD中，设AE＝a，0≤a≤2， 则BE＝2－a， 由∠DEA＋∠CEB＝90°， 可得tan ∠DEA·tan ∠CEB＝＝1， 即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1， 当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1； 当a＝0或2时，t2取得最小值0， 但由于t>0，所以t的取值范围是(0，1]. 答案：(0，1] 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD. (2)因为CD⊥平面PBD，所以CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD. 15．在四棱锥P­ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P­ABCD的体积． 解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD. 证明如下：如图，连接MC，PM. 由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD， 而平面PAD⊥平面ABCD， AD为平面PAD和平面ABCD的交线， 且PM⊂平面PAD，可得PM⊥平面ABCD， 又PM⊂平面PCM， 可得平面PCM⊥平面ABCD. (2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a， 由(1)可得MC＝AB＝MD＝a， 则CD＝a， 由PM⊥MC，可得PC＝＝2a， 而△PCD的面积为S△PCD＝， 可得a＝4， 故四棱锥P­ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM ＝×(4＋8)×4×4. 16．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝. (1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE； (2)求直线PB与直线CD所成角的大小； (3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 解：(1)证明：连接PC，交DE于点N，连接MN， ∵四边形PDCE为矩形，∴N为PC的中点， 在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点， ∴MN∥AC， ∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE， ∴AC∥平面MDE. (2)∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD， ∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角． ∵四边形PDCE为矩形，∴PD⊥CD， ∵平面PDCE⊥平面ABCD， 又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD， ∵AD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB， 在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝， ∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD， 又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA， 在Rt△PAB中，∵AB＝1， ∴tan ∠PBA＝， ∴∠PBA＝， 从而直线PB与直线CD所成的角为. (3)l与平面ABCD垂直．证明如下： ∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD， ∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD， ∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC， ∵平面PAD∩平面EBC＝l， ∴EC∥l，则l∥PD， 由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l⊥平面ABCD. $