7.5 空间直线、平面的垂直（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

7．5　空间直线、平面的垂直 [课标要求]　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　2.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间基本图形的垂直关系的简单命题． 【必备知识】 1．直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直． (2)性质定理和判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 2.直线和平面的夹角 (1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角．一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是0°． (2)范围：． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 【必记结论】 1．与“直线与平面垂直”有关的结论 (1)若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. (2)若a∥b，a⊥α，则b⊥a. (3)若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是(　　) ①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线； ②平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线； ③平面α内的任一条直线必垂直于平面β； ④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选C.平面α内存在不与平面β垂直的直线，故①错误，②正确；平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故③错误；若平面α内的任意一点取在交线l上，则所作垂线不一定垂直于平面β，故④错误． 3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有______对． 解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA, 平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：7 4．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_________心． (2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点． (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心． 解析：(1)∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC的外心． (2)由(1)知，点O是△ABC的外心，又∠ACB＝90°，如图，∴点O是斜边AB的中点． (3)连接AO并延长交BC于点E， ∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA， ∴PA⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA， ∵PO⊥平面ABC于点O，BC⊂平面ABC， ∴PO⊥BC， 又PO∩PA＝P，PO，PA⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵AE⊂平面APE，∴BC⊥AE， 同理可证HC⊥AB，BG⊥AC， ∴O是△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)中　(3)垂 5．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α所成的角是________． 解析：如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成的角， 在Rt△PAB中，因为PA＝PB， 所以sin ∠PAB＝，∠PAB∈， 所以∠PAB＝，即线段PA与平面α所成的角为. 答案： 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 【例1】　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 证明：(1)如图，连接A1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1. 因为四边形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又因为CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C， 所以B1D1⊥平面A1C1C. 又因为A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1. (2)如图，连接B1A，AD1. 因为B1C1＝AD，B1C1∥AD， 所以四边形ADC1B1为平行四边形， 所以C1D∥AB1， 因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1. 又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1. 由(1)知A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1. 又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1. 所以MN∥A1C. 【对点练习】　1.如图①所示，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠BDC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿直线BC折起，如图②所示，使AD＝，点M，N分别为AC，AD的中点．判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由． 证明：MN⊥平面ABD.理由如下： 在Rt△BDC中，BC＝2，CD＝1，由勾股定理得BD＝， 因为AD＝，AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2， 所以AB⊥BD. 又AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD， 所以AB⊥平面CBD. 又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD. 又CD⊥BD，且BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD， 所以CD⊥平面ABD. 又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD， 所以MN⊥平面ABD. 题型二　面面垂直的判定与性质 【例2】　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 因为BC⊂平面BCC1B1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 所以四棱锥A1­BB1C1C的高为A1O， 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC， 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以O为CC1中点，OC1＝AA1＝1， 又因为A1C⊥AC， 所以A1C2＋AC2＝，即x2＋x2＝22，解得x＝， 所以A1O＝＝1，即四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 【对点练习】　2.(2024·邯郸模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥平面ABCD； (2)平面BEF∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PA⊂平面PAD，PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点， ∴AB∥DE，且AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE， ∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD， ∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD， ∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD， ∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， ∴平面BEF∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E和F分别是CD和PC的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF， 又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF， ∵CD⊂平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD. 题型三　平行与垂直的综合问题 【例3】　(2024·石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点． 又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1，所以OE∥BD1. 又因为O为AD1的中点，所以E为AB的中点． (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下：设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD， 又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD， 又因为AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中，tan ∠ADE＝， 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE， 所以AC⊥平面D1DE. 又因为AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 【对点练习】　3.(人教A版必修二P162)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 解：垂直，证明如下： ∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC. 又底面ABCD为正方形，∴AB⊥BC， 而PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， ∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PA＝AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB. 而PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC. ∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC. 三余定理cos θ＝的应用 已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2. 【典例】　如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为________． 解析：如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角， 所以cos ∠PAC＝cos ∠PAO·cos ∠OAC， 所以cos 60°＝cos ∠PAO·cos 45°， 所以cos ∠PAO＝， 故∠PAO＝45°， 所以PA与平面α所成的角为45°. 答案：45° 学科网（北京）股份有限公司 $