2.10 指、对、幂的大小比较（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．10　指、对、幂的大小比较 [题型解读] 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 01 02 题型一 题型二 课下巩固精练卷(十六) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(十六) 指、对、幂的大小比较 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 感谢观看 题型一　直接法比较大小 角度1　利用函数的性质 【例1】　设a＝，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 解析：选C.因为函数y＝为增函数， 所以，即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b<c，故c>b>a. 思维升华　题中出现同底数、同指数的幂值，同底数、同真数的对数比较大小时，可以构造函数，利用函数的单调性比较大小．一般地，如下几种情况： (1)底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； (2)指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小． 角度2　找中间值 【例2】　设a＝5-0.7，b＝，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 解析：选D.结合函数y＝5x，y＝，y＝lg x的图象易知0<a＝5-0.7<50＝1，b＝＝1，c＝lg <lg 1＝0，所以b>a>c. 思维升华　利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 角度3　特殊值法 【例3】　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　 ) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 解析：选C.取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝， ∴ac>bc，故A错误； abc＝，∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华　此类比较大小的题目，以参数范围的形式给出，可以考虑用特殊值验证． 【对点练习】　1.(1)(2024·山东临沂二模)若实数a，b，c 满足a＝2sin ，b3＝7，3c＝10，则(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c 解析：选A.因为a＝2sin <2sin ＝1， 又b3＝7，则b＝，且1<<＝2，即1<b<2， 因为3c＝10，所以c＝log310>log39＝2， 所以c>b>a. (2)(2024·江西上饶模拟)设 ＝2，b＝，则有(　　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：选B.由a＝2，得a＝＝log23>log22<，而c>0，所以a<c<b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 角度1　作差法 【例4】　(2024·宿州模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则(　　 ) A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>0 解析：选B.由3m＝4，得m＝log34， ∵log23－log34＝> >0， ∴log23>log34， log34－log45＝> >0， ∴log34>log45， ∴b＝4m－5＝－5>－5＝0， a＝2m－3＝－3<－3＝0， ∴b>0>a. 角度2　作商法 【例5】　已知a＝0.8-0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 解析：选B.由<<1，得b<c， 又∵c<1<a＝0.8-0.4，∴b<c<a. 角度3　指对转换 【例6】　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　 ) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 解析：选A.法一(中间值法)　令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝， 所以3y＝. 因为>>， 所以lg >lg >lg >0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法二(特值法)　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z. 思维升华　本例可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁、明了；关键根据对数换底公式，将x，y，z写成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比较，也可借助中间值比较大小．当然解题时也可直接取一个固定的k值． 角度4　构造函数法比较大小 【例7】　(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选D.设f(x)＝，x≥e，则f′(x)＝≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，又a＝f(e)，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)，因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c. (2)已知a＝，b＝2 025，则a，b的大小关系为________． 解析：构建函数f(x)＝x ln (x>0)， 则f′(x)＝ln ， 令g(x)＝ln (x>0)， 则g′(x)＝－<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 025)>f(2 024)，即a<b. 答案：a<b 思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 【对点练习】　2.(1) 已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 解析：选D.因为53＝＝81，所以， 所以，即a>c. 因为73＝3＝625，所以， 所以，即b<c.所以a>c>b. (2)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 解析：选B.因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (3)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则的大小关系不可能是(　　 ) A．<< B．<< C． D．<< 解析：选B.法一　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知，此时选项C正确． 取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确． 取x＝ ，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，此时易知<<，此时选项D正确． 综上，利用排除法可知本题应选B. 法二　设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以＝5k-1. 又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论． 若k＝1，则＝1，所以，所以选项C有可能正确． 若0<k<1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1>3k-1>5k-1，所以<<，所以选项D有可能正确． 若k>1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1<3k-1<5k-1，所以<<，所以选项A有可能正确． 综上，利用排除法可知选B. (4)已知a＝1010，b＝911，c＝119，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 解析：选A.令f(x)＝(20－x)ln x(x≥9)，则f′(x)＝－ln x＋(20－x)·＝－ln x＋－1，显然当x≥9时，f′(x)单调递减且f′(9)＝－ln 9＋－1＜0，故f(x)在[9，＋∞)上单调递减，f(9)＞f(10)＞f(11)，即11ln 9＞10ln 10＞9ln 11，即，可得911＞1010＞119，即c＜a＜b. 特殊对数值秒解比较大小 熟记以下数：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln π≈1.14，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8，ln 7≈1.95，当题目出现与之有关的式子时，可通过其对应的值或者对数运算法则进行大小比较． 【典例】　(2024·浙江宁波模拟)已知a＝＋ln 2，b＝，则(　　 ) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 解析：选B.法一(构造函数法)　设f(x)＝ln (1＋x)－x(x>0)， 则f′(x)＝<0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)<f(0)＝0， 即ln (1＋x)<x(x>0)， 所以ln <，即ln <， 所以2ln 2<＋ln 3，即ln 2<，所以＋ln 2<，即a<b. 由25<32，可得ln 25<ln 32，即2ln 5<5ln 2，即<ln 2， 所以<＋ln 2，即c<a. 综上所述，b>a>c. 法二(特殊对数值法)　因为a＝＋ln 2≈0.5＋0.7＝1.2，b＝≈0.67＋0.55＝1.22，c＝≈0.5＋＝1.14，所以b>a>c. 思维升华　通过两种方法的比较可看出，利用构造函数的方法比较麻烦，如果熟记几个特殊对数值能达到妙解的效果． 【对点练习】　若a＝ln 2，b＝2ln (ln 2)，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选D.法一(构造函数法)　∵a＝2ln ＝2ln ，b＝2ln (ln 2)，c＝， 而函数f(x)＝2ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，∴a<b<c. 法二(特殊对数值法)　因为a＝ln (ln 3－ln π)2≈ln (1.1－1.14)2＝ln (0.04)2，b＝ln (ln 2)2≈ln (0.7)2，所以a＜b＜0，因为c＝ln 2>0，所以a＜b＜c. 【基础巩固题】 1．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选B.因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20 <4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c. 2．已知2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，c＝ln 2，则(　　 ) A．logac>logbc B．logca>logcb C．ac<bc D．ca<cb 解析：选D.由题意知，a＝log2 0242 025>1>b＝log2 0252 024>0，而0<c＝ln 2<1，所以y＝logcx在定义域内单调递减，则logca<0<logcb，故B错误；logac＝<0<＝logbc，故A错误；由y＝xc在第一象限单调递增知ac>bc，故C错误；由y＝cx在定义域内单调递减知ca<cb，故D正确． 3．若a＝log43，b＝log54，c＝2-0.03，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 解析：选D.∵＝log43×log45＜ ＝ ＜1，a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b；∵410＜59，∴ ，∴b＝log54＜＝0.9，∵c＝＞0.9，∴b＜c，∴a＜b＜c. 4．设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则(　　 ) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 解析：选B.a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以a>b，a>c，b－c＝log32－log3020＝<0，所以c>b，所以b<c<a. 5．(2024·山东潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　 ) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 解析：选A.因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2，1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z. 6．已知a＝log32，b＝log43，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：选D.c＝sin ，因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 则a＝log32>log3，b＝log43>log42＝. a－b＝， 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2 ⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2. 故a<b，综上，b>a>c. 7．已知log4m＝，log12n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　 ) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 解析：选A.由log4m＝，得m＝<2， 由log12n＝，得n＝， >1，因此2>m>n； 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 8．已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 解析：选D.令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8， 则f′(x)＝－ln x＋－1， f′(x)＝－ln x＋－1在[8，＋∞)上单调递减， 且f′(8)＝－ln 8＋－ln 8<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立， 故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减， 所以f(8)>f(9)>f(10)， 即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108， 所以810>99>108，即a>b>c. 9．已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则(　　 ) A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c 解析：选D.由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，令f(x)＝(10.1＋x)ln (10.1－x)，则f′(x)＝ln (10.1－x)＋＝ln (10.1－x)＋1＋，所以f′(x)在[－1，1]上单调递减，又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，所以f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，所以f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c. 【综合应用题】 10．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则(　　 ) A．logab＞logbc＞logca B．logcb＞logba＞logac C．logbc＞logab＞logca D．logba＞logcb＞logac 解析：选B.法一(特殊值法)　取a＝8，b＝4，c＝，则logab＝log84＝，logbc＝log4，logca＝＝6，故A、C不正确；logcb＝＝4，logba＝log48＝，logac＝log8，故B正确，D不正确． 法二(中间值法)　由于a＞b＞c＞1，∴logab＜logaa＝1，logbc＜logbb＝1，但logca＞logcc＝1，从而A、C不正确；∵a＞b＞1，∴logba＞logbb＝1，又∵a＞c＞1，∴logac＜logaa＝1，∴logba＞1＞logac.logcb－logba＝.由已知得b2＞ac＞1，∴lg b2＞lg a＋lg c，∴2lg b＞lg a＋lg c，∴(lg b)2－lg a·lg c＞－lg a·lg c＝＞0，即＞0，∴logcb＞logba，从而B正确，D不正确． 11．(多选)(2024·山东聊城模拟)已知0<a<b<1，c>1，则(　　 ) A．ac>bc B．logac>logbc C．alogac>blogbc D．ac>ba 解析：选BC.A选项，因为c>1，所以y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以ac<bc，故A错误；B选项，由c>1可知函数y＝logcx单调递增，又0<a<b<1，故logca<logcb<0，所以> ，即alogac>blogbc，故C正确；D选项，函数y＝ax单调递减，y＝xa单调递增，0<a<b<1<c，故ac<aa<ba，故D错误． 12．(多选)(2023·邯郸模拟)已知log2m＝，a＝log3m－，b＝log5m－，则下列判断正确的是(　　 ) A．a>0 B．a<0 C．b>0 D．b<0 解析：选BC.由log2m＝，可得m＝>1，因为6，所以，则a＝＝0，A错误，B正确； 又因为10，所以，b＝＝0，C正确，D错误． 13．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，则a，b，c从小到大的关系是________． 解析：由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k<1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图， 由图可知a<c<b. 答案：a<c<b $