第二章 第五节 第1课时 二次函数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义围绕幂函数与二次函数核心考点，按概念、图象、性质及应用的逻辑层次组织知识，通过表格对比梳理五种幂函数性质，系统呈现二次函数解析式、图象与性质的内在联系。教学流程涵盖考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合数学思维与语言培养，如通过二次函数最值分类讨论发展逻辑推理能力，用符号精准表达函数性质。设计一题多解和分层练习，在有限时间内强化知识应用，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第五节　幂函数与二次函数 【课程标准】　1.了解幂函数的概念.　2.结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况. 3.理解二次函数的图象和性质.　4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般来说，函数y=xα叫作(α次)幂函数，其中x是自变量，α是非零实数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y= 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 (-∞，0]上单调递减； (0，+∞)上单调递增 R上单调递增 [0，+∞) 上单调递增 (-∞，0)和(0，+∞)上单调递减 公共点 (1，1) 2.二次函数解析式的三种形式 3.二次函数的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 【常用结论】 (1)幂函数y=xα(α≠0)的重要结论 ①当α>0时，函数在[0，+∞)上有定义且递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点. ②当α<0时，函数在(0，+∞)上有定义且递减，值域为(0，+∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近. ③当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，+∞)时，α越大，函数值越大. (2)二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，闭区间为[m，n]. ①当-≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). ②当m<-≤时，最小值为f，最大值为f(n). 学生用书⬇第31页 ③当<-≤n时，最小值为f，最大值为f(m). ④当->n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数y=2是幂函数 B．当n>0时，幂函数y=xn在(0，+∞)上是增函数 C．二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数 D．若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 答案：BD 2.若幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y=f(x)的大致图象是 (　　 ) 答案：C 解析：设幂函数的解析式为y=xα，因为幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)，所以2=4α，解得α=，所以y=，其定义域为[0，+∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y=x的上方，对照选项知C正确.故选C． 3.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为 (　　 ) A．a<b<c B．c<a<b C．a>b>c D．b<c<a 答案：B 解析：由a=，b=，c=，得a=，b=，c=.因为幂函数y=在区间(0，+∞)上单调递增，且<<，所以<<，即c<a<b.故选B． 4.已知y=f(x)为二次函数，若y=f(x)在x=2处取得最小值-4，且y=f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　　.  答案：f(x)=x2-4x 解析：由题意，可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)=4a-4=0，a=1，所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 5.若函数f(x)=3x2-kx-8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为　　　　.  答案：(-∞，30]∪[120，+∞) 解析：由题意知，≤5或≥20，解得k≤30或k≥120. 6.已知a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4，则a，b，c的大小关系是　　　　.(用“<”连接)  答案：c<b<a 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 第1课时　二次函数 考点一　二次函数的解析式　自主练透 1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则f(x)=　　　　　　　　.  答案：-4x2+4x+7 解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用“顶点式”)：设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1)，所以抛物线的对称轴为x==，所以m=.又根据题意，函数有最大值8，所以n=8，所以f(x)=a+8.因为f(2)=-1，所以a+8=-1，解得a=-4，所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8，即=8，解得a=-4或a=0(舍).故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 2.已知函数f是二次函数，且f=1，f(x+1)-f=2x，则f=　　　　　　.  答案：x2-x+1 解析：因为f=1，y=f是二次函数，所以设f(x)=ax2+bx+1(a≠0)，又因为f-f=2x，所以a+b+1-=2ax+a+b=2x，所以2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，所以f(x)=x2-x+1. 3.已知二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　　　　　　　.  答案：y=x2+x-或y=-x2-x+ 解析：因为二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，展开得，y=ax2+2ax-3a，顶点的纵坐标为=-4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|-4a|=2，即a=±，所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+. 求二次函数解析式的方法 考点二　二次函数的图象　师生共研 (多选)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=-.则下列结论正确的是 (　　) A．abc<0 B．b<a+c C．3b<-4c D．当x>-时，y随x的增大而增大 答案：ACD 解析：由二次函数图象和性质可得a>0，c<0，因为-=-，所以a=b>0，所以abc<0，故A正确；由图象可知当x=-1时，函数值小于0，即a-b+c<0，所以b>a+c，故B错误；由图象可知x=1时，函数值小于0，即a+b+c<0，因为a=b，所以2b+c<0，即2b<-c，所以8b<-4c，因为b>0，所以3b<8b，所以3b<-4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x=-，所以当x>-时，y随x的增大而增大，故D正确.故选ACD． 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 学生用书⬇第32页 对点练1.(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a+b=0 B．4a+2b+c<0 C．9a+3b+c<0 D．abc<0 答案：ACD 解析：由二次函数图象开口向下知a<0，对称轴为x=-=1，即2a+b=0，故b>0.又因为f(0)=c>0，所以abc<0，f(2)=f(0)=4a+2b+c>0，f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0.故选ACD． 考点三　二次函数的性质　师生共研 已知函数f(x)=x2-tx-1. (1)若f(x)在区间(-1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[-1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解：f(x)=x2-tx-1=-1-. (1)依题意，-1<<2，解得-2<t<4， 所以实数t的取值范围是(-2，4). (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[-1，2]上单调递减， 所以f(x)min=f(2)=3-2t； ②当-1<<2，即-2<t<4时， f(x)min=f=-1-； ③当≤-1，即t≤-2时，f(x)在[-1，2]上单调递增， 所以f(x)min=f(-1)=t. 综上，g(t)= 二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成. 对点练2.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2，x∈[-2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3，x∈[-2，3]， 函数图象的对称轴为直线x=-∈[-2，3]， 所以f(x)min=f=--3=-，f(x)max=f(3)=15， 所以函数f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x=-. ①当-≤1，即a≥-时，f(x)max=f(3)=6a+3， 所以6a+3=1，即a=-，满足题意； ②当->1，即a<-时，f(x)max=f(-1)=-2a-1， 所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意. 综上可知，a=-或-1. [真题再现]　(2024·北京卷)已知M={(x，y)|y=x+t(x2-x)，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则(　　) A．d=3，S<1 B．d=3，S>1 C．d=，S<1 D．d=，S>1 答案：C 解析：对任意给定x∈，则x2-x=x≥0，且t∈，可知x≤x+t≤x+x2-x=x2，即x≤y≤x2，所以所求集合表示的图形即为平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B，C，可知任意两点间距离最大值d==；阴影部分面积S<S△ABC=×1×2=1.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P56例8) 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式： L=k·M·v2， 其中k是比例系数，且k>0，M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车，则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)? 点评：数形结合是以形助数，见数想图，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解. 学生用书⬇第33页 学科网（北京）股份有限公司 $