2.5 函数的对称性（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

2．5　函数的对称性 [课标要求]　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． 【必备知识】 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0)． 2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　 ) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　 ) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　 ) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　 ) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：选B.因为f(x)＝，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称． 3．已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________． 解析：法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 4．设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示， 则不等式f(x)<0的解集为______． 答案：[－5，－2)∪(2，5] 5．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________． 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 答案：5 题型一　轴对称问题 【例1】　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　 ) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析：选ACD.∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． (2)(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________． 解析：∵y＝f(x＋3)是偶函数， ∴f(x)的图象关于直线x＝3对称． ∵当x≥3时，f(x)＝log2x， ∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增， ∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|， ∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0， 解得x<－3或x>. 答案：{x} 思维升华　(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 【对点练习】　1.(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　 ) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 解析：选D.因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 解析：∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1，1)． 答案：(－1，1) 题型二　中心对称问题 【例2】　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　 ) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 解析：选ABC.对于A，f(x)＝，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确． (2)(2024·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn), 则 ＝(　　 ) A．n B．2n C．3n D．4n 解析：选C.因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sin πx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以 ＝2n，所以＝3n. 思维升华　(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 【对点练习】　2.(1)(2024·河北石家庄二模)已知函数y＝f(x－1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　 ) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 解析：选C.函数y＝f(x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称， 将函数y＝f(x－1)向左平移一个单位可得函数y＝f(x)， 则函数y＝f(x)关于(－1，0)对称， 所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(－1，1)对称． (2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　 ) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：选D.因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 题型三　两个函数图象的对称 【例3】　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　 ) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：选A.设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 【对点练习】　3.(2024·四川成都三模)定义在R上的函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g(2x－1)＋1为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心是(　　 ) A．(－1，1) B．(－1，1) C．(3，1) D．(3，－1) 解析：选D.因为y＝g(2x－1)＋1为奇函数， 所以g(－2x－1)＋1＝－g(2x－1)－1， 即g(－2x－1)＋g(2x－1)＝－2， 故g(x)的对称中心为， 即(－1，－1)， 由于函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称， 且(－1，－1)关于x＝1的对称点为(3，－1)， 故y＝f(x)的对称中心为(3，－1)． 学科网（北京）股份有限公司 $