课下巩固精练卷(57) 空间直线、平面的垂直（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(五十七)　空间直线、平面的垂直 1．(人教A版必修二P162)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”，则“l⊥m且l⊥n”，反之若“l⊥m且l⊥n”，当m∥n时，推不出“l⊥α”，∴ “l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件． 2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　 ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：选D.如图所示， 因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P， 所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA， 同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心． 3．(2024·河南名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　 ) A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m 解析：选B.A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误； B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确； C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误； D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误． 4．(2024·河北秦皇岛模拟)在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC，D，E，M分别为AC，PC，BC的中点，则以下结论不一定成立的是(　　 ) A．PA∥平面BDE B．若PA⊥BC，则AB＝AC C．若∠BAC＝90°，则平面PBC⊥平面PAM D．点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心 解析：选C.对于A，因为D，E分别为AC，PC的中点，所以PA∥DE，又PA⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正确； 对于B，因为BC的中点为M，PB＝PC，所以PM⊥BC，又PA⊥BC，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAM，所以BC⊥平面PAM，又因为AM⊂平面PAM，所以BC⊥AM，则AB＝AC，故B正确； 对于C，∠BAC＝90°，则MA＝MB＝MC，又PA＝PB＝PC，则△PMA≌△PMB ≌△PMC，则∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝90°，故PM⊥AM，若平面PAM⊥平面PBC，因为平面PAM∩平面PBC＝PM，AM⊂平面PAM，所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，又M为BC的中点，则AB＝AC，不一定成立，故C不一定成立； 对于D，由PA＝PB＝PC可知，点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故D正确． 5．(2024·沈阳模拟)在四面体ABCD中，△BCD为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(　　 ) A．AB与CD可能垂直 B．A在平面BCD内的射影可能是B C．AB与CD不可能垂直 D．平面ABC与平面BCD不可能垂直 解析：选A.对于A，C，当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，A在平面BCD上的射影为O，即OA⊥平面BCD. 由于CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD. 连接BO并延长交CD于F，则CD⊥BF， 由于AO∩BF＝O，AO，BF⊂平面ABO， 所以CD⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，所以AB⊥CD，故A正确，C错误． 对于B，若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，故B错误． 对于D，当A在平面BCD内的射影在直线BC(除点B)上时，平面ABC与平面BCD垂直，故D错误． 6．(2024·武汉模拟)已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A­BCD，则在折叠过程中，不可能出现(　　 ) A．AB⊥CD B．AC⊥BD C．三棱锥A­BCD的体积为 D．平面ABD⊥平面BCD 解析：选A.对于A，若AB⊥CD，因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，而CD＝2，AD＝2，即直角边长与斜边长相等，显然不正确； 对于B，取BD的中点O，连接AO，OC， 因为AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，所以BD⊥平面AOC， 又AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC； 对于C，当折叠所成的∠AOC＝150°时，顶点A到底面BCD的距离为×sin 30°＝，此时VA­BCD＝； 对于D，当∠AOC＝90°时，有平面ABD⊥平面BCD. 7．刘徽注《九章算术·商功》中有“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图2所示由正方体ABCD­A1B1C1D1得到的堑堵ABC­A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P­ABC中，鳖臑的个数为(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝a， 当点P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC， 则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°. 由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°， 则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此时四面体P­ABC是鳖臑； 当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1， 所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥AP， 所以△PBC，△ABC为直角三角形． 因为四边形ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP， 则△PAB是直角三角形， 又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC， 又PC⊂平面PBC，所以AP⊥PC， 所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P­ABC是鳖臑； 当点P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝，又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，则此时四面体P­ABC不是鳖臑． 8．(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　 ) A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面PAB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面PAC 解析：选ACD.∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， ∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确； ∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC为圆O直径，∴AB⊥BC， ∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确； 又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN， ∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC， ∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC， 故A正确． 9．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则下列结论可能正确的有(　　 ) A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面BDF⊥平面BCF D．平面DCF⊥平面BCF 解析：选BC.对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，所以A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以B正确； 对于C，如图所示，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；对于D，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D错误． 10．(多选)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　 ) A．CD⊥PD B．AB⊥PC C．平面PBD⊥平面PAC D．E，F，C，D四点共面 解析：选AD.如图所示， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确； 因为CD∥AB，CD⊥平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又PC∩平面PAD＝P， 所以AB与PC不垂直，故B错误； 因为底面ABCD是矩形， 所以BD与AC不一定垂直， 则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误； 因为点E，F分别是棱PA，PB的中点， 所以EF∥AB， 又AB∥CD，所以EF∥CD， 所以E，F，C，D四点共面，故D正确． 11．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________． 解析：画出如图所示示意图， 设底面边长为a，则塔高EF＝a， AF＝a，所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为. 答案： 12．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：连接AC，因为底面ABCD各边都相等， 所以AC⊥BD， 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PA⊥BD， 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或MB⊥PC) 13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________． 解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED， 由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC， 在矩形ABCD中，设AE＝a，0≤a≤2， 则BE＝2－a， 由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan ∠DEA·tan ∠CEB＝＝1， 即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1， 当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1； 当a＝0或2时，t2取得最小值0， 但由于t>0，所以t的取值范围是(0，1]. 答案：(0，1] 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD. (2)因为CD⊥平面PBD，所以CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD. 15．在四棱锥P­ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P­ABCD的体积． 解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD. 证明如下：如图，连接MC，PM. 由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD， 而平面PAD⊥平面ABCD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，且PM⊂平面PAD，可得PM⊥平面ABCD， 又PM⊂平面PCM， 可得平面PCM⊥平面ABCD. (2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a， 由(1)可得MC＝AB＝MD＝a， 则CD＝a， 由PM⊥MC，可得PC＝＝2a， 而△PCD的面积为S△PCD＝，可得a＝4， 故四棱锥P­ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM＝×(4＋8)×4×4. 16．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝. (1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE； (2)求直线PB与直线CD所成角的大小； (3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 解：(1)证明：连接PC，交DE于点N，连接MN， ∵四边形PDCE为矩形，∴N为PC的中点， 在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点， ∴MN∥AC， ∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE， ∴AC∥平面MDE. (2)∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD， ∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角． ∵四边形PDCE为矩形，∴PD⊥CD， ∵平面PDCE⊥平面ABCD， 又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD， ∵AD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB， 在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝， ∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD， 又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA， 在Rt△PAB中，∵AB＝1， ∴tan ∠PBA＝， ∴∠PBA＝， 从而直线PB与直线CD所成的角为. (3)l与平面ABCD垂直．证明如下： ∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD， ∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD， ∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC， ∵平面PAD∩平面EBC＝l， ∴EC∥l，则l∥PD， 由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $