2.6 函数性质的综合应用（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．6　函数性质的综合应用 [题型解读] 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 01 03 02 04 题型一 题型三 题型二 题型四 课下巩固精练卷(十二) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(十二) 函数性质的综合运用 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 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则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 则不等式f(x＋1)<f(2x)等价于解得x>1或x<－2， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 【对点练习】　1.(2024·湖北咸宁质检)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x) 同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，则称函数f(x)具有性质P，已知函数f(x)具有性质P，则不等式f(x－2)<的解集为(　　 ) A．(－∞，－1) B．(－3，2) C．(－∞，－3)∪(－1，2) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析：选C.因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，即对任意两个不相等的正实数x1，x2，不妨设0<x1<x2，都有<0，所以有>， 所以函数g(x)＝是(0，＋∞)上的减函数， 又因为f(x)为奇函数，即有∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝－f(x)， 所以有g(－x)＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增． 当x－2>0，即x>2时，有x2－4>0，由f(x－2)<，得<， 所以x－2>x2－4，解得x<－2，此时无解； 当x－2<0，即x<2时，由f(x－2)<，得>， 所以|x－2|<|x2－4|，解得x<－3或－1<x<2. 综上所述，不等式f(x－2)<的解集为(－∞，－3)∪(－1，2)． 题型二　函数的奇偶性与周期性 【例2】　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)＝2，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＋f(2 025)＝(　　 ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：选B.因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＋f(2 025)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 【对点练习】　2.(2024·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x＋1)为偶函数，函数f(x＋2)为奇函数，则 ＝(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．－1 解析：选A.因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)， 函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 又函数f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0， 所以函数f(x)的图象关于(2，0)对称， 所以f(－x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(－x＋3)＝－f(－x＋1)， 即f(x)＝－f(x＋2)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的一个周期为4， 令x＝0，则f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0， 令x＝1，f(3)＋f(1)＝0，又f(0)＝f(2)＝0， 所以f(4)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以 ＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝505×0＋0＋0＋0＝0. 题型三　函数的奇偶性与对称性 【例3】　(多选)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(4)＝－1，则下列结论正确的有(　　 ) A．f(0)＝0 B．f(2)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于(1，0)对称 解析：选BC.由题可知f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝4，y＝0，则f(4＋0)＋f(4－0)＝2f(4)f(0)，即f(4)＋f(4)＝2f(4)f(0)，可得f(0)＝1，故A错误； 令x＝y＝2，则f(2＋2)＋f(2－2)＝2f(2)f(2)，即f(4)＋f(0)＝2[f(2)]2，又因为f(4)＝－1，f(0)＝1，可得f(2)＝0，故B正确； 令x＝0，可得f(y)＝f(－y)，故C正确； 若f(x)的图象关于(1，0)对称，则函数f(x)满足f(0)＋f(2)＝0，而f(2)＝0，f(0)＝1，显然f(0)＋f(2)＝1≠0，故D错误． 【对点练习】　3.(2024·陕西商洛模拟)已知y＝f(x＋1)－2为奇函数，则f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝(　　 ) A．－14 B．14 C．－18 D．18 解析：选D.因为y＝f(x＋1)－2为奇函数， 所以f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2， 即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，故f(x)的对称中心为，即(1，2)， 所以f(－3)＋f(5)＝f(－2)＋f(4)＝f(－1)＋f(3)＝f(0)＋f(2)＝4， 又f(1)＋f(1)＝4，即f(1)＝2， 所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝4×4＋2＝18. 题型四　函数的周期性与对称性 【例4】　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且函数y＝f(2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)的一个周期是2 B．f(x)是奇函数 C．f(x)不一定是偶函数 D．f(x)的图象关于点(2 025，0)中心对称 解析：选D.对于A，因为定义在R上的函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x＋4)，故f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)的一个周期是4，所以A错误； 对于BC，因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(－x－2)＝－f(－x)， 因为函数y＝f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)， 所以f(x－1)＝－f(－x－1)，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称， 所以f(－x－2)＝－f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，不是奇函数，所以BC错误； 对于D，因为f(x)为偶函数，f(x)的图象关于点(－1，0)对称， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)的一个周期是4，所以f(x)的图象关于点(1＋4×506，0)对称， 即f(x)的图象关于点(2 025，0)中心对称，所以D正确． 思维升华　区分函数的周期性与对称性的关系式 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，二者不要混淆． 【对点练习】　4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)－f(2－x)＝0，f(x＋2)－2为奇函数，则f(2 024)＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选D.因为f(x)－f(2－x)＝0，即f(x)＝f(2－x)， 所以函数f(x)关于x＝1对称，因为f(x＋2)－2为奇函数， 所以f(－x＋2)－2＝－[f(x＋2)－2]＝－f(x＋2)＋2， 令x＝0，则f(2)－2＝－f(2)＋2，所以f(2)＝2，所以f(0)＝f(2)＝2， 所以f(x)＝－f(x＋2)＋4，即f(x＋2)＝－f(x)＋4， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＋4＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2 024)＝f(0)＝2. 【基础巩固题】 1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 023.5)等于(　　 ) A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75 解析：选D.由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75. 2．已知函数f(x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是(　　 ) A．f(x－1)＋cos x B．f(x＋1)＋sin x C．f(x－1)＋sin x D．f(x＋1)＋cos x 解析：选C.因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R， 且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， 故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称， 函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称， 又函数y＝sin x的图象关于直线x＝1对称， 因此函数f(x－1)＋sin x的图象关于直线x＝1对称． 3．(2024·许昌质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log310，b＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　 ) A．f(a)>f(c)>f(b) B．f(a)>f(b)>f(c) C．f(b)>f(a)>f(c) D．f(c)>f(a)>f(b) 解析：选C.∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(a)＝f(－log310)＝f(log310)，且2<log310<3，f(b)＝f(－3)＝f(3)， f(c)＝且<2， ∵f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(c)<f(a)<f(b)． 4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f(x)＝＋m，若＝f(－1)，则m等于(　　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数， 因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)， 故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)＝f(1)， 而f(－1)＝－f(1)， 所以由＝f(－1)可得f(1)＝， 而f(1)＝－f(3)＝－m＝， 解得m＝－. 5．(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2，0)对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(2 024)等于(　　 ) A． B． C． D．0 解析：选D.因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－x)＝f(2＋x)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的周期为4， 所以f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0. 6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选D.∵f(x)的图象关于点(1，0)对称， ∴f(－x)＝－f(2＋x)， 又f(x)为R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0， 又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024) ＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1. 7．(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　 ) A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴 B．周期T＝2 C．函数f(x)在[4，5]上单调递增 D．f(5)＝0 解析：选AC.因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确； 因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1， 所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误； 直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减， 所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故选项C正确； 因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误． 8．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　 ) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x－1)为奇函数 D．函数f(x－3)为偶函数 解析：选BC.对于选项A、B，∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误，选项B正确； 对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴ f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－ f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故选项C正确； 对于选项D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝则f(x－3)＝cos ＝cos ＝－sin x为奇函数，故选项D错误． 9．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为______________． 解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2. 答案：(－∞，2) 10．(2024·重庆一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝2，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝________． 解析：∵f(x)是R上的偶函数，且g(x)＝f(x－1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(－1，0)对称，f(x－1)＝－f(－x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4.∵f(0)＝2，∴f(1)＝f(－1)＝0，f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×506＋f(1)＝0. 答案：0 【综合应用题】 11．(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　 ) A．f(x＋2)＝f(x) B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．f(2－x)＝f(x－1) 解析：选BC.对于选项A，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错； 对于选项B，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，B对； 对于选项C，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对； 对于选项D，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错． 12．(多选)(2024·贵州黔南二模)若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，f(1)＝1，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(3)＝－1 B．f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝1 解析：选ABC.因为f(x＋2)＝－f(x)，f(1)＝1， 对于选项A，令x＝1，可得f(3)＝－f(1)＝－1，故A正确； 对于选项C，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)＝－f(－x)，则f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 对于选项B，因为f(x＋2)＝f(－x)，可得f(－x＋2)＝f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(－x＋2)，即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故B正确； 对于选项D，因为f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0， 令x＝0，可得2f(2)＝0，f(2)＝f(0)＝0， 令x＝1，可得f(3)＋f(1)＝0， 又因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知4为f(x)的周期，可得f(2)＋f(4)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 因为2 024＝4×506，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误． 13．已知函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________________． 解析：对于函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)， 有解得－1<x<1， 则函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称， f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)为奇函数， 由于函数y＝ln (1＋x)在区间(－1，1)上单调递增， 函数y＝ln (1－x)在区间(－1，1)上单调递减， 所以函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)在(－1，1)上单调递增， 由f(a)＋f(1－2a)>0， 得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)， 所以解得0<a<1. 因此，实数a的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 【创新拓展题】 14．(多选)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若g(2＋x)均为偶函数，则(　　 ) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 解析：选BC.因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以 ，即f＝g(2＋x)＝g(2－x)，所以fg(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确； 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称， 又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导， 所以， 所以g(4－x)＝g(x)＝－g， 所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g， 所以g故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误． 15．设函数f(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足f(0)＝1，f(1)＝0，对任意的x，y∈Z都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则f(3)＝______；＝______． 解析：令x＝y＝1，即f(2)＋f(0)＝2f 2(1)，∴f(2)＝－1， 令x＝2，y＝1，即f(3)＋f(1)＝2f(2)f(1)，∴f(3)＝0， 令x＝y＝2，即f(4)＋f(0)＝2f 2(2)，∴f(4)＝1， 令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝0， 即f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)， f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴4为函数f(x)的周期， f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(4)＝1，∴当x为奇数时，f(x)＝0， 当n为奇数时，n2也为奇数，此时f(n2)＝0；当n为偶数时，n2为4的整数倍，此时f(n2)＝1. ∴f(12)＋f(22)＋…＋f(2 0232)＝0＋1＋0＋1＋…＋0＋1＋0＝1 011， n2＋(n＋1)2＝2n2＋2n＋1＝2n(n＋1)＋1， 由n∈Z，得n(n＋1)为偶数， 记n2＋(n＋1)2＝2n(n＋1)＋1＝4kn＋1，kn∈Z， 12＋22＋…＋2 0232＝＋2 0232＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋1 011＋4 092 529＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋4 093 540＝4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385)， f(12＋22＋…＋2 0232)＝f(4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385))＝f(0)＝1， ∴. 答案：0　 $