第二章 第六节 指数与指数函数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第六节　指数与指数函数 【课程标准】　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.根式 2.有理数指数幂 3.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 表达式 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1) 图象 定义域 (-∞，+∞) 值域 (0，+∞) 性质 函数图象过定点(0，1)，即a0=1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 在R上递减 在R上递增 学生用书⬇第36页 [微提醒]　指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1和0<a<1两种情况. 【常用结论】 (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)函数y=ax与y=(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (3)在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 【自主检测】 1.(多选)下列等式成立的是(　　) A．(-2= B．2= C．(-2)0=-1 D．= 答案：AD 解析：对于A，(-2=，故A正确；对于B，2a-3=，故B错误；对于C，(-2)0=1，故C错误；对于D，=，故D正确.故选AD． 2.化简 (x<0，y<0)=(　　) A．2x2y B．-2x2y C．2xy2 D．-2xy2 答案：B 解析：因为x<0，y<0，所以=(16x8·y4=(16·(x8·(y4=2x2|y|=-2x2y.故选B． 3.若函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(-1)=(　　) A．1 B．2 C． D．3 答案：C 解析：依题意可知a2=，解得a=，所以f(x)=，所以f(-1)==.故选C． 4.已知a=0.750.1，b=1.012.7，c=1.013.5，则 (　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案：C 解析：因为函数y=1.01x在(-∞，+∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a.故选C． 5.(用结论)函数y=ax-1-1(a>0，且a≠1)的图象恒过点　　　　.  答案：(1，0) 解析：由结论1，在函数y=ax-1-1中，当x=1时，恒有y=0，即函数y=ax-1-1的图象恒过点(1，0). 考点一　指数幂的化简与求值自主练透 1.化简下列各式： (1)+2-2×-(0.01)0.5； (2)÷(a>0，b>0)； (3)×+×-. 解：(1)原式=1+×- =1+×-=1+-=. (2)原式=÷=÷ =÷=÷(ab) ==. (3)原式=×1+×-=2. 2.已知f(x)=2x+2-x，若f(a)=3，求f(2a)的值. 解：由f(a)=3得2a+=3，所以(2a+2-a)2=9， 即22a+2-2a+2=9.所以22a+2-2a=7， 故f(2a)=22a+2-2a=7. 3.计算： (1)÷； (2)0.00-+1+. 解：(1)因为有意义，所以a>0， 所以原式=÷=÷=a÷a=1. (2)原式=-1++=10-1+8+23·32=89. 学生用书⬇第37页 指数幂的运算顺序与运算原则 考点二　指数函数的图象及应用师生共研 (1)(2024·山东济南高三模拟)已知0<a<1，b<-1，则函数y=ax+b的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若函数y=|3x-1|在(-∞，k]上单调递减，则k的取值范围为　　　　.  答案：(1)A　(2)(-∞，0] 解析：(1)因为0<a<1，所以y=ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近.又b<-1，所以y=ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y=ax+b的图象，故y=ax+b的图象不过第一象限.故选A． (2)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在(-∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(-∞，0]. [变式探究] 1.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(0，1) 解析：曲线y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个交点，则m的取值范围是(0，1). 2.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，-1] 解析：作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示. 由图象知m≤-1，即m∈(-∞，-1]. 指数函数的图象及其应用策略 1.已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. 2.进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. 3.根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x=1与图象的交点进行判断. 对点练1.(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 023a=2 024b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a=b (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是　　　　.  答案：(1)ABD　(2)[-1，1] 解析：(1)如图①，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选ABD． (2)作出曲线|y|=2x+1与直线y=b，如图②所示，由图象可得，要想曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[-1，1]. 考点三　指数函数的性质及应用多维探究 角度1　比较指数式的大小 (1)(2023·天津卷)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c (2)若ea+πb≥e-b+π-a，下列结论一定成立的是(　　) A．a+b≤0 B．a-b≥0 C．a-b≤0 D．a+b≥0 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为f(x)=1.01x单调递增，所以f(0.5)<f(0.6)，即a<b.因为g(x)=x0.5单调递增，所以g(1.01)>g(0.6)，即a>c，所以b>a>c.故选D． (2)因为ea+πb≥e-b+π-a，所以ea-π-a≥e-b-πb①，令f(x)=ex-π-x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(-b)，所以a≥-b，即a+b≥0.故选D． 比较指数式大小的方法 1.能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小. 2.不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若≤，则函数y=2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，+∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1)，则a的值为　　　　.  答案：(1)B　(2) 解析：(1)==2-2x+4，所以≤2-2x+4，即x2+1≤-2x+4，即x2+2x-3≤0，所以-3≤x≤1，此时y=2x的值域为，即为.故选B． (2)当a<1时，41-a=21，解得a=；当a>1时，代入不成立.故a的值为. 学生用书⬇第38页 指数方程或不等式的解法 1.解指数方程或不等式的依据： (1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x). (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x). 2.解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解. 对点练2.(1)(多选)下列各式正确的是(　　) A．1.72.5>1.73 B．> C．1.70.3>0.93.1 D．< (2)设函数f(x)=若f(a)<1，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：(1)BCD　(2)(-3，1) 解析：(1)因为y=1.7x为增函数，所以1.72.5<1.73，故A不正确；=，y=2x为增函数，所以>，故B正确；因为1.70.3>1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3>0.93.1，故C正确；因为y=为减函数，所以<.又y=在(0，+∞)上单调递增，所以<，所以<<，故D正确.故选BCD． (2)当a<0时，原不等式化为-7<1，则<8，解得a>-3，所以-3<a<0.当a≥0时，则<1，解得a<1，所以0≤a<1.综上，实数a的取值范围是(-3，1). 考点四　指数型函数性质的综合应用师生共研 (1)函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． (2)(多选)已知函数f(x)=，则(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的值域为(-1，1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0恒成立 答案：(1)C　(2)AC 解析：(1)由-x2+x+1≥0得≤x≤，所以f(x)的定义域为.因为y=-x2+x+1在上单调递增，在上单调递减，所以t=在上单调递增，在上单调递减，又y=在R上单调递减，所以f(x)=的单调递增区间为.故选C． (2)f(x)=的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)===-f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；B错误；f(x)==1-，令1+2x=t，则t∈(1，+∞)，y=1-，易知1-∈，所以f(x)的值域为(-1，1)，故C正确；函数t=1+2x在R上单调递增，且y=1-在t∈(1，+∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)=1-在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0不成立，故D错误.故选AC． 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y=af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间. 对点练3.(1)设a=30.7，b=2-0.4，c=90.4，则(　　) A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c (2)(2024·山东日照期末)已知函数f(x)=4x-2x+1+4，x∈[-1，1]，则函数y=f(x)的值域为(　　) A．[3，+∞) B．[3，4] C． D． (3)若函数f(x)=是奇函数(a为常数)，则不等式f(x)<的解集为　　　　.  答案：(1)D　(2)B　(3)(-∞，2) 解析：(1)b=2-0.4<20=1，c=90.4=30.8>30.7=a>30=1，所以b<a<c.故选D． (2)f(x)=(2x)2-2×2x+4，x∈，令2x=t，则t=2x在[-1，1]上单调递增，即≤t≤2，于是y=t2-2t+4=(t-1)2+3，当t=1时，ymin=3，此时x=0，f(x)min=3；当t=2时，ymax=4，此时x=1，f(x)max=4，所以函数y=f(x)的值域为[3，4].故选B． (3)因为f(x)=是R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，即+=+==1-a=0，所以a=1.由f(x)=<，得2x+1<8，解得x<2，所以不等式的解集为(-∞，2). [真题再现]　(2023·天津卷)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 解析：法一：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上b>a>c.故选D． 法二：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上b>a>c.故选D． [教材呈现]　(人教A必修一P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8，30.7；(2)0.75-0.1，0.750.1；(3)1.012.7，1.013.5；(4)0.993.3，0.994.5. 点评：教材习题体现了比较大小的两种常用方法：(1)利用函数的单调性；(2)借助于0或1作为中间数，而该高考试题考查的也正是这两种方法. 课时测评12　指数与指数函数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.已知a>0，则=(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：===.故选B． 2.若代数式+有意义，则+2=(　　) A．2 B．3 C．2x-1 D．x-2 答案：B 解析：由+有意义，得所以x-2≤0，2x-1≥0，所以+2=+2|x-2|=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.故选B． 3.已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 答案：A 解析：因为y=0.4x为减函数，所以0.40.6<0.40.2<0.40=1，又20.2>1，所以a>b>c.故选A． 4.(2024·广东广州模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y=xa-1在(0，+∞)内单调递减，则在不等式a3x+1>a-2x中，x的取值范围是(　　) A． B． C．R D．∪ 答案：A 解析：因为函数y=xa-1在(0，+∞)内单调递减，所以a-1<0，即a<1，因为a>0，且a≠1，所以0<a<1，所以y=ax是减函数，又a3x+1>a-2x，所以3x+1<-2x，所以x<-，即x∈.故选A． 5.(2024·浙江绍兴模拟)下图中的函数图象所对应的解析式可能是(　　) A．y=- B．y=- C．y=-2|x-1| D．y=-|2x-1| 答案：A 解析：由题图可知，函数图象关于直线x=1对称，且当x=1时，y=-1，故排除B、D；当x>1时，函数图象单调递增，且无限接近于x轴，又当x>1时，y=-2|x-1|单调递减，故排除C．故选A． 6.(多选)函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　) A．a>1 　　　　 B．0<a<1 C．b>0 　　　　 D．b<0 答案：BD 解析：由函数f(x)=ax-b的图象可知，函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减，所以0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)=ax-b的图象是由y=ax的图象向左平移所得，如图，所以-b>0，所以b<0，故D正确.故选BD． 7.若指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在[-1，1]上的最大值为2，则a=　　　　.  答案：2或 解析：若a>1，则f(x)max=f(1)=a=2；若0<a<1，则f(x)max=f=a-1=2，得a=. 8.已知函数f(x)=，若f(x)有最大值3，则a的值为　　　　.  答案：1 解析：令g(x)=ax2-4x+3，则f(x)=，因为f(x)有最大值3，所以g(x)有最小值-1，则解得a=1. 9.化简(a>0，b>0)的结果是　　　　.  答案： 解析：===ab-1=. 10.(13分)(2024·山东济宁联考)已知函数f(x)=ax+b的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)·f(-x)的最大值.(8分) 解：(1)由图可知f(0)=1+b=-1，f(1)=a+b=0， 解得a=2，b=-2，所以f(x)=2x-2. (2)依题意可得g(x)=f(x+1)=2x+1-2， 所以g(x)·f(-x)=(2x+1-2)(2-x-2)=2-2×2x+1-2×2-x+4=6-2(2x+1+2-x)， 因为2x+1+2-x≥2=2， 当且仅当2x+1=2-x，即x=-时，等号成立， 所以g(x)·f(-x)=6-2(2x+1+2-x)≤6-4， 所以g(x)·f(-x)的最大值为6-4. 11.(14分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1+a，其中x∈[0，3]. (1)若f(x)的最小值为1，求a的值；(6分) (2)若存在x∈[0，3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围.(8分) 解：(1)因为x∈，f(x)=(2x)2-4·2x+a=+a-4， 当2x=2，即当x=1时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min=f(1)=a-4=1，解得a=5. (2)令t=2x∈[1，8]，则f(x)=t2-4t+a， 由f(x)≥33可得，a≥-t2+4t+33， 令g(t)=-t2+4t+33，函数g(t)在[1，2)上单调递增，在(2，8]上单调递减， 因为g(1)=36，g(8)=1， 所以g(t)min=g(8)=1，所以a≥1. (每小题6分，共12分) 12.(多选)已知函数f(x)=|2x-1|，实数a，b满足f(a)=f(b)(a<b)，则(　　) A．2a+2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a+b<1 C．2a+2b=2 D．a+b<0 答案：CD 解析：画出函数f(x)=|2x-1|的图象，如图所示.由图知1-2a=2b-1，则2a+2b=2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2=2a+2b>2=2，所以2a+b<1，则a+b<0，故B错误，D正确.故选CD． 13.(多选)关于函数f(x)=的性质，下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，+∞) C．方程f(x)=x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 答案：ACD 解析：函数f(x)=的定义域为R，故A正确；因为y=4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)=在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)=x只有一个实根，故B不正确，C正确；因为f(x+1)+f(-x)=+=+=，所以f(x)关于点中心对称，故D正确.故选ACD． (每小题8分，共16分) 14.(新定义)(2023·河北邯郸模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(-x0)=-f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”.已知f(x)=-aex-1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　) A．[-1，+∞) B．(-∞，-1] C．[-1，0) D．(-∞，1] 答案：C 解析：因为f(x)=-aex-1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得-a-1=a+1，所以方程-ae-x-1=aex+1在R上有解，所以方程=a在R上有解，又ex+e-x=ex+≥2，当且仅当x=0时等号成立，所以-1≤a<0，所以a的取值范围是[-1，0).故选C． 15.(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)+f(-x)=2，若函数y=f(x)与y=2-的图象的交点为(xi，yi)(i=1，2，…，n)，则的值为(　　) A．0 B．2n C．n D．-n 答案：C 解析：因为对任意的x∈R，f(x)+f(-x)=2，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y=2-=1+，故设g(x)=，则g(x)的定义域为R，且g(-x)===-g(x)，故g(x)为奇函数，故其图象关于原点对称，而y=2-=1+g(x)，故y=2-的图象关于(0，1)对称.故函数y=f(x)与y=2-的图象的交点关于(0，1)对称，不妨设x1<x2<…<xn，则xi=0，且y1+yn=y2+yn-1=…=yk+yn-k+1=2，其中1≤k≤n，故2yi=++…+(yn+y1)=2n，所以yi=n，故=n.故选C． 学生用书⬇第39页 学科网（北京）股份有限公司 $