1.1 集合（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 第一章 集合与常用逻辑 用语、 不等式 01 1.1 集合 [课标要求] 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 01 03 02 04 题型一 题型三 题型二 题型四 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(一) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(一) 集合 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 感谢观看 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 【必备知识】 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法： 、 、 ． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋) Z Q R [提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋都表示正整数集，不包含0. 描述法 图示法 确定性 互异性 无序性 2．集合间的基本关系 关系 表示 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊆B (或B⊇A) AB (或BA) 关系 表示 自然语言 符号语言 Venn图 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B [提醒]　空集是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． {x|x∈A且 x∈B} {x|x∈U且 x∉A} 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ A∩B＝ ∁UA＝ {x|x∈A或 x∈B} 【必记结论】 1．对于集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　 ) (2)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　 ) (3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．(　　 ) (4)集合{x|x＝x3}用列举法表示为{－1，1}．(　　 ) × × × √ 2．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝(　　 ) A．{1，2} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{0，1，2，3} 解析：选B.由题意，集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，又由B＝，根据集合交集的概念及运算，可得A∩B＝{1，2，3}． 3．已知集合A＝{x∈N|x2－6x＋8≤0}，则A的真子集个数是(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.因为A＝{x∈N|x2－6x＋8≤0}＝{x∈N|2≤x≤4}＝{2，3，4}，所以A的真子集个数是23－1＝7. 4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若AB，则a的取值范围为________________． 解析：由 AB或所以2≤a≤4. 答案：2≤a≤4 题型一　集合的含义与表示 【例1】　(1)设集合M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}，N＝{a－1，3}，已知4∈M且4∉N，则a的取值集合为________． 解析：因为M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}， N＝{a－1，3}，4∈M且4∉N， 若a2－3a＝4，解得a＝4或a＝－1， 当a＝4时，此时a＋， 此时N＝{3，3}，不满足集合元素的互异性，舍去； 当a＝－1时，此时a＋＋7＝4， 此时M＝{2，3，4，4}，不满足集合元素的互异性，舍去； 若a＋＋7＝4，解得a＝－1或a＝－2， 前面已经分析a＝－1不满足要求， 当a＝－2时，此时a2－3a＝(－2)2－3×(－2)＝10， 此时集合M＝{2，3，10，4}，N＝{－3，3}，满足集合元素的性质， 综上，a＝－2，所以a的取值集合为{－2}． 答案：{－2} (2)(2024·江苏南京二模)已知集合A＝(1，2，4)，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为__________． 解析：当x＝1时，y＝1，2，4，x－y分别为0，－1，－3， 均不能满足x－y∈A； 当x＝2时，y＝1可满足x－y＝1∈A；令y＝2，则x－y＝0， 令y＝4，则x－y＝－2，均不满足x－y∈A； 当x＝4时，y＝2可满足x－y＝2∈A；令y＝1，则x－y＝3， 令y＝4，则x－y＝0，均不满足x－y∈A. 所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个． 答案：2 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【对点练习】　1.(1)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 026＝(　　 ) A．1 B．0 C．－1 D．±1 解析：选C.由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 025＋b2 026＝－1. (2)用列举法表示集合{x∈Z，x∈Z}＝________． 解析：因为∈Z，x∈Z，所以x－1＝±1或x－1＝±2 ，解得x＝－1或0或2或3，即{x∈Z，x∈Z}＝{－1，0，2，3}． 答案：{－1，0，2，3} 题型二　集合间的基本关系 【例2】　(1)若集合M＝{x|x＝k·，k∈Z}，N＝{x|x＝k·，k∈Z}，则(　　 ) A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝∅ 解析：选B.x＝k·＝(2k－1)·，k∈Z时，2k－1能取遍所有奇数； x＝k·＝(k＋2)·，k∈Z时，k＋2能取遍所有整数，因此MN. (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D．∪(0，1) 解析：选A.， ①若B∅，即无解，此时，满足题意. ②若∅，即有解， ，，， ； ，，， ， . 方法指导　判断集合关系的3种方法 (1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系． (2)化简集合法：对集合中的表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系． (3)数轴法：在数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系． 注意：考查集合关系时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 【对点练习】　2.(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　 ) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 解析：选B.因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}， N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________. 解析：易得A＝{x|－2≤x≤5}． 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A； ②当m>－2时，B＝{x∅ 解得－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}． 答案：254　{m|m≤－2或－1≤m≤2} 题型三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 【例3】　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{-1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　 ) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0，1，4} 解析：选C. A∩B＝{0，1}． (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　 ) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 解析：选BD.∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M， 如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误； 由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确； 由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确． 角度2　利用集合的运算求参数 【例4】　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　 ) A．－ B． C．0 D．－ 解析：选BCD.由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝，所以－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. (2)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.法一　易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2. 法二　由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意，排除D. 解析：选A.由题意知M∪N＝{x|x<2}，∁U(M∪N)＝{x|x≥2}． 【对点练习】　3.(1)(2024·西安铁一中模拟)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN (2)(2024·河北沧州二模)已知集合A＝{x|x2<1}，B＝{x|x>a}(a∈R)，若A∩B≠∅，则a的取值范围为__________． 解析：由题意知A＝{x|－1<x<1}，又B＝{x|x>a}(a∈R)且A∩B≠∅，故a<1，即a的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 题型四　集合的新定义问题 【例5】　(多选)对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作M－N，即M－N＝{x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．下列四个选项中，正确的有(　　 ) A．若M－N＝M，则M∩N＝∅ B．若M－N＝∅，则M＝N C．MΔN＝(M∪N)－(M∩N) D．MΔN＝(M－N)∪(N－M) 解析：选ACD.若M－N＝M，则M∩N＝∅，A正确； 当M⊆N时，M－N＝∅，B错误； MΔN＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}＝(M∪N)－(M∩N)，C正确； MΔN和(M－N)∪(N－M)均表示集合中阴影部分，D正确． 思维升华　解决集合新定义问题的策略 策略一：紧扣新定义．先分析新定义的特点，弄清楚新定义的本质，再将新定义应用到具体问题中． 策略二：用好集合性质．需善于从试题中发现可以使用集合性质的条件，并能应用集合性质进行运算． 【对点练习】　4.(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　 ) A．集合A＝{－2，－1，0，1，2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 解析：选BD.对于A，在集合A＝{－2，－1，0，1，2}中， －2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2， k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A， ∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 【基础巩固题】 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　 ) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析：选A.因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}． 2．若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可得解得<m≤. 3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　 ) A． B． C． D．∅ 解析：选A.因为整数集Z＝，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝. 4．(北师大版必修一P45)已知全集U＝{x∈N＋|－2<x<9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是(　　 ) A．M∪∁UP B．∁U(M∩P) C．(∁UM)∪(∁UP) D．(∁UM)∩(∁UP) 解析：选D．U＝{x∈N＋|－2<x<9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由Venn图知{2，7，8}＝∁U(M∪P)＝(∁UM)∩(∁UP)． 5．(2024·重庆模拟)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{x≥0，x∈Z}，B＝{x<2}，则∁U(A∩B)＝(　　 ) A．{－2} B．{3，4} C．{－2，3，4} D．{－2，0，3，4} 解析：选C.由题意知A＝{x|(3－x)(x＋2)≥0，x＋2≠0，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∩B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∩B)＝ {－2，3，4}． 6．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于(　　 ) A．0或4 B．1或4 C．0 D．4 解析：选A.∵B⊆A且A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2， 当m＝4时，A＝{1，4，16}，B＝{1，4}，满足题意； 当m＝m2时，得m＝0或m＝1， 当m＝0时，A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足题意； 当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性． 综上，m可取0，4. 7．(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝∅，则a的取值范围是a<－3 B．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝∅，则a的取值范围是a≤－3 C．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a≥－3 D．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a>－3 解析：选BD.{x|x＋3>0}＝{x|x>－3}，{x|x－a<0}＝{x|x<a}， 若{x|x>－3}∩{x|x<a}＝∅，则a≤－3；若{x|x>－3}∪{x|x<a}＝R， 则a>－3. 8．(多选)已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则(　　 ) A．M∪N＝N B．M∩N＝N C．∁IM⊆∁IN D．(∁IN)∩M＝∅ 解析：选AD.因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M， 故A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅， 故C错误，D正确． 9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{m，4，5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________. 解析：当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1，2，3，4，5}，所有元素的和为15，不符合题意； 当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1，2，3，m，4，5}，由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3. 答案：－3 10．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg (9－x2)}，则B－A＝__________________，A*B＝__________________. 解析：由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}． 答案：{x|－3<x<0}　{x|－3<x<0或x≥3} 【综合应用题】 11．(2024·广东深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}．已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　　 ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选B.因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－(A－B)＝{3，5}，有两个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4. 12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学有(　　 ) A．30人 B．31人 C．32人 D．33人 解析：选C.设只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，画出Venn图如下： 则139＋128＋115＋30－(x＋y＋z)＋20＝400，解得x＋y＋z＝32. 13．(多选)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的为(　　 ) A．2 025∈[3] B．－2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3] D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]” 解析：选BCD.对于A，由2 025＝4×506＋1得2 025∈[1]，故A错误； 对于B，由－2＝4×(－1)＋2得－2∈[2]，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成[0]，[1]，[2]，[3]，共4“类”，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故C正确； 对于D，若整数a，b属于同一“类”， 则a＝4n1＋k，n1∈Z，b＝4n2＋k，n2∈Z， 故a－b＝4(n1－n2)＋0，所以a－b∈[0]； 若a－b∈[0]，不妨设a＝4n1＋k1，n1∈Z，b＝4n2＋k2，n2∈Z， 则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)， 则k1－k2＝0，即k1＝k2， 所以整数a，b属于同一“类”． 故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，故D正确． 【创新拓展题】 14．(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．下列说法正确的有(　　 ) A．G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群 B．G＝x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋m，n∈Z}关于数的加法构成群 解析：选CD.对于A，若G＝{－1，0，1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1，0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误； 对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝∉G，故B错误； 对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确； 对于D，若G＝{m＋m，n∈Z}， 则对所有的a＝m1＋n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立， 当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立， ∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． 15．设集合M＝{1，2，3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________. 解析：集合M的非空子集共有(212－1)个， 其中，最小值为1的子集可视为{2，3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个， 同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个． 最大值为12的子集可视为{1，2，3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个， 同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个． 所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20， 最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20， 所以xA的算术平均值为×(211＋2×210＋3×29＋…＋12×20＋12×211＋11×210＋10×29＋…＋20)＝＝13. 答案：13 $