1.1 集合（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

1．1　集合 [课标要求]　1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 【必备知识】 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋) Z Q R [提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋都表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 关系 表示 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B [提醒]　空集是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【必记结论】 1．对于集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　 ) (2)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　 ) (3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．(　　 ) (4)集合{x|x＝x3}用列举法表示为{－1，1}．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝(　　 ) A．{1，2} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{0，1，2，3} 解析：选B.由题意，集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，又由B＝，根据集合交集的概念及运算，可得A∩B＝{1，2，3}． 3．已知集合A＝{x∈N|x2－6x＋8≤0}，则A的真子集个数是(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.因为A＝{x∈N|x2－6x＋8≤0}＝{x∈N|2≤x≤4}＝{2，3，4}，所以A的真子集个数是23－1＝7. 4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若AB，则a的取值范围为________________． 解析：由AB或所以2≤a≤4. 答案：2≤a≤4 题型一　集合的含义与表示 【例1】　(1)设集合M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}，N＝{a－1，3}，已知4∈M且4∉N，则a的取值集合为________． 解析：因为M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}，N＝{a－1，3}，4∈M且4∉N， 若a2－3a＝4，解得a＝4或a＝－1， 当a＝4时，此时a＋， 此时N＝{3，3}，不满足集合元素的互异性，舍去； 当a＝－1时，此时a＋＋7＝4， 此时M＝{2，3，4，4}，不满足集合元素的互异性，舍去； 若a＋＋7＝4，解得a＝－1或a＝－2， 前面已经分析a＝－1不满足要求， 当a＝－2时，此时a2－3a＝(－2)2－3×(－2)＝10， 此时集合M＝{2，3，10，4}，N＝{－3，3}，满足集合元素的性质， 综上，a＝－2，所以a的取值集合为{－2}． 答案：{－2} (2)(2024·江苏南京二模)已知集合A＝(1，2，4)，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为__________． 解析：当x＝1时，y＝1，2，4，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A； 当x＝2时，y＝1可满足x－y＝1∈A；令y＝2，则x－y＝0，令y＝4，则x－y＝－2，均不满足x－y∈A； 当x＝4时，y＝2可满足x－y＝2∈A；令y＝1，则x－y＝3，令y＝4，则x－y＝0，均不满足x－y∈A. 所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个． 答案：2 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【对点练习】　1.(1)用列举法表示集合{x∈Z，x∈Z}＝________． 解析：因为∈Z，x∈Z，所以x－1＝±1或x－1＝±2 ，解得x＝－1或0或2或3，即{x∈Z，x∈Z}＝{－1，0，2，3}． 答案：{－1，0，2，3} (2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 026＝(　　 ) A．1 B．0 C．－1 D．±1 解析：选C.由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 025＋b2 026＝－1. 题型二　集合间的基本关系 【例2】　(1)若集合M＝{x|x＝k·，k∈Z}，N＝{x|x＝k·，k∈Z}，则(　　 ) A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝∅ 解析：选B.x＝k·＝(2k－1)·，k∈Z时，2k－1能取遍所有奇数；x＝k·＝(k＋2)·，k∈Z时，k＋2能取遍所有整数，因此MN. (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D．∪(0，1) 解析：选A.， ①若B∅，即无解，此时，满足题意. ②若∅，即有解， ，，， ； ，，， ， . 方法指导　判断集合关系的3种方法 (1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系． (2)化简集合法：对集合中的表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系． (3)数轴法：在数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系． 注意：考查集合关系时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 【对点练习】　2.(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　 ) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 解析：选B.因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________. 解析：易得A＝{x|－2≤x≤5}． 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A； ②当m>－2时，B＝{x∅解得－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}． 答案：254　{m|m≤－2或－1≤m≤2} 题型三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 【例3】　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{-1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　 ) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0，1，4} 解析：选C. A∩B＝{0，1}． (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　 ) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 解析：选BD.∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M， 如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误； 由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确； 由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确． 角度2　利用集合的运算求参数 【例4】　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　 ) A．－ B． C．0 D．－ 解析：选BCD.由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝，所以－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. (2)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.法一　易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2. 法二　由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意，排除D. 【对点练习】　3.(1)(2024·西安铁一中模拟)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A.由题意知M∪N＝{x|x<2}，∁U(M∪N)＝{x|x≥2}． (2)(2024·河北沧州二模)已知集合A＝{x|x2<1}，B＝{x|x>a}(a∈R)，若A∩B≠∅，则a的取值范围为__________． 解析：由题意知A＝{x|－1<x<1}，又B＝{x|x>a}(a∈R)且A∩B≠∅，故a<1，即a的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 题型四　集合的新定义问题 【例5】　(多选)对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M－N，即M－N＝{x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．下列四个选项中，正确的有(　　 ) A．若M－N＝M，则M∩N＝∅ B．若M－N＝∅，则M＝N C．MΔN＝(M∪N)－(M∩N) D．MΔN＝(M－N)∪(N－M) 解析：选ACD.若M－N＝M，则M∩N＝∅，A正确； 当M⊆N时，M－N＝∅，B错误； MΔN＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}＝(M∪N)－(M∩N)，C正确； MΔN和(M－N)∪(N－M)均表示集合中阴影部分，D正确． 思维升华　解决集合新定义问题的策略 策略一：紧扣新定义．先分析新定义的特点，弄清楚新定义的本质，再将新定义应用到具体问题中． 策略二：用好集合性质．需善于从试题中发现可以使用集合性质的条件，并能应用集合性质进行运算． 【对点练习】　4.(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　 ) A．集合A＝{－2，－1，0，1，2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 解析：选BD.对于A，在集合A＝{－2，－1，0，1，2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $