专题15圆综合六类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题15 圆综合六类题型 典例详解 类型一、圆中最值问题 类型二、圆与全等三角形综合 类型三、圆与特殊三角形综合 类型四、圆与四边形综合 类型五、圆与坐标系综合 类型六、圆与二次函数综合 压轴专练 类型一、圆中最值问题 例1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），DE与AC交于点F，连接CE．在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=（　　） A．+3 B．+1 C．－+3 D．+2 变式1-2．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 变式1-3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 变式1-4．（22-23九年级上·云南保山·期末）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点． (1)在图中确定点的位置，使最小． (2)求的最小值． 类型二、圆与全等三角形综合 例2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． (1)证明：； (2)证明：； (3)问：点P在的平分线上吗？为什么？ 变式2-1．（24-25九年级下·重庆忠县·期中）如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 变式2-2．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 变式2-3．（2023·浙江·一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 类型三、圆与特殊三角形综合 例3．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 变式3-1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点H，交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的角． 变式3-2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图1，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小华同学思考如下：将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： (1)根据小华的思路，请你完成证明． (2)若圆的半径为2，则的最大值为______． (3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆，，点P是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为4，试求周长的最大值． (4)【拓展延伸】如图3，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，试求的最小值． 变式3-3．（25-26九年级上·北京·期中）已知直线，在直线上方求作一点C，使得． 下面是小张的作法： ①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O； ②以点O为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求． (1)使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接． ∵，∴是等边三角形．∴． ∵A，B，M在上， ∴（________________________）（填推理的依据）． ∴． ∵四边形内接于， ∴（________________________）（填推理的依据）． ∴． 类型四、圆与四边形综合 例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点在矩形的内部，与，都相切，且经过点，与相交于点．若的半径为，．则的长是 ．    变式4-1．（22-23九年级上·江苏·周测）如图，的两条弦互相垂直，垂足为E，且． (1)求证：． (2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由． (3)若，求的半径． 变式4-2．（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 类型五、圆与坐标系综合 例5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 变式5-1．（20-21九年级上·四川泸州·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ． 变式5-3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 类型六、圆与二次函数综合 例6．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．则线段的最大值为 ． 变式6-1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 变式6-2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 变式6-3．（2020九年级·黑龙江大庆·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，为线段上的一个动点（点不与点重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求周长的最小值； （3）点的坐标为，以点为圆心，的长为半径作圆，点在上，线段交抛物线于点，当的最大值为时，求点的坐标． 1．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，五边形是的内接五边形，，对角线于点．作于点，若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆的直径， ，是半圆上的一点，是弧的中点． （1）若，求的长和由弦 、和弧CD围成的图形面积； （2）若弧的度数是120度，在半径上是否存在点，使得的值最小，如果存在，请在备用图中面出的位置，并求 的最小值，如果不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 6．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． (1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； (2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD． 7．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，为上在第一象限内的一点，且． (1)求弧的度数． (2)当点的坐标为，求的半径． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)与的大小有什么关系？为什么？ (2)若，，求的长． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． (1)求证：是该圆的直径； (2)若E是的中点，，求的长度． 10．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． (1)的度数为 度． (2)求证：； (3)过点C作于点E，若，求的长． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点、、、在上，且，是延长线上一点，且是中点． (1)求证：； (2)连接并延长交于，延长到使，连接、，试说明； (3)在（2）的条件下，若为，则当=______时，四边形为菱形． 12．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 圆综合六类题型 典例详解 类型一、圆中最值问题 类型二、圆与全等三角形综合 类型三、圆与特殊三角形综合 类型四、圆与四边形综合 类型五、圆与坐标系综合 类型六、圆与二次函数综合 压轴专练 类型一、圆中最值问题 例1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 变式1-1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），DE与AC交于点F，连接CE．在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=（　　） A．+3 B．+1 C．－+3 D．+2 【答案】A 【详解】如图，将△ABP绕A点逆时针旋转60°，得到△AB'P'，则△APP'是等边三角形， ∴PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC≥B'C．当B'，P'，P，C共线时，PA+PB+PC取得最小值，此时∠CPA=180°－∠APP'=180°－60°=120°，∠APB=∠AP'B'=180°－∠AP'P=180°－60°=120°，∠BPC=360°－∠BPA－∠APC=360°－120°－120°=120°，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°．∵AC=AB=AB'，AP=AP'，∠APC=∠AP'B'，∴△AP'B'≌△APC，∴PC=P'B'=PB．∵∠APP'=∠DPC=60°，∴DP平分∠BPC，∴PD⊥BC．∵A，D，C，E四点共圆，∴∠AEC=∠ADC=90°．又AD=DC=BD，△BAD≌△CAE，∴AE=EC=AD=DC，则四边形ADCE是菱形．又∠ADC=90°，∴四边形ADCE是正方形．∵∠B'AC=∠B'AP'+∠PAC+∠P'AP=90°+60°=150°，则B'A=BA=AC，∠B'=∠ACB'=（180°－∠B'AC）=15°．∵∠PCD=30°，∴DC=PD．∵DC=AD，AP=2，则AP=AD－DP=（－1）DP=2，∴DP=+1．∵AP=2，∴CE=AD=AP+PD=+3． 变式1-2．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 变式1-3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】(1) (2)点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【详解】（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 变式1-4．（22-23九年级上·云南保山·期末）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点． (1)在图中确定点的位置，使最小． (2)求的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查运用轴对称求最短距离问题、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点的对称点，连接交于点，利用轴对称和两点之间线段最短可知此时最小； （2）连接、、，根据圆周角定理推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，点即所求作的点． （2）解：由（1）可知，的最小值为的长，连接、、． 点关于的称点，， ，                        又是中点， ，                            ，               又 在中，， 的最小值为． 类型二、圆与全等三角形综合 例2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． (1)证明：； (2)证明：； (3)问：点P在的平分线上吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)在，理由见解析 【分析】本题考查圆的性质，三角形判定的判定及性质． （1）直接运用“”即可证明； （2）由得到，由，得到，从而运用“”即可证明； （3）连接，由得到，运用“”证明，得到，即可得到点P在的平分线上． 【详解】（1）在和中， ∴； （2）∵ ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （3）点P在的平分线上．理由如下： 连接， ∵ ∴ 在和， ， ∴， ∴， ∴平分，即点P在的平分线上． 变式2-1．（24-25九年级下·重庆忠县·期中）如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 【答案】 【分析】过点O作于H，连接，根据圆周角定理，证明，推出，即可得出，进而求得的长；过点O作于N，于T连接，先证明，求出，再证明，求出，证明四边形为矩形，推出，设，勾股定理求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点O作于H，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过点O作于N，于T连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则：， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即 解得或(舍去)， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了圆的综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 变式2-2．（2024·湖北武汉·二模）如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． (1)连接，求证：平分； (2)过点D作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及到圆周角定理、全等三角形的性质及判定、垂径定理的推论，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关性质 （1）连接并延长交于点H，证明，再根据等腰三角形的性质及等量代换来证得结果； （2）连接，过点D作，垂足为点G，证明及，再通过等量代换得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明，如图，连接，过点D作，垂足为点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴ 变式2-3．（2023·浙江·一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 (3)见解析 【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证； （2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案； （3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案． 【详解】（1）证明： 为的直径，于点， ， ， ， ，即， ； （2）解：如图所示：连接， ， 由（1）得：， ， ， 为的直径，于点， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 的长为； （3）解：如图所示：连接交于， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键． 类型三、圆与特殊三角形综合 例3．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 变式3-1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点H，交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的角． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，，，． 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据是的中点，于点E，得到，得到即可得证； （）由点为中点，，则垂直平分，连接，根据垂直平分线的性质和圆的基本概念得到为等边三角形，可得，，根据是的直径求出，即，再通过同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），，，，理由， ∵点为中点，， ∴垂直平分， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（）得：， 即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴． 变式3-2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图1，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小华同学思考如下：将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： (1)根据小华的思路，请你完成证明． (2)若圆的半径为2，则的最大值为______． (3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆，，点P是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为4，试求周长的最大值． (4)【拓展延伸】如图3，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，试求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则问题可求证； （2）由（1）可知当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是4； （3）先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值； （4）连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则，所以可求的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是的弦，且的半径为2， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是4， 故答案为：4； （3）解：如图2，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 的最大值是， ， 周长的最大值是． （4）解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 变式3-3．（25-26九年级上·北京·期中）已知直线，在直线上方求作一点C，使得． 下面是小张的作法： ①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O； ②以点O为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求． (1)使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接． ∵，∴是等边三角形．∴． ∵A，B，M在上， ∴（________________________）（填推理的依据）． ∴． ∵四边形内接于， ∴（________________________）（填推理的依据）． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补 【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接， ， 是等边三角形． ． ，，在上， （同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）． ． 四边形内接于， （圆的内接四边形对角互补）． ． 故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补． 【点睛】本题考查尺规作图复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 类型四、圆与四边形综合 例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点在矩形的内部，与，都相切，且经过点，与相交于点．若的半径为，．则的长是 ．    【答案】 【分析】设与、相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，四边形为矩形，四边形为矩形，求得，再根据垂径定理求得，最后根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：设与、相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，      ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形，，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，   ∴， ∵，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的判定和性质． 变式4-1．（22-23九年级上·江苏·周测）如图，的两条弦互相垂直，垂足为E，且． (1)求证：． (2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由． (3)若，求的半径． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由判断，进而得到，从而得出； （2）先证明四边形是矩形．连接OA，OD．根据垂径定理得出CF=DF，AG=BG．则利用CD=AB，得到AG=DF．再由勾股定理可计算出OG=OF，即证明四边形是正方形； （3）先计算出CD=4，从而得到CF=DF=2，EF=1，再利用正方形的性质得出OF=EF=1，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：四边形是正方形. 理由如下：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接OA，OD． ∵，， ∴CF=DF，AG=BG． ∵CD=AB， ∴AG=DF． ∵，，OA=OD， ∴OG=OF， ∴四边形是正方形； （3）解：∵CE=1，DE=3， ∴CD=4， ∴CF=DF=2， ∴EF=CF-CE=2-1=1． ∵四边形是正方形， ∴OF=EF=1． 在Rt中，， ∴的半径为． 【点睛】本题为圆的综合题，考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理．正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 变式4-2．（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 类型五、圆与坐标系综合 例5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    变式5-1．（20-21九年级上·四川泸州·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为 故选：A． 变式5-2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，坐标与图形的性质，连接，过点作于点，根据已知可得，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 变式5-3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 的坐标为， 故答案为：． 类型六、圆与二次函数综合 例6．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】由抛物线得，，，可得，顶点，点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，由垂径定理得到，从而得出点在以点为圆心，半径为1的半圆上，如图，当点运动到点，点运动到点时，的长最大，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，并取中点，连接，，，， ∵抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，C， ∴当时，，即， 当时，，解得：，，即，， ∵以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I， ∴点，的半径为2， ∵， ∴顶点D的坐标为：， ∴，， ∴和为等腰直角三角形，，点D在上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵点Q为弦的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为1的半圆上，如图，当点运动到点，点运动到点时，的长最大，最大为， ∴线段的长最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，本题综合性较强，关键在于确定，本题综合性强，难度较大． 变式6-1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求得，，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，，从而求得，即可由求解． 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大． 变式6-2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 【答案】(1) (2)圆的半径为； (3)点P到圆心I的距离为：． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本性质、一次函数的基本性质． （1）由抛物线顶点坐标公式即可求解； （2）由，即可求解； （3）当时，则，进而求解． 【详解】（1）解：令，则或， 即点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即点； （2）解：由圆和抛物线的性质知，点A、I共线且在的中垂线上， 设点，设圆的半径为r， 由得：， 解得：，； 即圆的半径为； （3）解：由（2）知，点，，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线l的表达式为：， 当时，则，    则， 解得：， 则点P的坐标为：或， 由点P、I坐标知，， 或， 即点P到圆心I的距离为：． 变式6-3．（2020九年级·黑龙江大庆·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，为线段上的一个动点（点不与点重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求周长的最小值； （3）点的坐标为，以点为圆心，的长为半径作圆，点在上，线段交抛物线于点，当的最大值为时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点M的坐标为 【分析】（1）先求出点,的坐标,代入两点式的函数解析式,得：．再根据图形可知抛物线过点,可得,求出a值,即可得到抛物线的解析式． （2）如图①,过点作直线的对称点,连接,交直线于点,连接,则此时的周长最小,求出周长即可． （3）如图②,连接并延长,交于点,此时为最大值．又因为的最大值为,求出直线的表达式,再与抛出线解析式联立,即可求出交点坐标． 【详解】解：（1）直线,令,则；令,则． 故点,的坐标分别为,． 抛物线的表达式为． 抛物线过点, ,解得． 抛物线的解析式为． （2）如图①,过点作直线的对称点,连接,交直线于点,连接,则此时的周长最小． 由,得,又由点,关于直线对称, 为等腰直角三角形． ． ,． 周长的最小值． （3）如图②,连接并延长,交于点,此时为最大值． ,, ． , 设点,则 解得,（舍）． 点． 直线的表达式为． 联立 解得, 点在线段上, 故点的坐标为． 【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点,二次函数的图象与性质,两点式确定二次函数解析式,坐标与图形性质,理解圆的定义，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 1．（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明Rt△OCM≌Rt△ODN得到OC=OD，∠COM=∠DON，即可判断①②；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，则CM=2OC，，，即可判断③；若M是的中点，可得∠AOM=∠MON=∠BON=60°，则△ONB是等边三角形，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN， ∵MC⊥AB，ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵MN∥AB， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形，   ∴CM=DN， 又∵OM=ON， ∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确； 当四边形MCDN是正方形时，MC=CD， ∵OC=OD， ∴CM=2OC， ∴， ∴，故③错误； 若M是的中点， ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=BD，故④正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，五边形是的内接五边形，，对角线于点．作于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查圆周角，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角的和差，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，过点O作于点P，推导出，继而证明，推导出，得到，由，得到，则，即可解答． 【详解】解∶如图，连接，过点O作于点P． ∵， ∴弧等于弧， ∴， ∵ ∴， ∵，，点O为圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆的直径， ，是半圆上的一点，是弧的中点． （1）若，求的长和由弦 、和弧CD围成的图形面积； （2）若弧的度数是120度，在半径上是否存在点，使得的值最小，如果存在，请在备用图中面出的位置，并求 的最小值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，画图见解析， 【分析】（1）先根据题意得出平行于，然后把要求的面积通过平行线夹的三角形面积相等转化为扇形的面积，即可得到答案，利用等边三角形的性质即可求出； （2）首先根据轴对称性得出的位置，然后利用已知120度和等弧所对的圆心角相等得出角度，最后构造直角三角形求解． 【详解】解：（1）如图1， 连接，，， ， ， ， 是弧的中点， ， ，， ，， ， ， ， 所求面积． （2）如图2．点即为所求； 连接，， ， ， 为弧的中点， ， 过点作， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为′． 【点睛】本题考查了圆的综合知识和轴对称的相关知识（将军驿马问题），充分利用转化思想和熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【答案】(1) (2)的半径为，圆心的坐标为 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． (1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； (2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD． 【答案】(1)∠E＝35° (2)见解析 【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案； （2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可. 【详解】（1）连接AC， ∵为120°，为50°， ∴，， ∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°； （2）证明：连接AC、BD， ∵， ∴∠A＝∠D， 在△ACE和△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（ASA）， ∴BE＝CE， ∵AE＝DE， ∴AE-BE＝DE-CE， 即AB＝CD． 【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键． 7．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，为上在第一象限内的一点，且． (1)求弧的度数． (2)当点的坐标为，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度角所对的弦是直径，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角度数相等可得的度数，进而判定为等边三角形即可求解； （2）根据为等边三角形结合点坐标即可求解 【详解】（1）解：连接，如图所示， ， 是的直径， ， ， ， 为等边三角形， 弧的度数为； （2）解：点的坐标为 ， 为等边三角形， ， 的半径为 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)与的大小有什么关系？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)，原因见详解 (2) 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角，再由题中条件，确定是线段的垂直平分线，即可得证； （2）由（1）知，，结合等腰三角形三线合一可知，平分，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由弧长公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 原因如下： 连接，如图所示： 是的直径， ，即， ， 是线段的垂直平分线， 则； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知，， 由等腰三角形三线合一可知，平分， ， ， ， 则． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理及弧长公式等知识，熟记圆中的相关性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． (1)求证：是该圆的直径； (2)若E是的中点，，求的长度． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查“圆周角定理及其推论”“圆内接四边形性质定理”“等腰三角形的性质”，通过等腰三角形的性质进行等角转换，并根据相等角利用圆周角定理及其推论得到圆中弦和弧的关系是解题关键． （1）根据圆内接四边形性质定理得到，再利用等量代换和等腰三角形的性质推出，进而推出点D是中点，通过等腰三角形三线合一得到，即可证明是直径． （2）（1）中可以得到，再利用是中点，可以推出，故是等边三角形，，通过弧长的计算公式，即可求出的长度． 【详解】（1）如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的直径． （2）如图，连接，． 由（1），得， 又是中点， ∴． 由（1），得是的直径， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 10．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． (1)的度数为 度． (2)求证：； (3)过点C作于点E，若，求的长． 【答案】(1)22.5 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． （1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （3）利用（1）、（2）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：22.5． （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点、、、在上，且，是延长线上一点，且是中点． (1)求证：； (2)连接并延长交于，延长到使，连接、，试说明； (3)在（2）的条件下，若为，则当=______时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论； （2）连接，得出四边形是平行四边形，证明点在上，则，根据是直径可得，进而根据线段垂直平分的性质，即可得出结论； （3）若四边形为菱形时，，根据已知为，是直径，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵F是的中点， ， ， 是的中位线， , , , , , , （2）如图，连接， 由（1）知， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴点在上，则 ∵是直径， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴垂直平分 ∴ （3）由（2）可得 若四边形为菱形，则， ∴ ∵为，是直径，则为， ∴ ∴ ∴在（2）的条件下，若为，则当时，四边形为菱形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，平行四边形的性质与判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①根据抛物线的解析式，求出点坐标，根据，当时，，得到，联立两个解析式，得到，求出，设点的横坐标为，点的横坐标为，根据的面积是面积的两倍，得到，求解即可； ②设， 根据为直径，得到点坐标，过点作轴，延长交于点，得到，垂径定理，得到，求出，勾股定理得到，化简得到，根据是定值，得到的值与的值无关，求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①∵， ∴， ∵，当时，时， ∴， ∴轴，， 联立，整理，得：， ∴， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ∵点在点的左侧，则：， ∴，， ∵的面积是面积的两倍， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：； ②如图，直线与交于，设， ∵，为的中点， ∴， 过点作轴，延长交于点， ∵直线平行于轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵为定值， ∴为定值， ∴且， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $