2.7 二次函数与幂函数（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦二次函数与幂函数核心考点，严格对接高考评价体系，系统梳理幂函数（如y=x²、y=x³、y=x⁻¹）的图像性质及二次函数图像变换单调性最值等考查要求，通过分析近五年高考真题明确考点权重，归纳图像辨析性质应用综合问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“夯基+研析+精练”三阶复习模式，以二次函数顶点坐标求解幂函数图像识别等典型题型为载体，运用几何直观培养数学眼光，通过逻辑推理发展数学思维，结合课下巩固精练卷强化答题技巧，助力学生高效突破考点，为教师提供系统性复习指导提升备考效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．7　二次函数与幂函数 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十三) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十三) 二次函数与幂函数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 感谢观看 [课标要求]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝ ，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．掌握二次函数的图象和性质，能利用二次函数方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【必备知识】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． [提醒]　幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数． y＝xα (2)常见的五种幂函数的图象 奇函数 偶函数 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 ． (1，1) (0，0) (1，1) 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ ． ②顶点式：f(x)＝ ． ③零点式：f(x)＝ ． ax2＋bx＋c(a≠0) a(x－m)2＋n(a≠0) a(x－x1)(x－x2)(a≠0) (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 值域 单调性 在x∈ 上单调递 减；在x∈ 上单调 递增 在x∈ 上单调递 增；在x∈ 上单调 递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　 ) (2)当α＜0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　 ) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　 ) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　 ) (5)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　 ) × × × × × 2．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　 ) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3. 3．已知幂函数y＝xα的图象过点，则该函数的解析式为_______． 解析：由已知＝2α，得α＝，即y＝. 答案：y＝ 4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是________． 解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 5．已知α∈若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，∴α＝－1. 答案：－1 题型一　幂函数的图象和性质 【例1】　(1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　 ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析：选D.对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且 0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2-1<2n，∴－1<n<0，综上，－1<n<0<m<1. (2)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　 ) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 解析：选B.由幂函数性质可知，y＝与y＝x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)， 当0<x<1时>x，则<1； 又y＝的图象关于y轴对称， ∴y＝为偶函数， ∴， 又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数． 【对点练习】　1.(1)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3是幂函数， 所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0， 解得n＝1或n＝2， 当n＝1时，f(x)＝x-1＝在(0，＋∞)上单调递减； 当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增． 所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n-3在(0，＋∞)上单调递减”的 充要条件． (2)已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是___________． 解析：设f(x)＝xα，则(－8)α＝－2，解得α＝，所以f(x)＝，则f(x)在R上单调递增，且为奇函数，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等价于f(a＋1)≤f(3－a)，则a＋1≤3－a，解得a≤1. 答案：(－∞，1] 题型二　二次函数的解析式 【例2】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________． 解析：法一(利用“一般式”)　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)　设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“两根式”)　由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 答案：－4x2＋4x＋7 [变式]　将本例中条件变为“二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)”，试确定f(x)的解析式． 解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， 所以f(x)的对称轴为直线x＝2， 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法指导　求二次函数解析式的选取方法 (1)已知三点坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最值，宜选用顶点式． (3)已知与x轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 【例3】　(多选)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 解析：选ACD.由二次函数的图象开口向下知a<0， 对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. 思维升华　分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号； 二是看图象的对称轴和顶点； 三是看函数图象上的一些特殊点． 从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 角度2　二次函数的单调性和最值 【例4】　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解：(1)由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立． 综上，a的取值范围是(－∞，0). (2)①当0<≤1，即a≥时， f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2，即<a<时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时g(a)＝f－1. ③当≥2，即0<a≤时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述，g(a)＝ 思维升华　二次函数最值问题求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【对点练习】　2.(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　 ) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 解析：选C.y＝(x－m)(x－n)＋2 025(m<n)为二次函数， 图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标， 其中f(m)＝f(n)＝2 025， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. (2)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________． 解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]， 此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2，4]. 答案：[2，4] (3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a＜，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是. 答案： 二次函数定(动)轴动(定)区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 【典例】　1.已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　 ) A．－4 B． C．2 D． 解析：选A.因为f(x)＝－(x—1)2＋的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. 2．(多选)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，M，N分别是函数在区间[－1，1]上的最大值和最小值，则M－N的可能取值是(　　 ) A．2 B．1 C．4 D． 解析：选ABC.当－≤－1，即b≥2时，M－N＝f(1)－f(－1)＝2b≥4； 当－≥1，即b≤－2时，M－N＝f(－1)－f(1)＝－2b≥4； 当－1<－≤0，即0≤b<2时，M－N＝f(1)－≥1； 当0<－<1，即－2<b<0时，M－N＝f(－1)－>1， 综上所述，M－N≥1. 思维升华　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 【基础巩固题】 1．(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象过点(2，4)，则函数的解析式为(　　 ) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sin x 解析：选B.设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2. 2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　 ) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析：选B.二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 可得则 所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 3．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　 ) A.y＝ B．y＝ C．y＝x3 D．y＝ 解析：选D.对于A：函数y＝的定义域为[0，＋∞)，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数y＝x3的定义域为R，且y＝x3为奇函数，且y＝x3在(0，＋∞)上是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：函数y＝的定义域为R，又y＝为奇函数，且y＝在(0，＋∞)上是上凸递增，故D正确． 4．(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　 ) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 解析：选AD.因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确． 5．(2024·江苏南京摸底)已知a＝，则(　　 ) A．b＜a＜d＜c B．b＜c＜a＜d C．c＜d＜b＜a D．b＜a＜c＜d 解析：选D.由题意得a＝，因为幂函数y＝在R上单调递增，所以a＜c＜d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a，故b<a<c<d. 6．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，6]，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(0，1] B．[1，3] C．(0，2] D．[1，2] 解析：选D.f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5，6]， 由图可知，m的取值范围是[1，2]. 7．(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　 ) 解析：选AB.A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意； C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意； D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意． 8．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若幂函数的图象经过点，则其解析式为y＝ B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1) D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称， 则f(－a2＋2a－5)>f(3) 解析：选CD.A选项，设f(x)＝xα，将代入得＝2， 即(2-3)α＝2，解得α＝－，故解析式为y＝f(x)＝，A错误； B选项，因为－<0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)， 故f(x)＝为偶函数，故f(x)＝在(－∞，0)上单调递增，B错误； C选项，因为α>0，所以0α＝0，1α＝1， 故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，C正确； D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1， 当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称， 当m＝－1时，f(x)＝x-1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去， 其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立， 故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3， 又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确． 9．已知函数f(x)＝xα＋2x(α≠0)，且f(4)＝10，则α＝________，若f(m)＞f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________． 解析：f(4)＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝，所以f(x)＝ ＋2x＝＋2x，其定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(m)＞f(－m＋1)可得解得＜m≤1，故实数m的取值范围为. 答案： 10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]，则n－m的最大值为________． 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1. 由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－＝1，a＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋b. 因为f(x)的值域为[2，＋∞)， 所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3， 故f(x)＝x2－2x＋3. 若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]， 令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1. 所以m最小为－1，n最大为3， 则n－m的最大值为4. 答案：4 【综合应用题】 11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　 ) A．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＞0 解析：选B. 由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上．因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0. 12．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　 ) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 解析：选A.函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上， 且对称轴为直线x＝b， ①当b>1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1， 故M－m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f(x)在[0，1]上单调递增， 则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b， 故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a， ∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a，∴M－m＝b2， 故M－m的值与a无关，与b有关， 综上，M－m的值与a无关，与b有关． 13．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的是(　　 ) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 解析：选AB.设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0　(*)．当k＞1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；当k＜1时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1＜t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1＜－1，t2＞－1.因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．综上可知，A，B正确，C，D错误． 14．幂函数y＝xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ＝________． 解析：因为A(1，0)，B(0，1)，BM＝MN＝NA， 所以M， 不妨设y＝xα，y＝xβ分别过点M， 则， 则， 所以αβ＝1. 答案：1　 $