2.5 函数的对称性（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”核心考点，依据课标要求梳理奇函数偶函数对称性、函数自身对称及两函数图像对称三大模块。通过必备知识清单、基点诊断真题及核心题型探究，精准对接高考评价体系，明确轴对称、中心对称等高频考点权重，归纳三类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+思维建模”策略，如2024江西南昌模拟题中利用函数对称中心解决交点问题，培养学生数学思维。通过“公式推导+变式练习”突破轴对称公式f(a+x)=f(b-x)等考点，特设易错警示与答题模板，帮助学生掌握得分技巧。教师可据此系统开展复习教学，助力学生高效冲刺高考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．5　函数的对称性 [课标要求] 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　 2.会利用对称公式解决问题． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十一) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十一) 函数的对称性 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 感谢观看 (－2，0) (a，0) 【必备知识】 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为 ． 2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称． 原点 y轴 x＝－2 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称． y轴 x轴 原点 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称． (　　 ) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数, 则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． (　　 ) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称． (　　 ) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称． (　　 ) × × √ √ 2．函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　 ) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：选B.因为f(x)＝，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称． 3．已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________． 解析：法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数， ∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3， 令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称， 故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 4．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示， 则不等式f(x)<0的解集为______． 答案：[－5，－2)∪(2，5] 5．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________． 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 答案：5 题型一　轴对称问题 【例1】　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　 ) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析：选ACD.∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． (2)(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________． 解析：∵y＝f(x＋3)是偶函数， ∴f(x)的图象关于直线x＝3对称． ∵当x≥3时，f(x)＝log2x， ∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增， ∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|， ∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0， 解得x<－3或x>. 答案：{x} 思维升华　(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x) ⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 【对点练习】　1.(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　 ) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 解析：选D.因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 解析：∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1，1)． 答案：(－1，1) 题型二　中心对称问题 【例2】　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　 ) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 解析：选ABC.对于A，f(x)＝，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确． (2)(2024·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn), 则 ＝(　　 ) A．n B．2n C．3n D．4n 解析：选C.因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中 心对称．因为g(x)＝sin πx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以 ，所以 ＝3n. 思维升华　(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 成中心对称． 【对点练习】　2.(1)(2024·河北石家庄二模)已知函数y＝f(x－1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　 ) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 解析：选C.函数y＝f(x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称， 将函数y＝f(x－1)向左平移一个单位可得函数y＝f(x)， 则函数y＝f(x)关于(－1，0)对称， 所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(－1，1)对称． (2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　 ) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：选D.因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 题型三　两个函数图象的对称 【例3】　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　 ) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：选A.设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝对称． 【对点练习】　3.(2024·四川成都三模)定义在R上的函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g(2x－1)＋1为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心是(　　 ) A．(－1，1) B．(－1，1) C．(3，1) D．(3，－1) 解析：选D.因为y＝g(2x－1)＋1为奇函数， 所以g(－2x－1)＋1＝－g(2x－1)－1， 即g(－2x－1)＋g(2x－1)＝－2， 故g(x)的对称中心为， 即(－1，－1)， 由于函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称， 且(－1，－1)关于x＝1的对称点为(3，－1)， 故y＝f(x)的对称中心为(3，－1)． 【基础巩固题】 1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　 ) A．y＝ B．y＝lg |x| C．y＝tan x D．y＝x3 解析：选A.y＝的图象关于y＝x、坐标原点(0，0)分别成轴对称和中心对称，故A正确； y＝lg |x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误； y＝tan x关于点(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误； y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0，0)成中心对称，但无对称轴，故D错误． 2．已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则(　　 ) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 解析：选B.由题意知，函数f(x)的图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f(x)＝2x－1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由f(x)的对称性知f(x)在(－∞，1)上单调递减．∵1－＜－1＜1－，∴f＜f＜f. 3．已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　 ) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 解析：选A.由已知可得，f(2－x)＝22-x＋＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误； f(－x)＝2－x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误； 因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误． 4．(2024·宁夏二模)直线ax＋by－1＝0过函数f(x)＝x＋图象的对称中心，则的最小值为(　　 ) A．9 B．8 C．6 D．5 解析：选A.因为 y＝x＋是奇函数，所以函数图象关于(0，0)中心对称， 函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数f(x)＝x＋ 的图象， 所以f(x)的对称中心为(1，1)，所以a＋b＝1， 所以＝(a＋b)＝5＋＝9， 当且仅当，即a＝2b＝时，等号成立， 所以的最小值为9. 5．如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．－1 解析：选C.根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称， 那么求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和， 即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和， 因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增， 所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4. 6．已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为(　　 ) A．0 B．m C．2m D．4m 解析：选C.依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． 函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)， 则x1＋x2＋…＋xm＝4×＝2m. 7．(多选)(2024·甘肃张掖模拟)已知直线x＝1是函数f(x)图象的对称轴，则函数f(x)的解析式可以是(　　 ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ex-1＋e1-x C．f(x)＝cos πx D．f(x)＝x2－2|x| 解析：选ABC.对于A，函数图象由y＝图象沿x轴向右平移1个单位，再把x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，故关于直线x＝1对称，故A正确； 对于B，函数f(x)＝ex-1＋e1-x的图象是由y＝ex＋e－x图象沿x轴向右平移1个单位得到的，而函数y＝ex＋e－x是偶函数，关于y轴对称，其图象沿x轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线x＝1对称，故B正确； 对于C，令πx＝kπ，k∈Z，则该函数的对称轴为直线x＝k，k∈Z，故x＝1符合题意，故C正确； 对于D，f(－1)＝－1，f(3)＝3，显然f(－1)≠f(3)，故此函数不是关于直线x＝1对称的，故D错误． 8．(多选)已知函数f(x)，则下列命题正确的为(　　 ) A．若f(1＋x)＝f(3－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．令g(x)＝f(2－x)，h(x)＝f(2＋x)，则函数g(x)与h(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．若函数f(2x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：选AC.由题意f(1＋x)＝f(3－x)，令t＝1＋x，可得f(t)＝f(4－t)，所以f(x)关于x＝2对称，故A正确； 函数g(x)＝f(2－x)的图象与函数h(x)＝f(2＋x)的图象关于直线x＝＝0对称，故B不正确； 由题意，f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f(x)，由f(x)为偶函数，得f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确； 令g(x)＝f(2x＋1)，若g(x)＝g(2－x)，则f(2x＋1)＝f(5－2x)，令t＝1＋2x，f(t)＝f(6－t)，故函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D不正确． 9．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________． 解析：设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的 点的坐标为(x，y)， 所以即 因为点(x0，y0)在函数f(x)＝ex图象上， 所以y0＝，即y＝e2-x. 答案：y＝e2-x 10．已知函数f(x)＝2|x-a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________． 解析：因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x-2|的图象， 所以函数y＝2|x-2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 答案：2 【综合应用题】 11．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于(　　 ) A．3 B． C．－1 D．－ 解析：选D.设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上， 点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)， 则则 则y′＝f(1－2m＋x′)， 即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称， 则1－2m＝2，得m＝－. 12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则 的值为________． 解析：∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 则f(2－x)＋f(x)＝0， ∴函数f(x)的图象关于点(1，0)对称， ∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的， ∴函数y＝的图象关于点(1，0)对称， ∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1，0)对称， ∴＝＋＝n. 答案：n 13．已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 14．(人教A版必修一P87)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解：(1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x. 设g(x)＝x3－3x ，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)． ∴g(x)为奇函数． ∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称． 即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)． (2) 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数 y＝f(x＋a)为偶函数． $