2.9 对数与对数函数（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据课标要求覆盖对数概念、运算性质、函数单调性与反函数关系等高考核心考点。通过梳理必备知识构建体系，结合近五年高考真题分析考点权重，归纳出对数运算、图象应用、性质比较三大常考题型，精准对接高考评价体系，提升备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+方法提炼+素养提升”的复习模式，如以2024全国甲卷对数方程题为例，运用换底公式和方程思想突破运算难点，培养学生数学思维。针对对数函数单调性判断，总结“定义域优先+复合函数同增异减”技巧，结合数形结合提升数学语言表达能力。助力学生掌握解题规律，教师可依托课件实现考点精准突破，高效备战高考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．9　对数与对数函数 [课标要求] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　 2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点．　 3.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十五) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十五) 对数与对数函数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 14 16 18 感谢观看 lg N ln N 【必备知识】 1．对数的概念 (1)如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)常用对数：以10为底的对数，记为 ． (3)自然对数：以e为底的对数，记为 ． x＝logaN a N N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ ，logaa＝ ； ②＝ ； ③logaaN＝ (a>0且a≠1)． 0 1 N loga (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)； ④ ＝ ． (3)换底公式 logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)． logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 (0，＋∞) R y>0 y<0 增函数 减函数 反函数 y＝x y＝logax a>1 0<a<1 性质 过定点 当x>1时， ；当0<x<1时， 当x>1时， ；当0<x<1时， 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为 ，它们的图象关于直线 对称． (1，0) y>0 y<0 【必记结论】 ．logab(a>0，且a≠1，b>0)； logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b，由此在第一象限内从左到右底数逐渐增大． √ 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　 ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　 ) (3)log2x2＝2log2x.(　　 ) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　 ) (5)函数f(x)＝loga是奇函数．(　　 ) × × × √ 2．对数lg a与lg b互为相反数，则有(　　 ) A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝1 D．＝1 解析：选C.由已知得lg a＋lg b＝0，即lg (ab)＝0，则ab＝1. 3．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：选D.原式＝2log2 3×2log3 2＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 4．函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(1，3) 解析：选C.设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg (x2－2x－3)满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x>3，故函数f(x)＝lg (x2－2x－3)的单调递增区间是(3，＋∞)． 5．函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析：∵loga1＝0，令x－2＝1，得x＝3，∴y＝loga1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3，2)． 答案：(3，2) 题型一　对数的运算 【例1】　(1)计算：－log5－log514＝________． 解析：原式＝2＝＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 答案：2 (2)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＝1，则实数m的值为______． 解析：由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以， 由＝1， 可得＝logm45＝1， 所以m＝45. 答案：45 【对点练习】　1.(1)(2024·河南安阳模拟)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝ ，则(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.令3x＝4y＝z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝，故＝loga3，＝loga4，＝loga2，故＝loga12＝2loga . (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且则a＝________． 解析：根据题意有，即3loga2－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 答案：64 题型二　对数函数的图象及应用 【例2】　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　 ) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 解析：选A.由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a-1<b<1. (2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的图象如图所示，可知f<即2<loga，则a>，所以a的取值范围为. [变式1]　若将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为. 答案： [变式2]　将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知＜loga， 所以解得＜a＜1. 即实数a的取值范围是. 答案： 思维升华　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【对点练习】　2.(1)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　 ) 解析：选C.根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1，0<b<1，根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项． (2)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　 ) A． B． C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：选D.画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减，故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． (3)(2024·广东广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝lg x3，则(　　 ) A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3 解析：选D.画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2＜x1＜x3. 题型三　对数函数性质及应用 角度1　比较对数式的大小 【例3】　若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是(　　 ) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c 解析：选A.∵a＝lg 0.2<lg 1＝0，b＝log32>0，c＝log64>0， <1， ∴b<c，即c>b>a. 角度2　解对数方程或不等式 【例4】　(2024·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式的解集为_____． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将＞＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜. 答案： 思维升华　简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 角度3　对数函数性质的综合应用 【例5】　(1)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　 ) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 解析：选D.由f(x)＝ln ，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)， ∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增， y＝ln (1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x) ＝ln ＝ln ， ∵u＝1＋在上单调递减， f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． (2)(人教A版必修一P161)已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0且a≠1)． ①求F(x)＝f(x)＋g(x)的定义域； ②判断F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由． 解：①令x＋1>0，得x>－1，∴f(x)定义域为(－1，＋∞)， 令1－x>0，得x<1，∴g(x)定义域为(－∞，1)， ∴F(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)． ②由题意得：F(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)＝loga(1－x2)，x∈(－1，1), ∴F(－x)＝loga(1－(－x)2)＝loga(1－x2)＝F(x)， ∴F(x)＝f(x)＋g(x)为定义在(－1，1)上的偶函数． 思维升华　求对数型复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 【对点练习】　3.(1)设实数a>0，则“2a>2”是>0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由2a>2，可得a>1. 由loga>0，可得loga>loga1， 所以或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件． (2)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　 ) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 解析：选A.由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． (3)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D．(1，2) 解析：选B.令t＝x2－2ax＋a－1，根据复合函数的单调性， 要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4<0，解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 【基础巩固题】 1．(2024·湖南长沙二模)已知集合A＝{x|log2(－x2＋2x＋4)>0}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B＝(　　 ) A．(2，3) B．(0，2) C．(－1，2) D．(－∞，3) 解析：选A.由log2(－x2＋2x＋4)>0⇔－x2＋2x＋4>1，得－1<x<3，则A＝(－1，3)，当x>1时，2x>2，则B＝(2，＋∞)，所以A∩B＝(2，3)． 2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1，3)，则f(log28)等于(　　 ) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：选B.依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1，3)，则a＝3，所以f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 3．(2024·河北邢台三模)函数f(x)＝log0.2(1－x2)的单调递增区间为(　　 ) A．(－1，0] B．(－1，1) C．[0，1) D．[0，＋∞) 解析：选C.函数f(x)的单调递增区间满足解得0≤x<1，所以函数f(x)的单调递增区间为[0，1)． 4．(2024·湖北荆门模拟)已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.f(log212)＝f(log212－1)＝f(log26)＝f(log26－1)＝f(log23)＝2. 5．已知实数a，b满足2a＋a＝2，2b＋b＝，c＝log163，则(　　 ) A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 解析：选A.由对数函数单调性得，c＝log163<log164＝， 构造函数f(x)＝2x＋x，x∈R，则f(a)＝2a＋a＝2，f(b)＝2b＋b＝， 因为y＝2x和y＝x单调递增，所以f(x)单调递增， 因为2<，即f(a)<f(b)，所以a<b， 又f＝<2，所以f(a)>，即a>， 所以c<a<b. 6．(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征．函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　 ) 解析：选C.对于选项A、C、D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A、D错误，C正确； 对于选项B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误． 7．(多选)(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则(　　 ) A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4 C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5 解析：选BC.由10a＝5，10b＝20，得a＝lg 5，b＝lg 20， 则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg (5×20)＝lg 100＝2，故A错误； b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B正确，D错误； ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5， ∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab<2(lg 5)2， 故C正确． 8．(多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝且f(a)＝g(b)，则下列式子可能成立的是(　　 ) A．a<0，0<b<1 B．a＝b C．a>b>1 D．a>1，0<b<1 解析：选ABD.在同一直角坐标系内画出函数f(x)＝x， g(x)＝的大致图象，然后再画一条与x轴平行的直线， 由①可得a<0，0<b<1可能成立； 由②可得a＝b可能成立； 由③可得a>1，0<b<1可能成立．故ABD正确； 对于C：若a>b>1，则f(a)＝a>0，g(b)＝<0，即f(a)≠g(b)， 故C错误． 9．已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>y时，f(x)<f(y)，请你写出一个符合上述条件的函数f(x)＝________． 解析：对于函数f(x)＝，f(x)＋f(y)＝＝f(xy)，且当x>y时，f(x)<f(y)，所以函数f(x)＝满足条件． 答案：(答案不唯一) 10．设p>0，q>0，若log4p＝log6q＝log9(2p＋q)，则＝________． 答案： 解析：令log4p＝log6q＝log9(2p＋q)＝k， 则p＝4k，q＝6k，2p＋q＝9k，所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k， 整理得2·＝1，解得(负值舍去)， 所以. 【综合应用题】 11．(2024·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝－2(m>0)是定义在区间(a，b)上的奇函数，则实数b的取值范围是(　　 ) A．(0，9] B．(0，3] C． D． 解析：选D.∵f(x)＝ln －2＝ln e2＋－2＝ln ， ∴>0，即>0，即(3x－1)(mx＋1)<0， ∵m>0，∴－<x<，∵f(x)是定义在区间(a，b)上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，即ln ＝－ln ＝ln ， ∴，解得m＝－3(舍)或m＝3， ∴f(x)的定义域为{x<x<}， ∴b∈. 12．若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(1，2] B．(1，2) C． D． 解析：选B.若0<a<1，此时x∈(1，2]，logax<0，而(x－1)2>0，故(x－1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x－1)2>0， 令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图， 若不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2>1，解得a∈(1，2)． 13．(多选)已知正实数x，y满足＜，则(　　 ) A．＜ B．x3＜y3 C．ln (y－x＋1)＞0 D．2x-y＜ 解析：选BC.法一　由题意得log2＜.当x＞y，即＞1时，log2＞0，而＜，所以＜0，故log2＜不成立．当x＝y时，log2＝0，所以log2＜不成立，故0＜x＜y，所以＞，x3＜y3，故A错误，B正确；y－x＞0，则y－x＋1＞1，ln (y－x＋1)＞0，故C正确；2x－y＜20＝1，故D不一定正确． 法二　由题意得log2x－＜log2y－.设函数f(x)＝log2x－，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)＜f(y)，得0＜x＜y，故＞，故A错误；x3＜y3，故B正确；由x＜y，得y－x＋1＞1，则ln (y－x＋1)＞ln 1＝0，故C正确；2x－y＜20＝1，故D不一定正确． 14．已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数．若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，所以x＋m>0在[－2，2]上恒成立，所以m－2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[－2，2]，使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0， 所以存在x∈[－2，2]，使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1， 又因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]， 所以m2∈[1，5]，即m∈∪，综上，m∈. 答案： 15．已知f(x)＝. (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]. (2)令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是 16．(2024·株洲模拟)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围． 解：(1)因为9x＋1>0，所以f(x)的定义域为R， 又因为f(x)是偶函数，所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)， 即log9(9－x＋1)＋kx＝log9(9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立， 则2kx＝log9(9x＋1)－log9(9－x＋1)＝log9＝log99x＝x对∀x∈R恒成立， 即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立， 因为x不恒为0，所以k＝. (2)由(1)得f(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9(9x＋1)－log9＝log9＝log9， 则方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解等价于方程log9＝log9有两个不相等的实数解， 所以方程3x＋＋1有两个不相等的实数解， 令t＝3x，且t>0，方程化为t＋＋1， 即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解， 令g(t)＝t2－t＋1，则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示， 又g＝，且g(0)＝1， 所以m∈. 【创新拓展题】 17．函数f(x)的定义域为D，若满足如下两个条件：(1)f(x)在D内是单调函数；(2)存在⊆D，使得f(x)在上的值域为[m，n]，那么就称函数f(x)为“希望函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0，a≠1)是“希望函数”，则t的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.∵函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0，a≠1)是“希望函数”， ∴f(x)在上的值域为[m，n].易知函数f(x)单调递增， ∴即 ∴m，n为方程－t＝0的两个不相等的实数根，令p＝， 则p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t＞0，－t＞0，得－＜t＜0. 18．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝logax－ －loga2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：由题知，x>0，f(x)＝logax－ －loga2＝，令t＝，t>0，则y＝logat与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点， 又y＝logat与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上， 设y＝logat，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0， 则解得m＝e，又＝1，所以a＝>1， 所以当a＝时，y＝logat和y＝at只有一个交点，如图1； 当时，y＝logat和y＝at无交点，如图2； 当时，y＝logat和y＝at有两个交点，如图3. 综上，a的取值范围为. 答案： $