1.4 基本不等式（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据新课标要求覆盖推导过程、最值求解、实际应用三大核心考点，对接高考评价体系分析“一正二定三相等”条件应用占60%、重要不等式变形占30%的高频考点权重，归纳理解辨析、配凑消元等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，精选2024烟台模拟等高考真题，通过“配凑法拆项添项”“常值代换构造定值”等技巧培养数学思维，如例3用配凑法将4a²+b²=7转化为积的定值求最值，帮助学生掌握得分关键。教师可依托分层训练精准突破易错点，助力学生高效冲刺高考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第一章 集合与常用逻辑 用语、 不等式 01 1．4　基本不等式 [课标要求]　1.了解基本不等式的推导过程．　 2.会用基本不等式解决简单的最值问题．　 3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 01 02 题型一 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(四) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 a=b 算术平均数 几何平均数 大于或等于 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(四) 基本不等式 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 感谢观看 1．基本不等式 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ，当且仅当 时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中， eq \f(a＋b,2) 称为a，b的 ， eq \r(ab) 称为a，b的 ．即两个非负实数的算术平均值 它们的几何平均值． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． (2)≥ (a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)重要不等式链：(a>0，b>0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 3．利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立． (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值 ． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 ． [提醒]　利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，忽视任何一个条件，就会出错． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件．(　　 ) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　 ) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　 ) × × × √ 2．设a＞0，则的最小值为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.9a＋＝6，当且仅当9a＝，即a＝时等号成立． 3．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　 ) A．4 B． C． D．2 解析：选B.依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤，即矩形面积的最大值为. 4．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．3x≥3y B． C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 解析：选AD.由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 5．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________． 解析：当x＝±1时，1－x2＝0.当－1<x<1时，1－x>0，1＋x>0，∴1－x2＝(1－x)(1＋x)≤2＝1，当且仅当1＋x＝1－x，即x＝0时取等号，∴1－x2的最大值为1，此时x＝0. 答案：1 题型一　基本不等式的理解及常见变形 【例1】　(1)(人教A版必修一P40改编)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 解析：选C.∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>，∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a. (2)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　 ) A．(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．(a>0，b>0) D．(a>0，b>0) 解析：选C.根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD， 又OD＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝， 由于OD≥CD，所以(a>0，b>0)． 由于CD≥DE，所以(a>0，b>0)． [变式]　例题(2)中，条件改为：“点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b”，则该图形可以完成的无字证明为(　　 ) A．(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．(a>0，b>0) D．(a>0，b>0) 解析：选D.由图形可知，OF＝(a＋b)， OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF＝， ∵CF≥OF， ∴ (a＋b)(a>0，b>0)． 【对点练习】　1.(多选)(2024·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．0< B．≥1 C．log2a＋log2b<2 D． 解析：选BD.因为a>0，b>0，所以ab≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤＝4或， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，则， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立． 题型二　利用基本不等式求最值 角度1　直接法 【例2】　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　 ) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D． 解析：选BC.选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＝2，当且仅当时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)(北师大版必修一P31)设x，y是满足2x＋y＝20的正数，则xy的最大值是________． 解析：由已知得20＝2x＋y≥2，即20≥2，解得xy≤50，当且仅当2x＝y时取等号，即x＝5，y＝10时取等号，所以xy的最大值为50. 答案：50 (3)(人教A版必修一P46)已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为________时，两条直角边的和最小，最小值是________． 解析：设三角形两直角边分别为x，y， 则面积S＝＝50，所以xy＝100， 故x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时，取等号． 所以当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20. 答案：10　20 解析：选D.因为4a2＋b2＝7，则a ＝2，当且仅当4a2＝1＋b2， 即a＝1，b＝时，等号成立． 角度2　配凑法 【例3】　(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　 ) A． B． C．2 D．2 (2)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　 ) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 解析：选D.由题意可知，x－2>0，所以y＝(x－2)＋ ＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. 思维升华　配凑法求解最值应注意的问题 (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 角度3　常值代换法 【例4】　(1)已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　 ) A．54 B．56 C．72 D．81 解析：选C.8a＋b＝(8a＋b)＋40＝72，当且仅当，即a＝6，b＝24时取等号． [变式]　将本例(1)中的＝1改为8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 解析：∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＝1，下同例4解析． 答案：72 (2)已知x>0，y>0且x＋y＝5，则的最小值为________． 解析：令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0， ∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8， ∴(m＋n) ＝＝， 当且仅当，即m＝n＝4时等号成立， ∴的最小值为. 答案： 思维升华　常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题． 角度4　消元法 【例5】　(2024·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________，xy的最大值为________． 解析：(1)法一(换元消元法)　由已知得9－(x＋3y)＝xy＝ ，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t， 则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)　由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝ ＝3(1＋y)＋－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号， 所以x＋3y的最小值为6. (2)由已知得9－xy＝x＋3y≥2，令＝t，则t>0， 有9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0<t≤， 所以，即xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 所以xy的最大值为3. 答案：6　3 【对点练习】　2.(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　 ) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 解析：选AD.对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝，设t＝，则t≥，则y≥，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． (2)已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　 ) A．1 B． C．2 D．2 解析：选B.∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则b＝，∴b－，当且仅当，即a＝2时，等号成立，此时b＝. (3)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　 ) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D．的最小值为 解析：选BCD.对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2，即2＋2－8≤0，解得－4≤≤2，又因为a>0，b>0，所以0<≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误； 对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确； 对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝>0，解得0<a<8，所以a＋2b＝a＋2×－3，当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，故C正确； 对于D，[a(b＋1)＋b]＝×(2＋2)＝，当且仅当，即b＝4，a＝时取等号，故D正确． 【基础巩固题】 1．(人教B版必修一P82改编)已知a，b都是正数，且a＋b＝1，则的最小值是(　　 ) A． B．2 C．4 D．8 解析：选C.由题意得a>0，b>0，a＋b＝1，故(a＋b)＝1＋＝4，当且仅当，即a＝b＝时取等号，故的最小值是4. 2．(人教A版必修一P48)已知x>1，则x＋的最小值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.∵x>1，∴x－1>0， ∴x＋＝(x－1)＋＋1＝3， 当且仅当x－1＝时，即当x＝2时等号成立， ∴x＋的最小值为3. 3．(2024·安徽合肥三模)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　 ) A．4 B．4 C．4＋1 D．2＋1 解析：选D. ＋1，当且仅当，即y＝时，等号成立． 4．(2024·辽宁大连三模)已知正实数a，b，则“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.取a＝，满足a＋2b≤2，但a2＋4b2＝>2， 故“a＋2b≤2”推不出“a2＋4b2≤2”； 因为a2＋4b2≥2＝2·2ab＝4ab，当且仅当“a＝2b”时取等号， 当a2＋4b2≤2时，a2＋4b2＋4ab≤2＋4ab≤2＋a2＋4b2≤4， 所以a2＋4b2＋4ab≤4，即(a＋2b)2≤4， 因为a＋2b>0，所以0<a＋2b≤2，所以a2＋4b2≤2能推出a＋2b≤2. 故“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的必要不充分条件． 5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.因为x>0，y>0，x＋3y＝1， 则(x＋3y)＝＋10＝16， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立， 所以0<，即的最大值为. 6．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则的最小值为(　　 ) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：选B.由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故(a＋2b)＝5＋＝9， 当且仅当，且a＋2b＝1，即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，即x＝时，等号成立， 故的最小值为9. 7．(多选)(2024·海南模拟)若正实数a，b满足a＋2b＝1，则(　　 ) A．的最小值为1＋2 B．3b(2a＋b)的最大值为1 C．a2＋2b2的最小值为 D．(a＋1)(b＋1)的取值范围为(1，2) 解析：选BC.正实数a，b满足a＋2b＝1，a＝1－2b， 对于A，＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时取等号，A错误； 对于B，3b(2a＋b)≤2＝(a＋2b)2＝1， 当且仅当a＝b＝时取等号，B正确； 对于C，a2＋2b2＝(1－2b)2＋2b2＝6b2－4b＋1＝62＋， 当且仅当b＝时取等号，C正确； 对于D，(a＋1)(b＋1)＝(2－2b)(1＋b)＝2(1－b2)∈，D错误． 8．(多选)已知a>0，b>0且＝2，则下列说法正确的是(　　 ) A．ab有最小值4 B．a＋b有最小值 C．2ab＋a有最小值2 D．的最小值为4 解析：选ABD.A选项：由2＝，得ab≥4， 当且仅当，即a＝1，b＝4时取等号，故A选项正确； B选项：a＋b＝(a＋b)＝＝， 当且仅当，即a＝，b＝3时取等号，故B选项正确； C选项：由＝2，得2ab－4a－b＝0，所以2ab＋a＝5a＋b ＝(5a＋b)＝＝， 当且仅当，即a＝时取等号，故C选项错误； D选项：由A的分析知ab≥4且a＝1，b＝4时取等号， 所以， 当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时取等号，故D选项正确． 9．若x<2，则x＋的最大值为________． 解析：x＋＋2，由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋＝6，当且仅当2－x＝， 即x＝－1时，等号成立，所以x－2＋≤－6， 故x＋＋2≤－4，所以x＋的最大值为－4. 答案：－4 答案： 10．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 解析：因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立， 故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 【综合应用题】 11．(多选)(2024·江苏扬州模拟)已知a＝log23，b＝log32，则(　　 ) A．ab＝1 B．> C．<2 D．a＋ln b>1 解析：选ABD.对于A，ab＝log23×log32＝＝1，故A正确： 对于B，＝2>，在这里a≠b，所以严格来说有>2>，故B正确； 对于C，＝ab＝b＋3a≥2在这里b≠3a，所以严格来说有>2，故C错误； 对于D，a＋ln b＝a＋ln ＝a－ln a，而a＝log23>1，定义f(x)＝x－ln x(x>1)，则f′(x)＝1－>0，从而f(x)＝x－ln x(x>1)单调递增，所以f(x)>f(1)＝1，所以f(a)＝a－ln a＝a＋ln b>1，故D正确． 12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)对任意x，y，x2＋y2－xy＝1，则(　　 ) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析：选BC.因为ab≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1变形可得y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcos θ＝1＋ －cos 2θ＋sin ∈，所以x2＋y2≥1不成立，所以D错误． 13．(2024·云南曲靖模拟)已知正数x，y满足x＋y＝4，则的最小值为__________． 解析：由正数x，y满足x＋y＝4，可得y＝4－x，所以－1＝0，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以的最小值为0. 答案：0 答案：4 14．(2024·广西河池模拟)若实数a>1>b>0，且a2＋2b＝b2＋2a，则的最小值为________． 解析：由a2＋2b＝b2＋2a可得(a－b)(a＋b－2)＝0， 因为a>1>b>0，所以a－b≠0，即a＋b－2＝0，则a－1＋b＝1， 则＝(a－1＋b)＝2＋＝4， 当且仅当，即a＝时等号成立， 故的最小值为4. 15．(2024·江西宜春三模)已知x>0，y>0，且满足4x2＋9y2＋6xy－3＝0，则2x＋3y的最大值为_____________． 解析：解法1：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得4x2＋9y2＋12xy＝3＋6xy， 由基本不等式得(2x＋3y)2＝3＋2x·3y≤3＋2，可得(2x＋3y)2≤3， 所以2x＋3y≤2，当且仅当2x＝3y时取等号， 联立方程组解得x＝， 故2x＋3y的最大值为2. 解法2：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得(x2＋9y2＋6xy)＋3x2＝3， 因为x>0，y>0，由权方和不等式得， 即4≥(2x＋3y)2， 所以2x＋3y≤2，当且仅当，即2x＝3y时取等号， 联立方程组解得x＝， 故2x＋3y的最大值为2. 答案：2 $