第八章 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 【课程标准】　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.　2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.　3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. [微提醒]　(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 2.弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|==|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2| =. 【常用结论】 (1)圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中的通径长为，抛物线中的通径长为2p. (2)抛物线中与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有 ①y1y2=-p2，x1x2=. ②焦点弦长：|AB|=x1+x2+p=.通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长为2p. ③焦半径：|AF|=，|BF|=+=. (3)若A，B为抛物线y2=2px(p>0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0). (4)圆锥曲线中的切线问题 ①椭圆的切线方程：椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是+=1. ②双曲线的切线方程：双曲线-=1(a>0，b> 学生用书⬇第235页 0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是-=1. ③抛物线的切线方程：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．过点的直线一定与椭圆+y2=1相交 B．直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切 C．与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点 D．圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦 答案：ACD 2.直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点，则k的值是(　　) A． B．- C．± D．± 答案：C 解析：由得(2+3k2)x2+12kx+6=0，由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0，解得k=±.故选C． 3.(2024·北京海淀二模)已知抛物线C：y2=4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为(　　) A．(0，1) B．(1，-3) C．(3，4) D．(2，-2) 答案：D 解析：在y轴上，所以在抛物线外部，将x=1代入抛物线C：y2=4x中，则|y|=2<3，所以(1，-3)在抛物线外部，将x=3代入抛物线C：y2=4x中，则|y|=2<4，所以在抛物线外部，将x=2代入抛物线C：y2=4x中，则|y|=2>2，所以(2，-2)在抛物线内部，将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点D在抛物线内部，故当点P位于点D(2，-2)处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点.故选D． 4.已知点A，B是双曲线C：-=1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为　　　　.  答案： 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B是双曲线C上的两点，所以-=1，-=1，两式相减得=，因为M(3，2)是线段AB的中点，所以x1+x2=6，y1+y2=4，所以=，所以kAB==. 考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断师生共研 已知直线l：y=2x+m，椭圆C：+=1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点. 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0. ③ 方程③根的判别式 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0，即-3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)当Δ=0，即m=±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 判断直线与圆锥曲线位置关系的方法 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形. 对点练1.(1)(2025·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为y2=8x，若过点Q(-2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[-1，1] B．[-1，0)∪(0，1] C．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1)∪(1，+∞) (2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是　　　　.  答案：(1)A　(2) 解析：(1)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0，解得-1≤k<0或0<k≤1.综上，-1≤k≤1.故选A． (2)由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得-<k<-1. 考点二　圆锥曲线弦的有关问题多维探究 角度1　中点弦问题 (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) 学生用书⬇第236页 A．(1，1) B．(-1，2) C．(1，3) D．(-1，-4) (2)已知P(1，1)为椭圆+=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.  答案：(1)D　(2)x+2y-3=0 解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，可得kAB=，kOM== ，因为A，B在双曲线上，则两式相减得-=0，所以kAB·kOM==9，又选项中各点均在双曲线外，所以|kAB|<3，|kOM|>3，结合选项可知，D项符合.故选D． (2)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y-1=k(x-1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0，所以x1+x2=，又因为x1+x2=2，所以=2，解得k=-.经检验，k=-满足题意.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0. 法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1　①，+=1　②，①-②得+=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，所以+y1-y2=0，又x2-x1≠0，所以k==-.经检验，k=-满足题意.所以此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0. 角度2　一般弦问题 已知点A(0，-2)，椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点P(0，-)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且|MN|=，求k的值. 解：(1)由离心率e==，得a=c， 直线AF的斜率为=2，解得c=1，所以a=，所以b2=a2-c2=1， 所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)设直线l：y=kx-，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2-4kx+4=0， 因为M，N是不同的两点， 所以判别式Δ=-4×4×>0，得k2>1， 所以x1+x2=，x1x2=， 所以|MN|=|x1-x2|=·==，整理得17k4-32k2-57=0， 解得k2=3或k2=-(舍去)，所以k=±. 1.弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点. (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率. 2.弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当弦所在直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则利用弦长公式求解. (3)当弦过焦点时，求弦长可结合焦点弦公式求解. 对点练2.(1)已知双曲线方程为x2-=1，则以A(2，1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　) A．6x+y-11=0 B．6x-y-11=0 C．x-6y-11=0 D．x+6y+11=0 (2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x-y-2=0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　) A．(1，-1) B．(2，0) C． D．(1，1) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由已知得两式作差得-=，所以==6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y-1=6(x-2)，即6x-y-11=0.经检验满足题意.故选B． (2)因为焦点到准线的距离为p，则p=1，所以y2=2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)，所以kPQ=，又因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ=-1，即y1+y2=-2，所以PQ中点的纵坐标为=-1，又因为PQ的中点在直线l上，所以PQ中点的横坐标为=+2=1，所以线段PQ的中点坐标为(1，-1).故选A． 对点练3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|=4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|+|CD|=，求直线AB的方程. 解：(1)由题意知e==，2a=4. 又a2=b2+c2，解得a=2，b=， 所以椭圆方程为+=1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件. ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y=-(x-1). 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0， 则x1+x2=，x1·x2=， 所以|AB|=|x1-x2| =·=. 同理，|CD|==. 所以|AB|+|CD|=+ ==， 解得k=±1， 所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 学生用书⬇第237页 考点三　直线与圆锥曲线的综合问题师生共研 已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为，求直线l的方程. 解：(1)由题意可得 解得a2=4，b2=1， 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由题意可知直线的斜率不为0， 则设直线的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 整理得(m2+4)y2+2my-3=0， Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 故|y1-y2|===， 因为△ABO的面积为， 所以|OP||y1-y2|=×1·==， 设t=≥，则=， 整理得(3t-1)(t-3)=0， 解得t=3或t=(舍去)，即m=±. 故直线的方程为x=±y+1， 即x±y-1=0. 解决直线与圆锥曲线的综合问题的策略与方法 1.策略是“直曲联立、韦达定理”. 2.常用方法是“设而不求法”，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解. 3.涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形. 注意：(1)直曲联立后得到一元二次方程，一定要考虑判别式Δ.(2)在直曲联立时，设直线方程有两种常用方法：①若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式能帮大忙”；②若直线经过的定点在横轴上，一般设为my=x-a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”. 对点练4.(2024·北京卷)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 解：(1)由题意b=c==，从而a==2， 所以椭圆方程为+=1，离心率为e=. (2)由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，从而设AB：y=kx+t，A，B， 联立化简并整理得x2+4ktx+2t2-4=0， 由题意Δ=16k2t2-8=8(4k2+2-t2)>0，即k，t应满足4k2+2-t2>0， 所以x1+x2=，x1x2=， 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D， 所以AD：y=+y1，在直线AD方程中令x=0， 得yC====+t==1， 所以t=2， 此时k应满足即k应满足k<-或k>， 综上所述，t=2满足题意，此时k<-或k>. [真题再现]　(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为　　　　.  答案： 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=±x，直线y=k(x-3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k=±(任答一个即可). [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P136例6)讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. 点评：这两题相似度很高，是源于教材的典型的高考题，都是考查直线与双曲线的位置关系问题. 课时测评69　直线与圆锥曲线的位置关系 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-8，每小题5分，共40分) 1.已知直线l：kx+y+1=0，椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 答案：C 解析：由直线l：kx+y+1=0，得直线l过定点(0，-1)，因为+<1，所以该点在椭圆C：+=1内部.所以直线l与椭圆C相交.故选C． 2.直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|=2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|=2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，代入抛物线方程可解得p=1.故选C． 3. “直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.故充分性不满足.必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件.故选B． 4.(2024·安徽六安模拟)抛物线C：y2=4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：因为抛物线C：y2=4x的准线为l，所以l的方程为x=-1，A(-1，0)，设过点A作抛物线的一条切线为x=my-1，m>0，由得y2-4my+4=0，所以Δ=(-4m)2-4×4=0，解得m=1，所以y2-4y+4=0，解得y=2，即yB=2，所以△OAB的面积为×1×2=1.故选A． 5.(多选)(2024·山东青岛质检)已知双曲线C过点，且渐近线方程为y=±x，则(　　) A．双曲线C的方程为-y2=1 B．左焦点到渐近线的距离为1 C．直线x-y-1=0与双曲线C有两个公共点 D．过右焦点截双曲线C所得弦长为2的直线有三条 答案：ABD 解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±x，且点(3，)与原点连线的斜率小于，所以可设双曲线方程为-y2=m.又双曲线过点(3，)，所以m=-=1，所以双曲线C的方程为-y2=1，故A正确；由双曲线方程知a2=3，b2=1，c==2，则左焦点为(-2，0)，渐近线方程为x±y=0，则左焦点到渐近线的距离d==1，故B正确；将直线与双曲线C的方程联立并消去x整理得y2-2y+2=0，因为Δ=-4×1×2=0，所以直线与双曲线只有一个公共点，故C错误；因为双曲线的通径长为==<2，所以过右焦点，两端点都在右支上且弦长为2的弦有两条，又双曲线的两顶点间距离为2a=2，所以端点在双曲线左、右两支上且弦长为2的弦只有一条，为实轴.综上，过右焦点截双曲线C所得弦长为2的直线有三条，故D正确.故选ABD． 6.(多选)设椭圆的方程为+=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x+y-3=0 C．若直线方程为y=x+1，则点M坐标为 D．若直线方程为y=x+2，则|AB|= 答案：BD 解析：对于A，设M(x0，y0)，根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM=-·=-=-2≠-1，故A不正确；对于B，根据kAB·kOM=-2，kOM=1，所以kAB=-2，所以直线方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0，故B正确；对于C，若直线方程为y=x+1，点M，则kAB·kOM=1·4=4≠-2，故C不正确；对于D，若直线方程为y=x+2，与椭圆方程+=1联立，整理得3x2+4x=0，解得x1=0，x2=-，所以|AB|==，故D正确.故选BD． 7.已知直线y=x与双曲线-=1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.  答案：(1，] 解析：双曲线的一条渐近线为y=x，因为直线y=x与双曲线无公共点，故有≤1，即==e2-1≤1，所以e2≤2，所以1<e≤. 8.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是　　　　.  答案：13 解析：如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以=，所以a=2c，所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，且∠EF1F2=30°，所以直线DE的方程为y=(x+c)，代入椭圆C的方程+=1，得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1+x2=-，x1x2=-，所以|DE|====6，解得c=，所以a=2c=，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13. 9.(12分)已知焦点在x轴上的椭圆C：+=1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程；(5分) (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN=，求直线l的方程.(7分) 解：(1)由得 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(-1，0)，B(2，0)， 设直线l的方程为x=my-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2+4)y2-6my-9=0， 即y1+y2=，y1y2=. 又S△BMN=|BF1|·|y1|+|BF1|·|y2| =|BF1|·|y1-y2| =|BF1|· ==，解得m=±1， 所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. 10.(14分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程；(5分) (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程.(9分) 解：(1)依题意，c=2，所以a2+b2=4， 则双曲线C的方程为-=1(0<a2<4)， 将点P(5，)代入上式，得-=1， 解得a2=50(舍去)或a2=2， 故所求双曲线C的方程为-=1. (2)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2， 代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得 (*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=-， 所以|AB|=·=·. 又原点O到直线l的距离d=， 所以S△OAB=d·|AB|=××·=. 又S△OAB=2，即=1， 所以k4-k2-2=0，解得k=±，满足(*). 故满足条件的直线l有两条， 其方程分别为y=x+2和y=-x+2. 11.(18分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C． (1)求C的方程；(5分) (2)设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.(13分) 解：(1)因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 半焦距为c，则2a=2，c=， 得a=1，b2=c2-a2=16， 所以点M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1). (2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零， 设直线AB的方程为y-t=k1(k1≠0)， 直线PQ的方程为y-t=k2(k2≠0)， 由 得(16-)x2-2k1x--16=0. 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由题意知16-≠0， 则xA+xB=， xAxB=， 所以|TA|= =， |TB|==， 则|TA|·|TB|=(1+) =(1+) =(1+) =. 同理得|TP|·|TQ|=. 因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|， 所以=， 所以-16+-16=-16+-16，即=， 又k1≠k2，所以k1=-k2，即k1+k2=0. 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. (每小题8分，共16分) 12.(新考法)(2025·四川遂宁模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：+y2=1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：C 解析：设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为+y1y=1，令y=0，可得C，令x=0，可得D，所以△OCD面积S=××=，又点B在椭圆上，所以+=1，所以S===+≥2=，当且仅当=，即x1=1，y1=时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.故选C． 13.已知抛物线C：y2=4x，圆F：(x-1)2+y2=1，直线l：y=k(x-1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　) A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4| C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2| 答案：A 解析：如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4， 由y2=4x得焦点F(1，0)，准线l0：x=-1，由定义得，|M1F|=x1+1，又|M1F|=|M1M2|+1，所以|M1M2|=x1，同理|M3M4|=x4，由消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2= 0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4=1，即|M1M2|·|M3M4|=1.故选A． 学生用书⬇第238页 学科网（北京）股份有限公司 $